不确定关系的简明推导
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Fˆ Gˆ Gˆ Fˆ Fˆ , Gˆ Fˆ F,Gˆ G Fˆ，Gˆ - Fˆ，G - F，Gˆ F，G Fˆ ,Gˆ ikˆ
令非厄米的算符 Aˆ 满足
Aˆ Fˆ iGˆ
kˆ 2 4 Fˆ 2 Gˆ 2 0
所以，有
Fˆ
2
Gˆ
2
k2 4
(2)
上式写成均方根偏差的乘积，则是
k FG 2
(3)
[参考文献]
[1] 周 世 勋 . 量 子 力 学 教 程 [M]. 北 京 : 高 等 教 育 出 版 社 , 2009.
SHI Feng-liang, LI Jing-lin, JING Wen-zhu
( Department of Physics, Tangshan Normal University, Tangshan 063000, China)
Abstract: In this paper, a new method to deduce the Uncertainty relationship is presented by using the property of inner product. Key Words: inner product; uncertainty relation; mean square deviation; mean value; Hermite operators
Aˆ † Fˆ † iGˆ † Fˆ iGˆ
Aˆ † Aˆ 是一个厄米算符，在任意 态的平均值 用内积（标积）的形式写出为[1:p48,3:p59-73,7]：
Aˆ † Aˆ ，Aˆ † Aˆ = Aˆ，Aˆ
0 又因为
Aˆ†Aˆ Fˆ iGˆ Fˆ iGˆ Fˆ 2 2 Gˆ 2 i Fˆ Gˆ Gˆ Fˆ Fˆ 2 2 Gˆ 2 kˆ
1 不确定关系的描述
两 个 力 学 量 厄 米 算 符 Fˆ 和 Gˆ 不 相 互 对 易 时
满足
Fˆ ,Gˆ FˆGˆ GˆFˆ ikˆ
其中， kˆ 是一个线性厄米算符。则一般来讲，它 们不能同时具有确定的值，即 Fˆ 和 Gˆ 在任意 态
的均方偏差不会同时为 0，且它们的乘积要大于
其中， i 是虚数单位， 是与坐标等力学量无关
──────────
收稿日期：2018-08-20
修回日期：2018-12-12
作者简介：石凤良（1965-），男，河北唐山人，硕士，教授，研究方向为理论物理。
-45-
第 41 卷第 3 期
唐山师范学院学报
2019 年 5 月
的实数参量。则其转置共轭算符为
关键词：内积；不确定关系；均方偏差；平均值；厄米算符
中图分类号：O413.1
文献标识码Байду номын сангаасA
文章编号：1009-9115(2019)03-0045-02
DOI：10.3969/j.issn.1009-9115.2019.03.012
A Concise Derivation of the Uncertainty Relation
第 41 卷第 3 期 Vol.41 No.3
物理科学与技术
唐山师范学院学报 Journal of Tangshan Normal University
不确定关系的简明推导
石凤良，李敬林，景稳柱
（唐山师范学院 物理系，河北 唐山 063000）
2019 年 5 月 May 2019
摘 要：利用内积的性质，提出一种新方法推导不确定关系。
所以，算符 Aˆ† Aˆ 在任意 态的平均值可以写成：
Aˆ†Aˆ 2 Gˆ 2 kˆ Fˆ 2
Gˆ
2
2
kˆ
Fˆ
2
(1)
0
其中，
2 2，
是一个与坐标等力学量无关的实数参变
量[1,2,5]，(Gˆ )2 、kˆ 为正数[7]。所以，式(1)对应以 为自变量、实系数开口向上的抛物线，其判别 式为
育,2014,35(20):48-50. [7] 胡孟军.浅谈不确定关系[J].大学物理,2013,(2):57-58.
（责任编辑、校对：侯 宇）
-46-
在量子力学教科书中，不确定关系的推导过 程介绍得都比较详细，但繁琐且难于理解。有的 需 要 借 助 不 常 用 的 特 殊 定 积 分 [1: p79 -8 0,2 ,3 :p65 -66 ] ，有 的需要引入学生未接触过的施瓦兹不等式[4,5.6]。 因此，这一节的教学效果往往不理想。为了解决 这一问题，提高教学效果，笔者利用内积的性质， 提出一种新方法推导不确定关系。
一个正数，即
Fˆ
2
Gˆ
2 k2 4
2 不确定关系的简明推导
厄米算符 Fˆ 和 Gˆ 在其平均值 F 、G 附近的涨 落算符可以表示为[2]：
Fˆ Fˆ F ， Gˆ Gˆ G
并且满足 Fˆ † Fˆ ， Gˆ † Gˆ
则（Fˆ）2、（Gˆ）2 都是厄米算符。厄米算符的平 均值一定是实数[5,p61]，所以有
[2] 汪德新.量子力学[M].北京:科学出版社,2008:82-83. [3] 曾谨言.量子力学教程[M].北京:科学出版社,2003. [4] 井孝功.量子力学[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,
2004:137-138. [5] 宋鹤山.量子力学[M].大连:大连理工大学出版社,2006:
64-65. [6] 曾彦飞.柯西-施瓦兹不等式与不确定关系[J].化学教
令非厄米的算符 Aˆ 满足
Aˆ Fˆ iGˆ
kˆ 2 4 Fˆ 2 Gˆ 2 0
所以，有
Fˆ
2
Gˆ
2
k2 4
(2)
上式写成均方根偏差的乘积，则是
k FG 2
(3)
[参考文献]
[1] 周 世 勋 . 量 子 力 学 教 程 [M]. 北 京 : 高 等 教 育 出 版 社 , 2009.
