重复测量计量的方差分析
教育与心理统计学 第六章 方差分析五 重复测量实验设计的方差分析考研笔记-精品
第六章方差分析（五）［测量实验设计的方差分析一、重复测量的方差分析（一）重复测量实验设计的相关含义⑴重复测量实验设计的定义又叫：被试内设计、受试者内设计、单组实验设计、相关样本设计。
是每个被试或每组被试必须接受自变量的所有情况的处理（每个被试接受所有的实验处理水平或处理水平的结合）。
由于被试的行为是重复测量的，所以被试内实验设计也称重复测量实验设计。
（2）重复测量设计的基本原理每个被试者参与所有的实验处理，然后比较相同被试者在不同处理下的行为变化。
这种实验设计下的同一被试者既为实验组提供数据，也为控制组提供数据。
因此，被试者内设计无需另找控制组的被试者。
被试内设计不但节省了被试人数，而且不同组的被试个体差异也得到了最好的控制，被试内设计比被试间设计更有力，能更好的考察实验组和控制组之间的差异，这个优点使得许多研究者更倾向于使用被试内设计。
和被试间设计相反，被试内设计不会受到来自被试个体差异的困扰但却必需面对实验处理之间相互污染的问题。
可以采用平衡技术来控制这些差异。
（3）使用重复测量设计的主要目的重复测量实验设计的目的是所有被试自已做控制，使被试的各方面特点在该因素所有水平上保持恒定，克服被试间设计中存在的被试不同质的问题，以最大限度地控制由被试的个体差异带来的变异。
如果实验者主要想研究一个被试者对实验处理所引起的行为上的变化，一般可以考虑采用被试者内设计。
（二）重复测量实验设计的方差分析的条件重复测量实验设计方差分析是一般方差分析的深化，也具有正态性、变异的可加性和方差齐性等先决条件，还要求各重复测量数据组成的协方差矩阵满足球形性假设。
博克斯指出,若球状性假设得不到满足,则方差分析的F值是有偏的,会增加犯I类错误的可能。
（三）重复测量实验设计的方差分析的过程①建立检验假设；②计算离差平方和与均方；③进行F检验；④列出方差分析表。
二、单因素重复测量的方差分析（一）重复测量实验设计的基本方法实验中每个被试接受所有的处理水平。
第十讲 重复测量数据的方差分析
重复测量设计资料的方差分析（四）一、重复测量资料的特征：重复测量资料系指同一受试对象的某项观测指标进行多次测量所得的数据。
如对病人治疗（或手术）后1天、3天、1周、2周等多个时间点连续观察；又如在眼睛视觉研究中，让同一受试者戴上效率分别为6/6，6/18，6/36/，6/60的镜片；观察其大脑皮质在佩戴不同镜片时的电反延迟时间等。
在重复测量中，由于同一个观察单位具有多个观察值，而这些观察值来自同一受试对象的不同时间（部位等），因此这类数据间往往有相关性存在，违背了方差分析要求数据满足独立性的基本条件。
此时若用一般方差分析方法，将会增大犯I 类错误的概率。
例如：为比较某一降压新药与上市的标准药品降低舒张压的效果，将24名病人随机分配到新药组和标准药物组，每组12名病人，给药前先测定基础血压（3次测定的均数）。
给药后每隔2周测量一次血压，共连续测量4次。
在此期间有3名病人退出（标准药物组1名、新药组2名），试分析新药的降压效果是否不同于标准药。
两组舒张压变化量（服药后-服药前）（mmHg）基础标准药物组基础标准药物组编号血压2w 4w 6w 8w M i编号血压2w 4w 6w 8w M i1 108 -8 -10 -19 -17 -54 3 104 -7 -7 -11 -13 -382 105 -6 -2 -14 -13 -35 5 102 -5 -9 -6 -14 -344 105 -4 -5 -11 -15 -356 98 -3 -10 -9 -13 -357 103 0 -11 -17 -19 -47 9 99 -3 -2 -1 -14 -2012 96 1 -3 -5 -8 -15 10 98 -1 -3 -8 -15 -2714 108 -3 -3 -17 -16 -39 11 100 2 -4 -8 -16 -2615 104 -3 -7 -10 -15 -35 17 106 -5 -8 -15 -20 -4816 97 2 3 -2 -3 0 18 108 -9 -12 -15 -17 -5319 98 1 -5 -7 -11 -22 21 104 0 -6 -7 -24 -3722 104 -1 -1 -11 -10 -23 24 107 -2 -7 -12 -19 -4023 103 -1 -1 -5 -8 -15均数102.8 -2 -4.9 -10.4 -12.3 均数102.6 -3.3 -6.8 -9.2 -16.5标准差 3.15 3.41 5.61 4.76 标准差 3.30 3.16 4.26 3.57 T i-22 -45 -118 -135 A1=-320 T i-33 -68 -92 -165 A2=-358 B1=-55 B2=-113 B3=-210 B4=-300由于重复测量结果即使不施加任何干预,也常会随时间的推移产生自然变化,因此重复测量试验常常需要设立平行对照.试验设计阶段需考虑以下三个因素：1、处理因素各组给以不同的干预2、重复测量因素时间（可根据专业的要求确定，其间隔可以不等或相等。
