有限元 第五讲

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有限元课程PPT第5章

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基函数矩阵
形变列阵(广义应变列阵)
(5-17)
写成5块 其中
(5-18)
2.单元刚度矩阵和单元荷载向量 虚功方程 (5-19) 左半中 ,
单元刚度阵
( 5-20 )
其中
称为单元刚度矩阵元素(块) (5-21)
(具体表达式可见华东水利学院弹性力学问题的有限单元 法(1974版)) 虚功方程右半
在三个方向的分量,左上标 为初始态, 这里 为
表示壳单元状态,
为最终态。
方向余弦的增量, (5-66)
分量
能通过节点K处的旋转来表达,一个有效的方法 的单位向量 (5-67) 和 :
是定义两个正交于
其中ey为y方向的单位向量(对于特殊情形 可简单地用 )这样得 (5-68) 令 和 和 为关于 为小角度 (5-69) 将式(5-56)代入(5-52),得到 和 的正交向量 ,
(5-46) 据假定,可认为
(5-47)
(5-48)
总势能
(5-49) K为剪应力非均匀修正系数,将式(5-35)、(5-34)代 入(5-36)中,可得
(5-50) 其中 (5-51)
(5-52)
,是独立的,能如等参元那样求解。 变分, (5-53) (5-54) 例: 如图, 4节点的板,根据四节点等参元坐标转换关系
Int. J. Num Mech. Eng V.5,N2, 277~288,1972)一文中建议 对单元曲率修匀。 修匀只要对形函数的导数进行修匀即可,形函数 阶导数 的二
在角点上往往有奇异性,只有采取高阶数值积
分才能有较好的收敛性。为了得到计算既简单,收敛性又 好的单元,可用修匀后的导数, 代替 , 是组系统代替薄壳。 (一)局部坐标系中的单元刚度阵 特点是薄壳应力状态是平面应力状态+弯曲应力状态的 组合,刚度阵也可由此组合,局部坐标系x,y轴取在单元 所在平面内 组合后的单元节点位移和节点力分别 为(第i点)

有限元分析 第五讲

有限元分析 第五讲

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三. Ansys9.0的安装方法 Ansys9.0的安装方法 1. 关闭所有防病毒软件.将crack文件夹复制到计算机 如桌面 关闭所有防病毒软件. 文件夹复制到计算机(如桌面 文件夹复制到计算机 如桌面) 2. 运行"自动安装文件"——AutoExec.exe,弹出下列对话框.点 运行"自动安装文件" ,弹出下列对话框. 最下一行,弹出一个信息窗. 最下一行,弹出一个信息窗.
输入关键点号和坐标值, 输入关键点号和坐标值,按"Apply". 所有关键点数据输完后按 . "OK",屏幕上即显示上述关键点的位置和序号.然后用直线连接 ,屏幕上即显示上述关键点的位置和序号. 这些点,组成桁架. 这些点,组成桁架.
操作 Main Menu>Preprocessor>Modeling>Create>Lines>Lines >in Active CS, 弹出下示对话框. 弹出下示对话框.
§5.2 Ansys9.0的界面简介 Ansys9.0的界面简介
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用光标点1, 点 连成直结, 用光标点 ,2点,连成直结,点"Apply";用光标点 ,3点,连成直 ;用光标点1, 点 结,点"Apply"; ……;所有点连完后,点"OK".屏幕上显示桁架 ; ;所有点连完后, . 的图形.然后点: 在弹出的对话框中输入文件名(1.db), 的图形.然后点:File>Save as…,在弹出的对话框中输入文件名 在弹出的对话框中输入文件名 点"OK",保存已建好的桁架图形.若要调入以前已建好的图形,则 ,保存已建好的桁架图形.若要调入以前已建好的图形, 点:File>Resume from…. .

第五章 薄板弯曲问题有限元讲义

第五章 薄板弯曲问题有限元讲义

第五章薄板弯曲问题有限元法第一节薄板弯曲问题的有关概念一、基本概念1.薄板的定义:薄板是由上下两个平行的表面所构成的片状结构,其间距称为板厚。

同时,定义等分板厚的面为中面,当中面为平面时,称为平板,当中面为曲面时则称为壳体。

2.挠度; 板结构在承受横向载荷(弯矩、扭矩和横向剪力)作用下,发生弯扭而使薄板中面上各个点沿垂直中面方向发生的横向变形称为挠度,记为w。

3.薄板的两类问题:(1)平面应力板问题,载荷作用于板面内—(薄膜单元);在拉、压力和面内切力作用下,板内将产生薄膜内力,从而使板产生面内变形。

(2)薄板弯曲问题:其特点为:a) 几何尺寸:板的厚度远较长与宽的几何尺寸为小(一般厚度与板面最小尺寸之比小于1/5-1/10);(否则称为厚板)b) 载荷条件:结构仅承受垂直于板中面的横向载荷作用。

c) 小挠度条件;即挠度与板厚之比值较小,一般为w/t ≤1/5。

研究薄板弯曲问题时,通常以未变形的板的中面为xoy平面,厚度方向为z轴方向,3.板的一般问题:一般情况下,板既可承受横向载荷作用,也可同时承受平行于板中面的膜载荷作用。

