广义矩估计

广义矩估计

一、背景

我们前面学了OLS估计、工具变量估计方法，前面这几种方法都有重要假设就是需要知道分布才能估计，但是往往现实理论我们无法得到关于分布的信息，因此矩估计方法应运而生。矩估计方法的基本思想是利用样本矩的信息组成方程组来求总体矩，以此得到渐进性质下的一致性估计量。那么在构成方程组求解的过程中涉及识别问题和解决。本章详细介绍矩估计方法。矩估计方法实际应用非常广泛，应注意将矩估计与OLS估计、工具变量估计和极大似然估计方法结合对比进行应用。

二、知识要点

1，应用背景

2，矩估计存在的问题(识别)

3，矩正交方程和矩条件

4，矩估计的属性

三、要点细纲

1、应用背景

其基本思想是:在随机抽样中，样本统计量(在一个严格意义上，一个统计量是观察的n维随机向量即子样的一个(波雷尔可测)X,XXX,,,，，12n

函数，且要求它不包含任何未知参数)将依概率收敛于某个常数。这个常数又是分布中未知参数的一个函数。即在不知道分布的情况下，利用样本矩构造方程(包含总体的未知参数)，利用这些方程求得总体的未知参数。

基本定义

n1,,统计量为子样的ν阶矩(ν阶原点矩); mXi,n,i1

n1,

,统计量为子样的ν阶中心矩。 ,BXX，，i,n,i1

子样矩的均值与方差

2222,,,;,,,,EXVarXEXEX，，，，，，

kk,，，EXEX,,,kk

我们用到时假定它是存在的。 ,,或kk

基本做法

的可能分布族为，其中属于参数空间的设:母体XFx,,,,,,Θ，，,,

是待估计的未知参数。假定母体分布的k阶矩存在，则母体,,,,,,,,，，12k 分布的ν阶矩

,, ,,,,1xdFxk,,,,,,,,,，，，，,,12k,,

是的函数。 ,,,,,,,,，，12k

对于子样，其ν阶子样矩是 X,XXX,,,，，n12

n1,,,, mXk,1,,,in,i1

现在用子样矩作为母体矩的估计，即令:

n1,,,, (1) ,,,1,2,,mXk,,,,,,，，,,i12kn,i1

(1)式确定了包含k个未知参数的k个方程式。求解(1),,,,,,,,，，12k式就可以得到的一组解。因为是随,,,,,,,,,,,,,？,,,m，，，，,12k12k机变量，故解得的也是随机变量。将,,,,,,？分别作为,,,,,,的估,12k12k

计称为矩方法的估计，这种求估计量的方法称为矩方法。

2、矩估计存在的问题(识别)

当我们选择的样本矩方程多于、等于或少于我们所要估计的参数时，是否存在唯一解,如果无解，我们应该采用什么技术进行处理,

TT设为模型向量，z 为工具变量。考虑 R 个矩条件 wyx,,，，tttt

Efwz,,0,,，，，，tt

这里θ 是向量，是R 维向量函数。考虑相应的样本矩条件:K，1f，，

T1

,. ,,,,gfwz,,0，，，，Ttt,t1T

什么时候可以利用R 个样本矩条件估计K 个参数,

(1) R < K: 不存在唯一解，参数不能识别。 g,,0，，T

(2) R = K: 存在唯一解，参数正好识别，此时可采用OLS估计g,,0，，T

和IV估计，因此OLS估计和IV估计是GMM估计的特例。

T EzEzyx,,,,,0，，，，，，tttttK，1

(3) R > K这时方程组中方程的个数多于参数的个数，此为过度识别问题，这时我们对矩条件的权重进行修正，即采用最优GMM估计方法。

T,1考虑GMM的目标函数 ,,,Qg,ySg,y,，，，，，，TTT

T

采用平方形式: QgWg,,,,，，，，，，TTTT11，

T问题就是最小化: ,,,WgWg,argmin，，，，，，,,GMMTTTT,

如何选择,根据大数定理: . WT,,gEf,,.，，，，，，TT

和中心极限定理: . gEf,,.TgNS,,0,T,,，，，，，，，，，，TT optopt,1方差较小的矩就赋予较小的权重，即 pWWSlim,,TT,,

SVarTg,,,TVarg,如不存在自相关，则: ，，，，，，，，TT

T,,1 ,TVarfwz,,,，，,,,ttTt,1,,

T1T,,,. fwzfwz,,,,,，，，，ttttT,t1

意味着我们选用的最优权重矩阵为:

,1T,,1Topt,1 ,,WSfwzfwz,,,,,,，，，，,,,ttttTTt,1,,

3，矩正交方程和矩条件

本节介绍实际操作中如何建立矩条件方程组。考虑一个变量，我们不知道分布，但是知道，我们得到总体,,Eyy，，tt

的矩条件: 或者这里。 Ey,,,0fyy,,,,,Efy,0,,，，，，，，，，tttt，，由于我们不能计算，定义样本矩条件: Efy,,，，，，t，，

TT11 (1) ,,,,,,,gfyy,0，，，，，，,,ttTTT,,tt11

根据大数定理，有:

gEfy,,,,，，，，，，对于. (2) t,,t，，T

T1T1,那么采用矩估计量，可以证明:。 by,by,,tMMMMtTt,1Tt,1实际操作中采用两阶段GMM估计和迭代GMM估计。 1,两阶段GMM估计 ,

,1T选择一个最初的估计权重，WI,或，找到参数的一WWZZ,，，111，，，，，，

Topt,1致性估计量:，接着估计最优权重，,,,,argmingWgWS,，，，，

TTT11，，，，

Topt最后作最优GMM估计:。 ,,,,argmingWg，，，，,,TTGMMT,2,迭代GMM估计