2010年最新高考模拟试题压轴选(三)

2010年最新高考模拟试题压轴选(三)

D

(–2m ，0)单调递减，

又f (x )在(0, +∞)上递增，故f (x )有极小值f (0) = 0，f (x )有极大值3

4(2)3

f m m -=． 6分

（2）当x >0时，先比较e x – 1与ln(x + 1)的大小，

设h (x ) = e x – 1–ln(x + 1) (x >0) h ′(x ) =1

01

x

e

x -

>+恒成立

∴h (x )在(0，+∞)是增函数，h (x )>h (0) = 0 ∴e x – 1–ln(x + 1) >0即e x – 1>ln(x + 1) 也就是f (x ) > g (x ) ，0x ∀>成立．

故当x 1 – x 2>0时，f (x 1 – x 2)> g (x 1 – x 2)………………………………………………10分

再比较1

2

1

2

()ln(1)g x x x x -=-+与g (x 1) –g (x 2) = ln(x 1 + 1)

–ln(x 2 + 1)的大小．

1212()[()()]

g x x g x g x ---=1

2

1

2

ln(1)ln(1)ln(1)x x x x -+-+++

=1

2

221211(1)(1)()

ln ln(1]0

11

x x

x x x x x x -++-=+>++

∴g (x 1 – x 2) > g (x 1) –g (x 2)

∴f (x 1 – x 2)> g (x 1 – x 2) > g (x 1) –g (x 2) ．………………………………………………

13分

2.（湖北省黄冈中学2010届高三11月月考）

已知函数

()(01)1x

f x x x =<<-的反函数为1()

f x -，数列

{}

n a 和{}

n b 满足：112

a =

，11

()

n n a

f a -+=，函

数

1()

y f x -=的图象在点()1

,()()

n f

n n N -*∈处的切线在y 轴

上的截距为n

b ．

（1）求数列{n

a }的通项公式；

（2）若数列2{

}n n n

b a a λ-的项仅

5255

b a a λ

-最小，求λ的取值

范围；

（3）令函数2

1

2

1()[()()]1x g x f x f x x --=+⋅

+，01x <<，数列{}n

x 满

足：

11

2

x =

，01

n

x

<<，且1

()

n n x

g x +=，其中n N *

∈．证明：

2

223212112231()()()5

16

n n n n x x x x x x x x x x x x ++---+++<

．

【解析】（1）令

1x y x

=-，解得1y x y

=+，由01x <<，解得

y >，

∴函数

()

f x 的反函数

1()(0)1x

f x x x

-=

>+，则

11()1n n n n

a a f a a -+==

+，得1111n n

a a +-=．

1{

}n

a ∴是以2为首项，l 为公差的等差数列，故

11

n a n =

+．

（2）∵1()(0)1x

f x x x

-=

>+，∴

12

1[()](1)f x x -'=

+，

∴

1()

y f x -=在点

1(,())

n f n -处的切线方程为

2

1

()1(1)n y x n n n -

=-++，

令0x =， 得2

2

(1)n n b n =

+，∴

22

22(1)()24

n n n b n n n a a λλλλλ-=-+=---，

∵仅当

5

n =时取得最小值，∴

4.5

5.5

2

λ

<

<，解之911λ<<，

∴ λ的取值范围为(9,11)． （3）2

1

21()[()()]1x g x f x f x x --=+⋅+2

22

12[]1111x x x x x x x x -=+⋅=

+-++，(0,1)x ∈．

则121(1)1

n

n n n n n x x x x x x ++-=-⋅

+， 因

01

n x <<，则

1n n

x x +>，显然

12112

n n x x x +>>>

>

．

12

111121(1)2144222121

n n n n n n n

n x x x x x x x x +++-=-⋅

≤⋅<=+-++-+

∴211111111

()112111

()()())

n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++--+=-=--<-

∴

222231121223

1

()()()n n n n x x x x x x x x x x x x ++---+++

12231

211111

11

[()()(

)]n n x x x x x x ++<-+-++-

11

1

2111

211

())n n x x x ++++-=- ∵111

,2

n n x x x +=

>，∴

11

12

n x +<<，

∴

1

1

12n x +<

<，∴

1

1

021n x +<-

<

∴2

2

232121

12

23

1131

()

()()

2112152)816

n n n n n x x x x x x x x x x x x x ++++---+++

++-<=

．