武汉大学固体物理学第四章课件
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固体物理课件
e 2 晶体中有3N个振动模 晶体中有 个振动模 C = k ( ∑ B k T ) (eℏω j / kBT − 1)2 V 1） 爱因斯坦模型 ） j =1 B 假设N个原子构成的晶体 个原子构成的晶体， 假设 个原子构成的晶体，
所有的原子以相同的频率 ω0振动 2） 德拜模型 ） 以连续介质的弹性波来代表格 波，将晶格看作是各向同性的 连续介质
V (r + R) = V (r )
布洛赫定理
具有晶格周期性时， 布洛赫定理 —— 势场 V ( r ) 具有晶格周期性时，电子的波 函数满足薛定谔方程 ℏ2 2 [− ∇ + V ( r )]ψ ( r ) = E ψ ( r ) 2m —— 方程的解具有以下性质
ψ ( r + Rn ) = e ik ⋅R ψ ( r )
ω = 2
−
− i (ωt − naq )
2
β
m
ω
aq sin m 2
−π a
β
π π < q ≤ a a
q=
µn = µn+ N 2π
Na
× h —— h为整数 为整数
π a o 晶格振动波矢的数 目=晶体的原胞数 晶体的原胞数
能量本征值 ε n = ( n q + 1 ) ℏ ω q
q
晶格振动的能量量子； 声子 —— 晶格振动的能量量子；或格波的能量量子 当这种振动模处于 系统能量本征值
原子的振动 —— 晶格振动在晶体中形成了各种模式的波
模型 运动方程 试探解
m µ n = − β (µ n − µ n−1 ) − β (µ n − µ n+1 )
..
一维晶格振动 一维无限长原子链， ， ， 一维无限长原子链，m，a，β
07固体物理第四章8
晶体多粒子系统（N体）的稳态薛定谔方程，
共有化电子动能 离子实动能 共有化电子相互作用能
N NZ 2 2 1 NZ NZ e2 i2 2 n 2 j i j 4 0 r ri rj n 1 2 M i 1 2m 1 N N ( Ze) 2 1 NZ N Ze 2 2 i 1 n 1 4 0 r ri Rn 2 n n m 4 0 r Rn Rm
1928年，年仅23岁的布洛赫（Bloch）提出质疑‚我从来都
不明白，即使是一种近似，像自由电子近似那样的事情是真的， 毕竟一根充满离子的金属丝完全不同于‘空管’，怎么能够忽 略离子场呢？‛ 布洛赫提出，理想晶体原子点阵排列，电子感受到离子库仑 作用周期场，薛定谔方程决定的电子波函数与能量本征值将与 自由电子气模型结果不同，从而创立了固体能带论。
E
离子实相互作用能
离子实与共有化电子相互作用能
2 2 2 2 2 2 2 —— 拉普拉斯算符 x y z (ri , Rn ) —— 系统本征函数
E
—— 系统能量本征值
4.1-2能带论的基本假设和近似
4.1-２
能带论的基本假设和近似
V (ri ) i (ri ) ui (ri ) —— 单电子势（晶格周期场、周期场）
4.1-2 能带论的基本假设和近似
ˆ H i ri E ri
NZ i 1
令电子波函数，
(ri ) 1 (r ) 2 (r2 ) i (ri ) i (ri ) 1
2 2 2m i i (ri ) ui (ri ) ri E ri i 1
固体物理学：第四章总结
2
(r
ki
Rn)
bi 2
eik
，(i
Rn
(r ),
1，2 ，3 )
(r ) (r )
k
kKh
在此范围内k共有N个值(N为晶体原胞数) 。
近自由电子近似
1.模型： 假定周期场起伏较小，而电子的平均动能比其势
能的绝对值大得多。作为零级近似，用势能的平均值V0代替
V(x)，把周期性起伏V(x)-V0作为微扰来处理。
Rs
5.能带宽度： E Emax Emin
费米面的构造法
1.画出布里渊区的广延区图形；
2.画出自由电子费米面(费米面的广延区图)；
N
kF
Z(k )dk
0
kF 0
2N A
2πkdk
πk
2 F
2N A
kF
A
1
2
2π
3.将落在各个布里渊区的费米球片断平移适当的倒格矢进
入简约布里渊区中等价部位；
3.结论：
发生能量不连续的波矢 k 满足的条件可改写为:
Kn
(k
Kn 2
)
0
k'
k
Kn
0
Kn
对于三维的情况，沿各个方向在布里渊区边界E(k)函数是 间断的，但不同方向断开时的能量取值不同，因而有可能使能 带发生重叠。
紧束缚近似
1.模型
晶体中的电子在某个原子附近时主要受该原子势场V
(r
Rm
)
的作用，其他原子的作用视为微扰来处理，以孤立原子的电子
态作为零级近似。
2.势场
V r V (r Rm )
'V
(r
Rn
)
(r
ki
Rn)
bi 2
eik
，(i
Rn
(r ),
1，2 ，3 )
(r ) (r )
k
kKh
在此范围内k共有N个值(N为晶体原胞数) 。
近自由电子近似
1.模型： 假定周期场起伏较小，而电子的平均动能比其势
能的绝对值大得多。作为零级近似，用势能的平均值V0代替
V(x)，把周期性起伏V(x)-V0作为微扰来处理。
Rs
5.能带宽度： E Emax Emin
费米面的构造法
1.画出布里渊区的广延区图形；
2.画出自由电子费米面(费米面的广延区图)；
N
kF
Z(k )dk
0
kF 0
2N A
2πkdk
πk
2 F
2N A
kF
A
1
2
2π
3.将落在各个布里渊区的费米球片断平移适当的倒格矢进
入简约布里渊区中等价部位；
3.结论：
发生能量不连续的波矢 k 满足的条件可改写为:
Kn
(k
Kn 2
)
0
k'
k
Kn
0
Kn
对于三维的情况，沿各个方向在布里渊区边界E(k)函数是 间断的，但不同方向断开时的能量取值不同，因而有可能使能 带发生重叠。
紧束缚近似
1.模型
晶体中的电子在某个原子附近时主要受该原子势场V
(r
Rm
)
的作用，其他原子的作用视为微扰来处理，以孤立原子的电子
态作为零级近似。
2.势场
V r V (r Rm )
'V
(r
Rn
)
(完整PPT)固体物理学
(a)理想石英晶体（b）人造石英晶体
属于同一品种的晶体，两个对应晶面之间的夹角 恒定不变，这一规律称为晶面角守恒定律。
显然，晶面之间的相对方位是晶体的特征因素， 因而常用晶面法线的取向来表征晶面的方位，而以 法线间夹角来表征晶面间的夹角（两个晶面法线间 的夹角是这两个晶面夹角的补角）。
二、晶体的基本性质
显然，WS 原胞也只包含一个格点，因此它与固 体物理学原胞的体积一样，也是最小周期性重复单 元。
3.晶格的周期性
* 一维布喇菲格子
一维布喇菲格子是由一种
原子组成的、无限周期性的 点列，所有相邻原子间的距
a
离均为周期为a，如图所示。
在一维情况下，原胞取原子及周围长度为 a 的区 域。重复单元的长度矢量称为基矢，通常用以某原 子为起点，相邻原子为终点的有向线段 a 表示。
1
2
3
原胞的体积为
a3
简立方体格子的原胞和基矢 选取，如图所示。
a3 ai a2 aj a2 ai a2
尽管由于生长条件的不同，会使同一晶体外型产 生一定的差异。但是对同一种晶体，相应两个晶面 之间的夹角却总是恒定的。即：每一种晶体不论其 外形如何，总具有一套特征性的夹角。
例如，对于石英晶体，在下图中所示的 mm 两面 间的夹角总是60º0' , mR 两面间的夹角总是38º13' , mr 两面间的夹角总是38º13' 。
点之间的距离。
三个基矢不要求相互正交， 且大小一般也不相同。并且， 对于同一个晶格，基矢的选择 也不是唯一的。
* 晶格平移矢量
若选择某一格点为坐标原点，则晶体中任一格点 的位置可以表示为
Rn n1a1 n2a2 n3a3 (ni 0,1,2,......)
