数值分析总复习

样条插值；整体连续光滑，且不需知导数值。
插值问题提法：已知
x y f(x)
x0 y
x1 y
xn y
0
1
n
求一个三次分段函数 S(x) 使
1,
S(
xi
)
y i
x x 2, 在 [ , ] 上是三次多项式
i
i 1
C 3, S(x) 2 ( a,b )
i 0, 1, , n
计算三次样条算法
由边界条件 i , i , , i 0 ,1,, n
插值基函数方法
插值问题解的一般形式 ：
n (x) a0 a1 x an xn
(1 )
实质上是在求多项式的 自然基底 Bn Span{1, x , ,xn}
张成的线性空间中的一 个点 —一个多项式 (1) ,由(2 18)
式知,解存在唯一 ,只要解方程组求出线 性组合系数 {ai}
就可以了 , 但计算量太大 .
定理2.5(余项) .
(2 - 35)
设H (x)是过 x0 , x1 的 Hermite 插值多项式 , C f f(x) 3 , ( 4 )(x)在 (a,b) 内存在, (a,b)是
(a,b)
含点 x0 , x1 的任一区间, 则对任意给定的
x (a,b) 总存在一点ξ (x)使
R(x)
f(x) H(x)
f
( 4 )(ξ
4!
)
(x
x0
)2(x
x1
)2
分段三次 Hermite 插值多项式及余项
∑ y h m H n
H (x) [ (x)
( x)]
i0
ii
ii
定理2.7(余项) :
(2 - 40)
设 H (x) 是 a x0 x1 xn b 上分段三次
C f Hermite 插值函数 , f(x)∈ 3 ( a,b )
La g ra n ye插值多项式： 基函数有对称性 , 组合系数是函数值。
基：l k (x)
w( x) (x xk)w' (xk)
,
w(x) (x x0)(x xn)
n
Ln (x) lk (x) yk
Newto n 插值k多 0 项式： 基函数是递推的，增加 节点只
多算一个基函数。
w0 (x) 1 , wk (x) wk 1(x)( x xk 1 )
基本理论：Lagrange，Newyor型基函数，分 段插值公式样条插值构造方法。 作用区别，算法、误差公式 （理解与应用）
拟合方法的正交多项式系的概念。 DFT与FFT的构成，公式与算法。 数值积分：几何意义，基本公式，算法，误差。 Romberg求积法的理论依据与算法。
多项式插值问题解的存在唯一性
n
N n (x)
f( x0 , , xk ) wk (x)
k 0
误差： Rn(x)
f (n 1)(ξ
(n 1)!
)
w(x)
,ξ [a,b]
,x0 ,xn [a,b]
在n+1个节点处各阶差商的计算方法
如果f (x)的函数值称为零阶差商 , 则计算如下表 :x f(x)源自x0 y0x1 y1
f(x0 , x1 )
n
=
∑n
k =0
ak
xk
ak 是待定系数
则{ai}满足线性方程组(插值条件2)
a0 + a1 x0 + + an x0n = y0 a0 + a1 x1 + + an x1n = y1
(2 -18)
a0 + a1 xn + + an xnn = yn
可以证明解{ai}是存在唯一的,因为系数行列 式不等于零
hi (x j) ij , Hi (x j) 0 h'i (x j) 0 , Hi ' (x j) ij
H
x
h0
x
y 0
h1
x
y 1
H
0
x
m0
H
1
xm1
hi (x)主管函数值，导数值为 零； H i (x)主管导数值、函数值为 零。
三次 Hermite 多项式及余额
H( x ) = y0 h0( x ) + y1h1( x ) + m0 H 0( x ) + m1 H1( x )
x2 y2 f(x1 , x2 ) f(x0 , x1 , x2 )
x3 y3 f(x2 , x3 ) f(x1 , x2 , x3 )
xn
yn f( xn-1 , xn ) f( xn-2 , xn-1 , xn ) f( x0 , x1 xn )
三次Hermite插值基函数
四个基函数 hi (x) , Hi (x) (i 0,1)满足 :
为了具体进行理论研究和实际计算的方便,我们要寻找 其他形式的 Bn 的基底:
Lagrange基函数,在表达式中突出已知函数值{yi}而便 于理论研究.
Newton基函数,便于随次数n不断增加而减少计算量的 形式.
插值问题；已知 y f (x) 的 n 1 个节点 (xi , yi)，
求一个 n 次多项式 n (x)，使 n (xi) yi , i 0 ,1,, n 。
1,
a0
0
2
,
b0
0
2
ai
2
i
a (1
)i
i-1
,
bi
i (1- i )bi-1 2 (1 i) ai-1
i 1, 2 ,, n
2, mn1 0
m a m b i
i i1
i
,
i n , n -1,, 0
3, 求出[ xi , x ] i1 上S（x）。
4， 求出[a，b] 上样条插值函数。
《数值分析》复习
(一)数值计算与分析 (数值分析 )在求解实际问题
中位置。
模型误差
方法误差
实际问题 数学模型 计算方法
修正
测量误差 舍入误差
输出预测结果 结果检验 实际计算
(数值分析）
数值逼近 数值代数
方程求解
数值逼近
插值法
FFT
拟合法
数值积分与微分
基本思想：基函数方法
第一章 插值多项式
数值微分
由函数 f (x) 在节点上函数值 n 次插值函数
n (x) n (x) 导函数 求近似值。
求余项公式：
f (x) n (x)
f (n1) ( )
w(x) (n 1)!
∈(a, b)
求导 :
f '(x) 'n (x)
f (n1) ( )
(n 1)!
d w( x) dx
w(x) (n 1)!
(4)
(x )
在 (a,b) 上
存在, 对任一给定 x∈ (a,b):
R(x)
f(x) H(x)≤ h4 384
M4
其中
h max
x x ,
i 1
i
M 4 max
0in1
a xb
f (4) (x)
样条插值函数 分段线性插值： 整体连续、不光滑。 分段Hermite插值： 整体连续、但需给出导数值。