13单调性与最大最小值二07 08
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一知识回顾 : 1.增函数,减函数的图象特征 ,以及定义;
y y? f(x)
y
y? f(x)
f(x1) f(x2)
f (x1)
O
x1Baidu Nhomakorabea
x2 x
O
x1
x2
x
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量
的值x1 ,x2,当x1＜x2时,都有f(x1)< f(x2) ,那么就说 f(x)在这个区间上是增函数
解: 作出函数h(t)=-4.9t 2+14.7t+18的图象
显然,函数图象的 顶点就是烟花上升的 最高点, 顶点的横坐标就是烟花爆裂的 最佳时刻 ,
纵坐标就是这时距地面的 高度.
由二次函数的知识 ,函数h(t)=- 4.9t2+14.7t+18有:
当t
?
?
14.7 2 ? (?4.9)
?
1.5时，函数有最大值
一般地,设函数y=f(x)的定义域为 I,
如果存在实数M满足:
两个条件
(1)对于任意的x∈I,都有f(x) ≤M. 缺一不可.
(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M. 那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值. 记为: ymax=f(x0)
一般地,设函数y=f(x)的定义域为 I,
如果存在实数M满足:
h(t)当?t ??4?.函92(?数t1(4??h.4732(.t9)))=2 ?-?41.4.95t?时2+(，?1函444..数79?t)+(有??11最488.有9大?):值14..72
h ? 4 ? (?4.9) ? 18 ? 14.72 ? 29 4 ? (?4.9)
于是,烟花冲出后 1.5s是它爆裂的最佳时刻 , 距地面的高度为 29m.
? f (x1) ? f (x2 ) ? 0 即f ( x1) ? f ( x2 )
所以,函数f (x) ? 2 是区间[2,6]上的减函数. x?1
? 函数f ( x)在[2，6]的两个端点上分别取得最大值和最小值.
? 函数f ( x)的最大值为f (2) ? 2,最小值为f (6) ? 0.4
二.引入新课:函数的最大(小)值.
设f(x)是定义在区间 [-6,11]上的函数.如果f(x)在区间 [-6,-2]上递减,在区间[-2,11]上递增,画出 f(x)的一个大致的 图象,从图象上可以发现 f(-2)是函数f(x)的一个 最小值 .
五.针对性练习
2.函数 y ? 1 在 [2,3] 上的最小值为 x?1
A. 2
B. 1 Ｃ． 2
观察下图函数的图象 f(x)=x2和f(x)=x的图象,试确定函数
值的取值范围 :
f(x)=x
f(x)=x2
y f (x) ? 1 x
1
O
x
你能以函数 f(x)=-x2为例说明 函数f(x)的最大值的含义吗 ?
如何用数学语言给函数的 最大(小 )值下定义 ?
三.讲授新课 是否每个函数都有最大值、最小值？
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量
的值x1 ,x2,当x1＜x2时,都有f(x1)> f(x2) ,那么就说 f(x)在这个区间上是减函数
2.用定义法证明函数的单调性的步骤 ;
取值 作差变形 定号 判断
3.函数单调性是对于定义域内的某个区间而言的。
判断并证明函数f ( x) ? 2 在区间[2，6]上的单调性. x?1
(1)对于任意的x∈I,都有f(x) ≥M.
(2)存在 x0∈I,使得 f(x0)=M. 那么,我们称M是函数y=f(x)的最小值. 记为: ymin=f(x0)
四.例题讲解
例3.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一。制造时一般是 期望在它达到 最高点时暴裂 ，如果烟花距地面的高度
hm与时间t s之间的关系为 h(t)=- 4.9t2+14.7t+18 ,那么 烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地 面的高度是多少（精确到 1m）?
试求函数f ( x)在[2，6]上的最大值和最小值.
解: 设x1,x2是区间[2,6]上的任意
两个实数 ,且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=
2? x1 ? 1
2 x2 ? 1
?
2(x2 ? x1) (x1 ?1)(x2 ?1)
由2 ? x1 ? x2 ? 6,得x2 ? x1 ? 0,(x1 ? 1)(x2 ?1)? 0,
3.二次函数在 闭区间上的最值 ,常先配方 ,再由函 数在区间上的单调性取得最值 .
布置作业 习题1.3 A组 5 B组 1
六.小结
1.这节课我们学习了函数最值的定义 ,定义中两 点是缺一不可的 ,另外,若函数的最大值和最小值存 在,则都是唯一的 ,但取最值时的自变量可以有多个 . 有些函数不一定有最值 ,有最值的不一定同时有 最大 值最小值 .
2.单调函数在 闭区间上的最值 ,关键是先判断 函 数的单调性 ,然后在区间的端点处取得 .
练习：
y
求下列函数的最值：
（1）y=x2-2x+3, x∈R
（2）y=x2-2x+3, x∈[2,5]
（3）y=x2-2x+3, x∈[-2,0]
-1 0
3x
（4）y=x2-2x+3, x∈[0,4]
五.针对性练习
1. P32 课后练习5 2. 教辅P43-44 2 、 8 、 11 、 15
课后练习5:
.
四.例题讲解
例3.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一。制造时一般是 期望在它达到 最高点时暴裂 ，如果烟花距地面的高度 hm与时间t s之间的关系为 h(t)=- 4.9t2+14.7t+18 ,那么 烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地 面的高度是多少（精确到 1m）?
由二次函数的知识 ,
１Ｄ．１ ３
( B)
8.函数y ? x ? 1 ? x ? 1的最小值是 ___2__.
11.已知函数f (x) ? ? x2 ? 4x? a, x? [0,1],若f (x)有 最小值-2,则f (x)的最大值为_1__.