重复测量方差分析版
单因素重复测量方差分析的SPSS操作
F=MStime/MS残差 =251.089/16.517
=15.201, P<0.001, 拒绝零假设，认为 三次测量之间有显 著差异
第6页/共13页
两因素重复测量方差分析
Two-way repeated measures ANOVA也被称为within-subjects ANOVA， 指的是对同一受试对象的同一观察指标在两个受试内变量所有水平下测量结果进 行方差分析，两因素重复测量方差分析需要检验两个主效应和一个交互作用。
例题：研究者想了解主题熟悉性 受试内变量：主题熟悉性和句子长度
和句子长度对学生阅读理解的影
响，随机抽取了4名学生参加实验。 零假设和备择假设各有三个：
主题熟悉性有2个水平（a1不熟悉， a2熟悉），句子长度有3个水平 （b1短句，b2中句，b3长句）。 每名学生均阅读6篇文章，其中3
12、、对对HH01于于：: 主句μμaa题子11=≠熟长μaμ悉度2a2性的的主主效两悉（效应个（3个应受2个水：试水平内平）因）素，：句主子题长熟度
篇为不同句子长度且主题不熟悉， 另3篇为不同句子长度且主题熟悉 的。假设文章阅读的先后顺序不
H0：μb1=μb2=μb3 H1: 至少有一个均值与其他均值不同 3、对于交互作用
会对实验结果产生影响，其中分 数越高表明理解越准确。
H0：主题熟悉性与句子长度交互作用不显著 H1: 主题熟悉性与句子长度交互作用显著
1、生成变量并输入数据 2、菜单栏选择分析/一般线性模型/重复测量 3、添加受试内变量 4、选项 5、输出
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单因素重复测量方差分析的SPSS操作
描述统.05,表明变量”time”的 效应显著。
重复测量方差分析
重复测量方差分析1. 引言重复测量方差分析（Repeated Measures Analysis of Variance, RM-ANOVA）是一种统计方法，用于分析在不同时间点或不同处理条件下对同一组个体或样本进行多次测量的数据。
通过比较不同时间点或处理条件下的测量结果，我们可以确定是否存在显著的差异，并了解时间或处理对测量结果的潜在影响。
本文档将介绍重复测量方差分析的基本原理、假设条件、计算方法和结果解读，并提供使用Markdown格式编写重复测量方差分析报告的示例。
2. 基本原理重复测量方差分析的基本原理是基于方差分析（ANOVA）方法，但相对于普通的单因素方差分析，重复测量方差分析考虑了测量数据间的相关性。
在重复测量设计中，同一个个体或样本在不同时间点或处理条件下进行多次测量，因此测量数据之间存在一定的相关性。
为了解决相关性的问题，重复测量方差分析使用了独特的矩阵分解方法，将总体方差分解为组内方差和组间方差。
通过计算组间方差与组内方差的比值，可以判断不同时间点或处理条件下的测量结果是否存在显著差异。
3. 假设条件在进行重复测量方差分析之前，需要满足以下假设条件：•正态性假设：每个时间点或处理条件下的测量结果应当服从正态分布。
•同方差性假设：每个时间点或处理条件下的测量结果应具有相同的方差。
•相关性假设：各个时间点或处理条件下的测量结果之间应具有一定的相关性。
如果数据不满足正态性、同方差性或相关性假设，需要采取适当的数据转换、方差齐性检验或相关性分析等方法进行处理。
4. 计算方法重复测量方差分析的计算方法可以通过计算F统计量来进行。
具体步骤如下：步骤1：计算总体方差首先计算总体方差SSTotal，即测量数据的总体波动情况。
步骤2：计算组间方差然后计算组间方差SSBetween，即不同时间点或处理条件下的测量结果之间的差异。
步骤3：计算组内方差接下来计算组内方差SSWithin，即测量数据在同一个时间点或处理条件下的波动情况。
重复测量方差分析流程
重复测量方差分析流程一、什么是重复测量方差分析呀？重复测量方差分析呢，就是一种很有用的统计分析方法哦。
想象一下，你要研究同一个对象在不同时间点或者不同条件下的某个变量的变化情况，这个时候重复测量方差分析就闪亮登场啦。
比如说，你想看看一个学生在一个学期里每个月的学习成绩是怎么变化的，或者一个病人在接受不同阶段治疗时身体指标的改变，这种同一个人被多次测量的情况就特别适合用它来分析呢。
二、数据收集。
在做这个分析之前呀，咱们得先收集好数据。
这个数据收集可是很重要的哦，就像盖房子打地基一样。
要确保数据的准确性和完整性呢。
如果是研究人的话，要把每个人的信息都记录清楚，每次测量的数据也不能搞错啦。
比如说你要研究人们对不同口味冰淇淋的喜爱程度随时间的变化，那每次品尝后大家给出的评分就得好好记录下来。
而且这个样本量也不能太小哦，太小的话可能得出的结果就不太靠谱啦。
三、数据的正态性检验。
收集好数据后呢，咱们要看看数据是不是正态分布的。
