最新人教版高考数学一轮复习2.4二次函数公开课教学设计

2.4 二次函

典例精析

题型一 求二次函的解析式

【例1】已知二次函y ＝f(x)的图象的对称轴方程为x ＝－2，在y 轴上的截距为1，在x 轴上截得的线段长为22，求f(x)的解析式.

【解析】设f(x)＝ax2＋bx ＋c (a≠0)，由已知有

[]

解得a ＝12，b ＝2，c ＝1，所以f(x)＝12

x2＋2x ＋1.[] 【点拨】求二次函的解析式，要根据已知条件选择恰当的形式，三种形式可以相互转，若二次函图象与x 轴相交，则两点间的距离为|x1－x2|＝b2－4ac |a|

. 【变式训练1】已知二次函y ＝x2＋bx ＋c 的图象过点A(c,0)，且关于直线x ＝2对称，则这个二次函的解析式是 .

【解析】由已知x ＝c 为它的一个根，故另一根为1.

所以1＋b ＋c ＝0，又－b 2＝2⇒b ＝－4，所以c ＝3.[] 所以f(x)＝x2－4x ＋3.

题型二 二次函的最值

【例2】已知二次函f(x)的二次项系为a ，且不等式f(x)＞－2x 的解集为(1,3).

(1)若方程f(x)＋6a ＝0有两个相等实根，求f(x)的解析式；

(2)若f(x)的最大值为正，求a 的取值范围.

【解析】(1)因为f(x)＋2x ＞0的解集为(1,3).

所以f(x)＝a(x －1)(x －3)－2x ＝ax2－(2＋4a)x ＋3a.①

由f(x)＋6a＝0⇒ax2－(2＋4a)x＋9a＝0，②

由②知，Δ＝[－(2＋4a)]2－4a×9a＝0⇒5a2－4a－1＝0，所以a＝1或a＝－1 5 .

因为a＜0，所以a＝－1

5

，代入①得f(x)＝－

1

5

x2－

6

5

x－

3

5

.

(2)由于f(x)＝ax2－2(1＋2a)x＋3a＝a(x－1＋2a

a

)2－

a2＋4a＋1

a

，

又a＜0，可得[f(x)]max＝－a2＋4a＋1

a

.

由⎪⎩

⎪

⎨

⎧

<

>

+

+

-

,0

1

4

2

a

a

a

a

⇒a＜－2－3或－2＋3＜a＜0.

【点拨】(1)利用Δ＝0；(2)利用配方法.[]

【变式训练2】已知二次函y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3和最小值2，则m的取值范围是.

【解析】[1,2].

题型三二次函在方程、不等式中的综合应用

【例3】设函 f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，x1＜x2，f(x1)≠f(x2)，对于方程

f(x)＝1

2

[ f(x1)＋f(x2)]，求证：

(1)方程在区间(x1，x2)内必有一解；

(2)设方程在区间(x1，x2)内的根为m，若x1，m－1

2

，x2成等差列，则－

b

2a

＜m2.[]

【证明】(1)令g(x)＝f(x)－1

2

[ f(x1)＋f(x2)]，

则g(x1)g(x2)＝1

2

[ f(x1)－f(x2)] ∙

1

2

[ f(x2)－f(x1)]＝－

1

4

[ f(x1)－f(x2)]2

＜0，

所以方程g(x)＝0在区间(x1，x2)内必有一解.

(2)依题意2m－1＝x1＋x2，即2m－x1－x2＝1，

又f(m)＝1

2

[ f(x1)＋f(x2)]，即2(am2＋bm＋c)＝ax21＋bx1＋c＋ax22＋bx2＋c.

整得a(2m2－x21－x22)＋b(2m－x1－x2)＝0，a(2m2－x21－x22)＋b＝0，

所以－b

2a ＝m2－

x21＋x22

2

＜m2.

【点拨】二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的分布问题，一般情况下，需要从三个方面考虑：①判别式；②区间端点对应二次函的函值的正负；③相应二次函的对称

轴x＝－

b

2a

与区间的位置关系.

【变式训练3】已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2(a＜b)，α，β是f(x)＝0的两根(α＜β)，则实α，β，a，b大小关系为( )

A.α＜a＜b＜β

B.a＜α＜β＜b

C.a＜α＜b＜β

D.α＜a＜β＜b

【解析】A.

总结提高

1.二次函的表达式有多种形式，形式的选择要依据题目的已知条件和所求结论的特征而定.

2.利用二次函的知识解题始终要把握二次函图象的关键要素：①开口方向；②对称轴；③与坐标轴的交点.

3.二次函、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，相互渗透，解题时要注意三者的相互转，重视用函思想处方程和不等式问题.