2014届广东省揭阳一中、金山中学高三三模联考理科数学试题(含答案解析)
【2014揭阳高考】广东省揭阳市2014届高三考前训练数学(理科)试卷
广东省揭阳市2014届高三考前训练数学（理科）试卷一、选择题：1.已知集合2{0,1,2,3,4},{|20}U A x x x ==-=，则U A ð=A ．{1,2,3}B ．{0,1,3,4}C ．{1,3,4}D ．{0,3,4}2. 复数32i1i +等于 A.1i - B. 1i -+ C. 1i + D.1i --3.已知1sin cos 3αα+=，则22cos ()14πα--= A.89 B. 1718 C. -89 D. 23- 4．已知数列{n a ｝是各项均为正数的等比数列，若2342,216a a a =+=，则5a = A.4 B.8 C.16 D.32 5. 关于函数3()31f x x x =-+，下列说法正确的是 A ．()f x 是奇函数且x=-1处取得极小值 B ．()f x 是奇函数且x=1处取得极小值 C ．()f x 是非奇非偶函数且x=-1处取得极小值 D ．()f x 是非奇非偶函数且x=1处取得极小值6.一简单组合体的三视图及尺寸如图（1）所示，则该组合体的体积是 图（1）A. 76B. 80C. 96D. 1127.已知不共线的平面向量a ，b ，c ，两两所成的角相等，且｜a ｜＝1，｜b ｜＝1 ｜c ｜＝3，则｜a ＋b ＋c ｜等于A ．2 B.5 C.2或58.各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生不同的填报专业志愿的方法有A.210种B. 180种C.120种D.95种 二、填空题9.若函数()y f x =是函数1()2x y =的反函数，则()f x = .10.在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且a b c <<2sin b A =．则角B 的大小为 ；11. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为的点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为 .12. 图（2）是某算法的程序框图，当输出的结果100>T 时，整数s 的最小值 是 .13. 已知O 是坐标原点，点()1,0A -，若()y x M ,为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+212y x y x上的一个动点，则 OA OM +的最小值是 . 14．(几何证明选做题)如图（3），AB 是圆O 的直径，延长AB 至C ，使图（2） 2AB BC =，且2BC =，CD 是圆O 的切线，切点为D ，连接AD ，则CD =________，DAB ∠=________．15.（极坐标与参数方程选讲选做题）极坐标系中，曲线4sin ρθ=-和cos 1ρθ=相交于点,A B ，则AB ＝ . 图（3）三、解答题16． 已知函数1()2sin()3f x x ϕ=+（,02x R πϕ∈<<）的图象过点(2M π.（1）求ϕ的值； （2）设,[0,]2παβ∈，1056(3),(3),1325f f παπβ+=+=-求sin()αβ-的值.OCB AD17．经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下：《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.0ppm ．（1）检查人员从这15条鱼中，随机抽出3条，求3条中恰有条汞含量超标的概率； （2）若从这批数量很大的鱼．．．．．．．．中任选3条鱼，记ξ表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此15条鱼的样本数据来估计．．．这批数量很大的鱼的总体数据，求ξ的分布列及数学期望E ξ．18.如图（4），三棱柱111ABC A B C -的底面是边长2的正三角形，侧棱与底面垂直，且长为D 是AC 的中点．（1）求证：1B C ∥平面1A BD ；（2）求直线1B C 与平面11ABB A 所成角的正弦值； 图（4） （3）在线段1AA 上是否存在一点E ，使得平面11B C E ⊥平面1A BD ，若存在，求出AE 的长；若不存在，说明理由.123556788935567罗非鱼的汞含量（ppm ）19．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点为(30)F ，，其短轴上的一个端点到F的距离为5.（1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 是椭圆C 上的动点，点M 满足||1MF =且0MP MF ⋅=，求||PM 的最小值；（3）设椭圆C 的上下顶点分别为1A 、2A ，点Q 是椭圆上异于1A 、2A 的任一点，直线1QA 2QA 分别于x 轴交于点D 、E ，若直线OT 与过点D 、E 的圆相切，切点为T ，试探究线段OT 的长是否为定值？若是定值，求出该定值，若不是，请说明理由.20. 已知数列{}n a 满足：1211,4a a ==，且11(1)n n n n na n a a a ++--=.(2,)n n N *≥∈ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对一切n N *∈有2221276n a a a +++<.21. 已知函数321,(1)()(1),(1)x x ax bx x f x c e x -⎧-++<⎪=⎨-≥⎪⎩在32,0==x x 处存在极值.（1）求实数b a ,的值；（2）函数)(x f y =的图像上存在两点B A ,使得AOB ∆是以坐标原点O 为直角顶点的直角三角形，且斜边AB 的中点在y 轴上，求实数c 的取值范围； （3）当e c =时，讨论关于x 的方程()f x kx =()k R ∈的实根的个数.（理科）参考答案一、选择题 CB CC DBAC 二、填空题 9.12()log f x x =；10.60°；11.4；12. 5；13.1；14.6π；15..三、解答题 16.解：（1）6πϕ=（2）sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-124533313513565=⨯-⨯=. 17.解：（1）记“15条鱼中任选3条恰好有条鱼汞含量超标”为事件A ，则1251031545()91C C P A C ==， ∴15条鱼中任选3条恰好有条鱼汞含量超标的概率为4591. （2）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率51()153P B ==， ξ可能取0，，2，3.则3318(0)1327P C ξ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭ ，213114(1)1339P C ξ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭，223112(2)1339P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，33311(3)327P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭． 其分布列如下：∴01231279927E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 18.（1）证明：连结DM ，∵三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直 ∴四边形11AA B B 是矩形， ∴M 为1A B 的中点． ∵D 是AC 的中点， ∴MD 是三角形1AB C 的中位线，∴MD ∥1B C ．∵MD ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ， ∴1B C ∥平面1A BD ． （2）解：作CO AB ⊥于O ，连结1B O∵1AA ⊥平面ABC∴平面ABC ⊥平面11AA B B ,且平面ABC平面11AA B B AB =∴CO ⊥平面11ABB A ，∴1CB O ∠为直线1B C 与平面11ABB A 所成的角， 在直角三角形1COB中，∵1CO CB ===∴11sin CO CB O CB ∠===(3)以点O 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立空间直角坐标系O xyz -如图示：若在线段1AA 上存在点E 满足题设，设AE x =，则 (100)A ，，，(100)B -，，，(00C ，，1(10)A ，∴1(02D ，，3(02BD =，，1(230)BA =，，． 设()n x y z =，，是平面1A BD 的法向量，则由100n BD n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，得30220x z x ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，，令x =2y =，3z =， ∴(323)n =-，，是平面1A BD 的一个法向量．∵(10)E x ，，，则1(1C E x =-，11(10C B ，，=--设平面11B C E 的法向量1111()n x y z ，，=，∴111100n C E n C B ，，⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11111)00x x y x ，，⎧-+-+=⎪⎨-=⎪⎩ 令1z =13x =，1y =，1(3n =， 又10n n ⋅=，即0--=，解得x =∴存在点E ，使得平面11B C E ⊥平面1A BD且AE =19．解：（1）354c a b ==∴=，，， ∴椭圆C 的方程为22:12516x y +=.（2）由||1MF =知，点M 在以F 为圆心，以1为半径的圆上， 由0MP MF ⋅=知，MP 为圆F 的切线，M 为切点，故|22|||1PM PF =-, 当|PF|取最小值时，|PM|取最小值，设00(,)P x y ，则2222000925||(3)()253PF x y x =-+=-，又055x -≤≤，当05x =时，2min (||)4PF =，所以min (||)PM =（3）由（1）知椭圆上下顶点坐标分别为12(04),(04)A A -，，, 设点Q 00,)x y （（00x ≠，04y ≠±），则直线1QA 与2QA 的方程分别为：1004:4QA y l y x x --=， 2004:4QA y l y x x ++=， 令0y =分别得000044,44D E x x x x y y =-=-+，∴200020004416||||||||4416x x x OD OE y y y -⋅=⋅=-+-， 又220012516x y +=得22001625(16)x y =-，∴202016||||||2516x OD OE y ⋅==-， 由切割线定理得：2||||||25OT OD OE ==,即线段OT 的长为定值且||5OT =. 20.（1）由11(1)n n n n na n a a a ++--=（2n ≥） 得111n n n n a a +--=⇒1111(1)(1)n n n a na n n +-=-- 即1111(1)(1)n n na n a n n +=---， 整理得：11111(1)1n n na n n a n +-=---， 即当2n ≥时有：121111113,(1)1(2)21n n n a n n a n a --=-==-=---- 解得1(2)32n a n n =≥-，当1n =时，上式也成立，∴1.32n a n =-（2）∵当2n ≥时，22221111(32)91249154(34)(31)n a n n n n n n n ==<=--+-+-- 111()33431n n =--- ∴当2n ≥时，2221211111111[()()()]325583431n a a a n n +++<+-+-++---=1111171()13231326n +-<+⨯=-，当1n =时，21716a =<，综上得：对一切n N *∈有2221276n a a a +++<.21.解（1）当1x <时，2()32f x x ax b '=-++.因为函数f(x)在20,3x x ==处存在极值，所以(0)0,2()0,3f f '=⎧⎪⎨'=⎪⎩解得1,0a b ==. (2) 由（1）得321,(1),()(1),(1),x x x x f x c e x -⎧-+<⎪=⎨-≥⎪⎩根据条件知A ，B 的横坐标互为相反数，不妨设32(,),(,()),(0)A t t t B t f t t -+>. 若1t <，则32()f t t t =-+，由AOB ∠是直角得，0OA OB ⋅=，即23232()()0t t t t t -++-+=，即4210t t -+=.此时无解；若1t ≥，则1()(1)t f t c e -=-. 由于AB 的中点在y 轴上，且AOB ∠是直角，所以B 点不可能在x 轴上，即1t ≠. 由0OA OB ⋅=，即2321()(1)t t t t c e --++⋅-=0，即()11(1)1t c t e -=+-..因为函数()1(1)1t y t e-=+-在1t >上的值域是(0,)+∞，所以实数c 的取值范围是(0,)+∞.（3）由方程()f x kx =，知32,(1),(1)x x x x kx e e x ⎧-+<⎪=⎨-≥⎪⎩，可知0一定是方程的根，所以仅就0x ≠时进行研究：方程等价于2,(10),,(1).x x x x x k e e x x ⎧-+<≠⎪=⎨-≥⎪⎩且构造函数2,(10),(),(1),x x x x x g x e e x x⎧-+<≠⎪=⎨-≥⎪⎩且对于10x x <≠且部分，函数2()g x x x =-+的图像是开口向下的抛物线的一部分， 当12x =时取得最大值14，其值域是1(,0)(0,]4-∞； 对于1x ≥部分，函数()x e e g x x -=，由2(1)()0x e x e g x x-+'=>，知函数()g x 在()1,+∞上单调递增. 所以，①当14k >或0k ≤时，方程()f x kx =有两个实根； ②当14k =时，方程()f x kx =有三个实根； ③当104k <<时，方程()f x kx =有四个实根.。
广东省揭阳一中、金山中学高三数学第三次模拟联考 理【会员独享】
揭阳一中、金山中学－高三第三次模拟联考数学( 理科 )一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知函数()1f x x=-的定义域为M ，()ln(1)g x x =+的定义域为N ，则M N 等于（ ）A ．{|1}x x >-B ．{|1}x x <C ．{|11}x x -<<D ．∅2．若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b 等于（ ）A ．2B ．12C ．12-D ．2-3．若函数21()sin ()2f x x x R =-∈，则()f x 是（ ） A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数4．已知向量(1,)a n =，(1,)b n =-，若2a b -与b 垂直，则a 等于（ ）A ．1B 2C ．2D ．45．曲线xy e =在点2(2,)e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A ．294eB ．22eC ．2eD ．22e6．已知某本个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）A ．340003cm B ．380003cm C ．32000cmD ．34000cm202020正视图侧视图201010俯视图7．设1F 、2F 分别是双曲线2219y x -=的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且120PF PF ⋅=，则12PF PF +等于（ ）A 10B ．10C 5D ．58．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等。
设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为1h 、2h 、h ，则12::h h h 等于（ ）A 3B 32:2C 32:2D 323二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共30分，其中9—13题为必做题，14、15为选做题，考生只选做一题） 9．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(1,),(0)N σσ>，若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为 。
2014届广东省揭阳一中、金山中学高三三模联考理科数学试题(含答案解析)
广东省揭阳一中、金山中学2014届高三三模联考数学理试卷本试卷共4页，21题，满分150分。
考试时间为120分钟。
注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座号写在答题卷密封线内。
2、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答。
3、答案一律写在答题区域内，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。
