参数的矩法估计

这是一个参数估计问题 ．
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第七章 参数估计
§1 点估计 §2 估计量的评选标准 §3 区间估计
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第七章 参数估计 §1 点估计 •点估计 点估计 •矩法 矩法 •极大似然法 极大似然法
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第七章 参数估计
§1 点估计
一、点估计问题
§1 点估计
1 n ˆ = X , σ 2 = ∑ ( X i − X )2 ˆ 则 µ n i =1
例4 设总体 X 服从参数为 λ 的指数分布，其中 的指数分布， λ > 0未知， X 1 , X 2 , L , X n 是从该总体中抽取的一 未知， 个样本， 的矩估计． 个样本，试求参数 λ 的矩估计．
估计量是统计量， 估计量是统计量，因而 它是随机变量（一维 维数组． 或多维） 而估计值则是一维或多 维数组． 或多维）；
⑵ 在不引起混淆的情况下 ，我们统称估计量 的估计． 与估计值为未知参数 θ 的估计．
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第七章 参数估计
§1 点估计
二、 矩估计法 为连续型随机变量， 设 X 为连续型随机变量，其 概率密度为
+∞
1
α
ˆ 由此得 α 的矩估计量为 α =
2X − 1 . 1− X
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例2
§1 点估计
设总体 X ~ U [a , b], a , b未知, X 1 , L , X n 是一个样本 , 的矩估计量。 求： a, b的矩估计量。
解：
a+b µ 1 = EX = , 2 2 (b − a ) 2 (a + b) 2 µ 2 = EX = DX + (EX ) 2 = +
a+b = A1 2
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第七章 参数估计
引 言
例：
的指数分布， 设总体 X 是服从参数为 λ 的指数分布，其中参数 λ 未知， λ > 0 ． X 1 , L , X n 是总体 X 的一个样本， 未知， 的一个样本，
的取值， 我们的任务是根据样本 ，来估计 λ 的取值，从 而估计总体的分布． 而估计总体的分布．
ˆ 的估计量； 我们称 θ ( X 1 ,L , X n )为 θ 的估计量；
ˆ 的估计值。 称 θ ( x 1 ,L , x n )为 θ 的估计值。
计问题。 这种对未知参数进行定 值估计的问题就是点估 计问题。
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第七章 参数估计
§1 点估计
注意： 注意：
质的不同： ⑴ 估计量与估计值有着本 质的不同：
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第七章 参数估计
§1 点估计
设某炸药厂一天中发生着火现象的次数X服从 例 1 设某炸药厂一天中发生着火现象的次数 服从
的泊松分布， 未知，有以下样本值； 参数为 λ 的泊松分布， λ未知，有以下样本值； 用矩法）。 试估计参数 λ（用矩法）。
着火的次数 k k次着火天数 发生 k次着火天数 nk 0 1 2 3 4 5 6 75 90 54 22 6 2 1
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第七章 参数估计
2
§1 点估计
2
都存在， 例3 设总体 X的均值 µ，方差 σ 都存在，且 σ > 0, 2 是一个样本； 但µ，σ 未知，又设 X 1 , L , X n 是一个样本； 未知，
的矩估计量。 求： µ , σ 2的矩估计量。
µ 解： 1 = EX = µ , 2 µ 2 = EX = DX + ( EX ) 2 = σ 2 + µ 2 令 µ 1 = A1 , µ 2 = A2 ,
f ( x;θ 1 , L ,θ k ),
X 为离散型随机变量，其 分布列为 为离散型随机变量，
P { X = x } = p( x ;θ 1 , L ,θ k ),
为来自X 其中 θ 1 , L , θ k 是待估参数 , X 1 , L , X n为来自 的样本 .
设
EX l = µ l 存在 , l = 1,2, L , k
的形式为已知， 设总体 X的分布函数 F ( x;θ )的形式为已知， θ 是待 估参数。 估参数。X 1 ,L , X n 是X的一个样本， x 1 ,L , x n 是相 的一个样本， 应的样本值。 应的样本值。
构造一个适当的统计量 θˆ ( X 1 , L , X n )，用它的观察 值 θˆ ( x 1 , L , x n )来估计未知参数 θ 。
n
1 l 令 Al = µl , l = 1,L, k, 其中 Al = ∑ X i n i =1
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则 µ l = µ l (θ 1 , L ,θ k ), l = 1,2, L , k .
第七章 参数估计
§1 点估计
L 的联立方程组， 这是包含 k个未知参数 θ 1， ， θ k 的联立方程组，
这种求估计量的方法称 为矩估计法 .
