空间角的几何求法

空间角的几何求法
一、 异面直线所成角（线线角）范围：(0,
]2
π
θ∈
先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得。

【典例分析】
例1. 已知多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AC = AD = CD = DE = 2，AB = 1，F 为CD 的中点. （1）求证：AF ⊥平面CDE ； （2）求异面直线AC ，BE 所成角余弦值；
【变式】在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为。

二、直线与平面所成角（线面角）范围：[0,]2
π
θ∈
【典例分析】
例1.如图，已知多面体ABCA 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面ABC ，∠ABC =120°，
A 1A =4，C 1C =1，A
B =B
C =B 1B =2．
（1）证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1；（2）求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值．
【变式】如图，四边形ABCD 是正方形，PB ⊥平面ABCD ，MA//PB ，PB=AB=2MA ， （1）证明：AC//平面PMD ；
（2）求直线BD 与平面PCD 所成的角的大小；
1111ABCD A B C D -1AB BC ==13AA =1AD 1DB
例2. 如图所示，四棱锥P —ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，PA ⊥底面ABCD ，PA=AD=CD=2AB=2， M 为PC 的中点。

(1)求证：BM∥平面PAD ；
(2)在侧面PAD 内找一点N ，使MN ⊥平面PBD ； (3)求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦。

【变式】如图，在三棱锥V ABC -中，VC ABC ⊥底面，AC BC ⊥，D 是AB 的中点，
且AC BC a ==，π02VDC θθ⎛
⎫=<< ⎪⎝
⎭∠．
（1）求证：平面VAB ⊥平面VCD ；
（2）试确定角θ的值，使得直线BC 与平面VAB 所成的角为π
6
．
三、平面与平面所成角（面面角）范围：[0,]θπ∈
（1）定义法：当点A 在二面角α- -β的棱 上时，可过A 分别在α、β内作棱 的
垂线，AB 、AC ，由定义可知∠BAC 即为二面角α- -β的平面角。

（2）三垂线法：当点A 在二面角α- -β的一个面α内时，可作AO ⊥β于O ，
再作OB ⊥ 于B ，连结AB ，由三垂线定理可得AB ⊥ ， 故∠ABO 即为二面角α- -β的平面角。

（3）垂面法：当点A 在二面角α- -β内时，可作AB ⊥α于B ，AC ⊥β于C ，
设1过AB 、AC 的平面与 交于点O ，连结OB 、OC ，可证平面， ABOC 是 的垂面，则 ⊥OB ， ⊥OC ，∠BOC 即为二面角α- -β的平面角。

l
a
b
c
Ｖ
A
Ｃ
Ｄ
Ｂ
D
C
B
A E
（4）射影面积法：原
射影S cos S =
α
【典例分析】
例1. 如图，AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，若2AB BC BD ==，求二面角B AC D --的正弦值
例2.把等腰直角三角形ABC 以斜边AB 为轴旋转，使C 点移动的距离等于AC 时停止，并记为点P ． （1）求证：面ABP⊥面ABC ；（2）求二面角C -BP -A 的余弦值．
例3.在正三棱柱111ABC A B C -中，1E BB ∈，截面1A EC ⊥侧面1AC ．
(1)求证：1BE EB =；(2)若111AA A B =，求平面1A EC 与平面111A B C 所成二面角(锐角)的度数．
【变式】 1. E 是正方形ABCD 的AB 边中点，将△ADE 与△BCE 沿DE 、CE 向上折起，使得A 、B 重合为点P ，那么 二面角D —PE —C 的大小为.
2.在正四面体ABCD 中，求相邻两个平面所成的二面角的余弦值
3.已知：二面角l αβ--且,A A α∈到平面β的距离为23，A 到l 的距离为4，
l
B
O
A
β
α
求二面角l αβ--的大小
例3.已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，
又知11BA AC ⊥。

