第十讲 几何计数进阶

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2013-2014 学年·秋季五年级知识点总结
【基础班学案 1】下图中共有 个长方形.
【答案】27 个
2 = 18 个长方形; 【分析】横着的大长方形中有 C62 = 15 个长方形；竖着的大长方形中有 C32 ´ C4 2 = 6 个， 15 + 18 - 6 = 27 个； 中间重复的有 C4
【第二单元 3】如图，在半圆弧及其直径上共有 9 个点，以这些点为顶点画出多少条线段、三角 形、四边形？
【答案】（1）36；（2）74；（3）81
2 【分析】（1）任选两点可以确定一条线段： C9 =
9 ´8 = 36 ； 2
3 3 - C5 = 84 - 10 = 74 ； （2）任选三点再排除三点共线的情况： C9 3 1 ´ C4 - C54 = 126 - 40 - 5 = 81 . （3）任选四点再排除三点共线和四点共线的情况： C94 - C5 5 3 2 1 5 - C5 ´ C4 - C54 ´ C4 - C5 = 126 - 60 - 20 - 1 = 45 . 【点评】可以继续考虑五边形的计算式，应为 C9
2013-2014 学年·秋季五年级知识点总结ຫໍສະໝຸດ 第十讲几何计数进阶
本讲主要介绍复杂的图形计数方法，包括对应法、加乘原理、排列组合、容斥与排除、找规律、 归纳与递推等技巧.（本讲的重点是对应法，引用一句名人名言：） “在两个集合之间建立一一对应关系，并进一步研究由这些关系所引出的命题，可能是现代数学 的中心思想.”——英国数学家 克利福德 【重要知识点】 对应法本质为：原问题个数不易计数，那么将原问题中的每个元素一一对应到一个新问题的元素 之上，再计数新问题即可. 这种方法在几何计数、数论计数中经常使用，是本讲的一个重点. 容斥原理：如果所有物品要么具有性质 A，要么具有性质 B，或者可以两种性质都有，那么： 物品总数 = 具有性质 A 的物品数 + 具有性质 B 的物品数 - 同时具有 A、B 两种性质的物品数 【点评】对应法与容斥原理都是暑假中讲过的内容，所以孩子理解起来应该难度不大（比前几讲要简 单得多）对应法强调的是问题的“转化” ，要求是保证转化过程“一一对应”. 第三单元的图形规律都是等差数列或高阶等差数列，在做题时除了做出问题答案外，还可考虑将 第 n 项的通项公式总结出来. 【点评】二阶等差数列就是相邻两项的差组成的数列是等差数列，三阶等差数列就是相邻两项的差组 成的数列是二阶等差数列， 依此类推. 高阶等差数列将会在寒假第二讲 《杨辉三角》 中详细介绍. 通 项公式的总结将会在六年级学到. 基本公式： 由若干小正方形组成的长方形格阵（长为 m，宽为 n）中，正方形的个数是：
两种类型各 5 个，故共有 10 个. 但是这种分类讨论的方法不是长久之计，当 n = 100 时，不可能再 ，有没有其他计数方法呢？ 按形状分类（其实 n = 7 或 8 时，分类就已经相当繁琐了） 事件 A 的个数不易计数，考虑有没有另一个容易计数的事件 B，B 中的物品可以与 A 中的物 品一一对应，那么 A 和 B 的个数必然是相同的，那么我们只需计数 B 的个数即可，这就是对应法. 事件 A 是三角形个数，有没有和三角形个数一样多的东西呢？或者说什么东西能决定一个三 角形呢？三边（在此题中不易计数）或三个顶点（容易计数）是不错的思路. 将“三点组”作为事 件 B，那么只需计数 B 的个数即可. B 的个数是容易计数的，不就是 100 个点中选 3 个点么，答案
【第二单元 2】 （1）如图，这是一个 4 ´ 8 的矩形网络，每一个小格都是一个小正方形. 请问：包 含两个“☆”的矩形共有多少个？ ☆ ☆ 【答案】30 个 【分析】在两个星的上下左右各选一条线： 2 ´1´ 3´ 5 = 30 个. 【点评】本题是包含问题，包含问题中外边框是一种不错的思路. 长方形对应上下左右四条线的位置.