固体物理学讲义4.1
第四章能带理论能带理论的出发点是固体中的电子不再束缚于个别原子，而是在整个固体内运动（这要求电子的平均自由程远大于晶格常数），称为共有化电子。
能带理论是近似理论。
由于固体中大量电子的运动是相互关联的，每个电子的运动受到其他电子和原子的影响，在如此大量粒子的多体系统严格求解是不可能的。
大多数情况下我们关心的是价电子的运动状态，在单原子结合成固体的过程中价电子的运动状态发生大的变化，而内层电子的变化较小，可以把内层电子和原子实近似看成离子实。
这样价电子的等效势场包括离子实的势场，其他价电子的平均势场以及电子波函数反对称性而带来的交换作用。
能带理论是单电子近似理论，即把每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动。
单电子近似理论最早用于研究多电子原子，又称为哈特里（Hartree）-福克（κoΦ）自洽场方法。
把多体问题简化为单电子问题需要进行多次简化。
1、绝热近似：原子核或者离子实的质量比电子大的多，离子的运动速度慢，在讨论电子问题时可以认为离子是固定在瞬时位置上。
这样多种粒子的多体问题就简化为多电子问题；2、哈特里-福克自洽场方法：每个电子是在固定的离子势场以及其他电子的平静势场只运动；3、所有的离子势场和其他电子的平均场是周期性的势场。
对于三维的周期场中的单电子问题只能用各种近似方法求解。
通常选取某个布洛赫函数形式的集合作为完备的基本函数族，把晶体电子的波函数用此函数的集合展开，然后代入薛定谔方程，确定展开式的系数所满足的久期方程，据此求能量本征值，再依照逐个本征值确定波函数展开式的系数。
不同的方法仅在于选择不同的函数集合。
能带理论取得相当的成功，但也有他的局限性。
如过渡金属化合物的价电子迁移率较小，相应的自由程和晶格常数相当，这时不能把价电子看成共有化电子，周期场的描述失去意义，能带理论不再适用。
此外，长电子和晶格相互作用的强弱程度来看，在离子晶体中的电子的运动会引起周围晶格畸变，电子是带着这种畸变一起前进的，这些情况都不能简单看成周期场中单电子运动。
固体物理 第4章 能带理论5
当温度趋于0k时定域态中电子迁移率趋于零,而扩展态中迁移率仍然 为有限值,因此莫特将EC称为迁移率边缘.对于任意E态,定域化 E 条件为:
W > 2Z V e 2E 1 W
1 2 2
2E 1 W
W
2E 1+ W
莫特还进一步提出了安德森转变(Anderson transition)的概念,如果 在Si晶体中掺入施主杂质磷,由于施主杂质的分布是无规的,就形成 无序系统,无序性将导致有一个迁移率边缘,设导带中电子的费米能 无序性将导致有一个迁移率边缘,
§4-7 能态密度和费米面 一,能态密度函数 在单个原子中电子的本征态形成一系列分立的能级,可以具体标 明各个能级的能量,说明它们的分布情况.而在晶体中电子能级是准 连续分布的,为了概括这种情况下的能级分布,引入"能态密度"的概 E 念.用 表示能量在 E→E+ 之间的状态数,则能态密度函数定义 Z 为: Z dZ
对于无序系统的电子态理论研究有两种处理方法;其一是对无序系 统作某种平均后近视当作有序系统处理,这种方法以相干势近似为代 表.其二是从无序系统的定域态出发,设计一些无序模型,研究无序 系统与有序系统电子态的差别,这种方法以安德森的工作为代表. 1,安德逊(P.W.Anderson)无序模型 无序系统由于不具有平移对称性,波矢k不再是描述电子状态的 好量子数,必须从定域态(或者原子轨道态)出发设计模型和讨论 从定域态(或者原子轨道态) 问题.安德森将紧束缚近似(TBA)方法推广用于无序系统,用 旺尼而函数作为基本函数把波函数进行二次量子化展开,引入反映 "无序程度"的变化宽度的参量W,而格点近邻交叠积分均取相同的 无序程度" 值V则表示无序系统的"短程有序"特征.因此,这个简化的模型概括 则表示无序系统的"短程有序" 了无序系统的主要特点,由此出发将便于求得定域化条件和引进 迁移率边界等新概念.安德森定域化条件为(E=0态): W > e 2Z V (z为每个格点的近邻数,e为自然对数的底数). 2,莫特(N.F.Mott)模型 当安德森条件不满足时,三维无序系统中E=0态不满足收敛条件,
《固体物理基础教程》课件第4章
上一节中我们从大家所熟悉的知识入手，对晶体中电子 运动状态的基本特点有了一个初步的感性认识，从这一节开 始，我们将对固体能带理论中的一些重要理论、方法及结论
布洛赫(Bloch)定理揭示了固体中电子运动的一个普遍 适用的规律，在固体物理学发展中具有里程碑式的意义，是 半导体物理发展的理论基础。而这一重大理论是年仅23岁的 布洛赫于1928年在其博士论文《金属的电导理论》中提出的。 下面我们就跟踪布洛赫的研究历程，来分析Bloch定理的提
在上面的讨论中，不难发现这样的问题，那就是根据泡 利不相容原理，每个能级上最多只能容纳自旋方向相反的两 个电子。因此，当大量原子组成晶体时，共有化运动不可能 使一个能级上拥有很多电子，而只能是能级分裂，形成能带， 即在一个相对较窄的能量范围内，具有很多个相同的能级， 相邻能级间的能量差很小，可以认为是连续分布的。这种能 级分裂形成能带的过程，可以理解为相同能级间排斥作用的 结果。于是，晶体中由于外层电子能量高，相互作用强，因 而能级分裂严重，展开形成的能带较宽，而内层电子能量低， 相互作用弱，能级分裂后形成的能带较窄，能级分裂形成能 带的过程如图4.5所示。
对于某些晶体，能级分裂成能带时没有发生交叠，于是， 孤立原子中有多少个能级，对应晶体中就有多少个能带，而 且每个能带中的能级数可由晶体中每个原子提供的对应能级 数直接确定。比如由N个锂原子(Li1s22s1)组成的Li晶体中， 1s能级分裂形成的1s能带中总共有N个1s能级，每个原子提 供两个1s电子，总共2N个1s电子正好填满1s能带。而2s能带 中总共有N个2s能级，晶体中总共N个2s电子(价电子)，只能 填充N/2个能级，因此锂晶体的导带(2s能带)为半满带，如 图4.6