(1) 薄板:在小挠度情况下,当两种载荷同时作用时,可认为两种变形互不影响,因此膜载荷的作用可按平面应力问题进行处理,而横向载荷的作用则按薄板弯曲问题来分析,两种问题引起的薄膜内力和弯曲内力的叠加便是一般载荷综合作用的结果。

(2)厚板:当1<w/t<5时为大挠度板,w/t≥5时为特大挠度板。

在大挠度情况下,薄板面内变形和弯扭变形之间将相互影响,即横向载荷也可能产生膜内力和面内变形,而膜载荷也可能产生弯曲内力和弯曲变形。

这时描述薄板变形的数学方程是非线性的,应采用更复杂的理论分析方法。

二.薄板弯曲问题求解的假设:(克希霍夫假设)1.法线假设垂直板中面的法线在板变形后仍垂直于弯曲的挠曲面,且法线线段没有伸缩,板的厚度无变化。

这样,垂直于中面的正应变便可忽略,即εz=0根据几何方程,可得因此挠度只是x,y的函数,表示为w=w(x,y),也即薄板中面上法线的各点都有相同位移。

有限元分析第五章(第二部分

有限元分析第五章(第二部分

§5-5数值积分1、问题的提出在上一节中对等参元进行单元分析时要进行下列积分: (i) 单元刚度矩阵(ii)体积力的等效结点力(iii)边界力的等效结点力(iv)温升载荷的等效结点力式(5-4-5)~(5-4-8)分别归结为计算以下两种形式的积分对于上述积分仅在单元的形状十分规则的情况下才能得到解析的结果(精确值),一般情况只能用数值积分方法(主要是高斯求积法)求近似值。

虽然数值积分是“被迫“采用的,但后来发现:有选择地控制积分点的个数和位置,可以方便地实现我们的某些特殊意图。

这样一来,数值积分就成为有限元分析的一个重要组成部分,以至本来可以精确积分的三角形单元也常常采用数值积分。

2、数值积分的基本概念任何积分工作取决于三个要素:给定的积分区间,给定的被积函数,具体的积分方法。

下面以一维情况为例介绍数值积分的基本概念 (i) 梯形法函数()x f 在区间(a,b)的积分可以表达为 ()()ini ibax f W dx x f I ∑⎰=≈=1⎰⎰⎰---111111),()(dxdxy x f dx x f 、 [][][][][][][]ηξd d J t B E B tdxdyB E B k T Te det 1111⎰⎰⎰⎰--=={}[][]ηξσd d J t f f N td f f N r y x T y x T eV det 1111⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎰⎰⎰⎰--{}[]{}ηξσγd Jd t B T det 01111T ⎰⎰--={}[]()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎰⎰⎰--dy y f dx x f tds q p N r T 1111,ΓΓ(5-4-5) (5-4-8) (5-4-7) (5-4-6)i W :权系数; i x :积分样点;()i x f :积分样点的函数值。

梯形法的求积公式为其中,1--=n ab h ,而a b W ni i -=∑=1(ii) 当被积函数为n-1次多项式P n-1(x )时,则由n 个样点及其样点值(x i , P n-1(x i ),i=1,n )可以精确重构这个多项式,从而可以得到精确解。

第五章杆系结构的有限元法

第五章杆系结构的有限元法

第五章 杆系结构的有限元法 5.1 引言杆系结构是工程中应用较为广泛的结构体系,包括平面或空间形式的梁、桁架、刚架、拱等。

其组成形式虽然复杂多样,但用计算机进行分析时却较为简单。

杆系结构中的每个杆件都是一个明显的单元。

杆件的两个端点自然形成有限元法的节点,杆件与杆件之间则用节点相连接。

显然,只要建立起杆件两端位移与杆端力之间的关系,则整体平衡方程的建立与前几章完全相同。

杆端位移与杆端力之间的关系,可用多种方法建立,包括前面几章一直采用的虚功原理,但是采用材料力学、结构力学的某些结论,不仅物理概念清晰、直观,而且推导过程简单明了。

因此,本章将采用这种方法进行单元分析。

至于整体平衡方程的建立,则和前面几章所讲的方法一样,即借助于单位定位向量,利用单元集成法进行。

5.2 平面桁架的有限元分析平面桁架在计算上有以下几个特点: 1. 杆件的每个节点仅有两个线位移; 2. 杆件之间的连接为理想铰,即在节点处各杆件可相对自由转动,且杆件轴线交于一点。