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【答案】11 学而思培优北京分校·小学理科教研组出品
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2013-2014 学年·秋季五年级知识点总结 【分析】本题考察归纳计数，从最简单的情况入手考虑：
【答案】150 【分析】 观察每一个长方形会发现， 它唯一地对应着一种位置的横线段和一种位置的竖线段. 在大长方 形的长边可以计算出：共有 C62 15 种不同横向位置的横线段；在大长方形的宽边可以计算出：共 有 C52 10 种不同竖向位置的竖线段，故不同的长方形共 15 10 150 个. 【点评】这就是上文提到的长方形公式. 长方形公式的过程是经典的对应法：长方形对应一组长和宽.
（但是有意义） 如下： 这个图形分上下两部分， 【点评】 这就是容斥原理的经典题目. 有一种错误的做法 上面 6 个，下面 15 个所以共有 21 个. 哪里错了呢？还有跨越两个区域的图形没有数. 分域、跨域 是一种几何计数的手法，但并不是我们本节课的要点. 此题的最合适的做法还是容斥原理.
【第二单元 2】（2）如图，这是一个 4 ´ 8 的矩形网络，每一个小格都是一个小正方形. 请问：至 少包含一个“☆”的矩形有多少个？ ☆ ☆ 【答案】162 个 【分析】包含左边的☆的长方形有 4 ´1´ 3´ 6 = 72 个，包含右边的☆的长方形有 2 ´ 3´ 4 ´ 5 = 120 个， 由容斥原理至少包含一个☆的矩形有 120 + 72 - 30 = 162 个. 【点评】分析“至少包含一个☆”这句话，应有 3 种情况：只包含下边的、只包含上边的、两个都包 含的， 故而此题有很多同学错误地认为答案是 120 + 72 + 30 . 但 120 这个数并不是只包含上边的☆ 的种类数，而是包含上边的☆的种类数. 分析可知同时包含两个☆的那 30 个长方形，在 120 中被 计算过，在 72 中也被计算过，故不应加 30，反而根据容斥原理减 30. 第三单元题目比较简单，这里只介绍一道较难的题： 【超常 123 班学案 3】在德国不来梅举行的第 48 届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆 成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第 1 堆只有 l 层，就一个球；第 2，3，4，……．堆最底 层(第一层)分别按下图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之 上，第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球，以 f (n) 表示第 n 堆的乒乓球总数，则 （1） f (5) = ； （2） 若 f (n) = 286 ，则 n =
mn + (m - 1)(n - 1) + (m - 2)(n - 2) + + (m - n + 1) ´1 ；
由若干小长方形组成的长方形格阵（长为 m，宽为 n）中，长方形的个数是：
(1 + 2 + 3 + + m) ´ (1 + 2 + 3 + + n) .
【点评】正方形公式记住：长乘宽，同时递减，直至乘数出现 1 为止. 长方形公式的计数公式的详细推 导过程见下文的【拓展 3】. 【扩展阅读】 （一一对应）一个数学史上很有代表性的问题：是正整数多还是正偶数多？ 直观上看，正偶数加上正奇数才是正整数，所以应该是正整数多啊. 实则不然. 按照一一对应 的思想，当从正整数中拿出 1 时，我们能同时从正偶数中拿出 2；当从正整数中拿出 2 时，我们能 同时从正偶数中拿出 4； ……
1 2 3 4 n 2 4 6 8 2n
这说明我们可以在正整数与正偶数之间作出一一对应，所以正整数与正偶数是一样多的（按 集合论的定义，正整数集与正偶数集这两个无限集合是等势的，它们的基数都是阿列夫零）. 小学 学而思培优北京分校·小学理科教研组出品 1
