浙教版九年级上册数学 第三章微专题 圆周角定理的综合运用(解析版)

微专题__圆周角定理的综合运用_

一巧作辅助线

教材P91作业题第5题)

如图1，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC＝50°.求∠CAD 的度数．

图1教材母题答图

解：如答图，连结DC.

∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°.

∵∠ABC＝50°，∴∠ADC＝50°，

∴∠CAD＝90°－∠ADC＝40°.

【思想方法】利用圆周角定理，常见的辅助线作法有：①作半径，构造圆心角；

②作弦，构造圆周角．

[2016·泰安]如图2，点A，B，C是⊙O上的三点，且四边形ABCO是平

行四边形，OF⊥OC交⊙O于点F，则∠BAF等于(B)

A．12.5°B．15°

C．20°D．22.5°

图2 变形1答图

【解析】如答图，连结OB.

∵四边形ABCO是平行四边形，

∴OC＝AB，OC∥AB，

又∵OA＝OB＝OC，∴OA＝OB＝AB，

∴△AOB是等边三角形，

∵OF ⊥OC ，OC ∥AB ，

∴OF ⊥AB ，∴∠BOF ＝∠AOF ＝30°，

由圆周角定理得∠BAF ＝12∠BOF ＝15°.故选B.

如图3，已知四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，P 是劣弧CD 上不同

于点C 的任意一点，则∠BPC 的度数是( A )

A ．45°

B ．60°

C ．75°

D ．90°

图3 变形2答图

【解析】 如答图，连结OB ，OC ，则∠BOC ＝90°，

根据圆周角定理，得∠BPC ＝12∠BOC ＝45°. 如图4，已知AB ＝AC ＝AD ，∠CBD ＝2∠BDC ，∠BAC ＝44°，则∠CAD

的度数为( B )

A ．68°

B ．88°

C ．90°

D ．112°

图4 变形3答图 【解析】 如答图，以A 为圆心，AB 为半径画圆，则点C ，D 都在圆上，

∵∠CBD ＝2∠BDC ，∴CD ︵＝2BC ︵，

∵∠BAC ＝44°，∴∠CAD ＝2∠BAC ＝88°.故选B.

如图5，⊙O 是△ABC 的外接圆，且AB ＝AC ＝13，BC ＝24，求⊙O 的

半径．

图5变形4答图解：如答图，连结AO，BO，AO交BC于点D.

则根据垂径定理的逆定理，得OA⊥BC，

BD＝CD＝1

2BC＝12.

在Rt△ABD中，由勾股定理得AD＝AB2－BD2＝5.

设⊙O的半径为r，则OD＝OA－AD＝r－5.

在Rt△OBD中，由勾股定理得BD2＋OD2＝OB2，

即122＋(r－5)2＝r2，解得r＝16.9，

即⊙O的半径为16.9.

如图6，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AB交AC于点D.若∠A＝30°，

OD＝20，求CD的长．

图6变形5答图

解：如答图，连结BC.

∵OD⊥AB，∠A＝30°，OD＝20，

∴AD＝2OD＝40，∴OA＝AD2－OD2＝20 3.

∵AB是⊙O的直径，

∴AB＝2OA＝403，且∠ACB＝90°，

∴BC＝1

2AB＝203，∴AC＝AB

2－BC2＝60，

∴CD＝AC－AD＝60－40＝20.

二圆周角定理与直角三角形、全等三角形

等知识的综合运用

教材P93作业题第5题)

一个圆形人工湖如图7所示，弦AB是湖上的一座桥．已知AB长为100 m，圆周角∠C＝45°.求这个人工湖的直径．

图7教材母题答图

解：如答图，设圆心为O，连结OA，OB.

∵∠C＝45°，∴∠AOB＝2∠C＝90°，

∴OA＝AB

2

＝502(m)，

∴这个人工湖的直径为2OA＝1002(m)．

【思想方法】直角三角形与圆周角定理的综合运用一般是通过圆周角定理进行角度转换，利用直角三角形的相关知识求解．

[2016·嘉善模拟]如图8，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，AB

＝AC，∠ABC的平分线交AC于点D，交⊙O于点E，连结CE.若CE＝2，则

BD的长为．

图8 变形1答图

【解析】如答图，延长BA，CE交于点M.

∵BC是⊙O的直径，

∴∠BAD＝∠CAM＝90°，∠BEC＝∠BEM＝90°，

∵AB＝AC，∠ABD＝∠ACM，∴△ABD≌△ACM，

∴BD＝CM，∵BE平分∠ABC，

∴∠EBM ＝∠EBC ，∵BE ＝BE ，∠BEC ＝∠BEM ，

∴△BEC ≌△BEM ，∴EC ＝EM ，

∴BD ＝CM ＝2CE ＝2 2.

如图9，在△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，连结AD ，请

添加一个条件__AB ＝AC 或BD ＝CD 或∠B ＝∠C 或∠BAD ＝∠CAD __，使△ABD ≌△ACD .

图9

如图10，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠C ＝30°，AB ＝2 cm ，求⊙O 的半

径．

图10 变形3答图

解：如答图，连结AO 并延长交⊙O 于点D ，连结BD .

∵∠D ，∠C 所对的圆弧都为AB ︵，

∴∠D ＝∠C ＝30°.

∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ABD ＝90°，

∴AD ＝2AB ＝4(cm)，∴AO ＝12AD ＝2(cm)，

即⊙O 的半径为2 cm.

在⊙O 中，直径AB ＝4，CD ＝2，直线AD ，BC 相交于点E .

(1)如图11①，∠E 的度数为__60°__；

(2)如图②，AB 与CD 交于点F ，请补全图形并求∠E 的度数；

(3)如图③，弦AB 与弦CD 不相交，求∠AEC 的度数．