SHI Feng-liang, LI Jing-lin, JING Wen-zhu
( Department of Physics, Tangshan Normal University, Tangshan 063000, China)
Abstract: In this paper, a new method to deduce the Uncertainty relationship is presented by using the property of inner product. Key Words: inner product; uncertainty relation; mean square deviation; mean value; Hermite operators
Aˆ † Fˆ † iGˆ † Fˆ iGˆ
Aˆ † Aˆ 是一个厄米算符，在任意 态的平均值 用内积（标积）的形式写出为[1:p48,3:p59-73,7]：
Aˆ † Aˆ ，Aˆ † Aˆ = Aˆ，Aˆ
0 又因为
Aˆ†Aˆ Fˆ iGˆ Fˆ iGˆ Fˆ 2 2 Gˆ 2 i Fˆ Gˆ Gˆ Fˆ Fˆ 2 2 Gˆ 2 kˆ
1 不确定关系的描述
两 个 力 学 量 厄 米 算 符 Fˆ 和 Gˆ 不 相 互 对 易 时
满足
Fˆ ,Gˆ FˆGˆ GˆFˆ ikˆ
其中， kˆ 是一个线性厄米算符。则一般来讲，它 们不能同时具有确定的值，即 Fˆ 和 Gˆ 在任意 态
的均方偏差不会同时为 0，且它们的乘积要大于
其中， i 是虚数单位， 是与坐标等力学量无关
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收稿日期：2018-08-20
修回日期：2018-12-12
作者简介：石凤良（1965-），男，河北唐山人，硕士，教授，研究方向为理论物理。
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第 41 卷第 3 期
唐山师范学院学报
2019 年 5 月
的实数参量。则其转置共轭算符为
关键词：内积；不确定关系；均方偏差；平均值；厄米算符
中图分类号：O413.1
文献标识码Байду номын сангаасA
文章编号：1009-9115(2019)03-0045-02
DOI：10.3969/j.issn.1009-9115.2019.03.012
A Concise Derivation of the Uncertainty Relation
第 41 卷第 3 期 Vol.41 No.3
物理科学与技术
唐山师范学院学报 Journal of Tangshan Normal University
不确定关系的简明推导
石凤良，李敬林，景稳柱
（唐山师范学院 物理系，河北 唐山 063000）
2019 年 5 月 May 2019
摘 要：利用内积的性质，提出一种新方法推导不确定关系。
所以，算符 Aˆ† Aˆ 在任意 态的平均值可以写成：
Aˆ†Aˆ 2 Gˆ 2 kˆ Fˆ 2
Gˆ
2
2
kˆ
Fˆ
2
(1)
0
其中，
2 2，
是一个与坐标等力学量无关的实数参变
量[1,2,5]，(Gˆ )2 、kˆ 为正数[7]。所以，式(1)对应以 为自变量、实系数开口向上的抛物线，其判别 式为
育,2014,35(20):48-50. [7] 胡孟军.浅谈不确定关系[J].大学物理,2013,(2):57-58.
（责任编辑、校对：侯 宇）
-46-
在量子力学教科书中，不确定关系的推导过 程介绍得都比较详细，但繁琐且难于理解。有的 需 要 借 助 不 常 用 的 特 殊 定 积 分 [1: p79 -8 0,2 ,3 :p65 -66 ] ，有 的需要引入学生未接触过的施瓦兹不等式[4,5.6]。 因此，这一节的教学效果往往不理想。为了解决 这一问题，提高教学效果，笔者利用内积的性质， 提出一种新方法推导不确定关系。
一个正数，即
Fˆ
2
Gˆ
2 k2 4
2 不确定关系的简明推导
厄米算符 Fˆ 和 Gˆ 在其平均值 F 、G 附近的涨 落算符可以表示为[2]：
Fˆ Fˆ F ， Gˆ Gˆ G
并且满足 Fˆ † Fˆ ， Gˆ † Gˆ
则（Fˆ）2、（Gˆ）2 都是厄米算符。厄米算符的平 均值一定是实数[5,p61]，所以有
[2] 汪德新.量子力学[M].北京:科学出版社,2008:82-83. [3] 曾谨言.量子力学教程[M].北京:科学出版社,2003. [4] 井孝功.量子力学[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,
2004:137-138. [5] 宋鹤山.量子力学[M].大连:大连理工大学出版社,2006:
64-65. [6] 曾彦飞.柯西-施瓦兹不等式与不确定关系[J].化学教