第4章 能带理论
4.1 晶体中电子的共有化运动 4.2 布洛赫定理 4.3 近自由电子近似 4.4 紧束缚近似 4.5 三维实际晶体的能带 4.6 能态密度和费米能级 4.7 晶体中电子在外力作用下的运动
布洛赫(Bloch)定理揭示了固体中电子运动的一个普遍 适用的规律，在固体物理学发展中具有里程碑式的意义，是 半导体物理发展的理论基础。而这一重大理论是年仅23岁的 布洛赫于1928年在其博士论文《金属的电导理论》中提出的。 下面我们就跟踪布洛赫的研究历程，来分析Bloch定理的提
在上面的讨论中，不难发现这样的问题，那就是根据泡 利不相容原理，每个能级上最多只能容纳自旋方向相反的两 个电子。因此，当大量原子组成晶体时，共有化运动不可能 使一个能级上拥有很多电子，而只能是能级分裂，形成能带， 即在一个相对较窄的能量范围内，具有很多个相同的能级， 相邻能级间的能量差很小，可以认为是连续分布的。这种能 级分裂形成能带的过程，可以理解为相同能级间排斥作用的 结果。于是，晶体中由于外层电子能量高，相互作用强，因 而能级分裂严重，展开形成的能带较宽，而内层电子能量低， 相互作用弱，能级分裂后形成的能带较窄，能级分裂形成能 带的过程如图4.5所示。
对于某些晶体，能级分裂成能带时没有发生交叠，于是， 孤立原子中有多少个能级，对应晶体中就有多少个能带，而 且每个能带中的能级数可由晶体中每个原子提供的对应能级 数直接确定。比如由N个锂原子(Li1s22s1)组成的Li晶体中， 1s能级分裂形成的1s能带中总共有N个1s能级，每个原子提 供两个1s电子，总共2N个1s电子正好填满1s能带。而2s能带 中总共有N个2s能级，晶体中总共N个2s电子(价电子)，只能 填充N/2个能级，因此锂晶体的导带(2s能带)为半满带，如 图4.6
第4章 能带理论
4.1 晶体中电子的共有化运动 4.2 布洛赫定理 4.3 近自由电子近似 4.4 紧束缚近似 4.5 三维实际晶体的能带 4.6 能态密度和费米能级 4.7 晶体中电子在外力作用下的运动
固体物理学第四章
当T0时，CV 0，与实验结果定性符合。 但实验结果表明， T0 ， CV ∝T3; 根据Einstein模型，T0，
0 CV exp 0 kBT
28
Einstein模型 金刚石热容量的实验数据
29
4.6 Debye模型 一、模型
假设：晶体是各向同性的连续弹性介质，格波可以看
l V
1 U (T ) s (q)[ns (q) ] 2 s ,q
色散关系
对于实际晶体，晶格振动波矢的代表点密集的均匀分布于布 里渊区内，因此可引入频率分布函数 ( )， 将上式改写为：
在 附近单位频率间隔内的振动模式的数目
ρ()d ：频率在－＋d之间的振动模式数
0
E 3/2 f ( E )dE
17
才有明显变化，因此 T 0 K 时只有能量在 EF 附近 kBT 范围内 f ( E )
1
(0 E EF kBT )
f ( E)
E EF k BT 2kBT
( EF kBT E EF kBT )
0
( E EF kBT )
1 ( , q) (q)[n( , q) ] 2
与同一波矢 q 相应的角频率 (q ) 可以不止一个——不同的 频支。因此与晶格振动相应的固体的内能为：
1 U (T ) s (q)[ns (q) ] 2 s ,q
23
则晶格振动的定容热容为：
U (T ) C T
与温度有关的内能： 绝缘体 金属
晶格振动能量 晶格振动能量＋价电子的热动能
低温下才考虑
3
4.1 电子气的状态密度
金属的自由电子气Drude模型
4
0 CV exp 0 kBT
28
Einstein模型 金刚石热容量的实验数据
29
4.6 Debye模型 一、模型
假设：晶体是各向同性的连续弹性介质，格波可以看
l V
1 U (T ) s (q)[ns (q) ] 2 s ,q
色散关系
对于实际晶体，晶格振动波矢的代表点密集的均匀分布于布 里渊区内，因此可引入频率分布函数 ( )， 将上式改写为：
在 附近单位频率间隔内的振动模式的数目
ρ()d ：频率在－＋d之间的振动模式数
0
E 3/2 f ( E )dE
17
才有明显变化，因此 T 0 K 时只有能量在 EF 附近 kBT 范围内 f ( E )
1
(0 E EF kBT )
f ( E)
E EF k BT 2kBT
( EF kBT E EF kBT )
0
( E EF kBT )
1 ( , q) (q)[n( , q) ] 2
与同一波矢 q 相应的角频率 (q ) 可以不止一个——不同的 频支。因此与晶格振动相应的固体的内能为：
1 U (T ) s (q)[ns (q) ] 2 s ,q
23
则晶格振动的定容热容为：
U (T ) C T
与温度有关的内能： 绝缘体 金属
晶格振动能量 晶格振动能量＋价电子的热动能
低温下才考虑
3
4.1 电子气的状态密度
金属的自由电子气Drude模型
4
春季-固体物理-第四章习题解答参考解析PPT精品课件
eika1
k 2 a n 1 ,n 0 , 1 , 2 ,
k 2 n 1 , n 0 , 1 , 2 , a
在第一布里渊区内，ka，,a得到，
0
2021/3/1
k
a
a
k
a
1
（2）
电子波函数 k(x)ico3sax
k(xa)icos3a(xa)icos3ax3
ico3sxco3sisin3xsin3
一组 (k1,k2代,k表3一) 个电子状态点，波矢点均匀分布。
b3
b2
b1 波矢空间原胞体积，
k N b 1 1 N b 2 2 N b 3 3 N 1 ( 2 ) 3 ( 2 V ) 3