这就像是检查一个人的身体是不是健康一样。
有好几种方法可以用来做这个正态性检验哦。
比如说最常见的Shapiro - Wilk检验。
如果数据是正态分布的，那就很好啦，我们就可以顺利进行下一步。
要是数据不是正态分布呢，也不要太慌张，我们可以尝试一些数据转换的方法，像对数转换呀之类的，把它变得接近正态分布，这样才能让我们后面的分析结果更准确呢。
四、球形假设检验。
接下来就是球形假设检验啦。
这个听起来有点高大上，但其实也不难理解哦。
简单说呢，就是要看看不同测量之间的方差协方差矩阵是不是符合一定的条件。
如果符合这个球形假设呢，那我们就可以按照常规的重复测量方差分析方法来做啦。
要是不符合球形假设，就像走在路上遇到了一个小障碍一样，不过也有办法解决的。
我们可以用一些校正方法，像Greenhouse - Geisser校正或者Huynh - Feldt校正之类的，这样就能继续我们的分析旅程啦。
五、进行重复测量方差分析。
重复测量设计资料的方差分析【57页】
T2
T3
T4
A
1
120
108
112
120
117
A
2
118
109
115
126
123
A
3
119
112
119
124
118
A
4
121
112
119
126
120
A
5
127
121
127
133
126
B
6
121
120
118
131
137
B
7
122
121
119
129
133
B
8
128
129
126
135
142
B
9
117
115
Ty pe III Sum of Squares
1020.100 1020.100 1020.100 1020.100
348.100 348.100 348.100 348.100 333.800 333.800 333.800 333.800
df 1
1.000 1.000 1.000
1 1.000 1.000 1.000
Measure: MEASURE_1
Sourc e TIME
TIME * 分 组
Error(TIME)
Sphericity Assumed Greenhouse-Geis ser Huynh-Feldt Low er-bound Sphericity Assumed Greenhouse-Geis ser Huynh-Feldt Low er-bound Sphericity Assumed Greenhouse-Geis ser Huynh-Feldt Low er-bound
重复测量数据方差分析
74.4
77.0
75.2 77.4
82.6
80.4
81.2 79.6
68.6
65.0
63.2 63.4
79.0
77.0
73.8 72.5
69.4
66.8
64.4 60.8
72.6
71.0
68.2 70.2
72.4
72.6
72.8 72.6
75.6
73.4
73.4 72.2
80.0
78.0
76.4 74.8
7.90
9.75 8.02
经检验处理组与对照组的差值 d 方差不齐（F S12 / S22 6.58 ， P 0.01），不符合两均数比较 t 检验的前提条件。
设置对照旳前后测量设计
前后测量数据间存在明显差别时，并不能阐明这种差 别是由前后测量之间施加旳处理所产生，还是因为存 在于前后两次测量之间旳时间效应所致。
比较
表9-2 两种措施对乳酸饮料中脂肪含量旳测定成果(%)
编号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
哥特里－罗紫法
0.840 0.591 0.674 0.632 0.687 0.978 0.750 0.730 1.200 0.870
脂肪酸水解法
0.580 0.509 0.500 0.316 0.337 0.517 0.454 0.512 0.997 0.506
受试 对象j
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
剂型 k
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
服药后测定时间i(周)
重复测量的方差分析
重复测量的方差分析 (Repeated-measures ANOVA)研究情境:重复测量的ANOVA能够处理数据的类型：在上例中有一个自变量 (称为组内因素): 时间.ANOVA 亦可用于分析同时包含组间和组内因素的混合设计1.ANOVA的逻辑ANOVA 非常类似两个相关样本的 t检验对于 ANOVA检验统计量 (称为 F比率) 类似F = 样本均值间方差误差方差和方的分解分两个阶段首先考虑方差的来源.a)处理间变异i.处理效应 - 处理造成的差异ii.实验误差b)处理内变异i.被试间方差ii.实验误差F比率可以表达为:F比率 =处理效应方差+实验误差实验误差2.