第章应力状态分析

3
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l
S截面
FP a
4
x
14
忽略弯曲切应力 y
FQy
1
2
z
3
4 Mz
1
1
Mx Wp
x1
Mz Wz
3
x
Mx 4
3
Mx Wp
x3
Mz Wz
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3
Mx Wp
15
§2 平面应力状态应力分析
应力分析的解析法 应力圆 例题
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16
一、 应力分析的解析法
ε 45。计算
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45E 1(451 4)53.3 1 0 4
46
例 边长 a =10 mm 正方形钢块，置槽形刚体内， F = 8 kN，u = 0.3，求钢块的主应力
解：
y
aF2
80MPa x
xExEy
0
ExEy 0
x y24MP a
1 0 , 2 2 M 4 , 3 P 8 a M 0 Pa
相邻主平面相互垂直，构成一 正六面形微体 － 主平面微体
主应力－主平面上的正应力
主应力符号与规定－ 123（按代数值）
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32
应力状态分类
单向应力状态：仅一个主应力不为零的应力状态 二向应力状态：两个主应力不为零的应力状态 三向应力状态：三个主应力均不为零的应力状态
二向与三向应力状态，统称复杂应力状态
主平面位置： y
1
tg20
2xy x y
40 50
0
x
x x
3
2(50) 1 4060
0 67.50
60
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§3 极值应力与主应力
平面应力状态的极值应力 主平面与主应力 纯剪切与扭转破坏 例题
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一、 平面应力状态的极值应力
极值应力数值
m mainxOCCAx 2y x 2y2x2
H O C C cD o 0 cs o C 2 s sD 2 i 0 s n in 2 2
H x 2y x 2yco sx 2 si n 2
x 2y x 2yco sx 2 si n2
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同理可证： H
22
点、面对应关系
点面对应，以D为基点，转向相同，转角加倍 互垂截面，对应同一直径两端
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41
§5 广义胡克定律
广义胡克定律（平面应力状态） 广义胡克定律（三向应力状态） 例题
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42
一、 广义胡克定律（平面应力状态）
x
x
E
y Ex
y
y E
x Ey
xE 1(xy) yE 1 x(yyGxx)
x1E2(xy) y1E2(yx)
xyGxy
适用范围：各向同性材料，线弹性范围内
35
四、 例 题
例 用解析法与图解法，确定主应力的大小与方位
解：1. 解析法 x70MPax50MPa y 0
m ma i n xx 2yx 2yx 2
26 96
MPa MPa
0arctanmaxxy62.5
单辉祖:材料力学教程126MPa2 0 396MPa 36
2. 图解法 主应力的大小与方位 ？
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§6 应变分析与电测应力
任意方位的正应变 应力分析电测方法 应变花
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48
一、 任意方位的应变
平面应变状态特点
zxzyz0
微体内各点的位移均平行于同一平面
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平面应变状态任意方位应变
问题：已知应变 ex , ey与 gxy，求 a 方位的正应变 ea
m11M 5 Pam35MPa
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25
例 利用应力圆求截面 m-m 上的应力
解： 1. 画应力圆
A点对应截面 x, B点对应截面 y
2. 由应力圆求 m与m
由A点（截面 x ）顺时针转60。至D点（截面 y ）
单辉祖:材料力学教程 m11M 5 Pam35MPa
26
例：如图所示单元体，求a 斜面的应力及主应力、主平面。
F t 0 ， d A (x d A co )c s o (x d A sco )s s in (y d A si)n s i(n y d A si)n c o 0s
x c2 o y s s2 i n (x y )sc in os (x y )sc io n x c s2 o y s s2 in
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三、 例 题
例 计算截面 m-m 上的应力
解：x10M 0 Pax60MPay 50MPa30
m x 2yx 2yco sxs 2in 2 11M 4.5 Pa
单辉祖:材料力学教程mx 2ysi n2xcos235M .0Pa
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例 利用应力圆求截面 m-m 上的应力
解：
规定： 方位角a 以 x 轴为始边， 为正 使左下直角增大之 g 为正
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50
分 析 方 法
知 ex , ey gxy 求 ea
分析方法要点：叠加法，切线代圆弧
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推导：
xdxcos
dl
dxcos
dl
xco2s
ydydslin ysin2
xyddycl os
圆心位于σ 轴
x 2y 2 0 2 x 2y 2 x 2
C
x
y
2
R
x
y
2
2
x2
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应力圆的绘制
问题：已知x x , y 画相应应力圆
根据：
C
x
y
2
R
x
2y2
x2
满足上述二条件 确为所求应力圆
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21
图解法求斜截面应力
H O C C cD o 0s 2 ()2
cos2
2
sin(2 )
F
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F
n
x
p
p
4
问题2 B点处应力该如何校核？
梁弯曲的强度条件：
ma x M W m z a x , ma x F Isz S m * ba x .
