13单调性与最大最小值二07 08
2013函数的单调性及最值⑵
函数的单调性及最值之二一、例题讲解例1.已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围．例2、已知函数32()(3)x f x x x ax b e -=+++（1）如3a b ==-，求()f x 的单调区间；（1）若()f x 在(,),(2,)αβ-∞单调增加，在(,2),(,)αβ+∞单调减少，证明: βα-＜6.例3.已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围．例4.已知a 是实数，函数())f x x a =-。
（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；Ⅱ）设)(a g 为()f x 在区间[]2,0上的最小值。
（i ）写出)(a g 的表达式；（ii ）求a 的取值范围，使得2)(6-≤≤-a g 。
二、课后作业1.(2009年广东卷文)函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是( )A. )2,(-∞B.(0,3)C.(1,4)D. ),2(+∞ 2.（2009天津重点学校二模）已知函数=y )(x f 是定义在R 上的奇函数，且当)0,(-∞∈x 时不等式0)()('<+x xf x f 成立， 若)3(33.03.0f a =，),3(log )3(log ππf b =)91(log )91(log 33f c =，则c b a ,,的大小关系是 （ ）A ．c b a >> B ．a b c >> C ．c a b >> D ．b c a >>3.（2009浙江文）若函数2()()a f x x a x=+∈R ，则下列结论正确的是 （ ） A.a ∀∈R ，()f x 在(0,)+∞上是增函数 B.a ∀∈R ，()f x 在(0,)+∞上是减函数C.a ∃∈R ，()f x 是偶函数D.a ∃∈R ，()f x 是奇函数4.（2007年福建理11文）已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x > 时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时 （ ）A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<，5.（ 08年湖北卷）若21()ln(2)2f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值 范围是（ ）A . [1,)-+∞B . (1,)-+∞C . (,1]-∞-D . (,1)-∞- 6（2009辽宁卷文）若函数2()1x a f x x +=+在1x =处取极值，则a = 7.（2009江苏卷）函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 .8.（2009北京文）（本小题共14分）设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切，求,a b 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点.9.(2009山东卷文)（本小题满分12分）已知函数321()33f x ax bx x =+++,其中0a ≠（1）当b a ,满足什么条件时,)(x f 取得极值?（2）已知0>a ,且)(x f 在区间(0,1]上单调递增,试用a 表示出b 的取值范围.10、(北京市西城区2008年4月高三抽样测试)已知函数()ln f x x x =.（Ⅰ）求()f x 的最小值；（Ⅱ）若对所有1x ≥都有()1f x ax ≥-，求实数a 的取值范围.11.(2009陕西卷理)（本小题满分12分） 已知函数1()ln(1),01xf x ax x x -=++≥+，其中0a >()I 若()f x 在x=1处取得极值，求a 的值；()II 求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围。
单调性极值及判定最大值最小值
思考题解答 结论不成立. 因为最值点不一定是内点.
例 y f ( x) x x [0,1] 在 x 0 有最小值，但 f (0) 1 0
y
y
y
oa
bx o a
bx o a
bx
步骤:
1.求驻点和不可导点;
2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个 就是最小值;
注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值.(最大值或最小值)
二、应用举例
例1 求函数 y 2x3 3x2 12x 14 的在[3,4] 上的最大值与最小值.
驻点和不可导点统称为临界点.
函数的极值必在临界点取得.
第一充分条件;
判别法
(注意使用条件)
第二充分条件;
函数的最大值 与最小值
一、最值的求法
若函数 f ( x) 在 [a, b] 上连续，除个别点外处处可导， 并且至多有有限个导数为零的点，则 f ( x) 在 [a, b] 上的最大值与最小值存在 .
1 x f ( x)在[0,)上连续,且(0,)可导，f ( x) 0,
在[0,)上单调增加； f (0) 0,
当x 0时，x ln(1 x) 0, 即 x ln(1 x).
试证当x 0时, x arctanx.
证 : 设f (x) x, g(x) arctanx,
G(x) f (x) g(x),则
解 f ( x) 6( x 2)(x 1)
解方程 f ( x) 0,得 x1 2, x2 1.