重复测量ANOVA的专用符号K = 处理条件(或组)的数目n = 每一个组的数目(如果它们相等)N = ∑n i = 总的观察数目T i = ∑X ijG = ∑X ij =总的和G-bar = G / N = 总的均值SS i = 每一个组的和方 = ∑(X ij - i)2P = 每一个被试的观察数目在上例中：∑X2G = 36K = 3， n=4， N=123.和方的分解步骤第1阶段：SS和 = SS组间 + SS组内SS和 = ∑X2 - (G2/N)SS和 = 140 - (362/12) =140 - 108 = 32需要将其分解为组间变异和组内变异.SS组间= ∑(T2/n i) - G2/N= 82/4 + 202/4 + 182/4–108 = 14SS组内= ∑SS每一个处理内部 = ∑SS i= 2 + 5 + 11 = 18第2阶段：SS组内 = SS被试间 + SS误差SS被试间= ∑(P2/k) - G2/N= 122/3 + 62/3 + 62/3 + 122/3–108 = 12 SS误差= SS组内-SS被试间= 18-12=64.自由度共有5个自由度, 2个计算均方时要用到1）总的 df = N-12）组间方差df = k-13）组内方差df = N-k4）被试间方差df = n-15）误差方差df = （N-k） -（n-1）均方和F值的计算.MS = SS/dfMS组间= SS组间/df组间--> 上例中 = 14/2 = 7MS误差 = SS误差/df误差--> 上例中 = 6/6 = 1F比率 = 处理间方差误差方差将结果总结到方差分析表中：来源SS df MS处理间14 2 7 F = 7处理内18 9被试内12 3误差 6 6 1总的32 11查 F表确定 Fcrit 对假设作出结论df组间 = 分子的dfdf组内 = 分母的df (误差) --> 上例中:df误差 = 6; df组间= 3假设中选择α = .05, Fcrit = 4.76（如果选择α = .01, Fcrit = 9.78）F比率的观测值6大于 F.05., 所以拒绝 H0 (μ1 = μ2 = μ3).报告结果F(df组间,df误差) = Fobs, p < ?各练习次数的均值和标准差列在表1中。
重复测量资料的方差分析
ˆ ˆ ˆ2 2k 式中中的 s 是协方差矩阵中的第 k 行第 l 列元素， s ＝ ( = (∑ s ) / a 是主对角线元素的平均值， s = (∑ s ) / a 是第 k 行的平均值。
ε ˆ 的取值在 1.0 与 1/(a -1)之间。
ε =ˆˆ ˆ分子自由度ν 1 =ν 1 ⨯ε 分母自由度ν 2 =ν 2 ⨯ε 。
具体计算时可用或ε 代替。
用 调整所得的ν 1 及ν 2 的 F 值查临界值表，得 F α (ν ' ,ν ' ) 。
由于ε≤ 1.0，所以调整后的重复测量资料方差分析重复测量（repeated measure ）是指对同一观察对象的同一观察指标在不同时间 点上进行的多次测量，用于分析该观察指标在不同时间上的变化特点。
这类测量 资料在临床和流行病学研究中比较常见，例如，为研究某种药物对高血压病人的 治疗效果，需要定时多次测量受试者的血压，以分析其血压的变动情况。
1、 重复测量资料方差分析中自由度调整方法1.调整系数 ε 的计算有两个调整系数，第一个是 Greenhouse-Geisser 调整系数 ε (G - G ε ) ，计算 公式为ε =a 2(s kl - s 2) 2(a -1)[∑ ∑ (s kl ) 2 - (2a )(∑ (s 2 ) 2 ) + a 2 (s 2 ) 2 ]k l kkl 2 2 ∑∑ s k l 2 kl ) / a 2 是所有元素的总平均值， s 2 kk l2 2 ll2 2 kkll 第 2 个系数是 Huynh-Feldt 调整系数 ε (H - F ε ) 。
研究表明，当 ε 真值在 0.7 以上时，用 ε 进行自由度调整后的统计学结论偏于保守，故 Huynh 和 Feldt 提 出用平均调整值 ε 值进行调整。
ε 值的计算公式为ng (a - 1)ε - 2 (a - 1)[(n - 1)g - (a - 1)ε ]式中中的 g 是对受试对象的某种特征（如年龄或性别）进行分组的组数，n 是每组的观察例数。
第十四章 重复测量的资料方差分析
编号
治疗前
治疗后
差值
1
130
114
16
2
124
110
14
3
136
126
10
4
128
116
12
5
122
102
20
6
118
100
18
7
116
98
18
8
138
122
16
9
126
108
18
10
124
106
18
X
126.2
110.2
16.0
S
7.08
9.31
3.13
比较
表3-3 两种方法对乳酸饮料中脂肪含量的测定结果(%)
SS
MS
F
P
总变异
14 0.5328
处理间
2 0.2280 0.1140 11.88 <0.01
区组间
4 0.2284 0.0571 5.95 <0.05
误差
8 0.0764 0.0096
2．重复测量设计区组内即同一受试者 的重复测量数据是高度相关的。例如，计 算表 12-3 中各时间点数据间的相关系数 结果见表 12-6。
