极限存在准则与重要极限

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解得 A = a 或A = − a （舍去）。 舍去）。
有极限， 例5 设 x 1 = 10, x n +1 = 6 + x n , (n = 1,2, L), 证明数列 {x n } 有极限， 记录） （记录） 并求 lim x n . n→∞ 证明： 单调递减。 证明：用数学归纳法证明数列 {x n } 单调递减。 因为 x 1 = 10, x 2 = 4, x 1 > x 2 . 设当 n = k 时， x k > x k +1 , 由于 x k +1 = x k + 6 > x k +1 + 6 = x k + 2 , 得到 n = k + 1 时， x k +1 > x k + 2 , 即 ∀n ∈ N , 都有 x n > x n +1 . 单调递减。 由此可知 {x n } 单调递减。 显然有 x n > 0, 即 {x n } 有下界。 所以 {x n } 有极限。 有下界。 有极限。 不妨设 lim x n = A, n→∞ 则 lim x n +1 = lim 6 + x n , n→∞ n→∞
1 lim 1 + x →⊗ u( x )
u( x )
=e
lim(1 + u( x ))
x →⊗
1 u( x夹逼准则 夹逼定理） 1.用夹逼准则 （夹逼定理）证明或求极限 例1：利用夹逼定理证明 记录） （记录） 1 1 1 lim 2 + 2 +L+ 2 存在 , 并求极限 . 2 2 n→∞ n + 1 n +2 n +n 1 1 1 Q 2 ≤ 2 ≤ 2 2 (k = 1 ,2 ,L , n ), 解： n + n2 n + k 2 n + 1 1 1 1 n 1 ∴ 2 + 2 +L+ 2 = 2 = 2 2 2 2n n +4 n +n 14n 4442444n 4n 4 + 3 2n
1 1 1 lim 2 + 2 +L+ 2 = 0. 2 2 n →∞ n + 1 n +2 n +n
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sin x = 1. 用夹逼准则证明： x → 0 例2 用夹逼准则证明：lim x Q x → +0 , ∴可设0 < x < π . 可设 证：先设 x > 0 ,
如图： 如图： A , C在单位圆周上 , ∠AOC = x , x OC是半径 , 且AB ⊥ OC , DC ⊥ OC , o AB = AB , 于是有 sin x = AO DC tan x = = DC , x = 弧AC的长 , OC 而∆AOC的面积 < 扇形 AOC的面积 < ∆DOC的面积
lim n n = 1
n →∞
而 lim M = lim M n k = M . n →∞ n →∞
n n 由夹逼定理 lim n a 1n + a 2 + L + a k = M . n →∞
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2.用极限存在准则2 2.用极限存在准则2，证明并求函数的极限 用极限存在准则 例 4 设 a > 0, x 1 > 0, x n + 1 = （记录） 记录） 单调减少且有下界； （1）证明：数列 {x n } 单调减少且有下界； ）证明： （2）求 lim x n . ） n→∞ 证明： ） 证明： 1）显然 x n ≥ 0(n ≥ 1). （
满足下列条件： 准则1： 准则 ：如果数列{x n }, {y n }及 {z n }满足下列条件： (1) y n ≤ x n ≤ z n (n = 1,2,3, L), (2 )lim y n = a , lim z n = a ,
n→ ∞ n→∞
则数列 {x n }的极限存在 , 且 lim x n = a .
(x→∞ )
x → x0
(x→∞ )
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满足下列条件： 准则1： 准则 ：如果数列{x n }, {y n }及 {z n }满足下列条件： (1) y n ≤ x n ≤ z n (n = 1,2,3, L), (2 )lim y n = a , lim z n = a ,
n→ ∞ n→∞
则数列 {x n }的极限存在 , 且 lim x n = a .