3. 外载荷均为作用于节点的集中力。

由于以上特点,所以在理论上各杆件只产生轴向拉、压力,截面应力分布均匀,材料可得到充分利用,因此桁架结构往往用于大跨结构。

5.2.1 局部坐标系下的单元刚度矩阵从平面桁架中任取一根杆件作为单元,称作桁架单元,单元长为L ,横截面面积为A ,图5.1。

两端节点分别用i 和j 表示,规定从i 到j 的连线方向为局部坐标x 轴,垂直于x 的方向为y 轴。

图5.1由于桁架中各杆只产生轴向力和轴向变形,所以节点i 和j 只发生沿x 方向的位移,用i u 和j u 表示,相应的杆端轴力分别用xi F 和xj F 表示。

由虎克定律可推得)()()(j i i j xj j i xi u u L EA u u L EA F u u LEAF --=-=-=将这两个式子写成矩阵形式,就是e j i exj xi u u L EA LEA L EA L EA F F ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧ (5.1)显然,在局部坐标系下,i 、j 两节点沿y 轴方向的位移0==j i v v ,在y 轴方向的节点力0==yj yi F F 。

有限元 5-有限条法

有限元 5-有限条法

第5章 有限条法5.1引言一、 发展概况有限条法(Finite Strip Method)诞生于二十世纪60年代,一般认为主要创始人有:Y.K.Cheung(张佑启)教授和G.H.Powell(鲍威尔)、 D.W.Ogden(奥格登)两人。

Y.K.Cheung 在1966~1969年间首先用有限条法研究了矩形薄板弯曲问题,后两人开始于板式桥梁的研究工作。

二、有限条法的力学模型有限条法可看作是有限元的一种特殊形式或分支,是一种(有限元)半解析法,适应于一些量大面方的,常用的规则结构形式,采用有限条法可使弹性力学中的二维问题化为一维问题(三维化二维),使总刚方程降阶,从而提高效率。

象有限元一样,有限条法亦需将连续体离散化,所不同的是,不象有限元一样可沿任意方面离散,而只能沿某一方向。

如图示矩形板,用有限元分析(矩形元)的网格划分如右图示,而有限条则是沿x 方向等分成若干条带。

有限条:x 方向采用多项式插值函数 )(x f f = (梁函数)y 方向采用三角级数表示:)(y Y f =然后板的位移函数采用一总和函数表示:å==rm my Yx f w 1)()(5.2 梁函数和基本函数一、梁函数梁函数用以表示条元的横向变化规律。

图示梁有两个结点(i,j), 每个结点两个位移: 线位移(挠度)1d 、3d ; 角位移2d 、4d 任意点的位移函数:231234()f x x x x a a a a =+++代入边界条件可得:[]{}12323232322322323432232()1d d x x x x x x x x f x x L d d bb b b b b b b d ìüïïéùïï=-+-+--+=íýêúëûïïïïîþ51- [L]为在第二章中推导出的平面梁单元的形函数,此处称梁函数。

有限元分析第五章(第一部分)

有限元分析第五章(第一部分)

第五章 等(Isoparametric Elements)在前面的章节中我们已经认识了三角形单元和矩形单元。

这两种单元的边均为直边,用直边单元离散曲边的求解域势必要用更多的单元数才能较准确地描述实际边界。

本章将要介绍的等参数单元是目前应用最广的一类单元,可用这类单元更精确的描述不规则的边界。

这类单元的出现不仅系统的解决了构造协调位移单元的问题,而且自然坐标系的描述方法也广泛为其他类型的单元所采用。

等参数单元在构造形函数时首先定义一个规则的母体单元(参考单元),在母体单元上构造形函数,再通过等参数变换将实际单元与母体单元联系起来。

变换涉及两个方面:几何图形的变换(坐标变换)和位移场函数的变换,由于两种变换采用了相同的函数关系(形函数)和同一组结点参数,故称其为等参数变换。

§5-1四结点四边形等参数单元1、母体单元 自然坐标和形函数母体单元ê :边长为2的正方形,自然坐标系ξ,η 示于图5-1。

取四个角点为结点,在单元内的排序为1、2、3、4。

仿照矩形单元,可定义出四个形函数显然有如下特点:(i )是ξ,η的双线性函数 (ii )(iii)2、实际单元与母体单元之间的坐标变换(1) 坐标变换设xy 平面上的实际单元e 由母体单元经过变换F 得到,即 且规定结点(ξi ,ηi )与结点(x i , y i )对应(i =1~4)。

