有限元 第五讲

平面问题有限单元法
四.曲边单元的构造方法
注意构造等参单元时求导及积分过程的坐标变换 数值积分法：Gauss法,积分阶数的选取。
平面问题有限单元法
五.四种平面单元
1、常应变单元 2、二次三角形单元 3、双线性矩形单元 4、任意四边形单元
第四章 空间问题有限单元法
实际工程中，对于那些形体复杂，三个方向尺寸同量级 的结构，必须按空间（三维）问题求解。 空间问题的有限单元法中的位移仍然只有平动位移，所以仍 属于C0连续问题，因此构造单元并不难。将平面问题有限元 法“稍加变动”并“加以推广”便可用于空间问题。
第四章 空间问题有限单元法
一、空间问题常用单元
3. 形函数构造方法： 1）广义坐标法：仅用在常应变单元 2）试凑法：在自然坐标下直接写出形函数 四面体单元的自然坐标是体积坐标
4. 构造曲面单元
等参元：利用规则单元作母元，通过等参变换构造曲 面单元
第四章 空间问题有限单元法
二、常应变四面体单元
1. 基本变量
平面问题有限单元法
一.什么是平面问题？平面问题的基本未知量是什么？ 二.有限元分析的主要步骤 三.平面问题直边单元位移函数的两种构造方法 四.曲边单元的构造方法 五.四种平面单元
平面问题有限单元法
一.什么是平面问题？平面问题的基本未知量是什么？
实际工程结构问题严格来讲都属于空间问题，但对一些特殊的几何 形状和荷载，可将空间问题简化为平面问题。
三.平面问题直边单元位移函数的两种构造方法
4、试凑法构造位移插值函数
在自然坐标下，根据形函数的特点直接列出每个结点形函数的表 达式。
具体步骤：
1）对于结点i 找出过其余结点的若干直线；
2）适当选用上述直线，将直线方程的左部以带参数连乘
式作为形函数Ni，这样可使在“它点为零”的条件自动满 足。
3）将i点坐标带入上面假定的Ni，用“本点为1”的性质确
三.平面问题直边单元位移函数的两种构造方法
3、广义坐标法构造位移插值函数
1）用广义坐标 作为待定参数，给出单元位移模式 2）由单元结点坐标求解
3）将 代入f 得到单元结点位移 {}e 表示的位移
和相应的插值函数 N 。
需求逆矩阵,存在矩阵不可逆及表达式难以规范化等问题，不适 于构造高阶单元
平面问题有限单元法
平面问题有限单元法
三.平面问题直边单元位移函数的两种构造方法
1、收敛准则：完备性、协调性要求
C0问题、C1问题 协调元、非协调元、广义协调元 2、形函数的特点 1) 在结点i处Ni=1，其他结点Ni=0； 2) 包含完全的一次多项式； 3) 由其定义的未知量在单元之间连续；
4) Ni 1
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平面问题有限单元法
二、常应变四面体单元
2. 单元位移插值函数： 将结点坐标代入u(x,y,z)，得结点x方向位移:
u1 1 2 x1 3 y1 4 z1 u2 1 2 x2 3 y2 4 z2 u3 1 2 x3 3 y3 4 z3 u4 1 2 x4 3 y4 4 z4
（四个方程、四个未知量）
两类平面问题：平面应力问题和平面应变问题。
平面问题的基本未知量：
{
f
}
u
v
[x, y , xy]T
[ x, y , xy]T
平面问题有限单元法
二.有限元分析的主要步骤
有限元法主要优点之一：理论推导过程及计算步骤的高度规范和统一 位移元主要步骤： 1.离散连续介质，形成有限元网格，并完成单元及结点编号 2.单元分析，得到以结点位移为基本未知量的单元平衡方程 3.整体分析，得到总体平衡方程 4.边界条件处理，消除总刚度矩阵的奇异性 5.解线性代数方程组，得到结点位移 6.单元计算，由结点位移得到应力、应变 7.其它要求。
二、常应变四面体单元
2. 单元位移插值函数： 设单元内任一点的位移为坐标的 线性函数:
u(x, y, z) 1 2x 3 y 4z v(x, y, z) 5 6x 7 y 8z w(x, y, z) 9 10 x 11 y 12z
1 ~ 12 即为广义坐标
第四章 空间问题有限单元法
单元内任一点位移:
u
{
f
}
v
单元内任一点应变: w
{} x
y
z
xy
yz
T zx
单元内任一点应力:
{} x
y
z
xy
yz
T zx
第四章 空间问题有限单元法
二、常应变四面体单元
1. 基本变量
ui
结点位移:
{ i }
vi
wi
1
单元结点{}e
位移:
2 3
4
第四章 空间问题有限单元法
1 ELEMENTS
第四章 空间问题有限单元法
由平面问题转为空间问题，给有限元分析带来两个主要 难题：
1、空间离散化不太直观，人工离散很容易出错。 2、未知量的数量剧增，对计算机的存储和计算时间要求 较高。
第四章 空间问题有限单元法
解决问题： 1、编程建模 2、采用高精度单元
由于通用软件有很好的前后处理功能，因此空间问题基本上都靠软件来解决。
定待定参数。
Ni 1
4）待求出所有结点的Ni后，需验证
平面问题有限单元法
四.曲边单元的构造方法
利用自然坐标下的已知单元构造曲边单元
要解决两个问题： 如何描述单元几何形状？ 如何描述单元内任一点的物理量？
等参元：单元的几何形状和位移场都采用相同的形函数 亚参元：单元几何形状插值函数的阶数低于位移插值函数 超参元：单元几何形状插值函数的阶数高于位移插值函数
解方程组得 1 ~后6，可将u的表达整理成：
u
1 6V
[a1
b1x
c1
y
d1 z u1
a2
b2 x
c2
y
d2
z u2
a3 b3x c3 y d3zu3 a4 b4 x c4 y d4 zu4 ]
式中:
x2 y2 z2 ai1 a1 (1)i1 x3 y3 z3
x4 y4 z4
1 ELEMENTS
第四章 空间问题有限单元法
一、空间问题常用单元 二、常应变四面体单元
第四章 空间问题有限单元法
一、空间问题常用单元
1. 按形状分： 四面体单元（三棱锥） 五面体单元（三棱柱） 六面体单元（立方体）
2. 按位移函数阶次分 线性单元：四结点四面体，六结点五面体、八结点六面体等 二阶单元：十结点四面体，二十结点六面体等 三阶单元：二十结点四面体，三十二结点六面体等