波矢密度，
2021/3/1
k
V
(2 )3
9
4.4 用能带图说明导体、绝缘体、半导体的导电性质
电阻率 半导体
价带
0
T1
T2
温度 14
4.5
E (k)m 2 2 8 7 a co k)s a8 1 (co 2 ks ) a (
（1） 由极值条件找到极值点，
d d E k m 2 2 a a sikn ) a a 4 ( si2 k n ) a (0
sikn ) a ( 1 si2 k n)a (sikn ) a ( 1 2 sikn )c a (o k)a s(
i 1,2,3
7
eikNiai 1
kN ia i2h i
k1
2 h1
N1a
k2
2 h2
N2a
k3
2 h3
N3a
(h1 0, 1, 2, ) (h2 0, 1, 2, ) (h3 0, 1, 2, )
k 2 a n 1 ,n 0 , 1 , 2 ,
k 2 n 1 , n 0 , 1 , 2 , a
在第一布里渊区内，ka，,a得到，
0
2021/3/1
k
a
a
k
a
1
（2）
电子波函数 k(x)ico3sax
k(xa)icos3a(xa)icos3ax3
ico3sxco3sisin3xsin3
一组 (k1,k2代,k表3一) 个电子状态点，波矢点均匀分布。
b3
b2
b1 波矢空间原胞体积，
k N b 1 1 N b 2 2 N b 3 3 N 1 ( 2 ) 3 ( 2 V ) 3
波矢密度，
2021/3/1
k
V
(2 )3
9
4.4 用能带图说明导体、绝缘体、半导体的导电性质
电阻率 半导体
价带
0
T1
T2
温度 14
4.5
E (k)m 2 2 8 7 a co k)s a8 1 (co 2 ks ) a (
（1） 由极值条件找到极值点，
d d E k m 2 2 a a sikn ) a a 4 ( si2 k n ) a (0
sikn ) a ( 1 si2 k n)a (sikn ) a ( 1 2 sikn )c a (o k)a s(
i 1,2,3
7
eikNiai 1
kN ia i2h i
k1
2 h1
N1a
k2
2 h2
N2a
k3
2 h3
N3a
(h1 0, 1, 2, ) (h2 0, 1, 2, ) (h3 0, 1, 2, )
《固体物理教案》课件
《固体物理教案》PPT课件第一章：引言1.1 固体物理的重要性介绍固体物理在科学技术领域中的应用，如半导体器件、磁性材料等。
强调固体物理对于现代科技发展的关键性作用。
1.2 固体物理的基本概念定义固体物理的研究对象和方法。
介绍晶体的基本特征和分类。
1.3 教案安排简介本教案的整体结构和内容安排。
第二章：晶体结构2.1 晶体的基本概念解释晶体的定义和特点。
强调晶体结构在固体物理中的核心地位。
2.2 晶体的点阵结构介绍点阵的基本概念和分类。
讲解点阵的周期性和空间群的概念。
2.3 晶体的空间结构介绍晶体的空间结构描述方法。
讲解晶体中原子的排列方式和空间群的对称性。
第三章：晶体物理性质3.1 晶体物理性质的基本概念介绍晶体物理性质的分类和特点。
强调晶体物理性质与晶体结构的关系。
3.2 晶体介电性质讲解晶体的介电性质及其与晶体结构的关系。
介绍介电材料的制备和应用。
3.3 晶体磁性质讲解晶体的磁性质及其与晶体结构的关系。
介绍磁材料的制备和应用。
第四章：固体能带理论4.1 能带理论的基本概念介绍能带理论的起源和发展。
强调能带理论在固体物理中的重要性。
4.2 紧束缚模型讲解紧束缚模型的基本原理和应用。
介绍紧束缚模型的数学表达式和计算方法。
4.3 平面紧束缚模型讲解平面紧束缚模型的基本原理和应用。
介绍平面紧束缚模型的数学表达式和计算方法。
第五章：半导体器件5.1 半导体器件的基本概念介绍半导体器件的定义和特点。
强调半导体器件在现代电子技术中的重要性。
5.2 半导体二极管讲解半导体二极管的工作原理和特性。
介绍半导体二极管的制备和应用。
5.3 半导体晶体管讲解半导体晶体管的工作原理和特性。
介绍半导体晶体管的制备和应用。
第六章：超导物理6.1 超导现象的基本概念介绍超导现象的发现和超导材料的特点。
强调超导物理在凝聚态物理中的重要性。
6.2 超导微观理论讲解超导微观理论的基本原理，如BCS理论。
介绍超导材料的制备和应用。
固体物理习题4 ppt课件
的球壳内的状态数为 2V 4k 2dk ， 由此得到，费密球内
电子的总能量
E0
k kF
h2k 2 2m
2V
4k 2dk
式中 kF 是费密球半径。当V比较大时，波矢 k 在 k 空间的
分布非常密集，可以看作准连续，上式的求和可用积分代替，
于是
E0 2V
k12 m12
k22 m22
k32 m32
求能量E ~ E dE 之间的状态数。
解： 因为
E k
2 2
k12 m12
k
2 2
m22
k32 m32
能量为E的等能面的方程式可写为
k12
k
2 2
k32
1
2m1E 2m2 E 2m3 E
2
2
2
z
z
L
z
z
则从(3)(4)两式可得行波解
Ae i2 kx xky ykzz
波矢各分量分别为
kx
nx L
,ky
ny L
,kz
nz L
(7)
nx , n y , nz 取正负整数，电子的能量仍然表示为
E
h2k 2 2m
h2 2m
(k
2 x
k
2 y
(5)
(3).按照定义，电子的平均能量(T=0K)
1
E0 N
E
0 F
Ef
(完整版)固体物理课件ppt完全版
布拉伐格子 + 基元 = 晶体结构
③ 格矢量：若在布拉伐格子中取格点为原点，它至其
他格点的矢量 Rl 称为格矢量。可表示为
Rl
l1a1
l2a2
l3a3
，
a1,
a2 ,
a3为
一组基矢
注意事项：
1）一个布拉伐格子基矢的取法不是唯一的
2
4x
·
1
3