计算 f (3) 23;
f (2) 34;
f (1) 7;
f (4) 142;
y 2x3 3x2 12x 14
【全程复习方略】2013版高中数学 (主干知识+典例精析)2.2函数的单调性与最值课件 理 新人教B版
(3)由y=ax在(0，+≦)上是减函数，知a＜0； 由 y b 在(0，+≦)上是减函数，知b＜0．
x
≨y=ax2+bx的对称轴 x b ＜0，
2a
又≧y=ax2+bx的开口向下, ≨ y=ax2+bx在(0，+≦)上是减函数． 答案：(1)①真 ②真 ③假 ④真
(2)>
{x|x>1或x<-1}
x 1
【解题指南】(1)转化为基本初等函数的单调性去判断； (2)可用定义法或导数法.
【规范解答】(1)函数f(x)的定义域为( 1 ，+≦)，令
2
t=2x+1(t>0),
因为y=log5t在t∈(0,+≦)上为增函数，t=2x+1在(
1 ，+≦) 2
上为增函数，
所以函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间为( 1 ,+≦).
f(1-x2)＞f(2x)的条件，得出1-x2与2x之间的大小关系， 进而求得x的取值范围.也可分1-x2≥0，1-x2<0讨论求解.
【规范解答】方法一：画出
x 2 1，x 0 的图象， f x 1，x＜0
由图象可知， 若f(1-x2)＞f(2x)，
1＜x＜1 1 x 2＞0 ， 则 ，即 2 1 x ＞2x 1 2＜x＜ 1 2
由图象知f(2)>f(-1)>f(0).
【反思·感悟】1.当已知函数的单调性，解含有“f”号的不等 式时，首先要根据函数的性质，转化为如“f(g(x))>f(h(x))” 的形式，再利用单调性，转化为具体不等式求解，但要注意函 数的定义域. 2.比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内， 要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于
单调性与最大(小)值说课稿
1.3.1单调性与最大（小）值一、教材1、教材的地位和作用本节课主要学习内容是函数的单调性的概念，判断函数的单调性和应用定义证明函数的单调性以及通过函数的单调性求函数的最大最小值，它是在学生学习了函数的表示的基础上来进行的，为以后学习指、对、幂函数的做知识准备。
因此本节课在知识结构上起了承上启下的作用。
函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法，对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示范作用。
2、教学目标根据《课程标准》的要求和学生的心理认知特点，确定了以下目标：（1）知识与技能：理解函数的单调性和最大（小）值的定义，学会函数单调性的判断和证明以及最大小值的求解。
通过对函数单调性定义的探究，培养学生观察、归纳的能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力。
（2）过程与方法：培养学生严密的逻辑思维能力以及用运动变化、数形结合、分类讨论的方法去分析和处理问题，以提高学生的思维品质。
（3）情感态度与价值观: 通过函数单调性与最大（小）值学习解决学生身边实际具体事情，使学生感受到数学的魅力，培养数学的敏感性，激发学生学习数学的兴趣。
3、教学重点、难点及确定依据根据《课程标准》的规定、上述教材的分析和学生已有知识的储备，本课的重点、难点如下：重点：函数的单调性和最大（小）值的定义、函数单调性的判断和证明，以及函数的单调性求函数的最大（小）值。
难点：函数单调性的理解和函数单调性的证明。
二、学情学习的对象是高一学生，他们已具备一定的数学基础，逻辑思维从经验型逐步走向理论型发展。
高中生好奇心强，渴望明白原理、知道方法，同时他们也希望得到平等的交流研讨，厌烦空洞的说教。
三、教法学法1、教法根据本节课的教学目标以及学生的实际情况，为了更有效地突出重点、突破难点，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体，训练为主线的指导思想，采用以启发式引导法为主，问答式教学法、反馈式评价法为辅。
在教学中，要注重展开探索过程，充分利用好函数图象的直观性，培养学生数形结合的思想，尽可能多的挖掘学生潜力，使师生、生生配合好。
第02课函数的单调性与最大(小)值(课件)
【典例】(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ex－e－x
B．y＝|x2－2x|
C．y＝x＋cos x
D．y＝ x2＋x－2
【解析】∵y＝ex 与 y＝－e－x 为 R 上的增函数，∴y＝ex－e－x 为 R 上的增函数，故 A 正确； 由 y＝|x2－2x|的图象知，故 B 不正确；对于选项 C，y′＝1－sin x≥0，∴y＝x＋cos x 在 R 上为增函数，故 C 正确； y＝ x2＋x－2的定义域为(－∞，－2]∪[1，＋∞)，故 D 不正确．
【典例】已知二次函数 f(x)＝x2－2x＋3, 当 x∈[t，t＋1]时，求 f(x)的最小值 g(t).