表12-4 表 12-3数据的方差分析表
变异来源 自由度 SS MS F
P
总变异
31 5.751
区组(受试者)
7
2.828 0.361 27.77 <0.01
放置时间
3
2.959 0.986 75.85 <0.01
误差
21 0.264 0.013
表12-7 表12-3数据“球对称”检验结果
第二十章重复测量设计资料的方差分析
第二十章重复测量设计资料的方差分析重复测量设计（repeated measurement design）在医学、生物学研究中较为常见，即在给予一种或多种处理后，在多个时间点上从同一个受试对象重复获得指标的观察值；重复测量研究的目的是探讨同一研究对象在不同时间点某指标的变化情况。
第一节重复测量资料的数据特征一、前后测量设计配对t检验与前后测量设计的区别配对t检验前后测量设计1. 同一对子的两个实验单位可以随机分配处理， 1. 不能同期观察试验结果，虽然可以在两个实验单位同期观察实验结果，可以比较处理前后测量之间安排处理，但在本质上是组间差别。
前后差别，推论处理是否有差异是有条件的，即假定测量时间对观察结果没有影响。
2. 要求同一队子的两个实验单位的观察结果分别 2. 前后两次观察结果通常与差值不独立，与差值相互独立，差值服从正态分布。
大多数情况第一次观察结果与差值存在负相关的关系。
3. 用平均差值推论处理的作用。
3. 除了用平均差值外，还可进行相关回归分析。
二、设立对照的前后测量设计三、重复测量设计当前后测量设计的重复测量次数t>=3时，称重复测量设计或重复测量数据。
重复测量设计与随机区组设计的区别重复测量设计随机区组设计1. “处理”是在区组间随机分配，区组内的各时间 1. 处理在区组内随机分配，每个实验单位点是固定的，不能随机分配。
接受的处理各不相同。
2. 区组内实验单位彼此不独立 2. 满足“球对称”假设*3. 统计分析采用多元方差分析或 3. 统计分析采用随机区组方差分析重复测量数据的方差分析*重复测量数据用随机区组方差分析比较处理组间差异，前提条件时要满足“球对称”（sphericity）假设，即重复测量误差的协方差矩阵经正交对比变换后，与单位矩阵I4*4成比例。
当不符合“球对称”假设时，要对处理组间相应的F界值进行校正。
校正的方法是用“球对称”系数?乘处理组间效应F界值的自由度v1和v2，得到T1=v1*?， T2=v2*?，用Fα（T1T2）作为检验界值。
第十章方差分析重复测量资料的方差分析
第十章方差分析重复测量资料的方差分析重复测量设计是一种常用的实验设计方法，特指对同一组被试在不同时间点或不同条件下进行多次测量的实验。
在这种实验设计中，同一组被试的多次测量数据间存在相关性，因此不能简单地使用传统的方差分析方法来分析数据。
为了解决这个问题，可以使用重复测量方差分析方法。
重复测量的方差分析方法可以分为两种：一元重复测量方差分析和多元重复测量方差分析。
一元重复测量方差分析是指只有一个自变量的重复测量设计，而多元重复测量方差分析是指有两个及以上自变量的重复测量设计。
一元重复测量方差分析的基本模型是：Yij = μ + αi + βj + (αβ)ij + εij其中，Yij是第i组第j次测量的观察值，μ是总均值，αi是第i 组的效应，βj是第j次测量的效应，(αβ)ij是第i组第j次测量的交互效应，εij是误差项。
在这个模型中，我们要检验的主要效应是组效应，即是否存在组间差异。
同时，还可以检验时间效应、组内差异以及组间×时间的交互效应。
检验组效应的方法可以使用F检验或t检验。
F检验是比较组间均值之间的差异是否显著，而t检验则是比较每个组的均值与总体均值之间的差异是否显著。
另外，还可以使用Levene检验来检验组间方差的齐性。
如果数据满足方差齐性的假设，则可以使用传统的重复测量方差分析方法进行分析；如果不满足方差齐性的假设，则可以使用非参数的方法，如Friedman检验。
多元重复测量方差分析的基本模型是：Yijk = μ + αi + βj + γk + (αβ)ij + (αγ)ik + (βγ)jk + (αβγ)ijk + εijk其中，Yijk是第i组第j次第k条件下的观察值，μ是总均值，αi 是第i组的效应，βj是第j次测量的效应，γk是第k条件的效应，(αβ)ij、(αγ)ik、(βγ)jk和(αβγ)ijk是交互效应，εijk是误差项。
多元重复测量方差分析的检验方法与一元重复测量方差分析类似，可以使用F检验或t检验来检验各个主要效应的显著性。
定量数据重复测量的方差分析
定量数据重复测量的方差分析引言。
在科学研究中，我们经常需要对同一组对象进行多次测量，以便得到更加准确和可靠的数据。
在这种情况下，我们需要进行方差分析来确定测量结果的差异是否显著。
本文将介绍定量数据重复测量的方差分析方法及其应用。
一、方差分析的基本原理。
方差分析是一种用于比较两个或多个组之间差异的统计方法。
