第4章：平面反射镜与反射棱镜

14
2．平行平板的成像
u1 β= =1 ′ u2
(4-6)
a1
u1
a '2
' u2
Fo' Fo''
d
Δ
图4-9 平板玻璃的成像
15
平行平板的成像
a1
A C
' a1
u1'
B
h1
h2
D
u1
Fo'
d
Fo''
Δ
图4-10 平板玻璃的延伸量
16
平行平板的成像
′ AC = h1 − h2 = du1
(4-7)
代入式（4-17）即得：
⎡ i ' '' ⎤ ⎢ ' '' ⎥ ⎢j ⎥ = ⎢k ''' ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ Δθ [(−1) N −1 cos γ + cos γ ' ] Δθ [(−1) N cos β − cos β ' ] ⎤ 1 ⎢ ⎥ Δθ [(−1) N cos γ − cos γ ' ] Δθ [(−1) N −1 cos α + cos α ' ]⎥ 1 ⎢ ⎢Δθ [(−1) N −1 cos β + cos β ' ] Δθ [(−1) N cos α − cos α ' ] ⎥ 1 ⎣ ⎦ ⎡ i' ⎤ ⎢ '⎥ ⎢j ⎥ ⎢k ' ⎥ ⎣ ⎦
即
ψ = 2(i1 − i2 )
i2
(4-2)
P
T
由 ΔO1O2T
i1 = i2 + θ
即
(4-3) (4-4) (4-5)
ψ
a'
θ = i1 − i2
θ
ψ = 2θ
图4-5 双平面反射镜系统
7
双平面反射镜系统
位于与两平面反射镜交棱相垂直平面内的光线，不论它的 入射光线方向如何，经两个平面反射镜各反射一次后的出 射光线相对于入射光线的偏转角总是等于两平面反射镜夹 角的2倍； 它的偏转方向，则与反射面按反射次序由 M 1偏转到 M 2 的 方向相同； 入射光线的方向不变时，若两块平面反射镜作为一个刚体 一起转动时，则出射光线的方向不会改变，但出射光线的 位置可能平行位移。
B 是正交矩阵： T = B −1 B
⎡ cos α ' ⎤ ⎢ '⎥ ⎢cos β ⎥ = ⎢ cos γ ' ⎥ ⎣ ⎦
⎡ cos α ⎤ B ⎢cos β ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ cos γ ⎥ ⎦ ⎣
(4-16)
44
4．光轴偏与像倾斜的计算公式
像空间坐标系方位变化情况的矩阵方程
⎡ i' ⎤ ⎡ i '' ' ⎤ ⎢ '⎥ ⎢ ' '' ⎥ ⎢ j ⎥ = ROP ROP′ ⎢ j ⎥ ⎢k ' ⎥ ⎢k ''' ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
18
反射棱镜的正像作用
1、具有单一主截面的棱镜或棱镜系统
反 射 棱 镜 系 统
2、屋脊棱镜 3 、具有两个相互垂直的主截面
的棱镜或棱镜系统
19
反射棱镜的正像作用
例1： 例1： 一次反射直角棱镜的成像分析
1
y
x
z
y'
x' z'
图4-12 一次反射的直角棱镜
20
反射棱镜的正像作用
1
y
x
z
x' z'
y'
图4-21 一次反射直角棱镜的成像
42
反射棱镜的作用矩阵
P = cos αi + cos βj + cos γk = cos α ' i ' + cos β ' j' + cos γ ' k '
⎡i⎤ (cos α cos β cos γ ) ⎢ j ⎥ = (cos α ' cos β ' cos γ ' ) ⎢ ⎥ ⎢k ⎥ ⎣ ⎦
(4-11)
Δθ
g g'
g 绕轴 P旋转角Δθ 后成向量g ' 图4-20 向量
38
转动矩阵
设转轴 P = cos α ' i ' + cos β ' j' + cos γ 'k ' 令 g 分别等于于 i ' 、j' 、 k ' ，由式（4-11）可得
⎧i '' = i ' + Δθ cos γ ' j' − Δθ cos β ' k ' ⎪ '' ' ' j' + Δθ cos α ' k ' ⎨ j = −Δθ cos γ i + ⎪k '' = Δθ cos β ' i ' − Δθ cos α ' j' + k' ⎩
8
双平面反射镜系统
1 4 3 2
( a) (b)
图4-6 能将光路转折的双平面反射镜和反射棱镜
9
4.2 反射棱镜
为了使两反射面之间的夹角不变，可将两个反 射面做在同一块玻璃上，以代替一般的双平面 反射镜组，这就构成了另一类常用的光学元件 ─反射棱镜的雏形
10
1．反射棱镜的展开特征
1：入射面 工作棱 2：反射面
右手直角坐标系经偶数次平面反射镜成像则像一定是右 手系 ——相似像
右手直角坐标系经奇数次平面反射镜成像则像一定是左 手系 ——镜像
5