二维布拉伐格子几种可能的基矢和原胞取法 2）不同的基矢一般形成不同的布拉伐格子
2·堆积方式：AB AB AB……，上、下两个底面为A
层，中间的三个原子为 B 层
3·原胞：
a, 1
a 2
在密排面内，互成1200角，a3
沿垂直
密排面的方向构成的菱形柱体 → 原胞
B A
六角密排晶格的堆积方式
A
a
B c
六角密排晶格结构的典型单元
a3
a1
a2
六角密排晶格结构的原胞
4·注意: A 层中的原子≠ B 层中的原子 → 复式晶格
bγ a
b a
b a
b a
简六体心底正简单三面心正单方底心单心交 立斜交斜 方 简单立方体心正交面立方简四体心四方简单正交简单菱方简单单斜单方
二 、原胞
所有晶格的共同特点 — 具有周期性（平移对称性）
描
用原胞和基矢来描述
述
方
位置坐标描述
式
1、 定义：
原胞：一个晶格最小的周期性单元，也称为固体物理 学原胞
a1, a2 , a3 为晶格基矢
复式晶格：
l1, l2 , l3 为一组整数
每个原子的位置坐标：r l1a1 l2a2 l3a3
第四章固体物理
a
us-2
us-1
us
us+1
us+2
第s个原子所受到的力等于所有原子作用力的总和：
作用方程
只考虑最近邻原子的作用，设其力常数为C，则
给出试探解
原子都以同一频率，同一振幅A振动,相邻原子间的位相差 为k· a。晶格中各个原子间的振动相互间都存在着固定的位相关 系, 即原子的振动形成了波，这种波称为格波。
周期性边界条件下K取值很多，无数个。 但实际中可将格波K取值限制在一定范围内 （布里渊区，一个倒格矢G的大小）。
k与k＋G对应的格波是同一个格波！
k与k＋G对应的格波是同一个格波！
根据前面推导情况可知：
2 k n L
m
π a
o
π a
1)、是波矢k的周期性函数, 最小周期为2π/a（倒格矢G）
晶格振动的经典理论
一. 二. 三. 四. 五. 一维单原子链的晶格振动 一维双原子链的晶格振动 三维晶体中原子的振动 态密度函数 近似条件与使用范围
参考： 黄昆书 3.2－3.4节（p82-103） 3.8节（p132-137) Kittel 书 4.1 和 4.2两节
晶格振动虽是一个十分复杂的多粒子问题，但在一定条 件下，依然可以在经典范畴求解，一维原子链的振动就是最 典型的例子，它的振动既简单可解，又能较全面地表现出 晶格振动的基本特点。
长波时 光学波【“ ＋”号支】振动情况:
光学波
u M2 v M1
相邻原子振动方向是
相反的。
它表明同一个初基晶胞中的两个原子每时每刻的振动位 相是相反的，而且是质心不动的，不同的初基晶胞有一个位 ika e 相差 。 在离子晶体中由于它们不断的反位相振动，电偶极距可 与电磁波耦合，这种振动模式可用光波来激发，故称之为光 学支振动模式，实际上它是简正模式中的一部分，而不是光 波，它可与光波耦合，但不要与光波混淆。
固体物理讲义第四章
第四章 晶格振动和晶体的热学性质● 晶格振动：晶体中的原子在格点附近作热振动● 原子的振动以波的形式在晶体传播（原子的振动波称为格波） ● 晶格振动对晶体的性质有重要影响 主要内容● 晶格动力学（经典理论，1912年由波恩和卡门建立）晶格振动的模式数量（有多少种基本的波动解） 晶格振动的色散关系（波动的频率和波数的关系）● 晶格振动的量子理论 ● 固体的热容量 4.1 一维单原子链的振动原子链共有N 个原胞，每个原胞只有一个原子,每个原子具有相同的质量m,平衡时原子间距等于晶格常数a,原子沿链方向运动,第n 个原子离开平衡位置的位移用x n 表示,第n 个原子和第n+1个原子间的相对位移为 一维单原子链原子振动时，相邻两个原子之间的间距: 基本假设● 平衡时原子位于Bravais 格点上 ● 原子围绕平衡位置作微振动●简谐近似：原子间的相互作用势能只考虑到平方项 微振动时：简谐近似：势能展开式保留到二次项微振动：原子离开平衡位置的位移与原子间距相比是小量。
晶体中原子的平衡位置由原子结合能（势）决定。
任何一种晶体，原子间的相互作用势能可以表述成原子之间距离的函数。
n n x x -=+1δδ+=a x ()()⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+=+=222 21 )(δδδa ax d U d x d U d a U a U x U把qa改变一个2π的整数倍，原子的振动相同，因此可以把qa限制负pi和正pi之间，此范围以外的q值，并不提供新的物理内容.群速度是指波包的传播速度，dw/dq,也就是能量在介质中的传播速度。
在布里渊区的边界上，群速度为零，波是一个驻波。
4.2 一维双原子链的振动q趋于0时，w也趋于零，称为声学波4.3 三维晶格的振动(略) 一个原胞中有n 个原子晶格基矢： 原胞数目： 原子的质量： 对于一个波矢q,有3n 个ω（即有3n 支色散曲线） 在3n 支色散关系中，当q→0时（长波）：有三支ω →0，且各原子的振幅趋于相同，这三支为声学波。
固体物理(第4章)
§5-1 布洛赫定理——能带理论
能带理论是单电子近似的理论 —— 把每个电子的运动看成 是独立的在一个等效势场中的运动 单电子近似 —— 最早用于研究多电子原子__ 哈特里－福 克 自洽场方法 能带理论的出发点 —— 固体中的电子不再束缚于个别的原 子，而是在整个固体内运动 ___ 共有化电子 共有化电子的运动状态 —— 假定原子实处在其平衡位置， 把原子实偏离平衡位置的影响看成微扰 理想晶体 —— 晶格具有周期性，等效势场V(r)具有周期性
3 e
—— 整数
§5-1 布洛赫定理——能带理论
2 i
l3 N3
1 e
2 i
l1 N1 l2 N2 l3 N3
2 e 3 e
2 i
l1 l3 l2 —— 引入矢量 k b1 b2 b3 N1 N2 N3
—— 倒格子基矢
2 i
