系统稳定性分析—劳斯稳定判据

0
x0 k 8
要使系统稳定，必须
①系数皆大于0，k 8
②劳斯阵第一列皆大于0
有
18 k

5

0
k
18 8
k
18
k 8
所以，此时k的取值范围为: 8 k 18
© BIP
No.30
课程小结：
系统稳定性的基本概念及稳定条件； 劳斯判据的判断对象、方法及步骤； 如何应用劳斯判据进行系统绝对稳定性和相 对稳定性的分析。
k s(s 3)(s 5)
[解]：闭环特征方程为：
s3 8s2 15s k 0
现以 s=x-1代入上式，得
x3 5x2 2x k 8 0
No.29
© BIP
x3 5x2 2x k 8 0
劳斯阵：x3 1
2
x2 5 k 8
18 k x1 5
No.15
© BIP
图7 K=15时系统的单位阶跃响应曲线
No.16
© BIP
图8 K=20时系统的单位阶跃响应曲线
No.17
© BIP
例题2：液位控制系统的稳定性分析。
进水
阀门
进水阀门的 传递函数K3
减速器
+ 电位器
-
连杆
执行电机和 减速器的传
递函数
K2/S(TS+1)
电动机
放大器
控制对象水箱的
S2 u1 S1 v1 S0 w1
a2 a3
a4 a5
a6 a7
b4

b1

a1a2
a0a3 a1

b2

a1a4
a0a5 a1
c2
c3
c4

b3

a1a6
a0a7 a1
u2
c1

b1a3
b1
a1b2
若表中第一列出现负数项，则系统不稳定， 第一列元素符号改变的次数，代表特征方 程在S平面的右半平面根的个数。
s3
1
50
s2
15
50 K
s1 15 ×50 50 K 0 15
s0
50 K
要使系统稳定，必须满足：
15 50
50K

0
15
0 K 15
50K 0
思考：如果取K=0和K=15，系统分别处于什么样的状态？
No.14
© BIP
图6 K=10时系统的单位阶跃响应曲线
No.31
© BIP
No.19
© BIP
措施一：用反馈包围积分环节，破坏其积分性质。
闭环传递函数为：
(s)

Ts
3

s2
K1K 2 K 3 K 4 K2K5s K1K2K3K4
不缺项，只要选择合适的参数满足劳斯阵列稳定的要求， 就可以使系统稳定。
No.20
© BIP
措施二： 引入开环零点。 ① 速度反馈
闭环传递函数为：
No.8
© BIP
三、代数稳定判据
劳斯稳定判据 赫尔维滋稳定判据
No.9
© BIP
1、劳斯稳定判据的描述
设闭环系统特征方程为：D(s) a0sn a1sn1 an1s an ， s1, s2,sn 为系统特征方程的根。
要使所有的特征根全部具有负实部，劳斯判据给出系统 稳定的充要条件是：
传递函数K4/S
浮子
实际水位
水池
出水
杠杆和放大器的 传递函数 K1
© BIP
No.18
液位控制系统的方块图如下所示：
闭环传递函数为：
(s)

s2 (Ts
K1K 2 K 3 K 4 1) K1K2K3K4
,
令K K1K2K3K4
特征方程为： Ts3 s2 K 0
由于系统缺项，无论怎样调节参数K和T都不能使系统稳 定，所以是一个结构不稳定的系统。（如何改进？）
© BIP
思考二：闭环系统极点的漂移对哪个系统的 稳定性有影响？
Im s
j1
Im s
j1
3
0 Re 3
1 0 Re
j1
j1
图10 系统的相对稳定性 结论二：如果极点的漂移穿过虚轴，系统从稳定变成不稳定。 为了系统具有较好的稳定性，应该要有一定的稳定裕量。
No.28
© BIP
例题5：已知系统的结构图，为使系统特征方程 的根都位于s=-1的左边，试确定k的取值范围。
© BIP
No.26
3、系统的相对稳定性（稳定裕量）
思考一：以下两个系统哪个系统的稳定性更好？
稳定裕量
1
Im s
j1
稳定裕量 0.5Im sj13
1 0 Re
3
0.5 0 Re
j1
j1
图9 系统的相对稳定性 结论一：稳定的系统，其极点距离虚轴越远，稳定性越好。
No.27
系统稳定性分析之 ——劳斯判据
一、系统稳定的重要性
图1“舞动的格蒂”—首座塔科马大桥
No.2
© BIP
二、系统稳定性的基本概念和条件
1、定义：如果线性控制系统在初始扰动的作 用下，使被控量产生偏差，当扰动消失后，该 偏差随着时间的推移逐渐减小并趋于零，即系 统趋于原来的工作状态，则称该系统为渐进稳 定。反之，如果在初始扰动的作用下，系统的 偏差随着时间的推移而发散，系统无法趋于原 来的工作状态，则称系统不稳定。
(s)