这样的变换不只一个,利用(5-1-1)定义的形函数即可写出这种变换中的一个1图5-1 ())4~1()1(141),(=++=i N i i i ηηξξηξ),(ηξi N ⎩⎨⎧=≠=i j i i N ij i 当 当 =10),(δηξ),(ηξi N 1)1)(1(41)1)(1(41)1)(1(41)1)(1(41),(41≡+-++++-++--=∑=ηξηξηξηξηξi i N e e F →: (5-1-2) (5-1-1) ii i i i i y N y x N x ⋅=⋅=∑∑==4141),(),(ηξηξ(5-1-3)(5-1-3)所定义的变换有如下特点:x , y 是ξ,η的双线性函数。

有限元方法5

有限元方法5

12EI / l3
6EI / l2
6EI / l2 4EI / l 6EI / l2 2EI / l
12EI / l3 6EI / l2 12EI / l3 6EI / l2
6EI / l2
2EI / l
6EI / l2
4EI / l
§1.6 其它平面杆件单元的单刚
EA/l
0
0 EA/l 0
EA/ l
二、不计轴变的弯曲单元
0 12EI / l3 6EI /l2
0 12EI / l3 6EI /l2
0 6EI / l2
1 2
e
FF12
e
2EI /l 0
3 4
F3
F4
6EI
/
l
2
5
F5
4EI / l 6 F6
12EI / l3
k e
6EI / l2

e 3
e 1
e 2
a
/ 3
/ 1
/ 2
e 6
l
e 5e 4x/ 6l/ 5
/ 4


1 1 2 2 3 a 3 3
4 4 5 5 6 6
1 0 0 0 0 0
0 1 a 0 0 0
/
0 0
0 0
1 0
0 1
0 0
00 e
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
/ 2
l
/ 5
/ 4
F4 F4/ , F5 F5/ , F6 F6/
1 0 0 0 0 0
1 1 2 2 3 a 3 3 4 4 5 5 6 6
1 0 0 0 0 0 0 1 a 0 0 0

有限元方法讲义

有限元方法讲义

有限元方法讲义第1讲抛物问题有限元方法1、椭圆问题有限元方法考虑椭圆问题边值问题:(1)问题(1)的变分形式:求使满足(2)的性质,广义解的正则性结果。

区域的剖分,矩形剖分,三角剖分,剖分规则,正则剖分条件,拟一致剖分条件。

剖分区域上分片次多项式构成的有限元空间。

的逼近性质,逆性质:这里,为的插值逼近。

问题(2)的有限元近似:求使满足(3)(3)的解唯一存在,且满足。

(3)的解所满足的矩阵方程(离散方程组)形式:(4)刚度矩阵的由单元刚度矩阵组装而成。

模误差分析:由(2)-(3)可得(5)由(5)可首先得到则得到(6)-模误差分析设满足用与此方程做内积,由(5)式和插值逼近性质得到再利用模误差估计结果,得到(7)最优阶误差估计和超收敛估计概念。

当与时间相关时(为抛物问题准备),由(5)式得(8)利用(7),类似分析可得(9)2、抛物问题半离散有限元方法考虑抛物型方程初边值问题:(10)(10)的变分形式:求使满足(11)(11)的半离散有限元近似:求使满足(12)令,代入(12),依次取可导出常微分方程组:(13)其中为质量矩阵,K为刚度矩阵。

求解常微分方程组(13),得到代回的表达式,即得半离散有限元解。

定理1.问题(12)的解唯一存在且满足稳定性估计:(14)证明:在(12)中取得到整理为(注意是正定的)对此式积分,证毕。

误差分析。

引进解的椭圆投影逼近:满足(15)根据椭圆问题的有限元结果可知(16)分解误差:的估计由(16)式给出,只须估计。

由(11),(12)和(15)知,满足取,类似稳定性论证可得可取为的投影,插值逼近等。

由(17)式,三角不等式和(16),得到(18)3、抛物问题全离散有限元近似剖分时间区间:。

引进差分算子:规定,当为连续函数时,,则有由此得到(19)(20)定义问题(11)的全离散向后Euler有限元近似:求,使满足(21)将代入(21)可导出全离散方程组(22)其中。

第五章 有限元法-1-泛函与变分

第五章 有限元法-1-泛函与变分

设待求变分问题(5-4)的解答(极值函数)为 y=y(x) (5-7)
因y是x的函数,但讨论的是y的变化

设想函数y从极值解(5-7)稍稍变动到y+dy,并把变分dy改记为:eh(x),

e是一个任意给定的微量实参数(实变量);
h(x)是定义于区间[x1,x2],且满足齐次边界条件的任意选定的可微函数,即有: h(x1)=h(x2)=0。

15

与多元函数的极值问题相对应,在几何、力学上的求解泛 函极值的问题。 最速降线问题。


研究当质点从定点A自由下滑到定点B时,为使滑行时间最短,试 求质点应沿着怎样形状的光滑轨道y=y(x)下滑。 取A点为坐标原点,y轴竖直向下(图5-1)。


则沿曲线y=y(x)滑行线段ds所需的时间为
16
18

在最速下降问题,在端点x1和x2给定的无数个函数之中, y ( x) 仅有一个函数 能使式( 5-2a)中的定积分达到极小 y ( x) 值函数,这一函数 被称为极值函数。 所谓变分问题就在于寻求使泛函达到极值的该极值函数, 即分析研究泛函的极值问题。 物理学各分支都存在有相应的变分问题(变分原理),例 如
因此