【解析】①当 t>1 时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数， 所以当 x＝t 时，f(x)取得最小值，此时 g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3. ②当 t≤1≤t＋1，即 0≤t≤1 时，f(x)在[t，t＋1]上先递减后递增， 故当 x＝1 时，f(x)取得最小值，此时 g(t)＝f(1)＝2. ③当 t＋1<1，即 t<0 时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，所以当 x＝t＋1 时，f(x)取得最小值，
函数 f(x)＝ x－1在其定义域内是增函数.
【解析】函数 f(x)＝ x－1的定义域是[1，＋∞)，
设∀x1，x2∈[1，＋∞)，且 x1<x2，则 f(x2)－f(x1)＝ x2－1－ x1－1
＝
x2－1－ x1－1 x2－1＋ x2－1＋ x1－1
x1－1＝
x2－x12－＋x1x1－1.
因为 x1，x2∈[1，＋∞)，且 x1<x2，所以 x2－1＋ x1－1>0，x2－x1>0.
高中数学人教A版必修第一册3.2.1单调性与最大(小)值课件
8.函数 f (x) x2 3| x | 2 的单调递减区间是__-_∞__,_-__23__∪____0_,_23____.
解析：
f
(x)
x2
3
|
x
|
2
x2
x2
3x 3x
2 ，x 2 ，x
0 0
，
f
(x)
x x
3 2
3 2
2
2
1 4
1 4
，x ，x
0 0
，
结合二次函数的图象可得，
所以函数
f
(x)
2 x 1
在区间 [2, 6]
上单调递减.
因此函数
f
(x)
2 x 1
在区间 [2, 6]
的两个端点上分别取得最大值与最小值.
在 x 2 时取得最大值，最大值是 2；在 x 6 时取得最小值，最小值是 0.4.
课堂小测
C 1.函数 y 2x2 2x 1 在区间[ 1,1] 上的最小值为( )
f
(x2 )
2
x1 1
2 x2 1
=
2(x2 1) (x1 1)
(x1 1)(x2 1)
= 2(x2 x1) (x1 1)(x2 1)
.
由 2 x1 x2 6 ，得 x2 x1 0 ， (x1 1)(x2 1) 0 ，
于是 f (x1) f (x2 ) 0 ，即 f (x1) f (x2 ) .
C.
4.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售 x 辆该品牌车的利润（单位：
万元）分别为 L1 x2 21x 和 L2 2x .若该公司在两地共销售 15 辆该品牌车，
C 则能获得的最大利润为( )
单调性与最大 最小值 第二课时
解：由例题解答可得出 x∈(1,2]时是减 函数，f(x)≥f(2)； x∈[2,3)时是增函数，f(x)≥f(2)， ∴x∈(1,3)时，函数只有最小值 f(2)＝2 4 ＋ ＝4，无最大值． 2
函数最值的实际应用 根据实际问题，建立函数关系，然后求函数 的最值转化为实际问题的最值．
例3 某公司生产一种电子仪器的固定总成
本是2万元，每生产一台需另投入100元，已 知总收益满足
1 2 400x－ x 0≤x≤400 2 k(x)＝ x＞400 80000
，其中 x
是仪器的月产量． (1)将利润表示为月产量 x 的函数 f(x)； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最 大？
小结： 1．求二次函数的最值时，应判断它的开口 方向及对称轴与区间的关系．若含有字母， 要根据对称轴和区间的关系对字母进行讨论， 解题时要注意数形结合．(如例1) 2．分段函数的最大值为各段上最大值的最 大者，最小值为各段上最小值的最小者，故 求分段函数的最大或最小值，应先求各段上 的最值，再比较即得函数的最大、最小 值．(如例3)
考点突破
利用图象求函数最值 先作出函数图象，寻找闭区间上的图象的最 高点或最低点． 已知函数f(x)＝3x2－12x＋5，当自变 量x在下列范围内取值时，求函数的最大值 和最小值：
例1
(1)x∈R；(2)[0,3]；(3)[－1,1]．
【思路点拨】 作出y＝3x2－12x＋5(x∈R) 的图象再分别截取x∈[0,3]，x∈[－1,1]上的 图象，看图象的最高点，最低点的纵坐标．
失误防范
1．利用图象求函数最值时，要注意定义域 所对应的图象．(如例1) 2．作为函数的最值，一定能使函数等于这 个值．
3.2.1 单调性与最大(小)值2
所以函数 f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．
(3)解:∵f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数．
∴f(x)在[2,9]上的最小值为 f(9)．由 f xx12＝f(x1)－f(x2)得， f 93＝f(9)－f(3)，而 f(3)＝－1，所以 f(9)＝－2.