在定量数据重复测量的情况下，我们通常使用重复测量方差分析（Repeated Measures ANOVA）来分析数据。
重复测量方差分析可以用于比较同一组对象在不同时间点或不同条件下的测量结果之间的差异。
重复测量方差分析的基本原理是利用组内变异和组间变异之间的比较来判断测量结果的差异是否显著。
组内变异是指同一组对象在不同时间点或不同条件下的测量结果之间的差异，而组间变异是指不同组对象之间的测量结果之间的差异。
通过比较组内变异和组间变异的大小，我们可以判断测量结果的差异是否由于不同时间点或不同条件引起。
二、重复测量方差分析的假设。
在进行重复测量方差分析时，我们需要满足以下几个假设：1. 同质性方差假设，不同组对象在不同时间点或不同条件下的测量结果的方差相等；2. 正态分布假设，测量结果符合正态分布；3. 独立性假设，不同组对象在不同时间点或不同条件下的测量结果相互独立。
如果以上假设不成立，我们需要采取相应的方法来处理数据，例如进行变换或者使用非参数方法进行分析。
三、重复测量方差分析的步骤。
进行重复测量方差分析的步骤如下：1. 确定研究设计，确定需要比较的组别以及重复测量的时间点或条件；2. 收集数据，收集不同组对象在不同时间点或不同条件下的测量结果；3. 检验假设，对数据进行正态性检验和同质性方差检验，如果假设不成立，则需要进行相应的数据处理；4. 进行方差分析，利用统计软件进行重复测量方差分析，得出组间变异和组内变异的比较结果；5. 进行事后检验，如果方差分析结果显著，我们需要进行事后检验来确定具体哪些组别或时间点之间存在显著差异；6. 结果解释，根据方差分析和事后检验的结果，对测量结果的差异进行解释和讨论。
重复测量资料的方差分析
重复测量资料的方差分析什么是重复测量资料？重复测量资料是指在同一物件上，经过多次测量所得的一组数据。
它可以用于评估测量装置或人员的准确度和可靠性，或对同一样品在不同时间或不同实验条件下的实验测量结果进行比较。
方差分析方差分析是一种分析比较不同组别之间差异的统计方法，它可以判断一个因素对实验结果的影响是否显著。
在重复测量资料的分析中，方差分析可以用于确定是否存在个体之间的显著差异。
重复测量资料的方差分析方法在重复测量资料的方差分析中，采用的是双因素重复测量资料的方差分析方法。
这种方法包括两个因素：测量因素和重复因素。
测量因素是要分析的因素，重复因素是指对同一物件进行多次测量，每次测量之间都存在一定程度的差异，重复因素会产生误差。
以下是双因素重复测量资料的方差分析步骤：步骤一：确定方差来源方差来源包括测量因素、重复因素以及随机误差。
其中测量因素和重复因素可以用于计算方差，而随机误差则不能。
步骤二：计算平方和平方和是指每个因素所产生的方差之和。
计算平方和的公式如下：•总平方和（TSS）：TSS=SSA+SSB+SSAB+SSE•因素A的平方和（SSA）：SSA=n∑(yij-y··)2/a-1•因素B的平方和（SSB）：SSB=n∑(yij-y··)2/b-1•因素AB的平方和（SSAB）：SSAB=n∑(yij-yi·-y·j+y··)2/(a-1)(b-1)•误差平方和（SSE）：SSE=TSS-SSA-SSB-SSAB其中，n是每组数据的测量次数，a和b是因素A和因素B的水平数，yij是第i个个体在第j次测量中的数据，yi·是第i个个体在所有测量中的均值，y·j是所有个体在第j次测量中的均值，y··是所有测量数据的均值。
步骤三：计算自由度自由度是指某一因素或误差中可变的部分，计算自由度的公式如下：•总自由度（DFS）：dfs=nab-1•因素A的自由度（DFA）：DFA=a-1•因素B的自由度（DFB）：DFB=b-1•因素AB的自由度（DFAB）：DFAB=(a-1)(b-1)•误差自由度（DFE）：DFE=dfs-DFA-DFB-DFAB步骤四：计算均方值均方值是平方和与自由度的比值，计算均方值的公式如下：•因素A的均方值（MSA）：MSA=SSA/DFA•因素B的均方值（MSB）：MSB=SSB/DFB•因素AB的均方值（MSAB）：MSAB=SSAB/DFAB•误差的均方值（MSE）：MSE=SSE/DFE步骤五：计算F值F值是均方值之比，计算F值的公式如下：•因素A的F值（FA）：FA=MSA/MSE•因素B的F值（FB）：FB=MSB/MSE•因素AB的F值（FAB）：FAB=MSAB/MSE步骤六：计算P值P值是指一个F分布的概率值，计算P值需要使用F分布表。
重复测量方差分析报告
前后测量设计和配对设计的区别
配对设计可随机分配同一对子的试验单位,同 期观察试验结果,而前后测量设计则不能同期 观察试验结果；
配对设计比较两种处理的差别,前后测量设计 比较某种处理前后的差别；
前后测量设计在推断处理是否有效时需假定 测量时间对观察结果没有影响.
前后测量设计和配对设计的区别
配对设计要求每组观察结果和差值相互独立, 且差值服从正态分布,前后测量设计差值通常 与前一次观察存在相关关系；
重复测量设计
当前后测量设计的重复测量次数≥3时,则所得 观察结果称为重复测量数据.