式中
26

故可得

简写为

将上式与式(5-6)相比较,只相差一个数值因子e。
27

故(5-8)等价于变分方程

也即
(线性主部)

利用分部积分,根据变分与微分顺序可以互换的原理,即 dy’=(dy)’,得
28

在变分问题中,变分dy在端点保持为零

于是,必要条件(5-12)成为

有限元第五讲 结构线性静力分析

有限元第五讲 结构线性静力分析

4.1结构静力分析过程与步骤
一般包括建立模型、施加载荷并求解和检查结果3个步骤 4.1.1 建立模型 主要包括定义单元类型、单元实常数、材料属性和几何模型等。 建立模型注意事项: (1)单元类型必须指定为线性或非线性结构单元类型。 (2)材料属性可为线性或非线性、各向同性或正交各向异性、常量或与温 度相关的量等。 (3)必须定义杨氏模量和泊松比。 (4)对于诸如重力等惯性载荷,必须定义能计算出质量的参数,如密度等。 (5)对热载荷,必须要定义热膨胀系数。 (6)对应力、应变感兴趣的区域,网格划分比仅对位移感兴趣的区域要密。 (7)如果分析中包含非线性因素,网格应划分到能捕捉非线性因素影响的 程度。
4.1结构静力分析过程与步骤

结构静力分析主要用来分析由于稳态外载荷所引起的系统或 零部件的位移、应力、应变和作用力,很适合求解惯性及阻 尼的时间相关作用对结构响应的影响并不显著的问题,其中 稳态载荷主要包括外部施加的力和压力、稳态的惯性力,如 重力和旋转速度、施加位移、温度和热量等。静力分析可分 为线性静力分析和非线性静力分析。
4.1.2 施加载荷并求解




2.在模型上施加载荷 用户能够将载荷施加在几何模型或有限元模型上。结构静力分析的载荷 类型主要包括位移、力或力矩、压力、温度、流通量、重力和旋转角速 度等。 GUI路径为:Main Menu>Solution>DefineLoads>Apply。 指定载荷步选项主要包括普通和非线性选项,其中普通选项包括对载荷 步终止时间(Time)、对热应变计算的参考温度(Reference temperature)和 用于轴对称单元的摸态数 (Mode number)等;非线性选项包括对下面选 项的设置:时间子步数、时间步长、渐变加载还是阶跃加载、是否采用 自动时间步跟踪、平衡迭代的最大数、收敛精度、矫正预测、线搜索、 蠕变准则、求解终止选项、数据和结果文件的输入输出,以及结果外插 法等。

第五讲 杆系有限元的动力分析部分(1)

第五讲 杆系有限元的动力分析部分(1)

K12 y1 (t ) 0 K 22 y2 (t )
由第二式
y1 (t ) K11 y1 (t ) K12 y2 (t ) 0 M 11 K 21 y1 (t ) K 22 y2 (t ) 0
F sin t
3
F sin t
2
F sin t
1
结构分析时,静力分析和动力分析 或许只是结构分析过程中的不同工 况,因此,模型计算时通常需要统 一的自由度选择,而非在两个完全 不同的模型中独立进行分析。 动力自由度和静力自由度是不同的。 动力计算自由度基于质量位形描述 而静力计算自由度(位移法),是 结点位移。
从以上推导过程可知: {y}向量为静力分析时的位移向量 {y1}向量为动力分析时的位移向量 [M']和[K']矩阵为与动力自由度对应的质量、 刚度矩阵
三、杆系结构自由振动分析
3、动力自由度的坐标变换
动力自由度下的运动方程,根据矩阵元素的物理意义可知,质量矩阵 可以是对角矩阵,但刚度矩阵通常为非对角矩阵。
F sin t
2
F sin t
1
运动分析模型
静力分析模型
二、杆系结构动力分析模型
1、动力自由度与分析自由度选取
通过之前的上机分析,可知梁线刚 度远远大于柱线刚度在一般结构中 并不总是可以满足!!!
由于动力分析的荷载模式主要来自 自于水平地面运动。 此时侧向位移是主运动自由度 (x>>y),产生的位移、速度和加 速度要远远大于因为结点转动产生 的楼盖梁的竖向运动的对应值。 所以普通框架可以只考虑楼层的侧 向位移作为动力自由度。
静力分析模型
三、杆系结构自由振动分析