3．平面反射镜的旋转对光线的作用
角度放大
a
i
θ θ
a
2θ
' 1
a '2
图4-4 平面反射的旋转
6
4．双平面反射镜系统
i1
a
2i1 = 2i2 + ψ
(4-1)
O2
O1
43
反射棱镜的作用矩阵
⎡ cos α ' ⎤ ⎡ cos α ⎤ ⎢cos β ⎥ = B T ⎢cos β ' ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ cos γ ' ⎥ ⎢ cos γ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ cos α ' ⎤ ⎡ cos α ⎤ ⎥ ⎢ cos β ' ⎥ = ( B T ) −1 ⎢cos β ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ' ⎥ ⎢ cos γ ⎢ cos γ ⎥ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣
其中
ROP ⎡ 1 ⎢ = ⎢− Δθ cos γ ' ⎢ Δθ cos β ' ⎣ Δθ cos γ ' 1 − Δθ cos α ' − Δθ cos β ' ⎤ ⎥ Δθ cos α ' ⎥ ⎥ 1 ⎦
(−1) N Δθ cos β ⎤ ⎥ (−1) N −1 Δθ cos α ⎥ ⎥ 1 ⎦
x'
y'
z''
y''
x''
图4-17 (a) 普罗棱镜
30
反射棱镜的正像作用
图 417 (b) 普 罗 棱 镜 的 主 截 面
3
x
y
z'
z
y'
x'
y'
z'
x'
y''
x'' z''
31
反射棱镜的正像作用
3
y'
z'
x'
y''
x'' z''
图4-17(c) 普罗棱镜中第二块直角棱镜的成像
32
4.3 反射棱镜转动引起的光轴方向和成像方 向变化的分析和计算
1 4
3：反射面 4：出射面
工作面
3 2
(4 − 6b)
主截面
11
反射棱镜的展开特征
A'
棱镜的展开
a'
A 3 1 E 2' 3
'
B' 3''
A''
a
B
2 D C' D'' E''
C
图4-7 五角棱镜及五角棱镜的展开
12
反射棱镜的展开特征
A B
D
E
C
F
G
图4-8 靴形棱镜
13
反射棱镜的展开特征
反射棱镜展开后是一块平行平板 ； 在共轴光路中应用反射棱镜就相当于在光路中加入了一块 平行平板玻璃 ； 若它被用在会聚光路中，光路的光轴垂直于反射棱镜的入 射面，反射棱镜的加入仍然保持了光路系统的共轴性 ； 棱镜展开成平行平板后，其平行平板的厚度也称为棱镜的 展开长度。展开长度不仅与棱镜的结构有关，还与棱镜入 射面的口径大小有关。设五角棱镜的入射面口径 AB = Φ， 则展开长度 L为 (2 + 2)Φ，即五角 L五角 = 3.14Φ 。
在直角三角形 ACD中
CD = ′ AC du1 = u1 u1
(4-8)
′ 近轴近似下，根据折射定律 u1 = nu1
CD = d n
(4-9)
1 ′Fo′′ = BD = d − CD = d (1 − ) Δ = Fo n
(4-10)
17
3．反射棱镜的正像作用
y
x
z
y'
x'
z'
图4-11 反射棱镜的物方坐标系和像方坐标系
⎡ i' ⎤ ⎢ '⎥ ⎢j ⎥ ⎢k ' ⎥ ⎣ ⎦
将式（4-14）代入
⎡i⎤ ⎡i⎤ (cosα cos β cos γ ) ⎢ j ⎥ = (cosα ' cos β ' cos γ ' ) B ⎢ j ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢k ⎥ ⎢k ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(cos α cos β cos γ ) = (cos α ' cos β ' cos γ ' ) B
在光学仪器的装校过程中，往往利用反 射棱镜的微量转动调整光学系统的光轴 方向和成像方向的倾斜
33
1．棱镜转动定理
y
P
x
z
x' z'
34
y'
P'
P 与它经棱镜所成的像P ' 图4-18 转轴
棱镜转动定理
棱镜绕转轴 P 转动 θ θ 角的正负按右螺旋法则确定）角后， （ 像空间坐标系 x ′y ′z ′ 的转动情况可以表述如下：
即
⎡i '' ⎤ ⎡ 1 ⎢ '' ⎥ ⎢ ' ⎢ j ⎥ = ⎢− Δθ cos γ ⎢k '' ⎥ ⎢ Δθ cos β ' ⎣ ⎦ ⎣ Δθ cos γ ' 1 − Δθ cos α ' − Δθ cos β ' ⎤ ⎥ Δθ cos α ' ⎥ ⎥ 1 ⎦ ⎡i ' ⎤ ⎢ '⎥ ⎢j ⎥ ⎢k ' ⎥ ⎣ ⎦