参考公式标准差公式：()()()[]222211x x x x x x ns n -++-+-=一、选择题（满分40分）1.i 是虚数单位，=-ii1（ ） A ．i 2121+- B ．i 2121+ C ．i 2121- D ．i 2121--2.命题“若α=4π，则tan α=1”的逆否命题是（ ）A.若α≠4π，则tan α≠1B. 若α=4π，则tan α≠1C. 若tan α≠1，则α≠4πD. 若tan α≠1，则α=4π3.ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定4．下列四个命题中，正确的是（ ）A ．已知命题1tan ,:=∈∃x R x p ；命题01,:2>+-∈∀x x R x q ． 则命题“q p ⌝∧”是真命题 B ．已知ξ服从正态分布()2,0δN ，且()4.022=≤≤-ξP ，则()3.02=>ξPC ．设回归直线方程为x y 5.22-=，当变量x 增加一个单位时，y 平均增加2个单位D ．已知直线01:,013:21=++=-+by x l y ax l ,，则21l l ⊥的充要条件是3=ba5.已知向量()()θθcos 2,1,cos ,1=-=b a且b a ⊥,则cos 2θ=（ ）A ．1-B ．0C ．12 D ．26.在等差数列}{n a 中，已知1693=+a a ，则该数列前11项和=11S （ ）(A)58 (B)88 (C)143 (D)1767. 若函数xy 2=图像上存在点（x ，y ）满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则实数m 的最大值为（ ）A ．12 B.2 C. 32D.18．对于正实数α，记M α为满足下述条件的函数f （x ）构成的集合：R x x ∈∀21,且2x ＞1x ,有-α（2x -1x ）＜f （2x ）-f （1x ）＜α（2x -1x ）.下列结论正确的是（ ）A.2121)()(,)(,)(αααα+∈+∈∈M x g x f M x g M x f 则若B.121,)(,)(ααα且若M x g M x f ∈∈＞212)()(ααα-∈-M x g x f ，则C.若2121)()(,)(,)(αααα⋅∈⋅∈∈M x g x f M x g M x f 则D.2121)()(,0)()(,(ααααM x g x f x g M x g M x f ∈≠∈∈则且）若 二、填空题（满分30分）（一）必做题 第9至13题为必做题, 每道试题考生都必须作答．9．从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下（单位：克）125 124 121 123 127则该样本标准差s = （克）（用数字作答）．10．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .11.如图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法．若输入11077m =，2014n =，则输出 m = ． （注：框图中的的赋值符号“＝”也可以写成“←”或“：＝”）12．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若3AF =，则AOB ∆的面积为 . 13．非空集合G 关于运算⊕满足：（1）对任意a 、b G ∈，都有a b G ⊕∈；（2）存在c G ∈，使得对一切a G ∈，都有a c c a a ⊕=⊕=，则称G 关于运算⊕为“融洽集”。
广东省揭阳一中、潮州金山中学2014届高三上学期期中数学理试卷 Word版含答案
2013-2014学年度第一学期高三期中考联考理科数学试题命题人：潮州金山中学本试卷共4页，21题，满分150分。
考试时间为120分钟。
注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座号写在答题卷密封线内。
2、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答。
3、答案一律写在答题区域内，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。
一、选择题（满分40分）1.已知命题p ：1≤∈x cos R x ，有对任意，则（ ）A ．1≥∈⌝x cos R x p ，使：存在B ．1≥∈⌝x cos R x p ，有：对任意C ．1>∈⌝x cos R x p ，使：存在D ．1>∈⌝x cos R x p ，有：对任意2.已知a ÎR 且0a ¹，则“11<a”是 “a >1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 右3.设全集U=R ，A=(2){|21},{|ln(1)}x x x B x y x -<==-，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{|1}x x ≥B ．{|12}x x ≤<C ．{|01}x x <≤D ．{|1}x x ≤4．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是（ ）5. 若,x y满足约束条件2100408x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩,则43z x y =+的最小值为（ )A ．20B ．22C ．24D ．28P6. 将函数sin()3y x π=-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 再将所得的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的解析式是（ ）A ．1sin 2y x =B ．1sin()22y x π=-C.1sin()26y x π=-D.sin(2)6y x π=-7. 已知定义在R 上的周期为2的偶函数)(x f ，当[]1,0∈x 时,22)(x x x f -=,则 )(x f在区间[]2014,0内零点的个数为（ ） A ．3019B ．2020C ．3021D ．30228．在△ABC 中，E 、F 分别为AB ，AC 中点．P 为EF 上任一点，实数x ，y 满足PA +x PB +y PC =．设△ABC ，△PBC ，△PCA ，△P AB 的面积分别为S ，1S ，2S ，3S ，记11S S λ=，22SS λ=，33S Sλ=，则当λ2·λ3取最大值时，2x +y 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．－32D ．32二、填空题（满分30分）（一）必做题: 第9至13题为必做题, 每道试题考生都必须作答． 9．在====∠∆AC BC AB A ABC 则中，若,7,5,120010．函数46y x x =-+-的最小值为11．设数列{}{},n n a b 都是等差数列,若11337,21a b a b +=+=，则55a b +=_____ 12．若函数()y f x =的图象与函数xy 4=的图象关于直线y x =对称，则函数()y f x =的解析式为__________________13．定义：如果函数)(x f y =在定义域内给定区间b][，a 上存在)(00b x a x <<，满足ab a f b f x f --=)()()(0，则称函数)(x f y =是b][，a 上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点。
高三数学月考试题及答案-揭阳市第一中学、金山中学2014届高三模拟联考
2013—2014学年度两校三模联考数学科试题(文科)命题人：揭阳第一中学文科数学备课组本试卷共4页，21题，满分150分．考试时间为l20分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座号写在答题卷密封线内． 2．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答.3. 答案一律写在答题区域内，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1． 若复数2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 1或2 D. -12．设集合{|A x y ==,{|2}xB y y ==，则AB =（ ）A ．02)（，B ．[02]，C ．(1,2]D ．02]（， 3． 某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是( ) A. 8，8 B. 10，6 C. 9，7D. 12，44.已知()1,2=→a ，52=→b ，且→a ∥→b ，则b →为（ ） A.()2,4-B.()2,4C.()2,4-或()2,4-D.()2,4--或()2,45．“1k =”是“直线0x y k -+=与圆221x y +=相交”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6.一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为( ) A ．89 B ．910 C ．1011 D ．11127.已知3x ≥，则11y x x=--的最小值为（ ）A.2B. 72C. 38．数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为a ，且21()n n n S a a n N +=-+∈．若实数x y ，满足3正视图侧视图10x yx yx a⎧-+⎪+⎨⎪⎩，，，≥≥≤则2z x y=+的最小值是（）A．-1 B．12C．5 D．19.已知函数()f x是定义在R上的奇函数，且当(],0x∈-∞时，2()xf x e ex a-=-+，则函数()f x在1x=处的切线方程为( )A．0x y+= B．10ex y e-+-= C．10ex y e+--=D．0x y-=10．对于函数(),y f x x D=∈，若存在常数C，对任意1x D∈，存在唯一的2x D∈，使得C=，则称函数()f x在D上的几何平均数为 C.已知(),[2,f x x D==，则函数()f x在D上的几何平均数为（）A．．3 C．2 D二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡相应横线上.（一）必做题（第11至13题为必做题，每道题目考生都必须作答.）11．在ABC∆中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，,13A a cπ===，则ABC∆的面积S= ______．12.椭圆2221(1)xy aa+=>上存在一点P，使得它对两个焦点1F，2F张角122F PFπ∠=，则该椭圆的离心率的取值范围是13．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的全面积为 .(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题)14．（坐标系与参数方程）在极坐标中，已知点P为方程()cos sin1ρθθ+=所表示的曲线上一动点⎪⎭⎫⎝⎛3,2πQ，则PQ 的最小值为____________．15．（几何证明选讲）如图,以4AB=为直径的圆与△ABC的两边分别交于,E F两点，60ACB∠=，则EF= .CAEF第15题三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的最小正周期为π，且函数()f x 的图象过点,12π⎛⎫-⎪⎝⎭． （1）求ω和ϕ的值； （2）设()()()4g x f x f x π=+-，求函数()g x 的单调递增区间．17．（本小题满分12分）某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[)50,40，[)60,50…[]100,90后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：(1)求分数在[)70,80内的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；（3）用分层抽样的方法在分数段为[)80,60的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[)80,70的概率.18.（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为点B ， 且12AB AC A B ===．（1）求证：11AC ⊥平面11AA B B ；第17（2）若P 为线段11B C 的中点，求四棱锥11P AA B B -的体积.19．（本小题满分14分）在等比数列{a n }中，)(0*N n a n ∈>，公比)1,0(∈q ，且252825351=++a a a a a a ，又a 3与a 5的等比中项为2.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设n n a b 2log =，求数列{b n }的前n 项和S n. （3）是否存在*,k N ∈使得1212nS S S k n+++<对任意*n N ∈恒成立，若存在，求出k 的最小值，若不存在，请说明理由. 20．（本小题满分14分）如图，抛物线21:8C y x=与双曲线22222:1(0,0)x y C a b a b-=>>有公共焦点2F ，点A 是曲线12,C C 在第一象限的交点，且25AF =. （1）求双曲线2C 的方程；（2）以1F 为圆心的圆M 与双曲线的一条渐近线相切，圆N ：22(2)1x y -+=．已知点(1P ，过点P 作互相垂 直且分别与圆M 、圆N 相交的直线1l 和2l ，设1l 被圆M 截 得的弦长为s ，2l 被圆N 截得的弦长为t ． st是否为定值？ 请说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数x x a x x f --+=2)ln()(在点0=x 处取得极值. （1）求实数a 的值；（2）若关于x 的方程b x x f +-=25)(在区间[0，2]上有两个不等实根，求b 的取值范围；（3）证明：对于任意的正整数n ，不等式211ln nn n n +<+.2013—2014学年度两校三模联考数学科 (文科)参考答案及评分说明一．选择题：BDCDA BBABA二．填空题：12. 2，13.，三．解答题：16.解：（1）由图可知222T ππωπ===， ……………………………………………2分 又由()12f π=-得，sin(2)12πϕ⋅+=-，得sin 1ϕ=0ϕπ<<2πϕ∴=， …………4分（2）由（1）知：()sin(2)cos 22f x x x π=+= ……………………6分因为()cos 2cos(2)cos 2sin 22g x x x x x π=+-=+)4x π=+ …………9分 所以，222242k x k πππππ-≤+≤+，即3 (Z)88k x k k ππππ-≤≤+∈. ………11分故函数()g x 的单调增区间为3, (Z)88k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. ………………………12分 17. 解：（1）分数在[)70,80内的频率为：1(0.0100.0150.0150.0250.005)10-++++⨯10.70.3=-=，故0.30.0310=，……2分 如图所示： ----4分（求频率2分，作图2分） （2）平均分为：450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．------------6分（3）由题意，[)60,70分数段的人数为：0.15609⨯=人； ----------------7分[)70,80分数段的人数为：0.36018⨯=人； ----------------8分∵在[)80,60的学生中抽取一个容量为6的样本，∴[)60,70分数段抽取2人，分别记为,m n ；[)70,80分数段抽取4人，分别记为,,,a b c d ； 设从样本中任取2人，至多有1人在分数段[)80,70为事件A ，则基本事件空间包含的基本事件有：(,)m n 、(,)m a 、(,)m b 、(,)m c 、(,)m d 、……、(,)c d 共15种， 则事件A 包含的基本事件有：(,)m n 、(,)m a 、(,)m b 、(,)m c 、(,)m d 、(,)n a 、(,)n b 、(,)n c 、(,)n d 共9种11分∴93()155P A ==． …………………………………………………12分18.（1） 证明：1A B ⊥平面ABC ， …………………1分AC ⊂平面ABC ，1AC A B ∴⊥ …………………2分又AC AB ⊥， ………………3分 AB ⊂平面11AA B B ， 1A B ⊂平面11AA B B ，1A BAB B = AC ∴⊥平面11AA B B …………5分又在三棱柱111ABC A B C -中，11AC AC // 11AC ∴⊥平面11AA B B …………6分（2）解：111224AA B B S AB AB =⨯=⨯=平行四边形………………8分取11A B 的中点R ，连结PR ， 则11PR AC //，111PR A C 1==2………………10分 又11AC ⊥平面11AA B B ，PR ∴⊥平面11AA B B……………12分 故点P 到平面11AA B B 的距离1d =，11111433P AA B B AA B B V S d -∴=⨯⨯=平行四边形…………………14分19. 