江苏省南通市启东中学高二上学期期中数学试题(及答案)

上，且 B1D A1F ， A1C1 A1B1 .
求证：（1）直线 DE 平面 A1C1F；
（2）平面 B1DE⊥平面 A1C1F.
18．已知 a，b，c 分别是 ABC 内角 A，B，C 的对边，且满足 b c2 a2 bc ．
（1）求角 A 的大小；
（2）若 a=3 ， sinc=2sinB ，求 ABC的面积． 19．如图所示，将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN ，要求 B 点 在 AM 上， D 点在 AN 上，且对角线 MN 过 C 点.已知 AB=3 米，AD=2 米.
1 a
3
9
a
1 3
(a
3
a)
1 a
3
9
a
1 3
10
3
a
a
9a 3a
1 3
(10
2
3 a 9a ) 16 ． a 3a 3
当且仅当 3 a 3 ，即 a 3 时，等号成立．
a
4
16
故答案为： ．
3
答案第 4页，总 13页
【点睛】 本题考查基本不等式的应用，拼凑积为定值是解题的关键，属于基础题． 12．8 【解析】
16． x 12 y2 2
【解析】
试题分析：因为直线 mx y 2m 1 0 恒过定点 (2, 1) ，所以圆心 (1, 0) 到直线 mx y 2m 1 0 的最大距离为 d (2 1)2 (0 1)2 2 ，所以半径最大时的半径
，所以半径最大的圆的标准方程为 (x 1)2 y2 2 ．
3 kn
2
则mn 4．
故选：C．
【点睛】
本题考查空间向量共线定理、方程的解法，考查数学计算能力，属于基础题．
7．A
答案第 2页，总 13页
【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：设该圆锥体的底面半径为 r ，母线长为 l ，根据题意得； rl l 2 ，l 4r； 4
所以这个圆锥的侧面积与表面积的比是（ rl r2）： rl 5 r2 : 4 r2 5：4
22．若数列 an 是递增的等差数列，它的前 n 项和为 Tn ，其中 T3 9 ，且 a1 , a2 , a5 成
等比数列.
（1）求an 的通项公式；
（2）设 bn
1 an an 1
，数列bn 的前 n 项和为
Sn ，若对任意 n
N*
， 4Sn
a2
a恒
成立，求 a 的取值范围.
试卷第 4页，总 4页
故选:C. 【点睛】
本题考查圆与圆的位置关系,考查学生数形结合思想以及求解运算能力,属于基础题.
16
11．
3
【解析】
【分析】
0
<
a
<
3
，3 a
0
，可得
1 a
9 3
a
1 (a 3
3 a)
1 a
9 3a
1 3
10
3 a
a
9a 3a
利
用基本不等式的性质即可求解．
【详解】
0 a 3，3a 0．
（
）
4
A．
3
5
B．
3
4
C．
5
5．等比数列{an} 的各项均为正数，且 a5a6 a4a7 18 ，则
log3 a1 log3 a2 log3 a10 （ ）
5
D．
4
A．12
B．10
C． 8
D． 2 log3 5
6．已知两个向量
a
(2, 1,3)
，
b
(4,
m,
n)
，且
a//b
，则
m
n
的值为（
A．60°
B．120°
C．30°或 150°
D．60°或 120°
10．圆 C1 : x2 y2 2x 4 y 1 0 与圆 C2 : x2 y2 4x 4 y 1 0 的公切线有几条
（）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
第 II 卷（非选择题）
评卷人 得分
二、填空题
11．己知
B．
5
8
C．
25
D． 9 25
3．如果直线 直线 n，且 平面 ，那么 n 与 的位置关系是（）
A．相交
B．
C．
D． 或
4．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 ABC 顶点 A(4, 0) 和 C(4, 0) ，顶点 B 在椭圆
x2 25
y2 9
sin A sin C 1上，则 sin( A C)
17．（1）详见解析（2）详见解析 【解析】 试题分析：（1）利用线面平行判定定理证明线面平行，而线线平行的寻找往往结合平面几何 的知识，如中位线的性质等；（2）利用面面垂直判定定理证明，即从线面垂直出发给予证明， 而线面垂直的证明，往往需要多次利用线面垂直性质定理与判定定理.