27
反射棱镜的正像作用
例3： 例3： y 列曼屋脊棱镜的成像方向分析， 并与列曼棱镜的成像方向作比较
2
x
z
潜 望 高
x'
(a)
z'
y'
28
图4-16 列曼屋脊棱镜的成像(a)
反射棱镜的正像作用
y
2
x
z
潜 望 高
x'
y'
(b)
z'
图4-16 列曼棱镜的成像(b)
29
反射棱镜的正像作用
x
y
3
z
z'
(4-17)
R oP ′
⎡ 1 ⎢ = ⎢ (−1) N Δθ cos γ ⎢(−1) N −1 Δθ cos β ⎣
(−1) N −1 Δθ cos γ 1 (−1) N Δθ cos α
Leabharlann Baidu
45
光轴偏与像倾斜的计算公式
RoP RoP′ = ⎡ 1 ⎢ (−1) N Δθ cos γ − Δθ cos γ ' ⎢ ⎢(−1) N −1 Δθ cos β + Δθ cos β ' ⎣ (−1) N −1 Δθ cos γ + Δθ cos γ ' 1 (−1) N Δθ cos α − Δθ cos α ' (−1) N Δθ cos β − Δθ cos β ' ⎤ ⎥ (−1) N −1 Δθ cos α + Δθ cos α ' ⎥ ⎥ 1 ⎦
40
反射棱镜的作用矩阵
⎡ i ' ⎤ ⎡ b11 ⎢ '⎥ ⎢ ⎢ j ⎥ = ⎢b23 ⎢k ' ⎥ ⎢b31 ⎣ ⎦ ⎣ b12 b22 b32 b13 ⎤ b23 ⎥ ⎥ b33 ⎥ ⎦ ⎡i⎤ ⎢ j⎥ ⎢ ⎥ ⎢k ⎥ ⎣ ⎦
(4-14)
⎡ b11 B = ⎢b23 ⎢ ⎢b31 ⎣
b12 b22 b32
(4-12)
Rθ
转动矩阵
(4-13)
39
3．反射棱镜的作用矩阵
物空间坐标系 xyz
(cos α , cos β , cos γ )
P
物空间坐标系 x ′y ′z ′
(cos α ' , cos β ' , cos γ ' )
⎧i ' = b11i + b12 j + b13 k ⎪ ' ⎨ j = b21i + b22 j + b23k ⎪ ' ⎩k = b31i + b32 j + b33k
b13 ⎤ b23 ⎥ ⎥ b33 ⎥ ⎦
(4-15)
B
可逆
基( i 、j 、k )到基( i '、 j' 、k ')的过渡矩阵 反射棱镜的作用矩阵
41
反射棱镜的作用矩阵
例： 例：
DI − 90 o直角棱镜
i′ = i
y
j′ = −k
x
z
x' z'
k ' = −j
⎡1 0 0 ⎤ B = ⎢0 0 − 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 − 1 0 ⎥ ⎣ ⎦
第四章
平面反射镜与反射棱镜
1
4.1平面反射镜
1．平面反射镜的成像
M
实物成虚像
P
M
图4-1 平面反射镜成像
P'
2
平面反射镜的成像
虚物成实像
1'
M
1
M
图4-2 虚物经平面反射镜成实像
3
2．平面反射镜的成像方向
左手系
M
y'
x'
o'
y
右手系
z'
M
x z
o
图4-3 平面反射的物像空间对应关系
4
平面反射镜的成像方向
图4-15 (c)
屋脊面对光线的反射作用
24
反射棱镜的正像作用
2
y
x z
y'
x'
z'
图4-15 (d)
直角屋脊棱镜的成像方向确定
25
反射棱镜的正像作用
y
2
x z
y'
x'
z'
图4-15 (e) 在直角屋脊棱镜中确定 y 轴成像方向的另一种方法
26
反射棱镜的正像作用 确定屋脊棱镜成像方向的一般方法和步骤：
y'
图4-13 确定 y 轴成像方向的另一种方法
21
反射棱镜的正像作用
例2： 例2： 二次反射直角棱镜的成像分析
1
y
x
z'
y'
z
x'
图4-14 二次反射的直角棱镜
22
反射棱镜的正像作用
2
( a)
(b)
图4-15 (a),(b) 直角屋脊棱镜
23
反射棱镜的正像作用
1 2
2
Ι
2' 1'
(c )
ΙΙ
2
(1).按光轴是在屋脊棱上被反射的情况确定出出射光轴 z ′ 的 方向； (2).根据一对屋脊面颠倒了垂直于主截面的物像方向的结论 确定 x′ 轴的方向； (3).按棱镜的总反射次数的奇偶性（一对屋脊面算两个反射 面）确定像方坐标系 x ′y ′z ′ 是左手系还是右手系，从而 定出位于主截面内的轴 y ′ 的方向。
x ′y ′z ′首先绕 P ′ 转 (−1) N −1θ ，然后绕 P转θ 。 N 其中， 是棱镜的反射次数。
棱镜转动定理
35
棱镜转动定理
M
y'
x'
o'
z' y
x z
M'
o
图4-19 立方体 xyz 与立方体经平面反射镜所成的像 x ′y ′z ′
36
棱镜转动定理
37
2．转动矩阵
P
g ' = g + ΔθP × g