满足 a i b j 2 ij
—— 根据每个本征值确定电子波函数展开式中的系数，得 到具体的波函数
§5-1 布洛赫定理——能带理论
§4-1 布洛赫定理
具有晶格周期性时 布洛赫定理 —— 势场 V ( r )
电子的波函数满足薛定谔方程
2 2 பைடு நூலகம்[ V ( r )] ( r ) E ( r ) 2m
势场为晶格周期性函数
§5-2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似——能带理论
1)
2 k l Na 2 k l Na
2)
§5-2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似——能带理论
2 k k n k | V ( x ) | k V (n ) —— V(x)的第n个 a 傅里叶系数 2 k k n k | V ( x ) | k 0 a 2 k k n k | H | k V (n ) a 2 k k n k | H | k 0 a
能带理论是单电子近似的理论 —— 把每个电子的运动看成 是独立的在一个等效势场中的运动 单电子近似 —— 最早用于研究多电子原子__ 哈特里－福 克 自洽场方法 能带理论的出发点 —— 固体中的电子不再束缚于个别的原 子，而是在整个固体内运动 ___ 共有化电子 共有化电子的运动状态 —— 假定原子实处在其平衡位置， 把原子实偏离平衡位置的影响看成微扰 理想晶体 —— 晶格具有周期性，等效势场V(r)具有周期性
3 e
—— 整数
§5-1 布洛赫定理——能带理论
2 i
l3 N3
1 e
2 i
l1 N1 l2 N2 l3 N3
2 e 3 e
2 i
l1 l3 l2 —— 引入矢量 k b1 b2 b3 N1 N2 N3
—— 倒格子基矢
2 i
满足 a i b j 2 ij
—— 根据每个本征值确定电子波函数展开式中的系数，得 到具体的波函数
§5-1 布洛赫定理——能带理论
§4-1 布洛赫定理
具有晶格周期性时 布洛赫定理 —— 势场 V ( r )
电子的波函数满足薛定谔方程
2 2 பைடு நூலகம்[ V ( r )] ( r ) E ( r ) 2m
势场为晶格周期性函数
§5-2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似——能带理论
1)
2 k l Na 2 k l Na
2)
§5-2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似——能带理论
2 k k n k | V ( x ) | k V (n ) —— V(x)的第n个 a 傅里叶系数 2 k k n k | V ( x ) | k 0 a 2 k k n k | H | k V (n ) a 2 k k n k | H | k 0 a
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点动的对称操纵: n 度螺旋轴, 滑移反映面 (Page14)
No C5,C8,C12,…C20…
正五边形旋转72°恢复原状，但不能重复排列充满一个平面而不出现空隙。
1974年Penrose发现，用两种四边形拼接可以布满整个平面。这种拼接可 以存在五次对称，两个四边形的边长有两种取值，其边长比为黄金分割 1.618。这种图形有长程取向序，但没有平移对称序，具有借于晶体和非 晶体之间的准晶体结构。
N
cosθ
θ
360 /n 符号
-2
-1
180
2
c2
-1
-1/2
120
3
c3
0
0
90
4
c4
1
1/2
60
6
c6
2
1
360
1
c1
平移限制后仅有60，90，120，180，360五个可能的旋转角度！
+
旋 转 中 心 反 演
No c6 c3 , m
No c2
c3 , i
Note: no c4 and i
Fivefold rotations and quasicrystals
Why? No long distance translate symmetry?
Why ? Only 90°
and 120°?
三斜: ≠≠
=?
平移对称与旋转对称的自恰!
§ 1.5 晶体的对称性
# 引入:
晶体结构的两个特征:
群论:
一般操作组合规则
慨念:
有限或无限个元素x1,x2,x3,…的集合{xi},在其间规定结合规则(群
乘法),若满足以下4个条件,则这个集合称为群 G={xi}
封闭性:
χi∈ G, χj ∈ G, χioχj ∈ G
结合性: χ1o (χ2oχ3)=(χ1oχ2) oχ3
单位元E: 对任一χi. 有χioE=χi=Eoχi, G中有且仅有一个E
Fivefold rotations and quasicrystals
理解： ！ 晶体 准晶体 非晶体
No long distance translate symmetry! No fill whole space without empty !
三. 对称操作的组合─晶体分类
一个晶体有多少个对称操作?
3).对称破缺: 相变问题
Symmetry Broken
M = mi = 0 i
Paramagnetism
M = mi 0 i
Ferromagnetism
二.晶体中的对称性与对称操作
晶体结构 → 空间对称操作:
平移 旋转 反演(反映)
1.一般空间对称操作
● 平移(translation)
● 旋转(rotation) ● 中心反演(inversion) ● 镜象反演(mirror)
逆元χi-1 : 对应每一个χi有一个χi-1 ∈ G, 且χioχi-1=χi-1oχi=E
例1: 一切正负整数的的集合{G=0, ±1, ±2,… }, 按 普通加法是否构成群?