表12-5 20例患者手术前后症状评分
处理 分组
A A …… B B
手术 前
0.60 1.42 …… 2.71 1.80
10天 0.67 3.40 …… 2.04 1.40
手术后 2月 4月 6月 2.84 2.10 2.00 4.10 2.92 2.65 …… …… …… 2.61 2.17 2.15 1.00 1.30 2.40
18 128.633
Sig. .000
.226
处理<A>的检验结果,F=1.574,P=0.226 组间误差项
表12-10 重复测量设计两因素两水平的方差分析表
变异来源 组间（对象）
干预（A） 组间误差 组内（重复） 时间（B） AB交互作用 组内误差
自由度 19 1 18 20 1 1 18
SS MS 2517.9 202.5 202.5 2314.5 128.6 1702.0 1020.1 1020.1 348.1 348.1 333.8 18.54
5
4 0
45
90
135
放置时间(分钟)
重复测量方差分析
四、重复测量设计(两因素)
不同麻醉诱导时相患者的收缩压(mmHg)
诱导
患者
麻醉诱导时相
方法
序号
T0
T1
T2
T3
T4
A
1
120
108
112
120
117
A
2
118
109
115
126
123
A
3
119
112
119
124
118
A
4
121
112
119
126
120
A
5
127
121
127
133
126
B
6
121
120
顺序号
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 合计 均数 标准差
对照组(安慰剂组)
治疗前 治疗后 合计(Mj)
118
124
242
132
122
254
134
132
266
114
96
210
118
124
242
128
118
246
118
116
234
132
122
254
120
124
244
134
128
讲课内容
第一节 重复测量资料的数据特征(重点) 第二节 重复测量数据的两因素两水平分析 第三节 重复测量数据的两因素多水平分析 第四节 重复测量数据统计分析需注意的问
题(重点)
1
第一节 重复测量 资料的数据特征
2
十八岁正常中国男子身高值(m)
重复测量方差分析适用条件
重复测量方差分析适用条件
重复测量方差分析（RM ANOVA）是一种常用的数据分析技术，它主要用于研究受试者在不同测试条件下的表现。
重复测量方差
分析可以在分析中考虑每个受试者的多次测量，从而准确地量度
比较不同条件下受试者之间的差异。
重复测量方差分析适用于满足下列条件的实验或研究：
1.同一受试者可在几个不同的条件下进行多次测量；
2.受试者在不同的条件下都有完全的操作能力；
3.多次测量之间是独立的；
4.每个受试者的多次测量必须在相同的时间间隔里进行；
5.控制的条件和受试者是正确的；
6.受试者的多次测量结果可以直接量化；
7.测量结果具有正态分布特征。
重复测量方差分析可被用于不同领域和实验条件下，例如医学，药学，心理学，教育，社会科学，物理学等，以及不同设备（例如不同的仪器）上的数据分析。
重复测量方差分析是一项非常有用的分析工具，可以帮助我们更加准确地确定哪个条件有统计学意义上的差异，从而更了解不同条件对受试者表现的影响。
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SS误差 SS总 SS处理 SS对象间 ， 误差 n 1a 1
ANOVA表
表 10-2 单 因 素 重 复 测 量 资 料 的 方 差 分 析
变异来源
离均差平方和 自由度
均方
F
P
受试对象间
2023.72
8
252.96
受试对象内
2339.25
Box(1954)指出，若球形性质得不到满足，则方差 分析的F值是有偏的，这会造成过多的拒绝本来是真的 无效假设（即增加了I型错误）。
一般ANOVA的协方差矩阵
V
s121 s221
s122 s222
sa21 sa22
s12a s22a
sa2a
s121
(
y 1i
y1 ) 2
(n 1)
s122
7.75
3 C药 90 69 69 71 74 80 106 76 82 79.67 12.01
4 B药 67 55 73 72 72 72 74 59 80 69.33
7.81
di (1-2) 27
5 7 23 2 6 12 14 16 12.44 8.47
di (1-3)
4 -12
12 11 -7 -2 -19
sa21 sa22
s12a s22a
sa2a
s121
(
y 1i
y1 ) 2
(n 1)
时间点间的协方差矩阵
实验前 5 周后 10 周后
实验前
0.081
0.090
0.065
5 周后
0.386 0.411
10 周后
0.723
s122
(y 1i
y1)( y2i
y2 )
(n 1)
y1i y2i y1i y2i n
(y 1i
y1)( y2i
y2 )
(n 1)
y1i y2i y1i y2i n
rij
si2j
si2i
s
2 jj
对于第8、9章，几个处理 组间的协方差矩阵为：
s121
V
0
0 s222
0 0
且假定s121
0
0
sa2a
sa2a
重复测量资料的协方差矩阵
V
s121 s221
s122 s222
58336.00 41284.00 58275.00 43752.00
2665
74.03
药 物 水 平 数 a=4,每 组 观 察 例 数 n=9, 观 察 值 总 个 数 N=a n=36