有限元基础理论教程 lecture05 ppt课件.ppt

有限元基础理论教程 lecture05 ppt课件.ppt

A
bi
Axc
ci
Ayc ]
A
1 2A
(ai
bi xc
ci
yc )
1 3
A
Ryi
1 3
qy At
Ryj
1 3
q
y
At
Rym
1 3 qy At
三角形中的一点P可以用子三角形面 积定义的自然坐标来确定。面积坐 标定义为,
Li
Ai A
Lj
Aj A
Lm
Am A
点P表示为,P(Li , Lj , Lm )
面积坐标在三角形全面积上的积分为
2)体力的移置
令单元所受的均匀分布体力为,
{q}
qx
q
y
虚功相等,
{ *}e T{R}e { *}e T [N]T{q}tdxdy
{R}e [N]T {q}tdxdy
(2-17)
例题2.4、设有均质等厚的三角形单元ijm,受 到沿y方向的均布载荷qy的作用。求均布体力 移置到各结点的载荷。
Rxi Ni
Ryi
0
Rxj Ryj
s
Nj 0
Rxm
N
m
Rym 0
0
Ni
0 N
j
q0x
tds
0
Nm
取局部坐标s,在i点s=0,在j点s=l,L为ij边的长度。
在ij边上,以局部坐标表示的插值函数为,
Ni
1
s L
s Nj L
载荷为
qx
q
s L
Nm 0
Rxi
cr bs
cr cs
1
2
br bs
0 cs tA bs

有限元 第五讲

有限元 第五讲

第四章 空间问题有限单元法
一、空间问题常用单元
3. 形函数构造方法: 1)广义坐标法:仅用在常应变单元 2)试凑法:在自然坐标下直接写出形函数 四面体单元的自然坐标是体积坐标
4. 构造曲面单元
等参元:利用规则单元作母元,通过等参变换构造曲 面单元
第四章 空间问题有限单元法
二、常应变四面体单元
1. 基本变量
二、常应变四面体单元
2. 单元位移插值函数: 将结点坐标代入u(x,y,z),得结点x方向位移:
u1 1 2 x1 3 y1 4 z1 u2 1 2 x2 3 y2 4 z2 u3 1 2 x3 3 y3 4 z3 u4 1 2 x4 3 y4 4 z4
(四个方程、四个未知量)
1 y4 z4
x2 1 z2 ci1 c1 (1)i1 x3 1 z3
x4 1 z4
x2 di1 d1 (1)i1 x3
x4
y2 1 y3 1 y4 1
1 x1 y1 z1 V 1 1 x2 y2 z2
6 1 x3 y3 z3 1 x4 y4 z4
按1、2、3、4的顺序变换下2v2
N3u3 N4u4 N3v3 N4v4
w N1w1 N2w2 N3w3 N4w4
或: f N e (由结点位移表示的单元内位移)
N1 0 0 N2 0 0 N3 0 0 N4 0 0
N
0
N1
0
0 N2 0
0 N3 0
0
N4
0
0 0 N1 0 0 N2 0 0 N3 0 0 N4
形函数矩阵
第四章 空间问题有限单元法
二、常应变四面体单元
3. 单元几何方程: 由结点位移求单元内应变

有限元方法-第五章--平面三角形单元

有限元方法-第五章--平面三角形单元

D
E
1 2
1
0
对 1 0

1
(i)
2
所以,[S]的子矩阵可记为
Si DBi
E
2 1 2
bi
1
bi
2
ci
ci
1
ci
2
bi
( i
,
j
,
m轮换) (5-19)
对于平面应变问题,只要将 (i) 式中的E换成E/1-2 , 换成 /1-,即得到其弹性矩阵
D
1
E1 1 2
1
1
起来,便可近似地表示整个区域的真实位移函数。这种 化繁为简、联合局部逼近整体的思想,正是有限单元法 的绝妙之处。
基于上述思想,我们可以选择一个单元位移模式,
单元内各点的位移可按此位移模式由单元节点位移通过
插值而获得。线性函数是一种最简单的单元位移模式,
故设
u 1 2x 3y
v 4 5x 6y
(b)
0
(b)
Ni xm
,
ym
1 2
ai
bi xm
ci ym
0
(c)
类似地有
N j xi , yi 0 , N j x j , y j 1 , N j xm , ym 0 (d) Nm xi , yi 0 , Nm x j , y j 0 , Nm xm , ym 1
式中 1、2、…6是待定常数。因三角形单元共有六个
自由度,且位移函数u、v在三个节点处的数值应该等于 这些点处的位移分量的数值。假设节点i、j、m的坐标分 别为(xi , yi )、(xj , yj )、(xm , ym ),代入 (b) 式, 得:
ui 1 2 xi 3 yi