解：（1）252,252255323825151=++∴=++a a a a a a a a a a ，又5,053=+∴>a a a n ， ………………………………2分 又53a a 与的等比中项为2，453=∴a a ， 而1,4,),1,0(5353==∴>∴∈a a a a q ，………3分n n n a a q --=⨯=∴==∴5112)21(16,16,21 ， ………………………5分 （2）n a b n n -==5log 2， 11-=-∴+n n b b ，4}{1=∴b b n 是以为首项，－1为公差的等差数列. …………… 7分 (9)2n n n S -∴=， ……………9分 （3）由（2）知(9)9,22n n S n n n S n --=∴= 0,8>≤∴n S n n 时当；当0,9==n S n n 时；当0,9<>nSn n 时，.……………11分 31289,18123nS S S S n n∴=++++=当或时最大. …………13分 故存在*,k N ∈使得1212nS S Sk n+++<对任意*n N ∈恒成立，k 的最小值为19.…14分20. 解：（1）∵抛物线21:8C y x =的焦点为2(2,0)F ， ………………………… 1分 ∴双曲线2C 的焦点为1(2,0)F -、2(2,0)F ， ……………………… 2分 设00(,)A x y 在抛物线21:8C y x =上，且25AF =，由抛物线的定义得，025x +=，∴03x =， …………………………3分∴2083y =⨯，∴0y =±， ………………… 4分∴1||7AF ==， …………………… 5分又∵点A 在双曲线上，由双曲线定义得，2|75|2a =-=，∴1a =， ……… 6分∴双曲线的方程为：2213y x -=． …………………………… 7分 （2）s t为定值.下面给出说明. ………………… 8分设圆M 的方程为：222(2)x y r ++=，双曲线的渐近线方程为：y =，∵圆M 与渐近线y =相切，∴圆M 的半径为2r == ………… 9分故圆M ：22(2)3x y ++=， ………………………… 10分设1l 的方程为(1)y k x =-，即0kx y k -=，设2l 的方程为1(1)y x k=--，即10x ky +-=，∴点M 到直线1l 的距离为1d =N 到直线2l 的距离为2d =11分∴直线1l 被圆M 截得的弦长s == ……… 12分直线2l 被圆N 截得的弦长t = ………… 13分∴s t ===s t …………… 14分21. 解：（1）()()()12x x a x a f x x a-+-+'=+由题意， ()00f '= 解得1a = ………………………………2分 （2）构造函数()[]()25()ln 10,22h x x x x x b x ⎛⎫=+----+∈ ⎪⎝⎭，则 ()()224545()2121x x x x h x x x --++-'==-++()()()45121x x x +-=+ 令 ()0h x '= 得 5114x x x =-=-=或或 又知[]0,2x ∈ ∴ 当01x ≤<时，函数()h x 单调递增，当12x <≤函数()h x 单调递减方程5()2f x x b =-+在区间[]02，上有两个不同的实根，等价于函数()h x 在[]02，上有两个不同的零点，则只需()()()0031ln 21022ln 3430h b h b h b =-≤⎧⎪⎪=-+->⎨⎪⎪=-+-≤⎩ 即 01ln 22ln 31b b b ≥⎧⎪⎪<+⎨⎪≥-⎪⎩ ∴ 所求实数b 的取值范围是1ln 31ln 22b -≤<+…………………6分 （3）构造函数()2()ln 1g x x x x =+--，则 ()23()1x x g x x -+'=+ 令 ()0g x '= 解得 302x x ==-或 …………8分 当 10x -<< 时 ()0g x '>，()g x 是增函数当 0x > 时 ()0g x '<，()g x 是减函数 ……………………………10分 ∴ []()max ()00g x g == ∴ ()2ln 10x x x +--≤ 当0x ≠时，有 ()2ln 10x x x +--<取 1x n =，得 2111ln 10n n n⎛⎫⎛⎫+--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即 211lnn n n n ++<．。
广东省揭阳一中、潮州金山中学2014届高三上学期期中联考理数学试卷(解析版)
广东省揭阳一中、潮州金山中学2014届高三上学期期中联考理数学试卷（解析版）一、选择题1）【答案】C【解析】C.考点：全称命题的否定2）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：是 B.考点：1.分式不等式的解法；2.充分必要条件3集合为（）A. B. C.【答案】B【解析】试题分析：由图象知，图中阴影部分所表示的集合由于故B. 考点：1.新定义；2.集合的基本运算4）【答案】A 【解析】A.考点：1.二次函数；2.导数5）A.20B.22C.24D.28 【答案】B【解析】试题分析：作出不等式表示的平面区域如下图所示，作直线B.考点：线性规划 6，再将）【答案】C【解析】C.考点：三角函数图象变换7．） A.3019 B.2020 C.3021 D.3022【答案】D 【解析】D.考点：1.函数的周期性；2.函数的奇偶性；3.函数的零点8）A.B.C.【答案】D【解析】的高为，因此，即，由于当此时中点为相反向量，且D.考点：1.基本不等式；2.平面向量的基底表示二、填空题9【解析】试题分析：，由余弦定理A即考点：余弦定理10的最小值为 .【解析】显然，解法二：考点：含绝对值的不等式11．【解析】试题分析：是和的等差中项，故考点：等差数列的性质12．解析式为 .【解析】试题分析：由反函数考点：反函数的定义13个均值点.例的平均值函数是它的均值点.现有函数的取值范围是 .【解析】试题分析：由题意知，存在1使得，即考点：1.新定义；2.参数分离法14为半径的圆的方程是 .【解析】为圆心，为半径的圆的方程是，展开得化为极坐标方程得i nθ，化简得或考点：1.极坐标与直角坐标的转化；2.圆的标准方程【解析】试题分析：由⊙，由切割线定理得所以直径，由垂径定理知，设x ，由相交弦定理得，即x ，由勾股定理得，故有，解得，考点：1.切割线定理；2.相交弦定理；3.勾股定理；4.射影定理三、解答题16（1（2.【答案】（1（2【解析】试题分析：（1）的零点的集合；（2）利用向量的数量积的定义将函解析式化简为视为一个整体，调递增区间.试题解析：（1sin 20x =，（2)x a b =⋅-π=，即函数考点：1.平面向量的数量积；2.函数的零点；3.三角函数的周期性；4.三角函数的单调性 17（1 （2. 【答案】（1（2【解析】试题分析：（1（2）在（1前提下，然后利用正弦函数的图象确.试题解析：（1，（2<()3<≤f x考点：1.正弦定理；2.三角形的面积公式；3.二倍角公式；4.辅助角公式；5.三角函数的最值18（1（2【答案】（1），；（2），【解析】试题分析：（1（2然后在（1试题解析：（1（2考点：1 2.分组求和法19////.（1（2/（精确到1辆/小时）【答案】（1（2//小时.【解析】试题分析：（1（2）利用（1，然后分别求. 试题解析：（1（2此时函数在处取得最大值，即3>即当车流密度为//小时.考点：1.函数解析式；2.分段函数的最值20（1（2（3.【答案】（1（2）详见解析；（3【解析】试题分析：（1（2）利性质，引入函从而为，构造新函数x，（3）将.试题解析：（1（2，故函数在上单调递增，所以故函在取得极小值，亦即最小值，即，（3，，故函数在上单调递减，所以考点：1.导数的几何意义；2.含绝对值的不等式；3.命题的理解；4.参数分离法21（1（2【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）并对导数进行因式分解，然后对导数方程的根是否在定义域内进行分类讨论，（2）先于此同时，利用分析法将所数利用导数进行证明.试题解析：（1)2aax--=，由于，（2因所当且仅，.所以原题得证.考点：1.分类讨论法；2.函数的单调区间；3.函数不等式。
广东省揭阳一中、金山中学2014届高三三模联考理综试卷 含答案
潮州金中、揭阳一中2014年高考第三次模拟考试理科综合本试卷共12页,36小题,满分300分。
考试用时150分钟注意事项：1。
答卷前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡或答题卷上.用2B铅笔将考生号填涂在答题卡相应的位置上。
2. 选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3。
非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后，将试题与答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量：H-1 C—12 O—16 Na—23 S —32 Cl-35.5第Ⅰ卷选择题(共118分）一、单项选择题:本大题共16小题，每小题4分，共64分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，选对的得4分，选错或不答的得0分.1。
下列关于人体细胞结构和功能的叙述，正确的是A. 在mRNA合成的同时就会有多个核糖体结合到mRNA上B. 唾液腺细胞和胰腺细胞中高尔基体数量较多C. 血红蛋白合成的场所是高尔基体D。
乳酸产生的场所是线粒体2. 科学家通过对前列腺癌细胞系的研究发现,绿茶中的多酚可减少BCL-XL蛋白，而这种蛋白有抑制癌细胞凋亡的作用.这表明绿茶具有抗癌作用的根本原因是由于绿茶细胞中具有A．多酚B．BCL-XL蛋白C．多酚酶基因D．BCL-XL蛋白酶3. 观察到的某生物(2n=6)减数第二次分裂后期细胞如图所示。
下列解释合理的是A. 减数第一次分裂前有一条染色体多复制一次B. 减数第一次分裂中有一对染色体没有相互分离C. 减数第二次分裂前有一条染色体多复制一次D。
减数第二次分裂中有一对染色单体没有相互分离4。
广东省揭阳一中、金山中学高三数学下学期联考试题 理 新人教A版
2014-2015学年度高三第二学期联考数学理试题一．选择题(本大题共8个小题；每小题5分，共40分)1. 已知i 是虚数单位，m 和n 都是实数，且ni i m +=+11)1(,则m nim ni +=-（ ）A.iB.-iC.1i +D.1i - 2. 已知6,10a b a b -=+=r r r r，则a b ⋅=r r（ ）A.1B. 2C.3D.53. 数列{}n a 满足121122,021,1n n n n n a a a a a +≤<⎧=⎨-≤<⎩，若145a =，则2015a =（ ） A ．51 B ．52 C ．53 D ．544. 已知某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（ ）A ．163B ．4C ．143 D ．65.甲、乙两所学校高三级某学年10学成绩平均分用茎叶图如图所示，则甲乙两所学校的平 均分x 及方差2s 的大小关系为（ ）A ．22,x x s s >>乙乙甲甲 B ．22,x x s s ><乙乙甲甲 C ．22,x x s s <<乙乙甲甲 D ．22,x x s s <>乙乙甲甲6. 如图，矩形OABC 内的阴影部分是由曲线()()()sin 0,f x x x π=∈及直线()()0,x a a π=∈与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为14，则a 的值是( )A .712π B.23π C .34π D. 56π7. 下列命题中正确命题的个数是（ ） ①“数列{}n a 既是等差数列，又是等比数列”的充要条件是“数列{}n a 是常数列”；②不等式|1||1|1x y -+-≤表示的平面区域是一个菱形及其内部；甲 乙8 5 4 1 8 6 79 7 5 4 9 0 1 4 5 66 5 10 0 5 5③f(x)是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，x ＞0时的解析式是f(x)＝2x ，则x ＜0时的解析式为f(x)＝－2－x ；④若两个非零向量a b r r 、共线，则存在两个非零实数λμ、，使a b λμr r r +=0.A ．4B ．3C ．2D ．1 8. 定义在[)1+∞，上的函数()f x 满足：①(2)=()(f x cf x c 为正常数）；②当24x ≤≤时，2()=(3)1,f x x -+若函数()f x 的图象上所有极小值对应的点均在同一条直线上，则c =（ ）A.1B.2C. 1或2D. 2或4二．填空题(本大题共7小题，每小题5分，满分30分） （一）必做题（9～13题）9．函数x xy -+=11lg的定义域为集合A ，集合)1,(+=a a B . 若B A ⊆，则实数a 的取值范围为 ；10.在26(1)(1)(1)x x x ++++++L 的展开式中含2x 项的系数为 ；（用数字作答）11．观察式子：2222221311511171,1,1222332344+<++<+++<,由此归纳出一个正确的一般结论为： ； 12.定义某种运算⊕,a b ⊕的运算原理如图所示,设1S x =⊕,[2,2]x ∈-,则输出的S 的最大值与最小值的差为 ；抛物线24y x =的焦点为F ，过点N(3,0)的直线与抛物线 相交于,A B 两点，与抛物线的准线相交于C ，||3BF =， 则BCF ∆与ACF ∆的面积之比为 ；（二）选做题 (考生只能选做一题)14．极坐标系中，圆223sin ρρθ+=的圆心到直线10sin cos ρθρθ+-=的距离是 ．15．如图，圆O 的直径8=AB ，C 为圆周上一点，4=BC ，过C 作圆的切线l ，过点A 作直线l 的垂线AD ，D 为垂足，AD 与圆O 交于点E ，则线段DE 的长度为 ．lE D C BA三．解答题（本小题满分12分）设函数()cos(2)cos 3f x x x xπ=--.(I)求()f x 的最小正周期，并指出由()f x 的图像如何变换得到函数cos 2y x =的图像；(II)ABC ∆中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1()32f A π-=，2b c +=，求a 的最小值．（本小题满分12分）已知某校的数学专业开设了A,B,C,D 四门选修课，甲、乙、丙3名学生必须且只需选修其中一门。
揭阳模数学(理科)参考标准答案(揭阳市高中毕业班高考次模拟考)
ACoyx-2y-6=0揭阳市2014年高中毕业班高考第一次模拟考数学(理科)参考答案一、选择题：DCBD DCCB解析：5.由三视图知，此组合体为一个长为4，宽为3，高为1的长方体、中心去除一个半径为1的圆柱，故其体积为23411112ππ⨯⨯-⨯⨯=-6．由框图知，x 与y 的函数关系为2,(2)23,(25)1.(5)x x y x x x x⎧⎪≤⎪=-<≤⎨⎪⎪>⎩，由y x =得若2x ≤，则20x x x =⇒=或1x =，若25x <≤，则233x x x -=⇒=，若5x >，显然1x x≠，故满足题意的x 值有0,1,3，故选C. 7．如图示，点P 在半圆C 上，点Q 在直线260x y --=上，过圆心 C 作直线的垂线，垂足为A ，则min ||||252PQ CA =-=,故选C.8．由()P A 的定义可知①、④正确，又若,A B ⋂=∅则()(){}P A P B ⋂=∅，设(),n A n =则(())2,nn P A =所以②错误，⑤正确，故选B 。
二、填空题：93；10．15、0.0175；11．6π；12．-3；13．12；14．（1，3）; 15. 33.解析：10.由直方图可知，这100辆机动车中属非正常行驶的有0.0025+0.00520100=15⨯⨯（）（辆），x 的值=[1(0.00250.00500.01000.0150)20]200.0175-+++⨯÷=.11.由(32)a b a -⊥r r r 得2(32)3||20a b a a a b -⋅=-⋅=r r r r r r233||||||cos ,22a b a a b a b ⇒⋅===⋅<>r r r r r r r ，3cos ,,623a b a b π<>==⇒<>=r r r r ．12.设数列{}n a 的公差为d ，由122a a =-得11112()2a a d d a a +=-⇒=--，则311142()a a d a a =+=-+，因10,a >故11114424a a a a +≥⋅=，当且仅当114a a =，即12a =“=”成立，这时3a 取得最大值，由12a =得21a =-，所以3d =-。
广东省揭阳一中、金山中学高三上学期期中联考理数试卷(有答案)-(化学)
