中考专题11 四边形面积最值-最新中考数学二次函数压轴题核心考点突破

根据 B、C 坐标可得 BC 的解析式为 y 1 x 4 2
x=3 y
P
过点
P
作
PQ⊥x
轴交
BC
于点
Q，则
Q
点坐标为
m,
1 2
m
4
，
C
故
PQ
1 4
m2
3 2
m
4
1 2
m
4
1 4
m2
2m
，
Q A
O
当 m=4 时，PQ 取到最大值 4，
SVBPC
1 84 2
16
，
故四边形 PBOC 的最大面积为 32，此时 P 点坐标为（4,6）．
4
1 2
m2
m
4
1 2
m2
2m
，
当 m=-2 时，PQ 取到最大值 2，此时△BPC 面积最大，四边形 ABPC 面积最大．
此时 P 点坐标为（-2，-4）．
y
B
O
Ax
P
C
【2019 枣庄中考（删减）】
已知抛物线 y ax2 3 x 4 的对称轴是直线 x 3 ，与 x 轴相交于 A ， B 两点（点 B 在点 A 2
右侧），与 y 轴交于点 C ．
（1）求抛物线的解析式和 A ， B 两点的坐标；
（2）如图，若点 P 是抛物线上 B 、 C 两点之间的一个动点（不与 B 、 C 重合），是否存在
点 P ，使四边形 PBOC 的面积最大？若存在，求点 P 的坐标及四边形 PBOC 面积的最大值；
若不存在，请说明理由；
y
B
O
Ax
P
C
考虑
A （2,0）、B（-4,0）、C（0，-4），故 SVABC
1 64 2
12
，
接下来求△BPC
的面积，设
P
点坐标为
m,
1 2
m2
m
4
，
连接 BC，则直线 BC 的解析式为：y=-x-4
过点 P 作 来自百度文库Q⊥x 轴交 BC 于点 Q，则 Q 点坐标为（m，-m-4），
故
PQ
m
y
A
D
y
A
D
B O
C x
B O
C x
就是这么的简单粗暴，甚至还有一点无聊~ 搞定了四边形的面积，就可以看看四边形面积的最值了，还是来看点例子吧：
【2019 东营中考（删减）】
已知抛物线 y ax2 bx 4 经过点 A(2,0) 、 B(4,0) ，与 y 轴交于点C ．
（1）求这条抛物线的解析式；
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中物理
四边形面积最值
1 课堂导入
除了关于三角形的各种面积问题之外，四边形问题也是中考题中常见的
一种问法，鉴于四边形一般是普普通通的四边形，因此问题一般也是普普通
通的问题，本文分享一点关于四边形面积的题目．
y
A
D
思考：如何求一个普通的四边形的面积？
C
B
O
x
解法也很普通，连对角线分割为两个三角形即可求得面积， 至于三角形面积参考铅垂法．
（2）如图，点 P 是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形 ABPC 的面积最大时，求点 P
的坐标．
y
【分析】 （1） y 1 x2 x 4 ；
2
B
O
Ax
P
C
（2）此处四边形 ABPC 并非特殊四边形，所以可以考虑连接对角线将四边形拆为两个三角 形求面积． 若连接 AP，则△ABP 和△APC 均为动三角形，非最佳选择； 若连接 BC，可得定△ABC 和动△BPC，只要△BPC 面积最大，四边形 ABPC 的面积 便最大．
y
2
C
C
P
OA
B
x
OA
Bx
图1
图2
【分析】
（1）由题意得：A（1,0）、C（0,5），代入可解抛物线解析式为： y x2 6x 5 ，点 B 坐标
为（5,0）．
y
（2）显然四边形 AMBC 可拆为△ABC 和△AMB ，
SVABC
1 2
AB OC
1 4 5 10 2
，
C P
显然，当 M 点在抛物线顶点时，△AMB 面积最大，
2
4
此时四边形面积为 1 15 1 15 ．故最大面积为15 ．
24 8
8
写在最后： 特四找公式，普四化为三．
“ THANKS ”
【分析】 （1）抛物线： y 1 x2 3 x 4
42 点 A 坐标为（-2,0），点 B 坐标为（8,0）．
x=3 y
P
C
A O
B x
（2）显然将四边形 PBOC 拆为△BOC 和△PBC，点 C 坐标为（0,4），
故
SVBOC
1 2
84
16
，
设
P
点坐标为
m,
1 4
m2
3 2
m
4
，
（2）若点 M 为 x 轴下方抛物线上一动点，连接 MA 、 MB 、 BC ，当点 M 运动到某一位置
时，四边形 AMBC 面积最大，求此时点 M 的坐标及四边形 AMBC 的面积；
（3）如图 2，若 P 点是半径为 2 的 e B 上一动点，连接 PC 、 PA ，当点 P 运动到某一位置
时， PC 1 PA 的值最小，请求出这个最小值，并说明理由． y
A
O PQ B
x
22
（2）注意题目的描述：线段 PQ 在线段 AB 上移动，故四边形可能在 C 点左侧，可能在 C
点右侧，可能横跨 C 点．
显然四边形面积的最大 值存在于第一种情况．
当四边形在 点
C
左侧时，设
D
m,
1 2
m
1 2
，则
G
点坐标为
m
1,
m 2
1
1 2
，E
点坐
标为
m,
1 2
m2
3 2
m
2
，F
点坐标为
m
1,
1 2
m2
1 2
m
3
，
故
DE
1 2
m2
3 2
m
2
1 2
m
1 2
1 2
m2
m
3 2
，
y
y
y
FG
1 2
m2
1 2
m
3
m 1 2
1 2
1 2
m2
2
，
FG DE m2 m 7 ， 2
A O
A
B
x
O
A
B
x
O
B
x
当 m 1 时，FG+DE 取到最大值为15 ，
2
y
C P
OA
DB x
【2019 相城区一模】
如图，抛物线 y ax2 3ax 4a(a 0) 与 x 轴交于 A ， B 两点，直线 y 1 x 1 经过点 A ， 22
与抛物线的另一个交点为点 C ，点 C 的横坐标为 3，线段 PQ 在线段 AB 上移动， PQ 1 ， 分别过点 P 、 Q 作 x 轴的垂线，交抛物线于 E 、 F ，交直线于 D ，G ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在线段 PQ 的移动过程中，以 D 、E 、F 、G 为顶点的四边形面积是否有最大值，若
有求出最大值，若没有请说明理由．
y
【分析】
EF
（1）由题意得 C 点坐标为（3,2），代入抛物线解析式得： a 1 ， 2
DG C
抛物线解析式为： y 1 x2 3 x 2 ．
OA
Bx
此时 M 点坐标为（3，-4），
SVAMB
1 2
44
8
，
M
故四边形 AMBC 面积最大值为 10+8=18，此时 M 点坐标为（3，-4）．
（3）这才是本题重点啊！这个重点掩藏得很不认真． 显然是个“阿氏圆”问题，构造 1 PA 即可，参考阿氏圆解决方法，
2 取点 D（4,0），连接 PD，任意时刻，均有 PD 1 PA ，问题易解．
这个题目四边形已拆好 ，只要负责计算就可以了，而计算的内容 ，与三角形无异．
B x
【2019 日照中考】 如图 1，在平面直角坐标系中，直线 y 5x 5 与 x 轴， y 轴分别交于 A ，C 两点，抛物线
y x2 bx c 经过 A ， C 两点，与 x 轴的另一交点为 B ．
（1）求抛物线解析式及 B 点坐标；