这种估计量称为矩估计量； 这种估计量称为矩估计量；矩估计量的观察值称为 矩估计量 矩估计值。 矩估计值。 矩法原理： 矩法原理：由辛钦大数定律知
1 n l Al = ∑ X i n i =1
所以我们令
→ µl ,
P
l = 1,2, L , k .
Al = µ l , l = 1, L , k , 用 Al 估计 µ l .
ˆ= 1 ． λ X
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第七章 参数估计
§1 点估计
பைடு நூலகம்
例5 设总体 X 的密度函数为
(α + 1) x α , 0 < x < 1, f (x) = 0, 其它.
为未知参数， 的矩估计． 其中 α > 0 为未知参数，试求参数 α 的矩估计．
解：
α +1 EX = ∫ xf ( x )dx = ∫ x ⋅ (α + 1) x dx = α +2 0 −∞ α +1 令 X = α +2
A1 = µ 1 ( θ 1 ， θ 2 ， L ， θ k A = µ ( θ ， θ ， L， θ 2 2 1 2 k LL LL Ak = µ k ( θ 1 ， θ 2 ， L ， θ k
) )
)
) ) )
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从中解出方程组的解 , 记为 θˆ1， ， θˆk , 即 L
(b − a ) 2 (a + b) 2 + = A2 12 4
12
4
令
即 a + b = 2 A1 ,
b − a = 12( A2 − A12 )
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第七章 参数估计
§1 点估计
例2（续） （
即 a + b = 2 A1 , b − a = 12( A2 − A )
2 1
解得： 解得：
ˆ a = A1 −
3 n 3( A2 − A12 ) = X − ∑ ( X i − X ) 2 n i =1
3 n ˆ = A + 3( A − A 2 ) b 1 2 1 ( X i − X )2 =X+ ∑ n
i =1
1 n 1 n 2 1 n 2 2 2 2 = ∑ ( X i − X )2 A2 − A1 = ∑ X i − X = ( ∑ X i − nX ) n i =1 n i =1 n i =1
∑ = 250
解： µ 1 = EX = λ ,
令 X = λ,
1 n A1 = ∑ X i = X n i =1
ˆ = x = 1 ( 0 × 75 + 1 × 90 + L + 6 × 1) = 1.22 则λ 250
ˆ 所以估计值 λ = 1 . 22。
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第七章 参数估计
ˆ ˆ θ1 = θ1 ( X1 ， X 2 ， L ， X n ˆ ˆ θ 2 = θ 2 ( X 1 ， X 2 ， L ， X n L L L L ˆ ˆ θ = θ ( X ， X ， L ， X k 1 2 n k
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第七章 参数估计
§1 点估计
L L 的估计量， 用 θˆ1， ， θˆk 分别作为 θ 1， ， θ k的估计量，
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第七章 参数估计
§1 点估计
矩法求估计量的步骤： 矩法求估计量的步骤：
1) 求 µ 1 = EX ( µ 2 = EX 2 );
2) 令 A1 = µ 1 ( A2 = µ 2 );
3 ) 解上面方程（组），得 解上面方程（ ），得 θˆ1 = θˆ1 ( X 1 , L , X n ) (θˆ2 = θˆ2 ( X 1 , L , X n )).
解：总体 X 的密度函数为
λ e − λ x , f (x) = 0, x > 0, x ≤ 0.
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第七章 参数估计
所以， 所以， EX =
+∞
−∞
∫ xf ( x )dx = ∫ x ⋅ λe
0
+∞
§1 点估计
−λ x
dx =
1
λ
令
X =
1
λ
,
得参数 λ 的矩估计量为
即 µ = A1 , σ + µ = A2 ,
2 2
ˆ 所以 µ = A1 = X ,
1 n 2 1 n ˆ σ = A2 − A = ∑ X i − X 2 = ∑ ( X i − X ) 2 n i =1 n i =1
2 2 1
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第七章 参数估计
特别， 未知； 特别，若 X ~ N( µ , σ 2 ), µ , σ 2 未知；
第二十一讲2 第七章 参数估计（第二十一讲2）
引
言
在数理统计学中，总体的分布是未知的。 在数理统计学中，总体的分布是未知的。它包括 两种情形： 两种情形： 1）总体分布的类型是已知的，但其中包含未知参数。 ）总体分布的类型是已知的，但其中包含未知参数。 我们的任务就是通过样本来估计这些未知参数。这就 我们的任务就是通过样本来估计这些未知参数。 是参数估计问题。 是参数估计问题。 2） 总体分布的类型是未知的。我们的任务就是通过 ） 总体分布的类型是未知的。 样本来估计总体的分布。这就是非参数估计问题。 样本来估计总体的分布。这就是非参数估计问题。 我们这里只讨论参数估计问题。 我们这里只讨论参数估计问题。