第05讲-有限元分析方法及工程常用单元类型、单元选择

第05讲-有限元分析方法及工程常用单元类型、单元选择
历史典故
早期 ANSYS是随计算机硬件而发展壮大的。ANSYS最早是在1970年发布 的,运行在价格为$1,000,000的CDC、由Univac和IBM生产的计算机 上,它们的处理能力远远落后于今天的PC机。一台奔腾PC机在几分钟内 可求解5000×5000的矩阵系统,而过去则需要几天时间。
5-9
• Part H. Plane系列 Plane42:二维实体单元
5-3
内容及目标
Part I. SHELL系列 SHELL63:三维板壳单元 SHELL93:三维曲壳单元 变厚度板壳单元的建立
Part J. SOLID系列 SOLID45:三维块体单元 SOLID65:三维混凝土块体单元 SOLID95:三维块体单元
• 点——质量块(Mass21)
• 杆状结构——斜拉索、桁架结构(LINK1、Link8、Link10)等
• 梁柱结构——支柱和横梁、纵梁等模拟梁单元,如Beam3、Beam4、Beam188/189(具 有任意真实截面形状,无须计算几何特性)、beam44、BEAM54(变截面梁单元)等。
• 壳体结构——桥面板、腹板、横隔板等薄结构模拟板壳元,如shell63、shell93、 shell91/99(250层复合壳)等。
5-25
LINK 单元系列
• 杆系结构是指结构由许多细长杆件构成的结构系统,且杆件的弯曲刚度较小, 或者弯曲产生的应力和轴力相比较小,每个杆件的主要变形为轴向变形。
• 对于这一类问题,有限元模型可以利用杆单元模型(Link)来处理。 • 在Ansys 中,二维杆单元是Link1,三维杆单元是Link8和Link10。 • 对于许多杆系空间结构需要利用Link8 单元求解。在Ansys 中杆件的内力需要

有限元ppt课件

有限元ppt课件
17
因此有 y(x) (x)
试探函数中所取的项数越多,逼近的精度越高。
将试探函数代入式(1-9),可以得到关于n个待定系数
的泛函表达式,简记为 I y(x) I(1,2,3, ,n)
根据多元函数有极值的必要条件,有

1
I (1,2 ,3,

2
I (1,2 ,3,
力,它反映了内力在截面上的分布密度。
z
y
o
zx
xz
z zy
yz
切应力互等定律 xy yx , xz zx , yz zy
y
应力矩阵
x xy
yx
T
x y z xy yz zx
y
x
z
微分体的应力分量