试题解析：证明：（1）在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， A1C1 AC，
1．A 【解析】
参考答案
【分析】
【详解】
试题分析：由 x 1 可得 x2 1 成立，反之不成立，所以“ x 1 ”是“ x2 1 ”的充分不必要条
件
考点：充分条件与必要条件
2．B
【解析】
试题分析：从甲乙等 5 名学生中随机选出 2 人，基本事件的总数为 n C52 10，甲被选中
包含的基本事件的个数 m
试题分析：由于
a、b、c
三个向量共面，所以存在实数
百度文库
m、n
，使得
c
=ma
nb
，即有
13=2m n
m9
{6 m 3n
{n 5
，解得
2m 3n
3.
考点：空间向量的正交分解及其坐标表示.
15．0，2
【解析】
试题分析：当 m=0 时，两条直线分别化为：-y=4，x=2，此时两条直线垂直，因此 m=0 满
C11C41
4
，所以甲被选中的概率
p
m n
2 5
，故选
B．
考点：古典概型及其概率的计算．
3．D 【解析】 【分析】
利用直线与平面平行的判定定理和直线与平面平行的性质进行判断即可. 【详解】
直线 直线 ,且 平面 ，
当 不在平面 内时，平面 内存在直线 ̵
̵，
符合线面平行的判定定理可得 平面 ，
当 在平面 内时，也符合条件，
试题分析：由等差数列的性质，
，
，又因为
，所以
所以
，所以
，
，故数列 的前 8 项最大.
考点：等差数列的性质，前 项和的最值，容易题.
13． 13 4
【解析】
设 PF2 x, PF1 3x, 2a 4x ，由余弦定理知 (2c)2 13x2 ，所以 c 13 ，故填 13 .
a4
4
14．3
【解析】
1, 3 2
，过点 M
作直线 l 与圆
C
交于
A, B 两点，若
AB
8 ，求直线 l 的
方程；
(3)设 P 是直线 x y 6 0 上的点，过 P 点作圆 C 的切线 PA, PB ，切点为 A, B 求证：
经过 A, P,C 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．
21．设椭圆
C：
足条件；
当 m=1 时，两条直线分别化为：x-y=4，x=2，此时两条直线不垂直，因此 m=1 不满足条件；
当
m≠0，1
时，两条直线分别化为：y=mx-4，
y
m
1
1
m
x
2
mm
1
，若两条直线垂
答案第 5页，总 13页
1
直，则 m× m1 m =-1，解得 m=2．
综上可得：m=0，2，两条直线相互垂直 考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系
考点：1、圆的方程；2、直线与圆的位置关系． 【方法点睛】解决直线与圆的问题时，一方面，注意运用解析几何的基本思想方法（即几何 问题代数化），把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决；另一方面，由于 直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含 的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决，即注意圆的几何性质的运用．
在三角形 ABC 中，因为 D，E 分别为 AB，BC 的中点，
所以 DE AC ，于是 DE A1C1 ， 又因为 DE 平面 A1C1F , A1C1 平面 A1C1F ， 所以直线 DE//平面 A1C1F . （2）在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， AA1 平面A1B1C1
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 过点 Q
2，1 ，右焦点为 F
2，0 ，
试卷第 3页，总 4页
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）设直线 l： y k x 1 (k 0) 分别交 x 轴，y 轴于 C，D 两点，且与椭圆 C 交
于 M，N 两点，若 CN MD ，求 k 的值，并求弦长 MN ．
）
A．1
B．2
C．4
D．8
1
7．一个圆锥的侧面展开图是一个 的圆面，则这个圆锥的表面积和侧面积的比是（ ）
4
试卷第 1页，总 4页
5
A．
4
4
B．
3
8．直线 x 的倾斜角为（ ） 3
A．
6
B．
4
3
C．
2
C． 3
6
D．
5
D．
2
9．已知 ABC 中， a 1,b 3, A 30 ，则 Ð B 等于（ ）
【详解】
由正弦定理可得， sin B b sin A 3 ， a2
又 0 B , b a, B A ， B 60 或 B 120 .
