高中数学不等式证明中的构造函数策略

不等式证明中的构造函数策略

有些不等式证明问题，如能根据其结构特征，构造相应的函数，从函数的单调性或有界性等角度入手，则可以顺利得到证明。把握这种构造函数的证题策略，有利于证明一些用常规方法难以证明的命题.

一、构造一次函数证明不等式

例1. 设0

分析：把结论的左式看成以x为主元的一次函数，利用一次函数的单调性即可得证.

证明：设f(x)=x(1－y)+y(1－z)+z(1－x) =(1－y－z)x+(y+z－yz)（0

∴f(0)= y + z－yz =1－(1－y)(1－z)<1 f(1)= 1－yz <1

∴当x∈(0，1)时，f(x)<1

即x(1－y) + y(1－z) + z(1－x) <1

评注：⑴f(x) = (1－y－z)x + (y+z－yz)在x∈(0，1)上的图象是线段（不含端点），故f(x)<1⇔f(0)<1且f(1)<0.

⑵本题也可就1－y－z在（－1，1）内的不同情况分类说明.

二、构造二次函数证明不等式

例2.若0

b

1

，求证：b－b2 <

1

1

+

a

.

分析：结论即b2－b+

1

1

+

a

>0，可将左式

看成是以b为主元的二次函数（其中0

a

1

），再予以证明.

证明：令b=x，由0

b

1

，得x=b∈(0，a

1

).构造二次函数f(x)=x2－x+

1

1

+a

， x∈

(0，

a

1

).其对称轴为x=

2

1

⑴当

a

1

≤

2

1

，即a≥2时，f(x)在(0，

a

1

)上单调递减.于是

f(x)>f(

a

1

)=

)1

(

1

1

1

1

1

2

2+

=

+

+

-

a

a

a

a

a

>0

⑵当

a

1

>

2

1

，即0

f(x) > f(

2

1

) =

1

1

+

a

－

4

1

>0

综上，当x∈(0，

a

1

)时，f(x) = x2－x + 1

1

+

a

>0恒成立,即不等式b－b2<

1

1

+

a

成立.

评注：1、本题旨在构造二次函数，并对

定轴x=

2

1

与动区间（0，

a

1

）间的不同位置情

况分类讨论。

2、本题也可将结论转化为(b－b2)a + (b

－b 2

)－1<0（0

b

1），把左式看作是以a 为主元的一次函数，再予以证明.

三、构造分式函数证明不等式

例 3. 设a 、b 、c ∈R +

，且a+b>c ，求证

c

c

b b a a +>

+++111. 分析：不等式中各项的结构相同，只是字

母不同，故可构造分式函数f(x) = x

x

+1进

行证明.

证明：构造函数f(x) = x x +1 = 1－

x

+11

（x ∈R +

），易证函数f(x)在其定义域R +

上是单调递增函数.

∵a+b>c>0，∴f (a+b) > f(c)，

即 c c

b a b a +>

+++11 又 b a b a b a a b a a b b a a +++=

+++++>+++11111 故c

c b b a a +>

+++111. 评注：函数与不等式之间如同一对孪生兄弟，通过对不等式结构特征的分析，来构造函数模型，常常可以收到出奇制胜的效果.

四、构造三角函数证明不等式

例 4.已知集合M={x | |x|≤1}，x 1、x 2

∈M ，求证x 1x 2 +)1)(1(2

22

1x x --≤1.

分析：分析条件和结论的形式特征及其内在联系，联想到正、余函数的性质和相关公式，可构造三角函数来转化并证明结论.

证明：由题意，构造函数x = f(θ) =cos θ，于是x 1=cos θ1，x 2=cos θ2.

∴x 1x 2 +)1)(1(2221x x --

=cos θ1cos θ2+)cos 1)(cos 1(2212θθ-- =cos θ1cos θ2 +|sin θ1sin θ2| =cos θ1cos θ2±sin θ1sin θ2 =cos(θ1±θ2)≤1

即 x 1x 2 +)1)(1(2

221x x --≤1

评注：对于和三角有一定联系或结构上有相似之处的不等式证明问题，根据题目的特点，合理构造三角函数，利用三角公式和性质进行证明，不失为处理问题的一条捷径. 在不等式证明中，通过构造函数模型来探求证题思路是优化思维品质的有效途径，也是解题者认识问题本质的具体体现.都是“定义

域”惹的祸

函数三要素中，定义域是十分重要的，研

究函数的性质时应首先考虑其定义域．在求解函数有关问题时，若忽视定义域，便会直接导致错解．下面我们举例分析错从何起．

一、求函数解析式时