例2: 上面的集合按普通乘法,是否构成群?
例3:一切实数的集合,按普通乘法,是否构成群? 例4: 证明正三角形,绕过中心的轴转动操作:
+
旋 转
镜 面 反 演
No new independent symmetry operator
镜 面
＋
中 心 反 演
点动的操作?
绕轴旋转2/n与沿轴方向平移 t=j (T/n)的复合操作
对平面镜像反演再沿平行与镜面的 一个方向平移该方向周期的一半
点
点
随
随
轴
面
动
动
结论:
点不动的对称操纵:
c1, c2, c3, c4, c6, i, m, 4
(电荷共轭对称,重子,轻子,自旋,同位旋,全同粒子等)
标度不变 （scaling invariability)
Conter set…
谢宾斯基垫片
谢宾斯基地毯与海绵
3.对称性与物理学
1). 结构认识:
元素周期表, 基本粒子标准模型(八重态,十重态)
2). 物理规律:
◇ 空间反演不变 ─ 宇称守恒 ◇ 空间平移不变 ─ 动量守恒 ◇ 空间旋转不变 ─ 角动量守恒 ◇ 空间标度不变 ─ 临界现象规律 ◇ 时间平移不变 ─ 能量守恒
➢立方体: 转动: 6个c2, 4个c3, 3个c4, 9个m, 1个i (page12)
➢单斜 : ? ➢三 斜: ? ➢ 晶系：立方；布喇菲格子：sc, bcc,fcc；
金刚石结构?
立方体: 转动: 6个c2, 4个c3, 3个c4, 9个m, 1个i
中 心 反 演 对 称 破 缺
单斜 ? 三 斜: ?
§1-4 小结
• 晶列及指数 坐标的互质数[ hkl]
• 晶面及指数、面间距
截距的倒数的互质数(hkl)
d:
dhkl =
1
h a
2
+
k b
2
+
l c
2
重要性:
d: 实际上可以是X-ray 衍射光栅的面间距
2dhklsin=n
已知,测量
dhkl
a
பைடு நூலகம்
作业:
画出 [010 ]; [101]; [111];[210]; [210]
0
r` =x`i+y`j+z`k r =xi+yj+zk
2. 晶体可能的对称操作
因晶体微结构的基本特征是: 同时具有平移对称、旋转对称、镜面对称和中心反演对称
即: 要求平移、旋转、镜面和中心反演对称互相制约，协同共存
旋转 镜面 中心
平移 限制
七种晶系 十四种布喇非格子
讨论: 与平移不变相互自恰原则下 存在那些旋转和反演(反映)对称操纵
● 对旋转操纵的限制
平
● 对中心反演操纵的限制
移
● 对镜象反演操纵的限制
● 对三者组合的限制
结论:
点不动的对称操纵: c1, c2, c3, c4, c6, i, m, 4
点动的对称操纵: n 度螺旋轴, 滑移反映面 (Page14)
平移对称对旋转对称的限制 C`
设 ABCD为任一晶列 且: AB=BC=CD
- =
过B点转,
C
C`
A
B
C
过C点转-,
B
B`
∵ B`, C` 均为格点,
B`C`与BC平行, 且同属一个晶列族
∴ B`C`=mBC
又 B`C`=BC(1+2con)
m-1=N m=1+2con
−1 cos = N 2 1 ( N为整数)
N=±2, ±1,0
B` D
−1 cos = N 2 1
c1=E,c2,c3 构成群,群乘为连续操作.
2.点群
晶体中满足群条件并与平移不变周期性自恰的点对
称操作的集合 32 个
3.平移群
晶格周期平移不变对称操作的集合,以矢量加法为 群乘
4.空间群:
由晶体所有对称操作的集合 230 个
对晶体结构分类 !
平移对称与旋转对称自恰： 旋转对平移的限制： 七种晶体系、十四类布氏格子 平移对旋转的限制： 三十二个点群
小结
• 晶体的对称操作个数： 点不动：8个？ 点动： 2个
• 晶体的对称操作集合 点群： 32个 空间群： 230个
(010); (101); (111); (210); (210)
晶列族 晶面族
一. 晶系：
按晶胞基矢a,b,c的大小与夹角不同仅有七种晶系 立方： a＝b＝c α＝β＝γ＝90° 四角： a＝b≠c α＝β＝γ＝90° 正交： a≠b≠c α＝β＝γ＝90° 三角： a＝b＝c α＝β＝γ≠90° 六角： a＝b≠c α＝β＝90°，γ＝120° 单斜： a≠b≠c α＝γ＝90°，β≠90° 三斜： a≠b≠c α≠β≠γ≠90°
平移不变(周期性) → 对称性
旋转不变
→
几何: 点阵（原胞、晶胞）等 解析几何：坐标系（基矢、格矢）等
?
# 内容： 三个层次
一般对称性的慨念 晶体的对称性 晶体的对称性的组合原则─ 对晶体分类
一、一般对称性
1.慨念:
物理系统在某些满足一定规则变换下具有的不变性
2. 物理学中的对称性
◆ 时-空对称性 (包括标度不变性) ◆ 内禀对称性
No C5,C8,C12,…C20…
正五边形旋转72°恢复原状，但不能重复排列充满一个平面而不出现空隙。
1974年Penrose发现，用两种四边形拼接可以布满整个平面。这种拼接可 以存在五次对称，两个四边形的边长有两种取值，其边长比为黄金分割 1.618。这种图形有长程取向序，但没有平移对称序，具有借于晶体和非 晶体之间的准晶体结构。
N
cosθ
θ
360 /n 符号
-2
-1
180
2
c2
-1
-1/2
120
3
c3
0
0
90
4
c4
1
1/2
60
6
c6
2
1
360
1
c1
平移限制后仅有60，90，120，180，360五个可能的旋转角度！
+
旋 转 中 心 反 演
No c6 c3 , m
No c2
c3 , i
Note: no c4 and i
Fivefold rotations and quasicrystals
Why? No long distance translate symmetry?
Why ? Only 90°
and 120°?
三斜: ≠≠
=?
平移对称与旋转对称的自恰!