开始输入p0,0n S ==广东省揭阳一中、汕头金山中学高三上学期期中联考数学（理科）一. 选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.设复数2)1(12i iz +++=，则复数的共轭复数的模为( ) AB ．1C ．2D 2．已知全集R U =，若集合}{x y y A --==23,⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-=02xx x B ，则=B C A U ( )A ．)3,2[)0,( -∞B ．(],0(2,3)-∞C ．)2,0[D ．)3,0[3．下列说法中，正确的是（ ）A ．命题“若22bm am <，则b a <”的逆命题是真命题B ．命题“存在R x ∈，02>-x x ”的否定是：“任意0,2≤-∈x x R x ”C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题D ．已知R x ∈，则“1>x ”是“2>x ”的充分不必要条件4．在公差不为零的等差数列{}n a 中，23711220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77a b =，则()259log b b 的值为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．15．执行下如图表 1的程序框图，若输出127128s =， 则输入p =（ ）A.6B. 7C.8D.9图表 16．已知某几何体的三视图如图表 2所示，则该几何体的体积为( ) A.163B.643C.803D.4337．已知()(),,1,2,4k Z AB k AC ∈==，若17AB ≤,则B ∠是直角的概率是( )A ．49 B ．13 C ．29 D ．198. 已知222sin cos 0,sin 23cos sin ααααα+=--=则（ ）． A.517-B. 417-C. 516-D.-29. 三棱锥ABC P -中，ABC ∆为等边三角形，PB PA PC PB PA ⊥===,2，三棱锥ABC P -的外接球的表面积为( )A. π48B. π12C. π34D. π33210.已知)1(23)('xf x f x+=，则曲线)(x f 在点0=x 处的切线在x 轴上的截距为（ ）A ．1B ．3ln 5C ．3ln 5-D ．3ln 5111．已知数列}{n a 满足113a =，且()()11n nn a a a n N *+=+∈，则12217111111m a a a =++++++的整数部分是( )A ．0B ．1C ．2D ．312.已知函数)1,0(0),(log 0,12sin )(≠>⎪⎩⎪⎨⎧<->-=a a x x x x x f a π的图象上关于y 轴对称的点至少有5对，则实数a 的取值范围是( )图表 2A. )55,0( B. )1,55( C. )1,77( D. )77,0(二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13. 在16)(yx xy -的二项展开式的17个项中，整式的个数是 .14．已知Ω为xOy 平面内的一个区域.p 点()()20,,0360x y a b x y x x y ⎧⎫-+≤⎧⎪⎪⎪∈≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪+-≤⎩⎩⎭；q 点(),a b ∈Ω.如果p 是q 的充分条件,那么区域Ω的面积的最小值是_________．15．已知双曲线：22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ,直线)y x c =+与双曲线的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠, 则双曲线的离心率为16.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a bc 222sin sin sin sin sin A B C A B C =++三. 且2a =，则ABC ∆的外接圆的半径R =_________ 解答题（第17—21为必做题，第22,23题为选做题，共70分）17.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()11n n q S qa -+=，且()10q q -≠． (1)求{}n a 的通项公式；(2)若3S ，9S ，6S 成等差数列，求证：2a ，8a ，5a 成等差数列．18. (本小题满分12分)为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩（单位：分） ，从甲、乙两 个班级中分别随机抽取5名学生的成绩作样本，如图是样本的茎叶图．规定：成绩不低于120分时为优秀成绩．(1)从甲班的样本中有放回的随机抽取2 个数据，求其中只有一个优秀成绩的概率；(2)从甲、乙两个班级的样本中分别抽取2名同学的成绩，记获优秀成绩的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．19.（本小题满分12分）在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G为AD中点，F是CE的中点．(1)证明BF∥平面ACD；(2)求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小；(3)求点G到平面BCE的距离．20.（本小题满分12分）已知椭圆C 22221(0)x y a b a b+=>>的焦点分别为1(F 、2F ，点P 在椭圆C 上，满足127PF PF =，12tan F PF ∠= (1)求椭圆C 的方程；(2)已知点(1,0)A ，试探究是否存在直线:l y kx m =+与椭圆C 交于D 、E 两点，且使得||||AD AE =？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数()2ln ,f x x x ax a R =+-∈(1)若()f x 在),(00y x P （),22[0+∞∈x ）处的切线方程为2-=y ，求实数a 的值； (2)若()1212,x x x x <是函数()f x 的两个零点， ()f x '是函数()f x 的导函数，证明：1202x x f +⎛⎫'< ⎪⎝⎭请考生在第22,23二题中任选一题作答，解答时请写清题号(如果多答，则按所做的第一题积分) 22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos ()sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是2sin()3πρθ+=:3OM πθ=与直线l 的交点为Q 、与圆C的交点为O 、P ，求线段PQ 的长．23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 设()f x =|1||1|x x -++.(1)求()2f x x ≤+的解集; (2)若不等式|1||21|()||a a f x a +--≥对任意实数0a ≠恒成立，求实数x 的取值范围．数学（理科）参考答案一、选择题：1~5.ABBBB 6~ABD 11~12CD 二、填空题：13. 3; 14. 2; 15.1; 16.332 三、解答题17.解：(1)当n ＝1时，由(1－q )S 1＋qa 1＝1，得a 1＝1． ……2分 当n ≥2时，由(1－q )S n ＋qa n ＝1，得(1－q )S n －1＋qa n －1＝1，两式相减得a n ＝qa n －1， ……4分 又q (q －1)≠0，所以{a n }是以1为首项，q 为公比的等比数列， 故a n ＝q n －1．……6分(2)由(1)可知S n ＝1－a n q1－q ，又S 3＋S 6＝2S 9， ……8分得1－a 3q 1－q ＋1－a 6q 1－q ＝2(1－a 9q )1－q ， ……9分化简得a 3＋a 6＝2a 9， ……10分 两边同除以q 得a 2＋a 5＝2a 8． 故a 2，a 8，a 5成等差数列． ……12分18.解：(1)设事件A 表示“从甲班的样本中有放回的随机抽取2个数据，其中只有一个优秀成绩” ()1223125525p A C =⨯⨯= ……3分 （2）ξ的所有可能取值为0，1，2，3 ……4分()22342255189010050C C p C C ξ⋅====⋅，()211123432422554812110025C C C C C p C C ξ⋅+⋅⋅====⋅ ()111223242422553210C C C C C p C C ξ⋅⋅+⋅===⋅()21121422551325C C C p C C ξ⋅===⋅ ……8分 ξ∴的分布列为ξ∴的数学期望为()9123160123502510255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= ……12分19．解法一：(1)以D 点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，使得x 轴和轴的正半轴分别经过点A 和点E ，则各点的坐标为(0,0,0)D ，(2,0,0)A ， (0,0,2)E ，(2,0,1)B ，(1,0)C ，1(,2F ， ∴3(,0)2BF =-，……2分平面ACD 的法向量为)1,0,0(0)1,0,0(=⋅BF，BF ⊄平面ACD 内 ……3分∴BF∥平面ACD ；………4分 （2）设平面BCE 的法向量为(,,)n x y z =，则n CB ⊥，且n CE ⊥，(1,CB =，(1,2)CE =-，∴020x z x z ⎧-+=⎪⎨--+=⎪⎩，取(1,3,2)n =， ……6分 ∴所求角θ满足(0,0,1)2cos ||n n θ⋅==，∴4πθ=； ……8分（3）由已知G 点坐标为（1，0，0），∴(1,0,1)BG =--，由（2）平面BCE 的法向量为(1,3,2)n =， ……10分∴所求距离3||24||BG n d n ⋅==……12分 解法二：（1）由已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴AB//ED ，设H 是线段CD 的中点，连接FH ，则//FH =12ED ， ∴//FH =AB ……2分∴四边形ABFH 是平行四边形，∴//BF AH ，由BF ⊄平面ACD 内，AH ⊂平面ACD ，//BF ∴平面ACD ； ……4分（2）由已知条件可知ACD ∆即为BCE ∆在平面ACD 上的射影，设所求的二面角的大小为θ，则cos ACDBCES S θ∆∆=， ……6分易求得BC=BE =，CE =1||2BCE S CE ∆==而2|ACD S AC ∆==，∴cos 2ACD BCE S S θ∆∆==，而02πθ<<， ∴4πθ=；……8分（3）连结BG 、CG 、EG ，得三棱锥C —BGE ，由ED ⊥平面ACD ，∴平面ABED ⊥平面ACD ， 又CG AD ⊥，∴CG ⊥平面ABED ，设G 点到平面BCE 的距离为h ，则C BGE G BCE V V --=即1133BGE BCE S GC S h ∆∆⨯=⨯，由32BGE S ∆=，BCE S ∆=，CG =， ……10分∴BGE BCE S GC h S ∆∆⨯===G 到平面BCE 的距离 ……12分20.解(1)依题意71)34(11cos 2221=+=∠PF F ，322||21==c F F 在21PF F ∆中，由余弦定理得21212221221cos ||||2||||||PF F P F P F P F P F F F ∠-+=且||7||21P F P F =，联立解得21||,27||21==P F P F……3分 所以a P F P F 242127||||21==+=+，所以2=a 所以1222=-=c a b ∴所求C 的方程为2214xy +=. ……6分 （2）假设存在直线l 满足题设，设1122(,),(,)D x y E x y ，将y kx m =+代入2214x y +=并整理得222(14)8440k x kmx m +++-=， 由222222644(14)(44)16(41)0k m k m m k ∆=-+-=--->，得2241k m +>-----------①……8分又122814km x x k +=-+设,D E 中点为00(,)M x y ，224(,)1414km mM k k -++ 1AM k k =-，得②2143k m k+=-……10分将②代入①得2221441()3k k k++>化简得42222010(41)(51)0k k k k +->⇒+->，解得k >k <所以存在直线l ，使得||||AD AE =，此时k 为(,)-∞⋃+∞ ……12分21.解：（1）依题意有2ln 0200-=-+ax x x ，02100=-+a x x ， ……2分 消去a 得01ln 200=+-x x ， ),22[0+∞∈x ……3分 1ln )(2+-=t t t h ， ),22[+∞∈t 显然0)1(=h ，且02121)(2≤-=-='tt t t t h 故01ln 200=+-x x 当且仅当10=x ……4分所以32100=+=x x a ……5分 （2）12,x x 是函数()f x 的两个零点有()21111ln 0f x x x ax =+-=()22222ln 0f x x x ax =+-=，相减得121212ln ln x x a x x x x -=++- ……5分 121212121212ln ln 222x x x x f x x a x x x x x x +-⎛⎫'=++-=- ⎪++-⎝⎭ ……6分 所以要证明1202x x f +⎛⎫'< ⎪⎝⎭，只需证明121212ln ln 20x x x x x x --<+-()120x x << 即证明()1212122ln ln x x x x x x ->-+，即证明()12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>*+ ……9分 令12(0,1)x t x =∈，则()()1ln 22g x t t t =+-+ 则()1ln 1g t t t '=+-，()2110g t t t''=-< ()()()()0,1120g t g t g '''∴>=>在上递减，()()()()0,110g t g t g ∴<=在上递增，所以()*成立，即1202x x f +⎛⎫'<⎪⎝⎭………12分22.解：（1）圆C 的普通方程为22(1)1x y -+=， ………2分 又cos ,sin x y ρθρθ==所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ= ………5分（2）设11(,)P ρθ，则由2cos 3ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩ 解得111,3πρθ== ………7分设22(,)Q ρθ，则由(sin )3ρθθπθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩223,3πρθ== ………9分所以||2PQ = ………10分23.解： (1)由()2f x x ≤+得：201112x x x x x +≥⎧⎪≤-⎨⎪---≤+⎩或2011112x x x x x +≥⎧⎪-<<⎨⎪-++≤+⎩或201112x x x x x +≥⎧⎪≥⎨⎪-++≤+⎩………3分 解得02x ≤≤()2f x x ≤+的解集为{|02}x x ≤≤ ………5分（2）|1||21|111112123||a a a a a a a+--=+--≤++-= 当且仅当11120a a ⎛⎫⎛⎫+-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，取等号. ………8分 由|1||21|()||a a f x a +--≥对任意实数0a ≠恒成立，可得|1||1|3x x -++≥ 解得：32x ≤-或32x ≥.故实数x 的取值范围是33(,][,)22-∞-⋃+∞………10分。
有关向量的三角函数
有关向量的三角函数1、 平面向量的坐标运算：若11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a b +),(2121y y x x ++=，a b -),(2121y y x x --=，(,)a x y λλλ=。