Ts
3

s2

K1K 2 K 3 K 4
K1K2K3K4s
K1K 2
K3K4
不缺项，只要选择合适的参数满足劳斯阵列稳定的要求， 就可以使系统稳定。
No.21
© BIP
措施二： 引入开环零点。 ② 比例+微分
闭环传递函数为：
(s)

Ts
3

s2
K1K2K3K4 (s K1K2K3K4s
例题1：已知系统的结构图，要使系统稳定K应该怎么取值？
K

s(0.2s 1)(0.1s 1)
[解]：闭环传递函数为：
(s) G(s)
K
1 G(s) s(0.2s 1)(0.1s 1) K
特征方程为： s3 15s2 50s 50K 0
No.13
© BIP
s3 15s2 50s 50K 0
No.3
© BIP
物理意义上的稳定概念
AB A
a 稳定系统
A
b 临界稳定系统
2019/12/12
c 不稳定系统
图2 小球的稳定性
4
No.4
© BIP
© BIP
No.5
1）只考虑实数极点：
a 稳定
b 临界稳定
c 不稳定
2019/12/12
图3 实数极点情况下系统的稳定N性o.6
6
© BIP
2）只考虑共轭极点：
No.23
© BIP
例题3： s5 2s4 2s3 4s2 s 1 0
S5 1
2
1
S4 2
4
1
S3 0
1
0
S2
4 1
1

1

2 1
0
S1 2
0
0
S0 1
0
0
系统不稳定，第一列元素两次变号，有两个正根在右半平面。
No.24
© BIP
特殊情况二
如果劳斯阵列表中出现全零行。这种情况说明特征方程中 存在一些绝对值相等但符号相异的特征根（虚轴上的共轭 虚根）。可以用全零行上面一行的系数构造一个辅助方程 F（S）=0，并将辅助方程对S求导，用所得导数方程的系数 代替全零行的各元素。如果此时第一列的系数均为正，说 明系统没有右半S平面的特征根。但是因为有某行元素均为 零，说明虚轴上有共轭虚根，系统处于临界稳定。
No.11
© BIP
示例：
已知系统闭环传递函数的特征方程如下所示，试判断 系统的稳定性。
(1) 5s3 6s2 3s 5 0 (2) 5s3 6s2 5 0
(3) 2s4 2s3 8s2 3s 2 0
No.12
© BIP
利用劳斯稳定性判据可以讨论个别参数对稳定性的 影响，从而求得这些参数的取值范围。
（1）特征方程的各项系数 a0 0, a1 0,, an 0 ； （2）劳斯阵列中第一列的所有元素均为正数。
No.10
© BIP
D(s) aosn a1sn1 a2sn2 an1s an
劳 Sn a0
斯 Sn-1 a1
阵 Sn-2
列 表
Sn-3

No.25
© BIP
例题4：s6 s5 6s4 5s3 9s2 4s 4 0
S6 1
6
S5 1
5
9
4
辅助方程
4
0
S4 1
5
4
S3
0 4
0 10
0 0
S2 2.5
4
0
0 s4 5s2 4 0
0 0 4s3 10s 0 0
S1 3.6
0
0
0
S0 4
0
0
0
某一行全为零，说明存在对称于原点的根，系统不稳定
k Pk
k Pk
a 振荡衰减—稳定 b 等幅振荡—临界稳定 c 振荡发散—不稳定
图4 共轭极点情况下系统的稳定N性o.7
© BIP
Im S平面
稳定区
临界 不稳 稳定 定区
0
Re
图5 极点分布与系统稳定的关系
2、线性系统稳定的充要条件是：闭环系统特征 方程的所有根均具有负实部，即闭环传递函数的极 点全部位于S平面的左半平面。

1) K1K 2 K 3 K 4
不缺项，只要选择合适的参数满足劳斯阵列稳定的要求， 就可以使系统稳定。
No.22
© BIP
2、两种特殊情况
特殊情况一 如果劳斯阵列表中任一行的第一个元素为0，而
其后其它元素并不为0，则在计算下一行第一个 元素时，可以用一个很小的正数δ来代替第一 列等于零的元素，然后再计算其它各元素。