故选：D 【点睛】
答案第 3页，总 13页
本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于基础题目. 10．C 【解析】
【分析】
将两圆化为标准形式,求出圆心距和两圆半径之和,判断即可. 【详解】
（1）要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米，请问 AN 的长应在什么范围； （2）当 AN 的长度是多少时，矩形 AMPN 的面积最小，并求出最小面积. 20．已知圆 C 的圆心在 x 轴正半轴上，半径为 5，且与直线 4x 3y 17 0 相切．
(1)求圆 C 的方程；
(2)设点 M
已知 F1PF2 =120°，且 | PF1 | 3 | PF2 | ，则椭圆的离心率为___________.
14．已知
a
2,
1,
2
,
b
1,
3,
3
,
c
13,
6,
，若向量
a,
b,
c
共面，则
_________．
15．已知直线 l：mx﹣y=4，若直线 l 与直线 x+m（m﹣1）y=2 垂直，则 m 的值为
则 AC=2c=8，BC+BA=2a=10；
由正弦定理可得：
sin A sin C
sin A C
sin
A sin C sin B
BC BA AC
5 4
；
本题选择 D 选项.
5．B 【解析】
由等比数列的性质可得： a5a6 a4a7 2a5a6 18 ，所以 a5a6 9 .
a1a10 a2a9 a3a8 a4a7 9 .
．
16．在平面直角坐标系 xOy 中，以点 (1, 0) 为圆心且与直线 mx y 2m 1 0(m R)
相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为______．
评卷人 得分
三、解答题
试卷第 2页，总 4页
17．如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，D，E 分别为 AB，BC 的中点，点 F 在侧棱 B1B
则 log3a1 log3a2 log3a10 log3 (a1a10 )5 5log39 10 ，
故选 B.
6．C
【解析】
【分析】
由已知可得存在实数
k
，使得
a
kb
，即可得出．
【详解】
a
//b
，存在实数
k
使得
a
kb
，
2 4k
1 km ，解得 k 1 ， m 2 ， n 6 ，
0
<
a
<
3
，那么
1 a
3
9
a
的最小值是______．
12．若等差数列{an} 满足 a7 a8 a9 0,a7 a10 0 ，则当 n __________时，{an} 的前 n 项和最大．
13．已知点 P
是椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 上的一点，F1, F2 分别为椭圆的左、右焦点，
故答案为 A 考点：圆锥的表面积和侧面积
8．D 【解析】
【分析】
由直线 x 与 x 轴垂直，可得其倾斜角． 3
【详解】
直线 x 与 x 轴垂直，因此其倾斜角为 ．
3
2
故选：D．
【点睛】
本题考查了直线的倾斜角，属于基础题．
9．D 【解析】
【分析】
由正弦定理可得， sin B 3 ，根据 b a ，可得 B 角的大小. 2
圆 C1 : (x 1)2 ( y 2)2 4 ，圆心 C1(1, 2) ， r1 2 ，
圆 C2 : (x 2)2 ( y 2)2 9 ，圆心 C2 2, 2 ， r2 3 ，
圆心距 C1C2 (1 2)2 (2 2)2 5 C1C2 r1 r2 ,两圆外切，有 3 条公切线.
与 的位置关系是 n α或 n α，故选 D . 【点睛】 本题主要考查线面平行的判定定理以及线面平行的性质，意在考查对基本定理掌握的熟练程
度，属于基础题.
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4．D
【解析】
根据题意，由椭圆的方程可得 a=5，b=3；
则其焦点坐标为(−4,0)和(4,0)，恰好是 A. C 两点，
江苏省南通市启东中学高二上学期期中数学试题及答案
第 I 卷（选择题）
评卷人 得分
一、单选题
1．设 x R，则“ x ＞1”是“ x2 ＞1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则甲被选中的概率为（ ）
1
A．
5
2