2、. 向量a 和b 的数量积：①a ·b =| a |·|b |cos θ，其中θ∈[0，π]为a 和b 的夹角若a =（1x ，1y ）, b =（x2，2y ）, 则2121y y x x b a +=∙3．两向量平行、垂直的充要条件 设a =（1x ，1y ）, b =（2x ，2y ）①a ⊥b ⇔a ·b=0 ，⇔⊥b a a b ∙=1x 2x +1y 2y =0；0//1221=-⇔y x y x b a4、向量的模：==∙2a a a |a |2=x 2+y 2，或|a |=222ay x =+若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=， 222121()()AB x x y y =-+-1．已知向量1(cos ,),(3sin ,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b . (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.2．已知向量a ＝1cos ,2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a·b . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．3、已知向量2(2cos ,3)m x =，(1,sin 2)n x =，函数()f x m n =⋅ （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）在∆ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且3)(=C f ，1=c ，32=ab ，且b a >，求,a b 的值4 已知向量(sin cos )m A A →=，，(31)n →=-，，1=∙n m ，且A 为锐角．(Ⅰ) 求角A 的大小；(Ⅱ) 求函数()cos24cos sin ()f x x A x x =+∈R 的值域．5．设函数23()3sin sin cos (0)2f x x x x ωωωω=-->,且()y f x =的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4π,(Ⅰ)求ω的值 (Ⅱ)求()f x 在区间3[,]2ππ上的最大值和最小值三、解答题 1、（海珠区2014届高三上学期综合测试（二）） 设向量(6cos ,3)a x =-, (cos ,sin 2)b x x =,0,.2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（Ⅰ）若23a =，求x 的值；（Ⅱ）设函数()f x a b =⋅，求()f x 的最值.解：（1）23a =，236323cos x ∴+=， …………………1分∴214cos x =， …………………2分 ∴1,2cosx =± …………………3分 ∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴0,cosx >∴1,2cosx = …………………4分 3x π∴=…………………5分（2）2()6cos 3sin 2f x a b x x =⋅=- …………………6分1cos 263sin 22xx +=⨯- 3cos23sin 23x x =-+ …………………7分 3123cos 2sin 2322x x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭…………………8分 23cos 236x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． …………………9分7[0,](2)[,]2666x x ππππ∈+∈当时，， …………………10分cos 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭3[1,]2∈-，()f x 的最小值为233-+， ………………11分()f x 的最大值为6. ……………12分2、（河源市东江中学2014届高三11月月考）已知向量a ＝(－cos x ，sin x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a ·b ，[0,]x π∈． (1)求函数f (x )的最大值；(2)当函数f (x )取得最大值时，求向量a 与b 夹角的大小．2)由(1)知x ＝π3，a ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32， 8分设向量a 与b 夹角为α，则cos α＝a ·b |a |·|b |＝121×1＝12， 11分∴α＝π3.因此，两向量a 与b 的夹角为π3. 13分3、（揭阳一中、潮州金山中学2014届高三上学期期中联考）已知)3,cos 2(2x a =→-，)2sin ,1(x b =→-，函数1)(-⋅=→-→-b a x f ，1)(2-=→-b x g ． （Ⅰ）求函数)(x g 的零点的集合；（Ⅱ）求函数)(x f 的最小正周期及其单调增区间.解：（Ⅰ）x b x g 2sin 1)(22=-=→- …………3分 由0)(=x g 得()Z k k x x ∈=∴=π202sin 即 ()Z k k x ∈=2π…………5分 故函数)(x g 的零点的集合为{()}Z k k x x ∈=2π…………6分 （Ⅱ）12sin 3cos 21)2sin ,1()3,cos 2(1)(22-+=-⋅=-⋅=→-→-x x x x b a x f )62sin(22sin 32cos π+=+=x x x …………8分∴函数)(x f 的最小周期ππ==22T …………9分 由()Z k k x k ∈+≤+≤+-πππππ226222得()Z k k x k ∈+≤≤+-ππππ63……11分故函数)(x f 的单调增区间为()Z k k k ∈⎥⎦⎤+⎢⎣⎡+-ππππ6,3 …………12分4、（汕头市潮师高级中学2014届高三上学期期中）设函数(),f x a b =⋅其中(2cos ,1),(cos ,3sin 2),a x b x x x R ==∈（1）求函数()f x 的单调减区间；（2）若[,0]4x π∈-，求函数()f x 的值域。
广东省揭阳一中、金山中学2014届高三三模联考数学文试卷 含答案
2013-2014学年度两校三模联考数学科试题（文科)命题人：揭阳第一中学文科数学备课组本试卷共4页，21题，满分150分．考试时间为l20分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座号写在答题卷密封线内．2．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答.3. 答案一律写在答题区域内,不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．一．选择题：本大题共10小题，每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数2(32)(1)aa a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为（ ）A 。
1B 。
2 C. 1或2 D 。
-12．设集合{|A x y ==,{|2}x B y y ==，则A B =（)A ．02)（， B ．[02]， C ．(1,2] D ．02]（， 3． 某校高三一班有学生54人，二班有学生42人,现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演,则一班和二班分别被抽取的人数是( )A. 8,8 B 。
10，6 C 。
9，7 D. 12，44.已知()1,2=→a ，52=→b ，且→a ∥→b ，则b →为( )A 。
()2,4- B.()2,4 C.()2,4-或()2,4- D 。
()2,4--或()2,45．“1k =”是“直线0x y k -+=与圆221x y +=相交”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6.一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为（ ） A ．89B ．910C ．1011D ．11127.已知3x ≥，则11y x x=--的最小值为（ )A.2B. 72C 。
22 D.38．数列{}na 的前n 项和为nS ，首项为a ，且21()nn n Sa a n N +=-+∈．若实数x y ，满足100x y x y x a ⎧-+⎪+⎨⎪⎩，，，≥≥≤则2z x y =+的最小值是（ ）A ．-1B ．12C ．5D ．19。
广东省揭阳一中、金山中学2014届高三数学三模联考试卷 文 新人教A版
2013—2014学年度两校三模联考数学科试题(文科)本试卷共4页，21题，满分150分．考试时间为l20分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座号写在答题卷密封线内． 2．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答.3. 答案一律写在答题区域内，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1． 若复数2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 1或2 D. -12．设集合{|A x y ==,{|2}x B y y ==，则AB =（ ）A ．02)（，B ．[02]，C ．(1,2]D ．02]（， 3． 某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是( ) A. 8，8 B. 10，6 C. 9，7D. 12，44.已知()1,2=→a ，52=→b ，且→a ∥→b ，则b →为（ ） A.()2,4-B.()2,4C.()2,4-或()2,4-D.()2,4--或()2,45．“1k =”是“直线0x y k -+=与圆221x y +=相交”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6.一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为( ) A ．89 B ．910 C ．1011 D ．11127.已知3x ≥，则11y x x=--的最小值为（ ）A.2B. 72C. 38．数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为a ，且21()n n n S a a n N +=-+∈．若实数x y ，满足正视图 侧视图100x y x y x a ⎧-+⎪+⎨⎪⎩，，，≥≥≤则2z x y =+的最小值是（ ）A ．-1B ．12C ．5D ．19.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当(],0x ∈-∞时，2()x f x e ex a -=-+，则函数()f x 在1x =处的切线方程为( )A ．0x y +=B ．10ex y e -+-=C ．10ex y e +--=D ．0x y -=10．对于函数(),y f x x D =∈，若存在常数C ，对任意1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，使得C =，则称函数()f x 在D 上的几何平均数为 C.已知(),[2,f x x D ==，则函数()f x 在D 上的几何平均数为（ ）A ．．3 C ．2D二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡相应横线上. （一）必做题（第11至13题为必做题，每道题目考生都必须作答.） 11．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，,13A a c π===，则ABC∆的面积S= ______．12.椭圆2221(1)x y a a+=>上存在一点P ，使得它对两个焦点1F ，2F 张角122F PF π∠=，则该椭圆的离心率的取值范围是13．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的全面积为 . (二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题) 14．（坐标系与参数方程）在极坐标中，已知点P 为方程()cos sin 1ρθθ+=所表示的曲线上一动点⎪⎭⎫⎝⎛3,2πQ ，则PQ 的最小值为____________．15．（几何证明选讲）如图,以4AB =为直径的圆与△ABC 的两边CEF分别交于,E F 两点，60ACB ∠=，则EF = .三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的最小正周期为π，且函数()f x 的图象过点,12π⎛⎫-⎪⎝⎭． （1）求ω和ϕ的值； （2）设()()()4g x f x f x π=+-，求函数()g x 的单调递增区间．17．（本小题满分12分）某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[)50,40，[)60,50…[]100,90后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：(1)求分数在[)70,80内的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；（3）用分层抽样的方法在分数段为[)80,60的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[)80,70的概率.18.（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为点B ， 且12AB AC A B ===．第17题（1）求证：11AC ⊥平面11AA B B ；（2）若P 为线段11B C 的中点，求四棱锥11P AA B B -的体积. 19．（本小题满分14分）在等比数列{a n }中，)(0*N n a n ∈>，公比)1,0(∈q ，且252825351=++a a a a a a ，又a 3与a 5的等比中项为2.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设n n a b 2log =，求数列{b n }的前n 项和S n. （3）是否存在*,k N ∈使得1212nS S S k n+++<对任意*n N ∈恒成立，若存在，求出k 的最小值，若不存在，请说明理由. 20．（本小题满分14分）如图，抛物线21:8C y x =与双曲线22222:1(0,0)x y C a b a b-=>>有公共焦点2F ，点A是曲线12,C C 在第一象限的交点，且25AF =. （1）求双曲线2C 的方程；（2）以1F 为圆心的圆M 与双曲线的一条渐近线相切，圆N ：22(2)1x y -+=．已知点(1P ，过点P 作互相垂 直且分别与圆M 、圆N 相交的直线1l 和2l ，设1l 被圆M 截 得的弦长为s ，2l 被圆N 截得的弦长为t ． st是否为定值？ 请说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数x x a x x f --+=2)ln()(在点0=x 处取得极值.（1）求实数a 的值； （2）若关于x 的方程b x x f +-=25)(在区间[0，2]上有两个不等实根，求b 的取值范围；（3）证明：对于任意的正整数n ，不等式211ln nn n n +<+.2013—2014学年度两校三模联考数学科 (文科)参考答案及评分说明一．选择题：BDCDA BBABA二．填空题：，12. ，13.，14.三．解答题：16.解：（1）由图可知222T ππωπ===， ………………………………………………2分又由()12f π=-得，sin(2)12πϕ⋅+=-，得sin 1ϕ=0ϕπ<<2πϕ∴=， …………4分（2）由（1）知：()sin(2)cos 22f x x x π=+= ………………………………6分因为()cos 2cos(2)cos 2sin 22g x x x x x π=+-=+)4x π=+ …………9分 所以，222242k x k πππππ-≤+≤+，即3 (Z)88k x k k ππππ-≤≤+∈.………11分 故函数()g x 的单调增区间为3, (Z)88k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.…12分 17. 解：（1）分数在[)70,80内的频率为：1(0.0100.0150.0150.0250.005)10-++++⨯10.70.3=-=，故0.30.0310=，……2分如图所示： ----4分（求频率2分，作图2分） （2）平均分为：450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．------------6分（3）由题意，[)60,70分数段的人数为：0.15609⨯=人； ----------------7分[)70,80分数段的人数为：0.36018⨯=人； ----------------8分∵在[)80,60的学生中抽取一个容量为6的样本，∴[)60,70分数段抽取2人，分别记为,m n ；[)70,80分数段抽取4人，分别记为,,,a b c d ； 设从样本中任取2人，至多有1人在分数段[)80,70为事件A ，则基本事件空间包含的基本事件有：(,)m n 、(,)m a 、(,)m b 、(,)m c 、(,)m d 、……、(,)c d 共15种， 则事件A 包含的基本事件有：(,)m n 、(,)m a 、(,)m b 、(,)m c 、(,)m d 、(,)n a 、(,)n b 、(,)n c 、(,)n d 共9种，-11分∴93()155P A ==． --------------------------------12分18.（1） 证明：1A B ⊥平面ABC ， …………………1分AC ⊂平面ABC ，1AC A B ∴⊥ …………………2分又AC AB ⊥， ………………3分 AB ⊂平面11AA B B ， 1A B ⊂平面11AA B B ，1A BAB B = AC ∴⊥平面11AA B B …………5分又在三棱柱111ABC A B C -中，11AC AC // 11AC ∴⊥平面11AA B B …………6分（2）解：111224AA B B S AB AB =⨯=⨯=平行四边形………………8分取11A B 的中点R ，连结PR ， 则11PR AC //，111PR A C 1==2………………10分又11AC ⊥平面11AA B B ，PR ∴⊥平面11AA B B………………12分 故点P 到平面11AA B B的距离1d =，11111433P AA B B AA B B V S d -∴=⨯⨯=平行四边形…………………14分19. 解：（1）252,252255323825151=++∴=++a a a a a a a a a a ，又5,053=+∴>a a a n ， …………………………………………2分 又53a a 与的等比中项为2，453=∴a a ， 而1,4,),1,0(5353==∴>∴∈a a a a q ，………3分n n n a a q --=⨯=∴==∴5112)21(16,16,21 ， ……………………………5分 （2）n a b n n -==5log 2， 11-=-∴+n n b b ，4}{1=∴b b n 是以为首项，－1为公差的等差数列. …………… 7分(9)2n n n S -∴=， ……………9分 （3）由（2）知(9)9,22n n S n n n S n --=∴= 0,8>≤∴n S n n 时当；当0,9==n S n n 时；当0,9<>nSn n 时，.