小波变换与傅里叶变换的对比、异同

小波变换与傅里叶变换的对比、异同

一、基的概念

两者都是基，信号都可以分成无穷多个他们的和（叠加）。而展开系数就是基与信号之间的内积，更通俗的说是投影。展开系数大的，说明信号和基是足够相似的。这也就是相似性检测的思想。但我们必须明确的是，傅里叶是0-2pi标准正交基，而小波是-inf到inf之间的基。因此，小波在实轴上是紧的。而傅里叶的基（正弦或余弦），与此相反。而小波能不能成为Reisz基，或标准稳定的正交基，还有其它的限制条件。此外，两者相似的还有就是PARSEVAL定理。（时频能量守恒）。

二、离散化的处理

傅里叶变换，是一种数学的精妙描述。但计算机实现，却是一步步把时域和频域离散化而来的。第一步，时域离散化，我们得到离散时间傅里叶变换（DTFT），频谱被周期化；第二步，再将频域离散化，我们得到离散周期傅里叶级数（DFS），时域进一步被周期化。第三步，考虑到周期离散化的时域和频域，我们只取一个周期研究，也就是众所周知的离散傅里叶变换（DFT）。这里说一句，DFT是没有物理意义的，它只是我们研究的需要。借此，计算机的处理才成为可能。所有满足容许性条件（从-INF到+INF 积分为零）的函数，都可以成为小波。小波作为尺度膨胀和空间移位的一组函数也就诞生了。但连续取值的尺度因子和平移因子，在时域计算量和频域的混叠来说，都是极为不便的。用更为专业的俗语，叫再生核。也就是，对于任何一个尺度a和平移因子b的小波，和原信号内积，所得到的小波系数，都可以表示成，在a，b附近生成的小波，投影后小波系数的线性组合。这就叫冗余性。这时的连续小波是与正交基毫无关系的东西，它顶多也只能作为一种积分变换或基。但它的显微镜特点和相似性检测能力，已经显现出来了。为了进一步更好的将连续小波变换离散化，以下步骤是一种有效方法。第一步，尺度离散化。一般只将a二进离散化，此时b是任意的。这样小波被称为二进小波。第二步，离散b。怎么离散化呢？b取多少才合适呢？于是，叫小波采样定理的东西，就这样诞生了。也就是小波平移的最小距离（采样间隔），应该大于二倍小波基的最高频率（好像类似，记不清了）。所以b取尺度的整数倍就行了。也就是越胖的小波，对应频谱越窄，平移量应该越大，采样间隔越大。当然，第一二两步的频域理解，即在满足频域窗口中心是3倍的频域窗口半径的前提下，频域就在统计上是完美二分的。（但很多小波满足不了这个条件，而且频域窗口能量不?, 所以只是近似二分的). 这时的小波变换,称为离散二进小波变换.第三步,引入稳定性条件.也就是经过变换后信号能量

和原信号能量有什么不等式关系.满足稳定性条件?后,也就是一个小波框架产生了可能.他是数值稳定性的保证.一个稍弱的稳定

条件,就是?

三、快速算法。

如果说现代数字信号处理革命的算法，甚至是很多快速算法的老始祖，或者是满矩阵向量乘法一个几乎不可抗拒的最小计算量NlogN，那就是令我不得不佩服的快速傅里叶变换（FFT）。这里我不想解释过多的基2算法，和所谓的三重循环，还有那经典的蝶形单元，或是分裂基之类，我想说的就是一种时频对应关系。也就是算法的来源。我们首先明确，时域的卷积对应频域的相乘，因此我们为了实现卷积，可以先做傅里叶变换，接着在频域相乘，最后再做反傅里叶变换。这里要注意，实际我们在玩DSP。因此，大家要记住，圆周卷积和离散傅里叶变换，是一家子。快速傅里叶是离散傅里叶的快速算法。因此，我们实现离散线性卷积，先要补零。然后使得它和圆周卷积相等。然后就是快速傅里叶变换，频域相乘，最后反快速傅里叶变换。当然，如果我们就需要的是圆周卷积，那我们也就不需要多此一举的补零。这里，我们可以把圆周卷积，写成矩阵形式。这点很重要。Y=AX。这里的A是循环矩阵。但不幸的是A仍然是满阵。小波的快速算法。MALLAT 算法，是一个令人振奋的东西。它实质给了多分辨率分析（多尺

度分析）一个变得一发而不可收的理由。它实质上，讲了这样一个意思。也就是。我在一个较高的尺度（细节）上作离散二进稳定的小波变换，得到了一个结果（小波系数），我若是想得到比它尺度低的小波系数（概貌），我不用再计算内积，只是把较高尺度的小波系数和低通或高通滤波器卷积再抽取即可。但是，所有这些证明的推导是在整个实轴上进行的。即把信号看成无限长的。但这仍不是我们想要的。还有，我们还必须在较高尺度上作一次内积，才可以使用此算法。因此，我们开始简化，并扩展此理论。第一，我们把信号的采样，作为一个较高层的小波系数近似初始值。（这是可以的，因为小波很瘦时，和取样函数无异）。第二，我们把原来的卷积，换为圆周卷积。这和DSP何尝不一样呢？它的物理意义，就是把信号作周期延拖（边界处理的一种），使之在整个实轴上扩展。这种算法令我为之一贯坚持的是，它是完全正交的，也就是说是正交变换。正变换Y=AX；反变换 X=A’Y；一般对于标准正交基，A’是A的共轭转置，对于双正交A’是A的对偶矩阵。但不管如何，我们可以大胆的写，AA’=A’A=I。这里I是单位矩阵。

那怎样操作才是最快的呢？我们来分析A的特点，首先A是正交阵，其次A是有循环矩阵特点，但此时A上半部分是由低通滤波器构成的循环子矩阵，下半部分是由高通滤波器构成的子矩阵，但却是以因子2为循环的。为什么，因为你做了2抽取。所以我们可以，实现小波变换用快速傅里叶变换。这时如果A是满阵的，则复杂度由O(N.^2）下降到O(NlogN)。但还有一点，我们忘了A是稀疏的，因为信号是很长的，而滤波器确实很短的，也就是这个矩阵是个近似对角阵。所以，快速傅里叶是不快的，除非你傻到含有零的元素，也作了乘法。因此，小波变换是O(N)复杂度的。这是它的优势。但要实现，却不是那么容易，第一个方法，稀疏矩