§ 1.5 晶体的对称性
# 引入:
晶体结构的两个特征:
群论:
一般操作组合规则
慨念:
有限或无限个元素x1,x2,x3,…的集合{xi},在其间规定结合规则(群
乘法),若满足以下4个条件,则这个集合称为群 G={xi}
封闭性:
χi∈ G, χj ∈ G, χioχj ∈ G
结合性: χ1o (χ2oχ3)=(χ1oχ2) oχ3
单位元E: 对任一χi. 有χioE=χi=Eoχi, G中有且仅有一个E
Fivefold rotations and quasicrystals
理解： ！ 晶体 准晶体 非晶体
No long distance translate symmetry! No fill whole space without empty !
三. 对称操作的组合─晶体分类
一个晶体有多少个对称操作?
3).对称破缺: 相变问题
Symmetry Broken
M = mi = 0 i
Paramagnetism
M = mi 0 i
Ferromagnetism
二.晶体中的对称性与对称操作
晶体结构 → 空间对称操作:
平移 旋转 反演(反映)
1.一般空间对称操作
● 平移(translation)
● 旋转(rotation) ● 中心反演(inversion) ● 镜象反演(mirror)
逆元χi-1 : 对应每一个χi有一个χi-1 ∈ G, 且χioχi-1=χi-1oχi=E
例1: 一切正负整数的的集合{G=0, ±1, ±2,… }, 按 普通加法是否构成群?
例2: 上面的集合按普通乘法,是否构成群?
例3:一切实数的集合,按普通乘法,是否构成群? 例4: 证明正三角形,绕过中心的轴转动操作:
+
旋 转
镜 面 反 演
No new independent symmetry operator
镜 面
＋
中 心 反 演
点动的操作?
绕轴旋转2/n与沿轴方向平移 t=j (T/n)的复合操作
对平面镜像反演再沿平行与镜面的 一个方向平移该方向周期的一半
点
点
随
随
轴
面
动
动
结论:
点不动的对称操纵:
c1, c2, c3, c4, c6, i, m, 4
(电荷共轭对称,重子,轻子,自旋,同位旋,全同粒子等)
标度不变 （scaling invariability)
Conter set…
谢宾斯基垫片
谢宾斯基地毯与海绵
3.对称性与物理学
1). 结构认识:
元素周期表, 基本粒子标准模型(八重态,十重态)
2). 物理规律:
◇ 空间反演不变 ─ 宇称守恒 ◇ 空间平移不变 ─ 动量守恒 ◇ 空间旋转不变 ─ 角动量守恒 ◇ 空间标度不变 ─ 临界现象规律 ◇ 时间平移不变 ─ 能量守恒
➢立方体: 转动: 6个c2, 4个c3, 3个c4, 9个m, 1个i (page12)
➢单斜 : ? ➢三 斜: ? ➢ 晶系：立方；布喇菲格子：sc, bcc,fcc；
金刚石结构?
立方体: 转动: 6个c2, 4个c3, 3个c4, 9个m, 1个i
中 心 反 演 对 称 破 缺
单斜 ? 三 斜: ?
§1-4 小结
• 晶列及指数 坐标的互质数[ hkl]
• 晶面及指数、面间距
截距的倒数的互质数(hkl)
d:
dhkl =
1
h a
2
+
k b
2
+
l c
2
重要性:
d: 实际上可以是X-ray 衍射光栅的面间距
2dhklsin=n
已知,测量
dhkl
a
பைடு நூலகம்
作业:
画出 [010 ]; [101]; [111];[210]; [210]
0
r` =x`i+y`j+z`k r =xi+yj+zk
2. 晶体可能的对称操作
因晶体微结构的基本特征是: 同时具有平移对称、旋转对称、镜面对称和中心反演对称
即: 要求平移、旋转、镜面和中心反演对称互相制约，协同共存
旋转 镜面 中心
平移 限制
七种晶系 十四种布喇非格子
讨论: 与平移不变相互自恰原则下 存在那些旋转和反演(反映)对称操纵
● 对旋转操纵的限制
平
● 对中心反演操纵的限制
移
● 对镜象反演操纵的限制
● 对三者组合的限制
结论:
点不动的对称操纵: c1, c2, c3, c4, c6, i, m, 4
点动的对称操纵: n 度螺旋轴, 滑移反映面 (Page14)
平移对称对旋转对称的限制 C`
设 ABCD为任一晶列 且: AB=BC=CD
- =
过B点转,
C
C`
A
B
C
过C点转-,
B
B`
∵ B`, C` 均为格点,
B`C`与BC平行, 且同属一个晶列族
∴ B`C`=mBC
又 B`C`=BC(1+2con)
m-1=N m=1+2con
−1 cos = N 2 1 ( N为整数)
N=±2, ±1,0
B` D
−1 cos = N 2 1
c1=E,c2,c3 构成群,群乘为连续操作.
2.点群
晶体中满足群条件并与平移不变周期性自恰的点对
称操作的集合 32 个
3.平移群
晶格周期平移不变对称操作的集合,以矢量加法为 群乘
4.空间群:
由晶体所有对称操作的集合 230 个
对晶体结构分类 !
平移对称与旋转对称自恰： 旋转对平移的限制： 七种晶体系、十四类布氏格子 平移对旋转的限制： 三十二个点群
小结
• 晶体的对称操作个数： 点不动：8个？ 点动： 2个
• 晶体的对称操作集合 点群： 32个 空间群： 230个
(010); (101); (111); (210); (210)
晶列族 晶面族
一. 晶系：
按晶胞基矢a,b,c的大小与夹角不同仅有七种晶系 立方： a＝b＝c α＝β＝γ＝90° 四角： a＝b≠c α＝β＝γ＝90° 正交： a≠b≠c α＝β＝γ＝90° 三角： a＝b＝c α＝β＝γ≠90° 六角： a＝b≠c α＝β＝90°，γ＝120° 单斜： a≠b≠c α＝γ＝90°，β≠90° 三斜： a≠b≠c α≠β≠γ≠90°
平移不变(周期性) → 对称性
旋转不变
→
几何: 点阵（原胞、晶胞）等 解析几何：坐标系（基矢、格矢）等
?
# 内容： 三个层次
一般对称性的慨念 晶体的对称性 晶体的对称性的组合原则─ 对晶体分类
一、一般对称性
1.慨念:
物理系统在某些满足一定规则变换下具有的不变性
2. 物理学中的对称性
◆ 时-空对称性 (包括标度不变性) ◆ 内禀对称性