……………11分 31289,18123n S S S S n n∴=++++=当或时最大.…………………………13分 故存在*,k N ∈使得1212n S S S k n+++<对任意*n N ∈恒成立，k 的最小值为19.…14分20. 解：（1）∵抛物线21:8C y x =的焦点为2(2,0)F ， ……………………………… 1分∴双曲线2C 的焦点为1(2,0)F -、2(2,0)F ， …………………………… 2分 设00(,)A x y 在抛物线21:8C y x =上，且25AF =，由抛物线的定义得，025x +=，∴03x =， …………………………3分∴2083y =⨯，∴0y =±， ……………………… 4分∴1||7AF ==， ………………………… 5分又∵点A 在双曲线上，由双曲线定义得，2|75|2a =-=，∴1a =， ……… 6分∴双曲线的方程为：2213y x -=． ……………………………………… 7分 （2）st为定值.下面给出说明. …………………… 8分设圆M 的方程为：222(2)x y r ++=，双曲线的渐近线方程为：y =，∵圆M 与渐近线y =相切，∴圆M 的半径为2r == (9)分故圆M ：22(2)3x y ++=， ………………………… 10分设1l 的方程为(1)y k x =-，即0kx y k -=，设2l 的方程为1(1)y x k=--，即10x ky +-=，∴点M 到直线1l 的距离为1d =N 到直线2l 的距离为2d =11分∴直线1l 被圆M 截得的弦长s == ……… 12分直线2l 被圆N 截得的弦长t == ………… 13分∴s t ==s t …………… 14分21. 解：（1）()()()12x x a x a f x x a-+-+'=+由题意， ()00f '= 解得1a = ………………………………2分（2）构造函数()[]()25()ln 10,22h x x x x x b x ⎛⎫=+----+∈ ⎪⎝⎭，则 ()()224545()2121x x x x h x x x --++-'==-++()()()45121x x x +-=+ 令 ()0h x '= 得 5114x x x =-=-=或或 又知[]0,2x ∈ ∴ 当01x ≤<时，函数()h x 单调递增，当12x <≤函数()h x 单调递减 方程5()2f x x b =-+在区间[]02，上有两个不同的实根，等价于函数()h x 在[]02，上有两个不同的零点，则只需()()()0031ln 21022ln 3430h b h b h b =-≤⎧⎪⎪=-+->⎨⎪⎪=-+-≤⎩ 即 01ln 22ln 31b b b ≥⎧⎪⎪<+⎨⎪≥-⎪⎩ ∴ 所求实数b 的取值范围是1ln 31ln 22b -≤<+…………………6分 （3）构造函数()2()ln 1g x x x x =+--，则 ()23()1x x g x x -+'=+ 令 ()0g x '= 解得 302x x ==-或 …………8分 当 10x -<< 时 ()0g x '>，()g x 是增函数当 0x > 时 ()0g x '<，()g x 是减函数 ……………………………10分 ∴ []()max ()00g x g == ∴ ()2ln 10x x x +--≤ 当0x ≠时，有 ()2ln 10x x x +--<取 1x n =，得 2111ln 10n n n⎛⎫⎛⎫+--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即 211lnn n n n ++<．。
广东省揭阳一中、潮州金山中学2014届高三上学期期中联考文数学试卷(解析版)
广东省揭阳一中、潮州金山中学2014届高三上学期期中联考文数学试卷（解析版）一、选择题 1．已知{}|10A x x =+>,{}2,1,0,1B =--，则()RA B =ð（ ）A ．{}2,1--B ．{}2-C ．{}1,0,1-D ．{}0,1 【答案】A【解析】试题分析：{}{}101A x x x x =+>=>-，{}1R A x x ∴=≤-ð，(){}2,1R AB ∴=--ð，故选A.考点：集合的基本运算 2．()2121ii +=- （ ）A ．112i --B ．112i -+ C ．112i +D ．112i -【答案】B 【解析】 试题分析：()2121211221ii i i i ++==-+--，故选B. 考点：复数的四则运算3．设p 、q 是简单命题，则“p 或q 是假命题” 是 “非p 为真命题”的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：因为命题“p 或q 是假命题”，故命题p 和q 都是假命题，从而“非p ”为真命题；另一方面，“非p ”为真命题，只能说明命题p 为假命题，不能保证命题q 的真假性，从而命题“p 或q ”的真假性不确定，故“p 或q 是假命题” 是 “非p 为真命题”的充分而不必要条件，故选A.考点：1.简单的逻辑联结词；2.充分必要条件 4．函数()()1lg 11f x x x=++- 的定义域是 （ ） A.(),1-∞- B.()1,+∞ C.()()1,11,-+∞D.(),-∞+∞ 【答案】C 【解析】试题分析：自变量x 满足1010x x -≠⎧⎨+>⎩，解得1x >-且1x ≠，故函数()()1lg 11f x x x =++- 的定义域是()()1,11,-+∞，故选C.考点：函数的定义域5．已知向量()1,1m λ=+，()2,2n λ=+，若()()m n m n +⊥-，则λ=（ ）A.4-B.3-C.2-D.1-【答案】B 【解析】 试题分析：()()m n m n +⊥-，()()0m n m n ∴+⋅-=，即22m n =，所以()()22221122λλ++=++，即263λλ=-⇒=-，故选B.考点：1.向量的垂直；2.向量的数量积6．函数()()3xf x x e =-⋅的单调递增区间是（ ）A.(),2-∞B.()0,3C.()1,4D.()2,+∞ 【答案】D 【解析】 试题分析：()()3x f x x e =-⋅，()()()32x x x f x e x e x e '∴=+-⋅=-⋅，令()0f x '>，即20x ->，解得2x >，故函数()f x 的单调递增区间为()2,+∞，故选D. 考点：利用导数求函数的单调区间 7．如果1t an20131tan αα+=-，那么1ta n 2cos2αα+= （ ）A.2010B.2011C.2012D.2013 【答案】D【解析】 试题分析：()()()222222221tan 1cos sin 2tan 1tan 2tan tan 2cos 2cos sin 1tan 1tan 1tan 1tan αααααααααααααα+++++=+==----+1tan 20131tan αα+==-，故选D.考点：1.二倍角；2.弦化切8．已知O 是坐标原点，点()1,1A -，若点(),M x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则OA OM ⋅的取值范围是（ ）A.[]1,0-B.[]0,1C.[]0,2 D.[]1,2- 【答案】C 【解析】试题分析：OA OM x y ⋅=-+，令z x y =-+，则z 为直线:l z x y =-+在y 轴上的截距，作出不等式组212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩所表示的平面区域如下图所示，作直线:l z x y =-+，当直线l 经过平面区域内的点()1,1A ，此时，直线l 在y 轴上的截距最小，此时z 取最小值，即min 111z =-+=；当直线l 经过平面区域内的点()0,2B ，此时直线l 在y 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即max 022z =-+=，故OA OM ⋅的取值范围是[]0,2，故选C.考点：1.线性规划；2.平面向量的数量积 9．下列说法，正确的是（ ）A. 对于函数()1f x x=，因为()()110f f -⋅<，所以函数()f x 在区间()1,1-内必有零点B. 对于函数()2f x x x =-，因为()()120f f -⋅>，所以函数()f x 在区间()1,2-内没有零点C. 对于函数()32331f x x x x =-+-，因为()()020f f ⋅<，所以函数()f x 在区间()0,2内必有零点D. 对于函数()3232f x x x x =-+，因为()()130f f -⋅<，所以函数()f x 在区间()1,3-内有唯一零点 【答案】C 【解析】试题分析：函数()1f x x=的图象在区间()1,1-不是连续的，另一方面，当10x -<<，()0f x <，当01x <<时，()0f x >，故函数()f x 在区间()1,1-内无零点，故选项A错误；令()0f x =，可得0x =或1x =，故()f x 在区间()1,2-内有两个零点，选项B 错误；由于函数()32331f x x x x =-+-的图象在区间()0,2内连续，且()()020f f ⋅<，所以函数()f x 在区间()0,2内必有零点，选项C 正确；对于函数()3232f x x x x =-+，因为()()130f f -⋅<，所以函数()f x 在区间()1,3-内有零点，另一方面，令()0f x =，即32320x x x -+=，即()()120x x x --=，解得0x =，1x =或2x =，即函数()f x 在区间()1,3-内有三个零点，选项D 错误，综上所述，选C. 考点：零点存在定理10．设()f x 与()g x 是定义在同一区间[],a b 上的两个函数，若函数()()y f x g x =-在[],x a b ∈上有两个不同的零点，则称()f x 和()g x 在[],a b 上是“关联函数”，区间[],a b 称为“关联区间”．若()234f x x x =-+与()2g x x m =+在[]0,3上是“关联函数”，则m 的取值范围为（ ）A.9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦B.[]1,0-C.(],2-∞-D.9,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】试题分析：令()()0f x g x -=，得()()fx g x =，即2342x x x m -+=+，即254m x x =-+，若函数()234f x x x =-+与()2g x x m =+在[]0,3上是“关联函数”，则问题转化为直线y m =与曲线254y x x =-+在区间[]0,3上有两个交点，在同一坐标系中作出直线y m =与曲线254y x x =-+在区间[]0,3图象，由图象知，当924m -<≤-时，直线y m =与曲线254y x x =-+在区间[]0,3上有两个交点，故选A.考点：1.新定义；2.函数的零点二、填空题11．在ABC ∆中，若3a =，b =3A π∠=，则C ∠的大小为_________.【答案】2π 【解析】试题分析：由正弦定理的sin 11sin sin sin 32a b b A B A B a =⇒===，a b >，A B ∴>，故6B π∠=，因此()362C A B πππππ⎛⎫∠=-∠+∠=-+=⎪⎝⎭. 考点：1.正弦定理；2.三角形的内角和定理12．如果等差数列{}n a 中，35712a a a ++=，那么129a a a +++的值为 .【答案】36 【解析】 试题分析：3573124a a a a a++==⇒，()19129599362a a a a a a +∴+++===. 考点：等差数列的性质13．已知函数()3sin 2f x x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象为C ，则下列说法： ①图象C 关于点(),0π对称； ②图象C 关于直线1112x π=对称； ③函数()f x 在区间51212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，内是增函数； ④由3sin 2y x =的图象向左平移6π个单位长度可以得到图象C ．其中正确的说法的序号为 .【答案】②③ 【解析】试题分析：()3sin 23sin 033f ππππ⎛⎫=-=-=≠ ⎪⎝⎭，故图象C 不关于点(),0π对称，命题①错误；111133sin 23sin 3121232f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()f x 取到最小值，故图象C 关于直线1112x π=对称，命题②正确；当51212x ππ-<<，2232x πππ-<-<，故函数()f x 在区间51212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，内是增函数，命题③正确；将函数3sin 2y x =图象向左平移6π个单位长度得到函数()3sin 26h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 3sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，而不是曲线C ，故命题④错误.综上所述，正确的命题序号是②③.考点：1.三角函数的对称性；2.三角函数的单调性；3.三角函数图象变换14．已知函数()()40,0af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值，则a =__________. 【答案】36 【解析】试题分析：当0x >，0a >时，由基本不等式得()4a f x x x =+≥=仅当4a x x =，即当x =时，函数()f x 336a =⇒=. 考点：基本不等式三、解答题15．已知函数()()2sin cos cos2f x x x x x R =+∈. （1）求()f x 的最小正周期和最大值；（2）若θ为锐角，且8f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求tan 2θ的值.【答案】（1）函数()f x 的最小正周期为π2）tan 2θ= 【解析】试题分析：（1）先将函数解析式化简为()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后根据相应公式求出函数()f x 的最小正周期与最大值；（2）先利用83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求出cos 2θ的值，然后利用已知条件确定2θ的取值范围，进而确定sin 2θ的正负，并利用平方关系求出sin 2θ的值，最终求出tan 2θ的值.试题解析：（1）()2sin cos cos 2sin 2cos 224f x x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，22T ππ∴==，即函数()f x 的最小正周期为π， ()max f x =()f x（2）22288423f ππππθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+==⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1cos 23θ∴=，θ为锐角，所以02πθ<<，故02θπ<<，因此sin 20θ>，sin 2θ∴===sin 2tan 23cos 2θθθ∴===考点：1.三角函数的周期性与最值；2.同角三角函数的基本关系 16．设函数()cos f θθθ=+，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点(),P x y ，且0θπ≤≤.（1）若点P的坐标为12⎛ ⎝⎭，求()f θ的值；（2）若点(),P x y 为平面区域1:11x y x y +≥⎧⎪Ω≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数()fθ的最小值和最大值.【答案】（1）()2f θ=；（2）()max 2f θ=，()min 1f θ=. 【解析】试题分析：（1）先利用定义求出sin θ和cos θ的值，然后代入()fθ的表达式中求出()f θ的值；（2）先利用线性规划所表示的可行域求出角θ的取值范围，并将()fθ的表达式化为()2sin 6f πθθ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，结合角θ的取值范围求出6πθ+的取值范围，利用正弦函数的图象确定函数()fθ的最小值和最大值.试题解析：（1）由三角函数的定义知1cos 2θ=，sin θ= ()1cos 222f θθθ∴=+=+=； （2）作出平面区域M （即三角形区域ABC ），如图所示，其中()1,0A 、()1,1B 、()0,1C ，于是02πθ≤≤，又()cos 2sin 6f πθθθθ⎛⎫∴=+=+⎪⎝⎭，且2663πππθ≤+≤， 当62ππθ+=时，即3πθ=时，()max 23f f πθ⎛⎫==⎪⎝⎭， 当66ππθ+=时，即0θ=时，()()min 01ff θ==.考点：1.三角函数的定义；2.三角函数的最值；3.线性规划 17．设函数()323a f x x bx cx d =+++（其中0a >），且方程()90f x x '-=的两个根分别为1、4.（1）当3a =且曲线()y f x =过原点时，求()f x 的解析式； （2）若()f x 在(),-∞+∞无极值点，求a 的取值范围.