2013-2014 学年·秋季五年级知识点总结 阶段不必深究数学上的严格定义， 只需理解这种一一对应的思想就可以了. 这种思想是本讲大部分 题的解决思路. 【具体题目和方法】 【拓展 1】平面上有 n 个点，已知这些点中不存在三点共线. 那么： （1） n = 4 时，以这些点为顶点的三角形共有 个； （2） n = 5 时，以这些点为顶点的三角形共有 个； （3） n = 100 时，以这些点为顶点的三角形共有 个. 【答案】4；10；161700 【分析】 n = 4 时，易见只有 4 个三角形， n = 5 时，还是可以用形状来分类讨论的，如图：
【答案】756 【分析】注意到一个事实：对于直线 AB 上的任意两点 M、N 与直线 CD 上的任意两点 P、Q 都可以构 而这个四边形的两条对角线 MQ、 同时， 成一个四边形 MNQP， NP 的交点恰好是我们要计数的点， 对于任意一个交点都可以唯一构造一个四边形 MNQP，所以图中两条线段的交点与四边形有一一 对应的关系. 可以用乘法原理进行计算：由于线段 MN 有 C72 = 21 种选择方式，线段 PQ 有 C92 = 36 种选择 方式，根据乘法原理，共可产生 21´ 36 = 756 个四边形. 因此在直线 AB 与 CD 之间共有 756 个交 点. 【点评】交点不易计数，什么决定交点？两条相交的线段； 两条相交的线段不易计数（关键有“相交”这个要求） ，什么决定两条相交的线段？四个点； 四个点容易计数，但要注意是上面两个点、下面两个点. 还有一个重要的要求：这样的四个点 是否唯一地对应一个交点？考虑后发现确实如此，故可以使用对应法. 【拓展 2】圆上有 9 个点，画出这些点之间的全部连线，已知这些连线的交点没有出现重合；以 这些连线为边，会在圆内形成“悬空三角形” （如下图，例如图中的阴影三角形，它与圆没有 公共部分） ；请问这样的三角形一共有多少个？
【答案】84 【分析】本题条件看似复杂，但观察每一个这样的三角形会发现，它唯一地对应着圆周上的 6 个不同 的点，故只需计数不同的 6 点组组数即可，为 C96 84 个.
【拓展 3】下图中共有多少个长方形？
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2013-2014 学年·秋季五年级知识点总结
【尖子班学案 1】直线 a，b 上分别有 4 个点和 2 个点，以这些点为顶点可以画出多少个三角形？
a b
【答案】16
3 3 - C4 = 20 - 4 = 16 . 【分析】先任选 3 个点，再排除三点共线的情况： C6
【点评】本题是顶点构成三角形，前文第一道拓展题也是顶点构成三角形，但两题有不同之处：本题 中某些三点组所构成的形状根本不是三角形. 由此引出第二单元中对于不符合要求的个体和重复 计数的个体的处理方法，分别是排除法和容斥原理.
3 . 答案也并不是 C28 3 3 - C4 ´ 3 = 84 - 12 = 72 个. 超常班学案 1 的答案有误，没有考虑三线共点，答案应为 C9
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2013-2014 学年·秋季五年级知识点总结
【第一单元 2】如图所示，在直线 AB 上有 7 个点，直线 CD 上有 9 个点. 以 AB 上的点为一个端 点、CD 上的点为另一个端点的所有线段中，任意 3 条线段都不相交于同一个点，求所有这 些线段在 AB 与 CD 之间的交点数.
3 是 C100 =
100 ´ 99 ´ 98 = 161700 . 1´ 2 ´ 3
【点评】这就是一道对应法几何计数的详细思路，按照这样的思路来分析后面几题.
【第一单元 3】图中可数出的三角形的个数为
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【答案】56 【分析】 尝试几次就会发现直接计数并不容易. 有没有和三角形个数一样多的东西呢？三边能决定一个 三角形. 这个图中共有 8 条线，且他们都在图中两两相交（如果不注意这个条件就会犯超常班学 案 1 的错误），而三条两两相交的直线一定能形成一个三角形，或者说在本题中三角形和“三边 组”是一一对应的，故只需数“三边组”的个数即可. 图中的三角形数量为 C83 = 56 个. 【点评】 前一题是点， 这一题是边. 注意对 “一一对应” 这个条件的严密论证是必不可少的， 若没有“一 一对应”的前提，是不能随意使用这种方法的. 比如本题中，三角形与“三点组”并不一一对应，