v y w z u v

0

0




yz

zx
y x y

v

w
0
y
0
x
0


z


u v

0

w
39
厚度为1的微分体,在水平方向拉
力F的作用下发生了位移 xdx
拉力表达式:
F xdy 1
x
x dy
拉力做的功:
dx
xdx
dW

1 2
F xdx
将F代入:
dW

1 2

x
x
dxdy
40
储存在微分体内的应变能:
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三.平面问题直边单元位移函数的两种构造方法
3、广义坐标法构造位移插值函数
1)用广义坐标 作为待定参数,给出单元位移模式 2)由单元结点坐标求解
3)将 代入f 得到单元结点位移 {}e 表示的位移
和相应的插值函数 N 。
需求逆矩阵,存在矩阵不可逆及表达式难以规范化等问题,不适 于构造高阶单元
平面问题有限单元法
解方程组得 1 ~后6,可将u的表达整理成:
u
1 6V
[a1
b1x
c1
y
d1 z u1
a2
b2 x
c2
y
d2
z u2
a3 b3x c3 y d3zu3 a4 b4 x c4 y d4 zu4 ]
式中:
x2 y2 z2 ai1 a1 (1)i1 x3 y3 z3
x4 y4 z4
1 ELEMENTS
第四章 空间问题有限单元法
一、空间问题常用单元 二、常应变四面体单元
第四章 空间问题有限单元法
一、空间问题常用单元
1. 按形状分: 四面体单元(三棱锥) 五面体单元(三棱柱) 六面体单元(立方体)
2. 按位移函数阶次分 线性单元:四结点四面体,六结点五面体、八结点六面体等 二阶单元:十结点四面体,二十结点六面体等 三阶单元:二十结点四面体,三十二结点六面体等
平面问题有限单元法
一.什么是平面问题?平面问题的基本未知量是什么? 二.有限元分析的主要步骤 三.平面问题直边单元位移函数的两种构造方法 四.曲边单元的构造方法 五.四种平面单元
平面问题有限单元法
一.什么是平面问题?平面问题的基本未知量是什么?
实际工程结构问题严格来讲都属于空间问题,但对一些特殊的几何 形状和荷载,可将空间问题简化为平面问题。
平面问题有限单元法
三.平面问题直边单元位移函数的两种构造方法
1、收敛准则:完备性、协调性要求
C0问题、C1问题 协调元、非协调元、广义协调元 2、形函数的特点 1) 在结点i处Ni=1,其他结点Ni=0; 2) 包含完全的一次多项式; 3) 由其定义的未知量在单元之间连续;
4) Ni 1
平面问题有限单元法
二、常应变四面体单元
2.பைடு நூலகம்单元位移插值函数: 将结点坐标代入u(x,y,z),得结点x方向位移:
u1 1 2 x1 3 y1 4 z1 u2 1 2 x2 3 y2 4 z2 u3 1 2 x3 3 y3 4 z3 u4 1 2 x4 3 y4 4 z4
(四个方程、四个未知量)
第四章 空间问题有限单元法
一、空间问题常用单元
3. 形函数构造方法: 1)广义坐标法:仅用在常应变单元 2)试凑法:在自然坐标下直接写出形函数 四面体单元的自然坐标是体积坐标
4. 构造曲面单元
等参元:利用规则单元作母元,通过等参变换构造曲 面单元
第四章 空间问题有限单元法
二、常应变四面体单元
1. 基本变量
定待定参数。
Ni 1
4)待求出所有结点的Ni后,需验证
平面问题有限单元法
四.曲边单元的构造方法
利用自然坐标下的已知单元构造曲边单元
要解决两个问题: 如何描述单元几何形状? 如何描述单元内任一点的物理量?
等参元:单元的几何形状和位移场都采用相同的形函数 亚参元:单元几何形状插值函数的阶数低于位移插值函数 超参元:单元几何形状插值函数的阶数高于位移插值函数
三.平面问题直边单元位移函数的两种构造方法
4、试凑法构造位移插值函数
在自然坐标下,根据形函数的特点直接列出每个结点形函数的表 达式。
具体步骤:
1)对于结点i 找出过其余结点的若干直线;
2)适当选用上述直线,将直线方程的左部以带参数连乘
式作为形函数Ni,这样可使在“它点为零”的条件自动满 足。
3)将i点坐标带入上面假定的Ni,用“本点为1”的性质确
1 ELEMENTS
第四章 空间问题有限单元法
由平面问题转为空间问题,给有限元分析带来两个主要 难题:
1、空间离散化不太直观,人工离散很容易出错。 2、未知量的数量剧增,对计算机的存储和计算时间要求 较高。
第四章 空间问题有限单元法
解决问题: 1、编程建模 2、采用高精度单元
由于通用软件有很好的前后处理功能,因此空间问题基本上都靠软件来解决。
两类平面问题:平面应力问题和平面应变问题。
平面问题的基本未知量:
{
f
}
u
v
[x, y , xy]T
[ x, y , xy]T
平面问题有限单元法
二.有限元分析的主要步骤
有限元法主要优点之一:理论推导过程及计算步骤的高度规范和统一 位移元主要步骤: 1.离散连续介质,形成有限元网格,并完成单元及结点编号 2.单元分析,得到以结点位移为基本未知量的单元平衡方程 3.整体分析,得到总体平衡方程 4.边界条件处理,消除总刚度矩阵的奇异性 5.解线性代数方程组,得到结点位移 6.单元计算,由结点位移得到应力、应变 7.其它要求。
二、常应变四面体单元
2. 单元位移插值函数: 设单元内任一点的位移为坐标的 线性函数:
u(x, y, z) 1 2x 3 y 4z v(x, y, z) 5 6x 7 y 8z w(x, y, z) 9 10 x 11 y 12z
1 ~ 12 即为广义坐标
第四章 空间问题有限单元法
单元内任一点位移:
u
{
f
}
v
单元内任一点应变: w
{} x
y
z
xy
yz
T zx
单元内任一点应力:
{} x
y
z
xy
yz
T zx
第四章 空间问题有限单元法
二、常应变四面体单元
1. 基本变量
ui
结点位移:
{ i }
vi
wi
1
单元结点{}e
位移:
2 3
4
第四章 空间问题有限单元法
平面问题有限单元法
四.曲边单元的构造方法
注意构造等参单元时求导及积分过程的坐标变换 数值积分法:Gauss法,积分阶数的选取。
平面问题有限单元法
五.四种平面单元
1、常应变单元 2、二次三角形单元 3、双线性矩形单元 4、任意四边形单元
第四章 空间问题有限单元法
实际工程中,对于那些形体复杂,三个方向尺寸同量级 的结构,必须按空间(三维)问题求解。 空间问题的有限单元法中的位移仍然只有平动位移,所以仍 属于C0连续问题,因此构造单元并不难。将平面问题有限元 法“稍加变动”并“加以推广”便可用于空间问题。
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