【答案】（1）()32312f x x x x =-+；（2）实数a 的取值范围是[]1,9.【解析】试题分析：（1）先将3a =代入函数()f x 的解析式，利用“曲线()y f x =过原点”先求出d 的值，然后求出二次函数()()9g x f x x '=-的解析式，利用“1、4为二次方程()90f x x '-=的两个根”并结合韦达定理求出b 、c 的值，最终确定函数()f x 的解析式；（2）先利用“1、4为二次方程()90f x x '-=的两个根”并结合韦达定理确定b 、c 与a 的关系，然后求出()f x '，对0a =与0a ≠进行分类讨论，将()f x 在(),-∞+∞无极值点进行转化，对0a =进行检验；当0a ≠时，得到0∆≤，从而求出实数a 的取值范围.试题解析：（1）当3a =时，()32f x x bx cx d =+++，由于曲线()y f x =过原点，则有()00f d ==，()32f x x bx cx ∴=++，()232f x x bx c '∴=++，令()()()29329g x f x x x b x c '=-=+-+，由题意知，1、4是二次函数()g x 的两个零点，由韦达定理得291433b b -+=-⇒=-， 14123cc ⨯=⇒=，()32312f x x x x ∴=-+； （2）()()()2929g x f x x ax b x c '=-=+-+，由于1、4是二次函数()g x 的两个零点，由韦达定理得2914b a -+=-，14ca⨯=， 解得952a b -=，4c a =，()3295432a a f x x x ax d -∴=+++， ()()2954f x ax a x a '∴=+-+，当0a =时，()9f x x '=，令()0f x '=，解得0x =，当0x <时，()0f x '<，当0x >，()0f x '>，此时0x =为函数()f x 的极小值点，不合乎题意；故0a ≠，由于函数()f x 在(),-∞+∞无极值点，则()295440a a a ∆=--⨯⨯≤，即()()9549540a a a a ---+≤，化简得()()9190a a --≤，解得19a ≤≤， 故实数a 的取值范围是[]1,9. 考点：1.导数；2.韦达定理 18．已知函数()()1ln f x a x a R x=-∈. （1）当1a =-时，试确定函数()f x 在其定义域内的单调性； （2）求函数()f x 在(]0,e 上的最小值；（3）试证明：()111 2.718,n e e n N n +*⎛⎫+>=∈ ⎪⎝⎭.【答案】（1）当1a =-时，函数()f x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞；（2）()()min11,1ln ,aea e ef x a a a a e -⎧≥-⎪⎪=⎨⎪-+-<-⎪⎩；（3）详见解析.【解析】试题分析：（1）先求出函数()f x 的定义域求出，然后将1a =-代入函数()f x 的解析式，求出导数()f x '，并利用导数求出函数()f x 的减区间与增区间 ；（2）求出()f x '，并求出方程()0f x '=的1x a =-，对a 的符号以及1a-是否在区间(]0,e 内进行分类讨论，结合函数()f x 的单调性确定函数()f x 在(]0,e 上的最小值；（3）利用分析法将不等式111n e n +⎛⎫+> ⎪⎝⎭等价转化为11ln 1n n n +>+，然后令1n x n+=，将原不等式等价转化为1ln 1x x+>在()1,+∞，利用（1）中的结论进行证明. 试题解析：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，当1a =-时，()1ln f x x x=+，则()22111x f x x x x-'=-+=， 解不等式()0f x '<，得01x <<；解不等式()0f x '>，得1x >，故函数()f x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞；（2）()1ln f x a x x =-，()211a ax f x x x x+'∴=--=-， 当0a ≥时，()0,x e ∀∈，()0f x '<，此时函数()f x 在区间(]0,e 上单调递减， 函数()f x 在x e =处取得最小值，即()()min 11ln ae f x f e a e e e -==-=； 当0a <时，令()10f x x a '=⇒=-， 当1e a -≥时，即当10a e-≤<，()0,x e ∀∈，()0f x '<，此时函数()f x 在区间(]0,e 上单调递减，函数()f x 在x e =处取得最小值，即()()min 11ln ae f x f e a e e e-==-=； 当10e a <-<，即当1a e <-时，当10x a <<-，()0f x '<，当1x e a-<<时，()0f x '>， 此时函数()f x 在1x a =-处取得极小值，亦即最小值， 即()()min 11ln ln f x f a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-=---=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 综上所述，()()min 11,1ln ,ae a e e f x a a a a e -⎧≥-⎪⎪=⎨⎪-+-<-⎪⎩；（3）要证不等式111n e n +⎛⎫+> ⎪⎝⎭，即证不等式()11ln 11n n ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，即证不等式11ln 11n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭， 即证不等式11ln1n n n +>+， 令111n x n n +==+，则12x <≤ 则11n x =-，故原不等式等价于111ln 111x x x x x ->==-+-， 即不等式1ln 10x x+->在(]1,2上恒成立， 由（1）知，当1a =-时，函数()1ln f x x x =+在区间()1,+∞上单调递增， 即函数()f x 在区间(]1,2上单调递增，故()()11f x f >=， 故有1ln 1x x +>，因此不等式1ln 10x x+->在(]1,2上恒成立，故原不等式得证， 即对任意n N *∈，111n e n +⎛⎫+> ⎪⎝⎭.考点：1.利用导数求函数的单调区间；2.函数的最值；3.分析法证明不等式。
广东省揭阳市2014届高三3月第一次模拟数学(理)试题 Word版含答案
绝密★启用前揭阳市2014年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z满足：34iz i=+，则=zA．1 B．2 C．5 D．52．设函数()f x=M，函数()lg(1)g x x=+的定义域为N，则A.(1,1]M N=- B.M N R= C.[1,)RC M=+∞ D.(,1)RC N=-∞-3．设平面α、β，直线a、b，,a bαα⊂⊂，则“//,//a bββ”是“//αβ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4．下列函数是偶函数，且在[0,1]上单调递增的是A.sin()2y xπ=+ B. 212cos2y x=-C.2y x=- D. |sin()|y xπ=+5．一简单组合体的三视图如图（1）所示，则该组合体的体积为A.16π- B.124π- C.122π- D.12π-6．如图(2)所示的程序框图，能使输入的x值与输出的y值相等的x值个数为A.1B.2C.3D.47．设点P是函数y=图象上的任意一点，图（3）x0.01500频率/组距0.00254060801001200.0100（km/h ）0.0050点(2,3)Q a a - (a R ∈)，则||PQ 的最小值为22-2. 8．定义一个集合A 的所有子集组成的集合叫做集合A 的幂集，记为()P A ，用()n A 表示有限集A 的元素个数，给出下列命题：①对于任意集合A ，都有()A P A ∈；②存在集合A ，使得[()]3n P A =；③用∅表示空集，若,A B ⋂=∅则()()P A P B ⋂=∅；④若,A B ⊆则()()P A P B ⊆；⑤若()()1,n A n B -=则[()]2[()].n P A n P B =⨯其中正确的命题个数为A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9－13题）9．若点(,27)a 在函数3xy =的图象上，则tanaπ的值为 ．10．根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆机动车的行驶速度(单位：km/h)绘制的频率分布直方图如 图(3)所示．该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速 度为60 km/h ～120 km/h ，则该时段内过往的这100辆机 动车中属非正常行驶的有 辆，图中的x 值为 ．11．已知向量a 、b 满足||1,||3a b ==，且(32)a b a -⊥，则a 与b 的夹角为 ．12．已知首项为正数的等差数列{}n a 中，122a a =-．则当3a 取最大值时，数列{}n a 的公差d = ．13．从[0,10]中任取一个数x ，从[0,6]中任取一个数y ，则使|5||3|4x y -+-≤的概率为 ．（二）选做题（14－15题，考生只能从中选做一题） 14.(坐标系与参数方程选做题) 又EK ⊂平面SBC ，∴EA ⊥EK ， ---------------------------------------------------8分同理 AH ⊥KH ，∴E 、H 在以AK 为直径的圆上-----------------------------------------9分（3）方法一：如图，以A 为原点,分别以AB 、AD 、AS 所在的直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系如右图示，---------------------------------------------------------------10分 则S （0，0，2），C （1，1，0），由（1）可得AE ⊥SC ，AH ⊥SC ，∴SC ⊥平面AEKH ，112SC (,,)=-为平面AEKH 的一个法向量，-------------------11分 002AS (,,)=为平面ABCDF 的一个法向量，-------------------12分设平面AEKH 与平面ABCD 所成的锐二面角的平面角为θ，则2|AS SC |cos |cos AS SC||AS ||SC |θ⋅=<⋅>===⋅----------------13分∴平面AEKH 与平面ABCD 分 【方法二： 由SAB SAD ∆≅∆可知SE SHSB SD=,故//EH BD , 又∵EH ⊂面AEKH ，BD ⊄面AEKH , ∴//BD 面AEKH. ----------------------10分 设平面AEKH ⋂平面ABCD=l ，∵//BD 面AEKH ，∴//l BD ----------------------------------------------11分 ∵BD ⊥AC ，∴l ⊥AC ，又BD ⊥SA ，∴BD ⊥平面SAC ，又AK ⊂平面SAC ， ∴BD ⊥AK ，∴l ⊥AK ，∴CAK ∠为平面AEKH 与平面ABCD 所成的锐二面角的一个平面角，--------------------13分cos CAK cos CSA ∠=∠== ∴平面AEKH 与平面ABCD ---------------------------14分】19．解：（1）由222(1)()0n n a n n a n n -+--+=,得2()(1)0n n a n n a ⎡⎤-++=⎣⎦.--------2分由于{}n a 是正项数列,所以2n a n n =+.--------------------------------------------3分由21n n S b =+可得当2n ≥时，1121n n S b --=+，两式相减得1n n b b -=-，---------------5分∴数列{}n b 是首项为1，公比1-的等比数列，1(1).n n b -∴=-------------------------------------------------------------------7分 （2）∵1(21)21(1)(1)n n n n n b n c a n n -++==-⋅+------------------------------------------8分 方法一：∴2124141(41)(21)(41)(21)2(21)2(21)2(21)(21)n n n n n n n n c c n n n n n n n --+-+-+-+=-=-+-+211(21)(21)2121n n n n ==--+-+-----------------------------------------------11分21234212111111()()()13352121n n n T c c c c c c n n -∴=++++++=-+-++--+11 1.21n =-<+----------------------------------------------------------------14分【方法二：∵11(21)2111(1)(1)()(1)1n n n n n n b n c a n n n n --++==-⋅=-⋅+++-----------------11分 2123421211111111()()()()12233445n n n T c c c c c c -∴=++++++=+-+++-++11111()()1 1.21222121n n n n n ++-+=-<-++------------------------------------14分】20.解：(1)依题意知：椭圆的长半轴长2a =，则A (2，0)，设椭圆E 的方程为14222=+by x ------------------------2分由椭圆的对称性知|OC |＝|OB | 又∵0=⋅BC AC ，|BC |＝2|AC | ∴AC ⊥BC ，|OC |＝|AC | ∴△AOC 为等腰直角三角形，∴点C 的坐标为(1，1)，点B 的坐标为(－1，－1) ，----4分将C 的坐标(1，1)代入椭圆方程得342=b∴所求的椭圆E 的方程为143422=+y x ----------------------------------------------5分 （2）解法一：设在椭圆E 上存在点Q ，使得222|QB ||QA|-=，设00Q(x ,y )，则()()()2222220000001126222|QB ||QA|x y x y x y .-=+++---=+-=即点Q 在直线320x y +-=上，---------------------------------------------------7分 ∴点Q 即直线320x y +-=与椭圆E 的交点， ∵直线320x y +-=过点203(,)，而点椭圆203(,)在椭圆E 的内部， ∴满足条件的点Q 存在，且有两个．------------------------------------------------9分【解法二：设在椭圆E 上存在点Q ，使得222|QB ||QA|-=，设00Q(x ,y )，则()()()2222220000001126222|QB ||QA|x y x y x y .-=+++---=+-=即00320x y +-=，--------①---------------------------------------------------7分又∵点Q 在椭圆E 上，∴2200340x y +-=，------------------------------------------②由①式得0023y x =-代入②式并整理得：2007920x x -+=，--------------------------③∵方程③的根判别式8156250∆=-=>， ∴方程③有两个不相等的实数根，即满足条件的点Q 存在，且有两个．------------------9分（3）解法一：设点11P(x ,y )，由M 、N 是O 的切点知，OM MP,ON NP ⊥⊥, ∴O 、M 、P 、N 四点在同一圆上，--------------------------------------------------10分且圆的直径为OP,则圆心为1122x y (,)， 其方程为22221111224x y x y (x )(y )+-+-=，-----------11分 即22110x y x x y y +--=-----④即点M 、N 满足方程④，又点M 、N 都在O 上，∴M 、N 坐标也满足方程2243O :x y +=---------------⑤⑤-④得直线MN 的方程为1143x x y y +=，--------------12分令0y ,=得143m x =，令0x =得143n y =，----------------------------------------13分∴114433x ,y m n ==，又点P 在椭圆E 上， ∴22443433()()m n +=，即2211334m n +==定值------------------------------------14分 【解法二：设点112233P(x ,y ),M(x ,y ),N(x ,y ),则221PM OMx k ,k y =-=----------------10分 直线PM 的方程为2222x y y (x x ),y -=--化简得2243x x y y ,+=-------------------------④ 同理可得直线PN 的方程为3343x x y y ,+=----------------⑤------------------------11分把P 点的坐标代入④、⑤得121213134343x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∴直线MN 的方程为1143x x y y +=，-----------------------------------------------12分令0y ,=得143m x =，令0x =得143n y =，----------------------------------------13分∴114433x ,y m n ==，又点P 在椭圆E 上， ∴22443433()()m n +=，即2211334m n +==定值-----------------------------------14分】 21.