（1）求证：1AC ⊥平面1A BC ； （2）求1CC 到平面1A AB 的距离； （3）求二面角1A A B C --的大小。

【变式】如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AA 1=AB =1. （1）求证：A 1C //平面AB 1D ；
（2）求二面角B —AB 1—D 的大小； （3）求点C 到平面AB 1D 的距离.
【巩固练习】
1.已知四棱锥S −ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为θ1，SE 与平面ABCD 所成的角为θ2，二面角S −AB −C 的平面角为θ3，则
A ．
θ1≤θ2≤θ3B ．θ3≤θ2≤θ1C ．θ1≤θ3≤θ2D ．θ2≤θ3≤θ1
2. 已知圆锥的顶点为，母线，
所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．
3.如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =AA 1=2，点P ，Q 分别为A 1B 1，BC 的中点． （1）求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值； （2）求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值．
4.如图，四棱锥P -ABCD 中，⊥ABC=⊥BAD=90°，BC=2AD ，⊥PAB 与⊥PAD 都是等边三角形. （1）证明：CD⊥平面PBD ；
（2）求二面角C-PB-D 的平面角的余弦值.
5. 如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥.（1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ；（2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值.
6.如图，在三棱柱ABC −111A B C 中，1CC ⊥平面ABC ，D ，E ，F ，G 分别为1AA ，AC ，
11A C ，1BB 的中点，
AB=BC =5，AC =1AA =2．
（1）求证：AC ⊥平面BEF ;（2）求二面角B −CD −C 1的余弦值；
S SA SB 7
8
SA SAB △515
7.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥侧面11A ABB ，且12AA AB ==. (1) 求证：AB BC ⊥；(2)若22AC =1A A C B --
的大小.
8.如图，在四棱锥中，平面平面；，，，（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成的角的正切值.
9.如图，四棱锥中，地面，，，，
M 为线段上一点，，为的中点．
（1）证明平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.
10. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是0
60DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形， 且平面PAD 垂直于底面ABCD ．
（1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD PB ⊥；
（3）求二面角A BC P --的大小．
BCDE A -ABC ⊥BCDE 90CDE BED ∠=∠=︒2AB CD ==1DE BE
==2AC =AC ⊥BCDE AE ABC P ABC -PA ⊥ABCD AD
BC 3AB AD AC ===4PA BC ==AD 2AM MD =N PC MN PAB AN PMN B
A 1
C A
B 1
C 1
11. 如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PDC 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是60ADC ∠=的菱形，M 为PB 的中点.
(1)求PA 与底面ABCD 所成角的大小； (2)求证：PA ⊥平面CDM ；
(3)求二面角D MC B --的余弦值.
12. 如图,在三棱台ABC DEF -中,平面BCFE ⊥平面ABC ,=90ACB ∠,BE =EF =FC =1,BC =2,AC =3. (1)求证：EF ⊥平面ACFD ；(2)求二面角B -AD -F 的平面角的余弦值.
13.如图，在三棱锥中，，， 为的中点．（1）证明：平面；
（2）若点在棱上，且二面角为， 求与平面所成角的正弦值．
14.如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．
（1）证明：平面平面；
（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．
P ABC -22AB BC ==4PA PB PC AC ====O AC PO ⊥ABC M BC M PA C --30︒PC PAM ABCD CD M CD C D AMD ⊥BMC M ABC -MAB MCD P
O
M
15. 在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱PA
垂直于底面，E 、F 分别是AB 、PC 的中点． （1）求证：//EF 平面PAD ；
（2）当平面PCD 与平面ABCD 成多大二面角时，直线⊥EF 平面PCD ？
16.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AD AA AB ===点E 在线段AB 上. （1）求异面直线1D E 与1A D 所成的角；
（2）若二面角1D EC D --的大小为45︒，求点B 到平面1D EC 的距离.
17. 如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都为a ，P 为A 1B 上的点。

（1）试确定PB
P A 1的值，使得PC ⊥AB ；
（2）若3
21=PB
P A ，求二面角P —AB —C 的大小；
（3）在（2）条件下，求C 1到平面PAC 的距离。