第37讲 数列的综合应用(达标检测)(解析版)

第37讲 数列的综合应用（达标检测）

[A 组]—应知应会

1．（2020春•梅州期末）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十五日所织尺数为(

) A ．13

B ．14

C ．15

D ．16

【分析】根据题意，设每日所织数量构成数列{}n a ，分析可得数列{}n a 为成等差数列，且25815a a a ++=，728S =，据此可得数列的首项与公差，计算可得答案．

【解答】解：由题意可知，设每日所织数量构成数列{}n a ，则数列{}n a 为成等差数列，且25815a a a ++=，728S =，

设其公差为d ，由25815a a a ++=，得5315a =，解可得55a =， 又由728S =，得4728a =，变形可得44a =，则541d a a =-=， 故155********a a d =+=+⨯=． 故选：C ．

2．（2020春•成都期末）已知数列{}n a 的通项公式1

(*)(21)(21)

n a n N n n =∈-+，n S 为数列{}n a 的前n 项和，

满足4

(*)9

n S n N >∈，则n 的最小值为( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

【分析】首先把数列的关系式进行变换，进一步利用裂项相消法求和求出数列的和，解不等式可得所求最小值．

【解答】解：数列{}n a 的通项公式1111

()(21)(21)22121

n a n n n n =

=--+-+，

所以11111111(1)(1)2335212122121n n

S n n n n =-+-+⋯+-=-=

-+++． 由于满足4

(*)9

n S n N >∈，

所以

4

219

n n >+，解得4n >， 所以n 的最小值为5． 故选：D ．

3．（2020春•常德期末）明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学命题叫“宝塔装灯”，

内容为“远望魏巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，⋯” ( “倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增），根据此诗，可以得出塔的第四层灯的数量为( ) A ．12

B ．24

C ．48

D ．96

【分析】由题意利用等比数列的通项公式、前n 项和公式，求出首项，可得塔的第四层灯的数量4a 的值． 【解答】解：由题意每一层的灯数成等比数列{}n a ，公比为2q =， 前7项的和为717(12)38112

a S -==-，求得13a =，

故塔的第四层灯的数量34124a a q ==， 故选：B ．

4．（2020春•嘉兴期末）对于数列{}n a ，若存在常数M ，使对任意*n N ∈，都有||n a M 成立，则称数列{}n a 是有界的．若有数列{}n a 满足11a =，则下列条件中，能使{}n a 有界的是( ) A ．11n n a a n ++=+ B ．11

1n n a a n

+-=- C ．112n n n a a +=+

D ．

121

1n n a a n

+=+ 【分析】通过定义逐项分析真假即可．

【解答】解：对于A 选项，假设{}n a 有界，即存在常数M ，对任意*n N ∈，都有1n a M +，n a M ， 则112n n n a a M M M ++=++=．由于左边1n +递增到无穷大，而右边为常数，从而A 项错误； 同理，C 项2112n n n a a M +=+，错误； 对于B 项，2n 时，11

112n n a a n

+-=-

，累加可得，121

(2)2

n a a n +--，21a =，2n

n a ，显然不是有界的； 对于D 选项，22a =，22212221111(1)(1)11n n a n n n n n

a n n n n n n n ++=+=<==--+-+-， 累乘可得131********()()13231

n n n n a a a n n n n a a a n n n n -------⨯⨯⋯⨯=⨯⨯⋯⨯⨯⨯⋯⨯---，22(1)2n a

n a n =-<，

从而4n a <，D 正确． 故选：D ．

5．（2020•山东模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，1n n a S +=，若(0,2020)n a ∈，则称项n a 为“和谐项”，则数列{}n a 的所有“和谐项”的平方和为( ) A ．1118

433

⨯+

B ．1114

433

⨯-

C ．1018

433

⨯+

D ．1214

433

⨯-

【分析】根据1n n a S += 得出1(2)n n a S n -=，然后两式相减，得出

1

2n n

a a +=，

再然后根据12a = 得出22a = 以

及12,2

2,1n n n a n -⎧=⎨=⎩

最后根据“和谐项“的定义得出111n ，通过等比数列前n 项和公式求和即可得出结果．

【解答】解：因为1n n a S +=，所以1(2)n n a S n -=，则11n n n n a a S S +--=-，即1n n n a a a +-=，12n n a a +=， 所以

1

2(2)n n

a n a +=，因为12a =，所以2112a S a ===， 故12,2

2,1n n n a n -⎧=⎨=⎩

，

因为(0,2020)n a ∈，所以111n ，

于是数列{}n a 的所有“和谐项“的平方和为：

10112

2222

10

111

2

10

11

4(14)4418

444444414333

a a a a --++⋯++=+++⋯+=+=+=⨯+-，

故选：A ．

6．（2020春•石家庄期末）如果一个数列由有限个连续的正整数按从小到大的顺序组成（数列的项数大于2)，且所有项数之和为N ，那么称该数列为“N 型标准数列”，例如，数列3，4，5，6，7为“25型标准数列”，则“5336型标准数列”的个数为( ) A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

【分析】根据已知条件“N 型标准数列”，则“5336型标准数列”的公差为1和所有项的和为5336． 【解答】解：由题意知1d =， 1(1)

53362

n n na -+

= 41(21)1067222329n a n ∴+-==⨯⨯ 121n a n <+-，且一奇一偶，

(n ∴，121)(16a n +-=，667)(23=，464)(29=，368)共三组．

故选：B ．

7．（2020春•宜宾期末）河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．在龙门石窟的某处“浮雕像”共有7层，每一层的数量是它下一层的2倍，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案．已知该处共有1016个“浮雕像”，则正中间那层的“浮雕像”的数量为( ) A ．508

B ．256

C ．128

D ．64

【分析】根据题意，假设从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{}n a ，分析可得{}n a 是以2为公比的等