（1）证明：要证4()31f x x >-+，即证4ln 201x x +->+，----------------------1分令4()ln 2,1m x x x =+-+则22214(1)()0.(1)(1)x m x x x x x -'=-=≥++----------------------3分∴()m x 在(1,)+∞单调递增，()(1)0m x m ∴>=，4ln 201x x ∴+->+，即4()31f x x >-+成立．-------------------------------------4分 （2）解法一：由()f x x >且(1,)x e ∈可得1,ln x a x->---------------------------------5分令21ln 11(),(),ln (ln )x x x h x h x xx -+-'==------------------------------------------------6分由（1）知2114(1)ln 110,1(1)x x x x x x x --+>+-=>++-----------------------------------8分()0,h x '∴>函数()h x 在(1,)e 单调递增，当(1,)x e ∈时，()()1,h x h e e <=-1a e ∴≥-．--------------------------------------------------------------------9分【解法二：令()ln 1h x a x x =+-，则'()1a a xh x x x-=-=，-------------------------5分当a e >时，'()0h x >，函数()h x 在(1,)e 上是增函数，有()(1)0h x h >=，-------------6分当1a e <≤时，∵函数()h x 在(1,)a 上递增，在(,)a e 上递减，对(1,)x e ∀∈，()f x x >恒成立，只需()0h e ≥，即1a e ≥-．------------------------7分当1a ≤时，函数()h x 在(1,)e 上递减，对(1,)x e ∀∈，()f x x >恒成立，只需()0h e ≥， 而()10h e a e =+-<，不合题意，-------------------------------------------------8分综上得对(1,)x e ∀∈，()f x x >恒成立，1a e ≥-．----------------------------------9分】【解法三：由()f x x >且(1,)x e ∈可得1ln ,1x a x <----------5分 由于ln 1xx -表示两点(,ln ),(1,0)A x x B 的连线斜率，--------6分 由图象可知ln 1xy x =-在(1,)e 单调递减，故当(1,)x e ∈时，ln ln 1,111x e x e e >=---------------------8分1101a e ∴<≤-即1a e ≥--------------------------------------------------------9分】（3）当12a =时，1()ln 1.2f x x =+则121()ln(1)!2n i f i n n +==++∑，要证12()2(1n i f i n +=>+∑，即证12ln 24n i i n +=>+-∑----------------------10分由（1）可知4ln(1)2,2n n +>-+又 42(1)12n n n +=++>>∴<+------------------11分∴ln(1)22n +>=-∴ln 2ln 3ln(1)24[(21)(32)(1)]n n n n ++++>--+-+++-=24n +--------------------------------------------------------------13分故12()2(1n i f i n +=>+∑得证．-----------------------------------------------14分。
广东省揭阳一中、潮州金山中学届高三数学上学期期中试卷 理 新人教A版
2013-2014学年度第一学期高三期中考联考理科数学试题本试卷共4页，21题，满分150分。
考试时间为120分钟。
注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座号写在答题卷密封线内。
2、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答。
3、答案一律写在答题区域内，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。
一、选择题（满分40分）1.已知命题p ：1≤∈x cos R x ，有对任意，则（ ）A ．1≥∈⌝x cos R x p ，使：存在B ．1≥∈⌝x cos R x p ，有：对任意C ．1>∈⌝x cos R x p ，使：存在D ．1>∈⌝x cos R x p ，有：对任意2.已知a ÎR 且0a ¹，则“11<a”是 “a >1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 右3.设全集U=R ，A=(2){|21},{|ln(1)}x x x B x y x -<==-，则 图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{|1}x x ≥B ．{|12}x x ≤<C ．{|01}x x <≤D ．{|1}x x ≤4．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是（ ）5. 若,x y满足约束条件2100408x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩,则43z x y =+的最小值为（ )A ．20B ．22C ．24D ．28 6. 将函数sin()3y x π=-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再P将所得的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的解析式是（ ） A ．1sin 2y x = B ．1sin()22y x π=-C.1sin()26y x π=-D.sin(2)6y x π=-7. 已知定义在R 上的周期为2的偶函数)(x f ，当[]1,0∈x 时,22)(x x x f -=,则)(x f 在区间[]2014,0内零点的个数为（ ）A ．3019B ．2020C ．3021D ．30228．在△ABC 中，E 、F 分别为AB ，AC 中点．P 为EF 上任一点，实数x ，y 满足PA +x PB +y PC =0．设△ABC ，△PBC ，△PCA ，△PAB 的面积分别为S ，1S ，2S ，3S ，记11S S λ=，22SS λ=，33S Sλ=，则当λ2·λ3取最大值时，2x +y 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．－32D ．32二、填空题（满分30分）（一）必做题: 第9至13题为必做题, 每道试题考生都必须作答． 9．在====∠∆AC BC AB A ABC 则中，若,7,5,120010．函数46y x x =-+-的最小值为11．设数列{}{},n n a b 都是等差数列,若11337,21a b a b +=+=，则55a b +=_____ 12．若函数()y f x =的图象与函数xy 4=的图象关于直线y x =对称，则函数()y f x =的解析式为__________________13．定义：如果函数)(x f y =在定义域内给定区间b][，a 上存在)(00b x a x <<，满足ab a f b f x f --=)()()(0，则称函数)(x f y =是b][，a 上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点。
广东省揭阳一中2014届高三上学期第一次阶段考试数学(理)试题(含答案)
2013-2014学年度高三理科数学测试题（一）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题: 本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案写在答题卷的表格中。
1.设a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝xa 的定义域是R ，且为奇函数的所有a 的值是( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,32．若m ＞0且m ≠1，n ＞0，则“log m n ＜0”是“(m －1)(n －1)＜0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是( )A ．y x = B.21y x =- C.32y x =- D.23y x =-+4．函数x xx xe e y e e--+=-的图像大致为( ).5．若函数f (x )＝(a 2－2a －3)x 2＋(a －3)x ＋1的定义域和值域都为R ，则a 的取值范围是( )A ．a ＝－1或3B ．a ＝－1C ．a ＞3或a ＜－1D ．－1＜a ＜36 .若不等式 log a x>sin2x 对于区间⎥⎦⎤ ⎝⎛4,0π内的任意x 都成立，则实数a 的取值范围是( )A. (0,1)B.(0,4π) C. (4π,1) D. (4π,2π)7. 如图是二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象，则函数()ln '()g x x f x =+的零点所在的区间是( )A ．11(,)42B. 1(,1)2C. (1,2)D. (2,3)8.定义在R 上的函数f (x )满足f (x )= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2013）的值为( )A.-1B. 2C.1D. 0第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡的相应位置。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
本试卷共 4 页， 21 题，满分 150 分。考试时间为 120 分钟。 注意事项： 1 、答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座号写在答题卷密封线内。 2 、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答。 3 、答案一律写在答题区域内，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答 案无效。 参考公式 标准差公式： s =
0 0
过 C 作 DABC 的外接圆的切线 CD , BD ^ CD , BD 与 外接圆交于点 E ,则 CD 的长为__________
第 2 页 共 9 页
15.在极坐标系中,点(2,
p )到直线 r sin q = 2 的距离等于_______. 6
三、解答题（本大题共 6 小题，满分 80 分） 16． （本题满分 12 分） 已知函数 f ( x) = 2 sin(wx) ,其中常数 (w > 0) ; （I）若 y = f ( x) 图像与 y = 2 图像交点的最小距离为 （Ⅱ）若 w = 4 ，将 y = f ( x) 图像向右平移
2 2 2
1 1 + i 2 2
1 1 + i 2 2
C．
1 1 - i 2 2
D． -
1 1 - i 2 2
3. DABC 中，若 sin A + sin B < sin C ，则 DABC 的形状是（ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 4．下列四个命题中，正确的是（ ）
2
） D．不能确定
A．已知命题 p : $x Î R, tan x = 1 ；命题 q : "x Î R, x - x + 1 > 0 ． 则命题“ p Ù Øq ”是真命题 B．已知 x 服从正态分布 N 0, d
C．设回归直线方程为 y = 2 - 2.5 x ，当变量 x 增加一个单位时，y 平均增加 2 个单位 D．已知直线 l1 : ax + 3 y - 1 = 0, l2 : x + by + 1 = 0 ,，则 l1 ^ l2 的充要条件是 5.已知向量 a = (1,- cos q ), b = (1,2 cos q ) 且 a ^ b ,则 cos 2q =（ A ． -1 B．0 n的余数 r
m=n
题（10）图
n=r
r =0?
否
11.如图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得 辗转相除法．若输入 m = 11077 ， n = 2014 ，则输出 m= ． （注：框图中的的赋值符号“＝”也可以写成“←” 或“：＝”）
2
是
输出 m
结束
题（ 11）图
12．过抛物线 y = 4 x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点，点 O 是原点，若 AF = 3 ， 则 DAOB 的面积为 . 13． 非空集合 G 关于运算 Å 满足： （1） 对任意 a 、b Î G ， 都有 a Å b Î G ； （2） 存在 c Î G ， 使得对一切 a Î G ，都有 a Å c = c Å a = a ，则称 G 关于运算 Å 为“融洽集” 。现给出下列 集合和运算： ① G = {非负整数}， Å 为整数的加法。 ② G = {偶数}， Å 为整数的乘法。 ③ G = {平面向量}， Å 为平面向量的加法。 其中 G 关于运算 Å 为“融洽集”的是 （写出所有“融洽集”的序号） （二）选做题 第 14、15 题为选做题, 考生只能选做其中一题, 两题全答的, 只计前一题的 得分。 14.如图,在 DABC 中, ÐC = 90 , ÐA = 60 , AB = 20 ,
(
2
) ，且 P(- 2 £ x £ 2) = 0.4 ，则 P(x > 2) = 0.3
r r
r
r
a =3 b
）
1 2 D． 2 2 6.在等差数列 {an } 中，已知 a3 + a9 = 16 ，则该数列前 11 项和 S11 = （
(A)58
x
）
(B)88
(C)143
(D)176
ì x + y -3£ 0 ï 7. 若函数 y = 2 图像上存在点（x，y）满足约束条件 í x - 2 y - 3 £ 0 ，则实数 m 的 ï x³m î 最大值为（ 1 A． 2
2 2 1 x1 - x + x 2 - x + L + xn - x n
[(
) (
)
(
)]
2
一、选择题 （满分 40 分） 1. i 是虚数单位， A． -
i =（ 1- i
B．
）
2.命题“若α=
p ，则 tanα=1”的逆否命题是（ ） 4 p p A.若α≠ ，则 tanα≠1 B. 若α= ，则 tanα≠1 4 4 p p C. 若 tanα≠1，则α≠ D. 若 tanα≠1，则α= 4 4
） B.2 C.
3 2
D.1
第 1 页 共 9 页
8．对于正实数 a ，记 M a 为满足下述条件的函数 f（x）构成的集合： "x1 , x2 Î R 且
x2 ＞ x1 ,有- a （ x2 - x1 ）＜f（ x2 ）-f（ x1 ）＜ a （ x2 - x1 ）.下列结论正确的是（
）
A. 若f ( x ) Î M a 1 , g ( x ) Î M a 2 , 则f ( x ) + g ( x ) Î M a 1+a 2 B. 若f ( x ) Î M a 1 , g ( x ) Î M a 2 , 且a 1 ＞ a 2，则f ( x ) - g ( x ) Î M a 1-a 2 C.若 f ( x ) Î M a 1 , g ( x ) Î M a 2 , 则f ( x ) × g ( x ) Î M a 1×a 2 D. 若f ( x） Î M a 1 , g ( x ) Î M a 2且g ( x ) ¹ 0, 则
f ( x) Î M a1 g( x) a2
124 . 121 123 127
二、填空题（满分 30 分） （一）必做题 第 9 至 13 题为必做题, 每道试题考生都必须作答． 9．从一堆苹果中任取 5 只，称得它们的质量如下（单位：克）125 则该样本标准差 s = （克） （用数字作答） ． 10．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为