F
z
()
Fl
z
FB
B
B
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——有必要研究一点的应力状态。
5
2、点的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ力状态的概念
第 7 章 应力状态分析
本章主要研究：
应力状态分析基本理论 应变状态分析基本理论 应力应变关系 应力电测的基本理论 复合材料应力应变关系简介
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1
应力状态的概念
1、问题的提出
问题1：同一点处不同方位截面上的应力不相同；
轴向拉伸杆件
F
横截面应力： F
A
斜截面应力：
F
应力
哪一个面上？ 哪一点？
指明
哪一点？ 哪个方向面？
过一点不同方位截面上应力情况，称为这一点的应力 状态（State of the Stresses of a Given Point）。
研究应力状态的目的：找出一点处沿不同方向应力的变化规律，确定出最
大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建立适当
的强度条件。
mmainx CK
x
y
2
2
x2
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30
极值应力方位
最大正应力方位： tan20x2x y
tan 0x xminm x a xy
σmax与σmin所在截面正交
σ 极值τ 极值所在截面, 成 夹45角
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31
二、 主平面与主应力
σ2
σ1 σ3
主平面－切应力为零的截面
最大切应力位于与 σ1及σ3 均成45°的截面
上
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40
三、 例 题
例 已知 σx = 80 MPa，τx = 35 MPa， σ y = 20 MPa， σ z = －40 MPa， 求主应力、最大正应力与最大切应力
szz
解： 画三向应力圆
1C9.6 1MPa2D3.0M 9 Pa3E40 MPa ma x19.1 6MPamax1 236.81MPa
0 62.5 126MPa
20
396MPa
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§4 复杂应力状态的最大应力
三向应力圆 最大应力 例题
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一、 三向应力圆
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与任一截面相对应 的点，或位于应力 圆上，或位于由应 力圆所构成的阴影 区域内
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二、 最大应力
max1 mi n3 max123
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二、 广义胡克定律（三向应力状态）
x
x E
xEy
xEz
xE 1[x(yz)] yE 1[y(zx)] zE 1[z(xy)]
适用范围：各向 同性材料，线弹 性范围内
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44
广义胡克定律的应用求平面应力状态下任意方向 的正应变：
y
a+90
x a
xy
E 190
上述关系建立在静力学基础上，故所得结 论既适用于各向同性与线弹性情况，也适
用于各向异性、非线弹性与非弹性问题
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二、 应力圆
应力圆原理
x 2y x 2yco sx 2 si n2
x 2ysin 2xcos2
x 2y x 2yco sx 2 si n2
应力圆
0x 2ysi n2xcos2
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x c2 o y s s2 i n (x y )sc in os (x y )sc io n x c s2 o y s s2 in
由于τx 与 τ y 数值相等,并利用三角函数的变换关系,
得
x 2y x 2yco sx 2 si n2
x 2ysi n2 xcos2
研究目的 研究一点处的应力、应变及其关系，目的是为构件 的应力、变形与强度分析，提供更广泛的理论基础
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10
平面与空间应力状态
仅在微体四侧面作用应力，且 应力作用线均平行于微体的不 受力表面－平面应力状态
平面应力状态 的一般形式
微体各侧面均作用有 应力－空间应力状态
空间应力状态一般形式
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6
实例
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微体A
7
微体abcd
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微体A
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应力与应变状态
应力状态
过构件内一点所作各微截面的应力状况，称为该点 处的应力状态
应变状态 构件内一点在各个不同方位的应变状况，称为该点 处的应变状态
研究方法 环绕研究点切取微体，因微体边长趋于零，微体趋 于所研究的点，故通常通过微体，研究一点处的应 力与应变状态
问题
斜截面：// z 轴；方位用 a 表示；应力为 sa ,
符号规定：
ta
切应力 t － 以企图使微体沿 旋转者为
正 方位角 a － 以 x 轴为始边、 者为
问题正：建立 sa , ta 与 sx , tx , sy , ty
单辉祖:间材料的力学关教系程
17
斜截面应力公式
F n 0 ， d A (x d A co )s s i(n x d A co )c s os ( y d A s i)n c o (y d s A s i)n s i0 n
60 50 40 300
（单位：MPa）
解：1、求斜面的应力
x 4,0 y 6,0 x 5,0 30
x 2 y x 2 yc2 o sxs y 2 i n
40604060cos6( 00)
2
2
(50)sin(600)58.3(MP)a
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x 2ysi2 n xc y o 2s
求出 , 90 ,就可求得 方向的正应变
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45
三、 例 题
例 已知 E = 70 GPa, u= 0.33, 求 ε45。
解： 应力分析
x 5M 0 P y 0 a , ,x 3M 0 Pa
x 2y x 2yco sx 2 si n2
4 552 0 0 52 0 0 c9 o 0 3 ss0 9 i0 n 5MPa13555MPa
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取单元体示例一
FP
S 截面
l/2
l/2
5 FP
S截面
42
3
Mz
FP l 4
2 单辉祖:材料力学教程 1
5
4 3 2
1
12
5 FP
S 截面
42
3
Mz
FP l 4
2 1
1
x1
2
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2 x 2
2
5 4 3 2 1
3
t 3 13
取单元体示例二
y
1
S 截面
z
2
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三、 纯剪切与扭转破坏
纯剪切状态的最大应力
σ3
tm , ax C cm , axD
ma xm in
1 3 , 2 0
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主平面微体位于 45 方位
σ1
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圆轴扭转破坏分析
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滑移与剪断 发生在τmax 的作用面
断裂发生在 σmax 作用面
xysin2
2
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结论：
xco2s ysin2
xys2in2
4060sin6(00)(5)0cos6(00) 2
1.83(MP ) a
27
2、求主应力、主平面
主应力：m mian xx 2y
(
x 2
y)2x2 y
42 0 6 0(42 0 6)2 0 ( 5)2 0 8 6..7 7 0 0 ( (M M) )P Pa a
1 8 .7 ( 0 M ),P 2 0 ,a 3 6 .7 ( 0 M ) Pa