四 基本不等式

第四节 基本不等式

【最新考纲】 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．

1．基本不等式ab ≤a ＋b

2

(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0．

(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时等号成立．

(3)其中a ＋b

2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b

的几何平均数．

2．算术平均数与几何平均数

设a>0，b>0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b

2，几何平均数为ab ，

基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P(定值)．

那么当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2P.(简记：“积定和最小”) (2)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S(定值)．

那么当x ＝y 时，xy 有最大值S 2

4.(简记：“和定积最大”)

4．几个重要的不等式

(1)a 2＋b 2≥2ab(a ，b ∈R)． (2)b a ＋a

b

≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝

⎛⎭

⎪⎫a ＋b 22

(a ，b ∈R)． (4)a 2＋b 22≥⎝

⎛⎭

⎪⎫a ＋b 22

(a ，b ∈R)．

1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y ＝x ＋1

x

的最小值是2.( )

(2)函数f(x)＝cos x ＋4

cos x ，x ∈⎝

⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值等于4.( )

(3)x>0，y>0是x y ＋y

x ≥2的充要条件．( )

(4)若a>0，则a 3

＋1

a

2的最小值为2 a.( )

答案：(1)× (2)× (3)× (4)×

2．设x>0，y>0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82

解析：xy ≤⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ＋y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1822

＝81，当且仅当x ＝y ＝9时等号成立．

答案：C

3．若a ，b ∈R ，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab

C.1a ＋1b >2ab

D.b a ＋a b

≥2 解析：∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b)2≥0，∴A 错误．对于B ，C 当a<0，b<0时，明显错误．

对于D ，∵ab>0， ∴b a ＋a

b ≥2 b a ·a

b

＝2. 答案：D

4．(2015·福建卷)若直线x a ＋y

b ＝1(a>0，b>0)过点(1，1)，则a ＋b

的最小值等于( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

解析：因为直线x a ＋y b ＝1(a>0，b>0)过点(1，1)，所以1a ＋1

b

＝1，

所以a ＋b ＝(a ＋b)⎝ ⎛⎭

⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b

a ≥2＋2

a b ·b

a

＝4(当且仅当a ＝b ＝2时取等号)．

答案：C

5．一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为________m ，宽为________m 时菜园面积最大．

解析：设矩形的长为x m ，宽为y m ．则x ＋2y ＝30，所以S ＝xy ＝12x ·(2y)≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22＝2252，当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝15

2时

取等号．

答案：15

152

一种方法

基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．

两个变形 基本不等式的变形

1.a 2＋b 22≥⎝

⎛⎭⎪⎫a ＋b 22

≥ab(a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； 2.

a 2＋

b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2

1a ＋1

b

(a>0，b>0，当且仅当a ＝b 时取等号)．

三点注意

1．使用基本不等式求最值，“一正、二定、三相等”三个条件缺一不可．

2．在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．

3．多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能够保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性．

一、选择题

1．已知x>－1，则函数y ＝x ＋1

x ＋1的最小值为( )

A ．－1

B ．0

C ．1

D ．2

解析：由于x>－1，则x ＋1>0，所以y ＝x ＋1x ＋1＝(x ＋1)＋

1

x ＋1－1≥2

（x ＋1）·1x ＋1－1＝1，当且仅当x ＋1＝1

x ＋1

，由于x>

－1，即当x ＝0时，上式取等号．

答案：C

2．(2015·陕西卷)设f(x)＝ln x ，0

⎛⎭

⎪⎫

a ＋

b 2，r ＝1

2

(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是( ) A ．q ＝r

p D ．p ＝r>q 解析：因为b>a>0，故

a ＋b

2

>ab.又f(x)＝ln x(x>0)为增函数，所以f ⎝

⎛⎭

⎪⎫

a ＋

b 2>f(ab)，即q>p. 又r ＝12(f(a)＋f(b))＝1

2(ln a ＋ln b)＝ln ab ＝p.

答案：B

3．设a>0，b>0.若3是3a

与32b

的等比中项，则2a ＋1

b

的最小值

为( )