15.求函数f (x) ? x2 ? 1 ? x在区间[0, ?? )上的最大值. 1
y y? f(x)
y
y? f(x)
f(x1) f(x2)
f (x1)
O
x1Baidu Nhomakorabea
x2 x
O
x1
x2
x
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量
的值x1 ,x2,当x1＜x2时,都有f(x1)< f(x2) ,那么就说 f(x)在这个区间上是增函数
解: 作出函数h(t)=-4.9t 2+14.7t+18的图象
显然,函数图象的 顶点就是烟花上升的 最高点, 顶点的横坐标就是烟花爆裂的 最佳时刻 ,
纵坐标就是这时距地面的 高度.
由二次函数的知识 ,函数h(t)=- 4.9t2+14.7t+18有:
当t
?
?
14.7 2 ? (?4.9)
?
1.5时，函数有最大值
一般地,设函数y=f(x)的定义域为 I,
如果存在实数M满足:
两个条件
(1)对于任意的x∈I,都有f(x) ≤M. 缺一不可.
(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M. 那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值. 记为: ymax=f(x0)
一般地,设函数y=f(x)的定义域为 I,
如果存在实数M满足:
h(t)当?t ??4?.函92(?数t1(4??h.4732(.t9)))=2 ?-?41.4.95t?时2+(，?1函444..数79?t)+(有??11最488.有9大?):值14..72
h ? 4 ? (?4.9) ? 18 ? 14.72 ? 29 4 ? (?4.9)
于是,烟花冲出后 1.5s是它爆裂的最佳时刻 , 距地面的高度为 29m.
? f (x1) ? f (x2 ) ? 0 即f ( x1) ? f ( x2 )
所以,函数f (x) ? 2 是区间[2,6]上的减函数. x?1
? 函数f ( x)在[2，6]的两个端点上分别取得最大值和最小值.
? 函数f ( x)的最大值为f (2) ? 2,最小值为f (6) ? 0.4
二.引入新课:函数的最大(小)值.
设f(x)是定义在区间 [-6,11]上的函数.如果f(x)在区间 [-6,-2]上递减,在区间[-2,11]上递增,画出 f(x)的一个大致的 图象,从图象上可以发现 f(-2)是函数f(x)的一个 最小值 .
五.针对性练习
2.函数 y ? 1 在 [2,3] 上的最小值为 x?1
A. 2
B. 1 Ｃ． 2
观察下图函数的图象 f(x)=x2和f(x)=x的图象,试确定函数
值的取值范围 :
f(x)=x
f(x)=x2
y f (x) ? 1 x
1
O
x
你能以函数 f(x)=-x2为例说明 函数f(x)的最大值的含义吗 ?
如何用数学语言给函数的 最大(小 )值下定义 ?
三.讲授新课 是否每个函数都有最大值、最小值？
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量
的值x1 ,x2,当x1＜x2时,都有f(x1)> f(x2) ,那么就说 f(x)在这个区间上是减函数
2.用定义法证明函数的单调性的步骤 ;
取值 作差变形 定号 判断
3.函数单调性是对于定义域内的某个区间而言的。
判断并证明函数f ( x) ? 2 在区间[2，6]上的单调性. x?1
(1)对于任意的x∈I,都有f(x) ≥M.
(2)存在 x0∈I,使得 f(x0)=M. 那么,我们称M是函数y=f(x)的最小值. 记为: ymin=f(x0)
四.例题讲解
例3.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一。制造时一般是 期望在它达到 最高点时暴裂 ，如果烟花距地面的高度
hm与时间t s之间的关系为 h(t)=- 4.9t2+14.7t+18 ,那么 烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地 面的高度是多少（精确到 1m）?
试求函数f ( x)在[2，6]上的最大值和最小值.
解: 设x1,x2是区间[2,6]上的任意
两个实数 ,且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=
2? x1 ? 1
2 x2 ? 1
?
2(x2 ? x1) (x1 ?1)(x2 ?1)
由2 ? x1 ? x2 ? 6,得x2 ? x1 ? 0,(x1 ? 1)(x2 ?1)? 0,
3.二次函数在 闭区间上的最值 ,常先配方 ,再由函 数在区间上的单调性取得最值 .
布置作业 习题1.3 A组 5 B组 1
六.小结
1.这节课我们学习了函数最值的定义 ,定义中两 点是缺一不可的 ,另外,若函数的最大值和最小值存 在,则都是唯一的 ,但取最值时的自变量可以有多个 . 有些函数不一定有最值 ,有最值的不一定同时有 最大 值最小值 .
2.单调函数在 闭区间上的最值 ,关键是先判断 函 数的单调性 ,然后在区间的端点处取得 .
练习：
y
求下列函数的最值：
（1）y=x2-2x+3, x∈R
（2）y=x2-2x+3, x∈[2,5]
（3）y=x2-2x+3, x∈[-2,0]
-1 0
3x
（4）y=x2-2x+3, x∈[0,4]
五.针对性练习
1. P32 课后练习5 2. 教辅P43-44 2 、 8 、 11 、 15
课后练习5:
.
四.例题讲解
例3.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一。制造时一般是 期望在它达到 最高点时暴裂 ，如果烟花距地面的高度 hm与时间t s之间的关系为 h(t)=- 4.9t2+14.7t+18 ,那么 烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地 面的高度是多少（精确到 1m）?
由二次函数的知识 ,
１Ｄ．１ ３
( B)
8.函数y ? x ? 1 ? x ? 1的最小值是 ___2__.
11.已知函数f (x) ? ? x2 ? 4x? a, x? [0,1],若f (x)有 最小值-2,则f (x)的最大值为_1__.
15.求函数f (x) ? x2 ? 1 ? x在区间[0, ?? )上的最大值. 1