2
A D
B
C
S ∆ AOC
S ∆ DOC
1 1 1 1 = AB ⋅ OC = AB = sin x , S扇形AOC = x , 2 2 2 2
1 1 1 = DC ⋅ OC = DC = tan x , 2 2 2
sin x < x < tan x ,
10
1 1 1 sin x < x < tan x , 2 2 2
n→ ∞
准则 1′
(2 ) xlim g ( x ) = →x
(x→∞ )
0
(1 )当 x ∈ U ( x 0 , r )(或 x
若 o
A , lim h ( x ) = A ,
x → x0 (x →∞ )
x → x0
> M )时 , 有 g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h ( x )
则 lim f ( x )存在 , 且 lim f ( x ) = A .
1 a xn + , ( n = 1,2, L). 2 xn
1 a 1 a xn + ≥ ⋅ 2 ⋅ x n ⋅ = a , 数列 {x n } 有下界； 由于 xn+1 = 有下界； 2 2 xn xn 2 a − xn 1 a ≤ 0. 又因为 xn+1 − xn = xn + − xn = 2 xn 2 xn
1
第五节 极限存在准则 两个重要极限
sin x 重要极限: x →0 夹逼准则 推出 重要极限 lim x = 1
应
重要极限: 重要极限 极限存在准则 单调有界数列 必有极限
推出
1 lim 1 + = e x →∞ x
x
用
柯西极限存在准则
2
一、极限存在准则及重要极限
1.极限存在准则 1.极限存在准则 ①夹逼准则 （夹逼定理） 夹逼定理）
n n M ≤ n a 1n + a 2 + L + a k ≤ M n k .
解： 设 M = max{a 1 , a 2 , L , a k }, 则有
M ≤ a + a +L+ a ≤ M k.
n n 1 n 2 n k n
可以作为已知 极限的极限
lim n a = 1(a > 0),
n →∞
n→∞
对于单调有界数列 , 情形 (1)显然不能发生 ,
∴ xn → A(n → ∞ )
5
(3)准则 *柯西（Cauchy)收敛准则 准则3 柯西 收敛准则: 准则 柯西（ 收敛准则
数列 {x n } 收敛的充分必要条件是 ： ∀ ε > 0， ∃ N > 0，当 m > N , n > N 时， 恒有 x n − x m < ε
单调减少。 数列{x n } 单调减少。
数列的极限必然存在， （2）由（1）知，数列的极限必然存在，设 lim x n = A. ） ） n→∞ 则 lim x n +1
n→∞
1 a xn + , = lim n →∞ 2 xn
1 a 即 A = A + , 2 A
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2.两个重要极限 2.两个重要极限
sin x lim =1 x →0 x
变形 1 lim 1 + = e x →∞ x
x
lim (1 + x ) = e
x →0 1 x
lim u ( x ) = 0
x→⊗
lim u ( x ) = ∞
x→⊗
lim u ( x ) = 0
x→⊗
sin u ( x ) lim =1 x→⊗ u(x )
证明： 证明： 因 所以 对
lim
n→ ∞
y n = a , lim z n = a
n→ ∞
n→ ∞
∀ ε > 0 , ∃ N 1 > 0 , 当 n > N 1 时，有 y n − a < ε 又 ∃ N 2 > 0 , 当 n > N 2 时，有 z n − a < ε
取N = max{N1 , N 2 }, 则当n > N时，有 y n − a < ε ， n − a < ε 同时成立，即 z 同时成立，
sin x lim = 1. x→0 x
注 在上面的证明中 , 还得到一个重要不等式 ：
π (2 ) sin x ≤ x 当 x < 时 2 π Q sin x ≤ 1 < , ∴ 当 x ≥ π 时 , (2 )式仍成立 . 2 2
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n n n 例3 设 a i ≥ 0(i = 1,2, L , k ), 求 lim n a 1 + a 2 + L + a k . n →∞ 记录） （记录） 分析： 分析： 设 M = max{a 1 , a 2 , L , a k },
n项
1 1 1 ≤ 2 + 2 +L+ 2 2 n 41 44 2 44444 2 n +n 1+4 n + 2 4 3
n项
≤
1 1 1 n + 2 +L+ 2 = 2 2 n + 4 n +1 n +1 141 44244443 n + 1