求二次函数解析式的基本方法与练习题

求二次函数解析式的基本方法及练习题

二次函数是初中数学的一个重要内容， 也是高中数学的一个重要基础。 熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。

二次函数的解析式有三种基本形式：

1、一般式： y=ax 2 +bx+c (a ≠0) 。

2 、顶点式： y=a(x －h) 2 +k (a ≠ 0) ，其中点 (h,k) 为顶点，对称轴为 x=h 。

3 、交点式： y=a(x －x 1 )(x －x 2 ) (a ≠ 0) ，其中 x 1 ,x 2 是抛物线与 x 轴的交点的横

坐标。

求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式： 1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。

2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。

3、若给出抛物线与 x 轴的交点或对称轴或与 x 轴的交点距离，通常可设交点式。 探究问题，典例指津：

例 1、已知二次函数的图象经过点 ( 1, 5), (0, 4) 和 (1,1) ．求这个二次函数的解析式．

分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式 y=ax 2 +bx+c (a ≠0) 。

解：设这个二次函数的解析式为 y=ax 2 +bx+c (a ≠0)

a b

c 5

a 2 依题意得： c

4

解这个方程组得： b

3 a b c

1 c

4

∴这个二次函数的解析式为 y=2x 2 +3x －4。

例 2、已知抛物线 y

ax 2

bx

c 的顶点坐标为 (4, 1) ，与 y 轴交于点 (0,3) ，求这

条抛物线的解析式。

分析：此题给出抛物线 y

ax 2

bx c 的顶点坐标为 (4, 1) ，最好抛开题目给出的

y ax 2

bx c ，重新设顶点式 y=a(x － h) 2

+k (a ≠0) ，其中点 (h,k) 为顶点。

解：依题意，设这个二次函数的解析式为 y=a(x －4) 2 － 1 (a ≠0)

又抛物线与 y 轴交于点 (0,3) 。

∴ a(0 －4) 2 － 1=3

∴a=

1

4

∴这个二次函数的解析式为

y= 1

(x － 4) 2

－1，即 y= 1

x 2 － 2x+3。

4 4

例3、如图，已知两点 A（－ 8，0），（ 2，0），以 AB为直径的半圆与 y 轴正半轴交于点C。求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式。

分析： A、B 两点实际上是抛物线与x 轴的交点，所以可设交点式y=a(x － x 1 )(x －x 2 ) (a≠0)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标。

解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x+8)(x －2)

又连结 AC、BC，利用射影定理或相交弦定理的推论易得：

OC2 =AC·BC=8×2∴ OC=4

即 C(0,4) 。

∴ a(0+8)(0 －2)=4∴ a=1

4

∴这个二次函数的解析式为y=1(x+8)(x －2) ，即 y=1

x 2－

3

x+4。

442变式练习，创新发现

1、在图的方格纸上有 A、B、C三点（每个小方格的边长为 1 个单位长度）．

（l ）在给出的直角坐标系中分别写出点A、B、 C的坐标；

（2）根据你得出的 A、B、C三点的坐标，求图象经过这三点的二次函数

的解析式．

2、已知抛物线的顶点坐标为(2,1) ，与y轴交于点 (0,5) ，求这条抛物线的解析式。

3、已知抛物线过A（－ 2，0）、B（1， 0）、C（ 0，2）三点。求这条抛物线的解析式。）

4.根据下列条件求二次函数解析式． (1) 若函数有最小值 -8 ，且

a∶b∶c=1∶2∶(-3) ．(2) 若函数有最大值 2，且过点 A(-1 ， 0) 、B(3， 0) ． (3) 若函数当x＞-2 时 y 随 x 增大而增大 (x ＜ -2 时， y 随 x 增大而减小 ) ，且图象过点 (2 ，4) 在 y 轴上截距为 -2 ．

参考答案：

1、（1）A(2,3);B(4,1);C(8,9)。（2）y=1

x2－4x+9。2

2、 y=(x － 2) 2 +1，即 y=x 2－4x+5。

3、 y=－(x+2)(x －1) ，即 y=－x 2－x+2。

4. 分析： (1) 由 a∶b∶c=1∶2∶(-3) 可将三个待定系数转化为求一个 k．即设 a=k，b=2k，c=-3k(2) 由抛物线的对称性可得顶点是 (1 ， 2)(3) 由函数性质知对称轴是 x=-2

解：

(1) 设 y=ax2＋bx+c ∵a∶b∶c=1∶2∶(-3)

∴设 a=k， b=2k， c=- 3k ∵有最小值 -8

∴解析式 y=2x2+4x-6

(2)∵图象过点 A(-1 ，0) 、B(3，0) ， A、 B 两点均在 x 轴上，由对称性得对称轴为

x=1．又函数有最大值 2，∴顶点坐标为 (1 ，2) ，∴设解析式为 y=a(x-1) 2＋2．

(3)∵函数当 x＞ -2 时 y 随 x 增大而增大，当 x＜-2 时 y 随 x 增大而减小∴

对称轴为 x=-2 设 y=a(x+2) 2 +n

∵过点 (2 ，4) 在 y 轴上截距为 -2 ，即过点 (0 ， -2)