20430 19374 22852 29906 20605 26700
201647
重复测量资料的单变量（univariate） 方差分析实例1
si2j
si2i
s
2 jj
球形对称的实际意义举例
s2 yi y j
s2 yi
s2 yj
2s
2 yi
y
j
如：s
2 y1
y2
s121 s222
2s122
协方差阵 A1 A2 A3 A4
A1
10 5 10 15
A2
5 20 15 20
A3
10 15 30 25
A4
15 20 25 40
s1-22 = 10 + 20 - 2(5) = 20 s1-32 = 10 + 30 - 2(10) = 20 s1-42 = 10 + 40 - 2(15) = 20 s2-32 = 20 + 30 - 2(15) = 20 s2-42 = 20 + 40 - 2(20) = 20 s3-42 = 30 + 40 - 2(25) = 20
( 1 ) G e e n h o u s e - G e i s s e r 调 整 系 数 ˆ ( G - G ˆ ) 为 ：
ˆ
a2
s
2 kk
s2
2
a 1
s
2 kl
2
2a
sk2
2 a 2
s2
2
k l
k
(10-2)
式 (10-3)中 的
s
2 kl
是
矩
阵
(
1
0
-
1
)
( 3 ) SS对象内 及 对象内
相 当 于 第 8 章 的 组 内 变 异 ； 等 于 SS 总 −SS 对 象 间
或 各对象的离均差平方和之和，即
SS 对象内
25914
3182 4
13739
2332 4
26700
326 2 4
2339.25；
对象内 94 1 27
重复测量资料的单变量（univariate） 方差分析实例1
( 1 ) 总 离 均 差 平 方 和 SS总 及 总 自 由 度 总
SS总 201647 26652 4 9 4362.97 ， 总 36 1 35 。
( 2 ) SS对象间 及 对象间
SS对象间
1 4
3182 2332 3262
26652
36
2023.72 ； 对象间 9 1 8
前面的处理效应有可能 滞留到下一次的处理.
潜隐效应(Latent effect)
前面的处理效应有可能 激活原本以前不活跃的效 应.
学习效应(Learning effect)
由于逐步熟悉实验，研 究对象的反应能力有可能 逐步得到了提高。
第一节 重复测量资料方差分析 对协方差阵的要求
• 重复测量资料方差分析的条件： 1. 正态性 处理因素的各处理水平的样本个体之间是相 互独立的随机样本，其总体均数服从正态分布；（个体内不独立） 2. 方差齐性 相互比较的各处理水平的总体方差相等， 即具有方差齐同 3. 各时间点组成的协方差阵(covariance matrix)具有球 形性(sphericity)特征。
sa21 sa22
sa2a
s121
(y 1i
y1 ) 2
(n 1)
s2 yi y j
s2 yi
s2 yj
2s
2 yi
y
j
如：s s s 2s s122
(y 1i
y1)( y2i
y2 )
(n 1)
2
2
2
2
y1 y2
11 22
12
y1i y2i y1i y2i n
rij
和 处 理 *时 间 的 交 互 作 用
的 F 值的自由度进行调整。
即
' 1
1
,
' 2
2。
其
中
为 ˆ 或 。
由
F 确 a
1'
,
' 2
定
调
整
的
F
临界值。
调整后的 F 临界值较原先大，提高了拒绝
H0 的 门 槛 。 减 少 了 犯 I 类 错 误 的 概 率 。
第二节 单因素重复测量资料的 方差分析
对象内的进一步分解：
( 3 . 1 ) SS处理 及 处理
SS处理
1 9
7182 6062 7172 6242
26652
36 1185.42 ，
( 3 . 2 ) SS误差 与 误差
处理 4 1 3
SS误差 SS对象内 SS处理 2339.25 1185.42 1153.83
0
旧剂型 新剂型
4
8
12
时间（小时）
图10.附2 某药新旧剂型血药浓度随时间的变化
重复测量设计的优缺点
• 优点：
每一个体作为自 身的对照，克服了个 体间的变异。分析时 可更好地集中于处理 效应.
因重复测量设计 的每一个体作为自身 的对照，所以研究所 需的个体相对较少， 因此更加经济。
• 缺点：
滞留效应(Carry-over effect)
1:用 药 前 2:A 药
94
67
57
52
3:C 药
90 69
4:B 药
67 55
测量值
和 ( Ti )
318 233
平均值
Yi
79.50 58.25
平方和
( Si )
25914 13739
3
81
74
69
73
297
74.25
22127
4
82
59
71
72
5
67
65
74
72
6
78
72
80
72
7
87
75
106
74
8
82
68
76
59
9
90
74
82
80
按药物
(j)
284
71.00
278
69.50
302
75.50
342
85.50
285
71.25
326
81.50
测 量 值 和 Tj
平 均 值 Yj 平 方 和 S j
718.00
606.00
717.00
624.00
79.78
67.33
79.67
69.33
重复测量资料的方差分析总思想： 将总变异分解为： 个体间（between subjects）变异 与 个体内（within subject）变异，
其中个体内变异是与重复因素有关的变量。
病人号 (i)
1 2
表 10-1 心 室 早 搏 病 人 在 用 药 前 后 的 心 率