∴f(x)在[2,9]上的最小值为－2.
2 (4.9)
4 (4.9)
于是，烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度为29 m.
例2.求函数
y
2 x 1
在区间[2，6]上的最大值和最小值．
解：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1<x2,则
f
( x1 )
f
(x2 )
2 x1 1
2 x2 1
2[(x2 1) (x1 1)] (x2 1)(x1 1)
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调 递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调 递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；
练习
1、函数f(x)=x2+4ax+2在区间(－∞,6]内递减，则a的取值 范围是( D ) A、a≥3 B、a≤3 C、a≥－3 D、a≤－3
那么，称M是函数y=f(x)的最大值 2．最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M是函数y=f(x)的最小值
注意：1、函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在
x0∈I，使得f(x0) = M；
《单调性与最大(小)值》教案
《单调性与最大（小）值》教案教学目标1、理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念.2、掌握增（减）函数的证明和判别.3、学会运用函数图像进行理解和研究函数的性质.教学重难点重点：判断函数单调性，找出单调区间，熟练求函数的最大（小）值.难点：理解函数的最大（小）值，能利用单调性求函数的最大(小)值.教学过程在教法学法方面，采用启发式、探讨式的教学方法，引导学生自主探究，合作交流。
通过学生身边熟悉的事物，教师创造疑问，学生想办法解决疑问，通过教师的启发点拨，学生以自己的努力找到了解决问题的方法。
一、情景导入问题：1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：（1）随x 的增大，y 的值有什么变化？（2）能否看出函数的最大、最小值？二、新课教学（一）函数单调性定义1．增函数一般地，设函数y =f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是增函数（increasing function ）．思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性。
○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2) ．注意“任意”两字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换，两个任意的自变量是属于同一个单调区间。
2．函数的单调性定义如果函数y =f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y =f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f(x)的单调区间：3．判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：○1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2；○2 作差f(x 1)－f(x 2)；○3 变形（通常是因式分解和配方）；○4 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）；○5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）．4、判定函数单调性的常见方法（1）定义法：如上述步骤，这是证明或判定函数单调性的常用方法（2）图象法：根据函数图象的升降情况进行判断。
单调性与最大值最小值
单调性与最大值最小值(一)【教学目标】1理解增函数、减函数的概念2掌握判断某些函数增减性的方法3渗透数形结合的数学方法教学重点：函数单调性概念的理解及应用教学难点：函数单调性的判定及证明【探求新知】1.观察下列函数图像从左到右升降如何变化的?_ 2.在上面的四幅函数图象中，有的图象由左至右是上升的；有的图象是下降的；还有的图象有的部分是下降的，有的部分是上升的.函数图象的“上升” “下降”反映了函数的一个基本性质---单调性.如何描述函数图象的“上升”“下降”呢？以二次函数f(X)=x为例, 列出x，的对应值表：--------------------------------------------------------x ・・・-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ・・・f(x)=x2・・・16 9 4 1 0 1 4 9 16 ・・・思考：对比上图和上表，可以发现 在y 轴左侧，当X 增大时f(x) 在y 轴右侧，当X增大时f(x)探究1 :有同学这样认为“在(0,畑)上，当X i C X 2时，f(X i ) < f(X 2)则说明随着X 的增大，相应的f(x)增大”你认为对吗?探究2:根据以上探究，如何利用数学语言描述f(X)= X 2 “随着X 的增大,相应的 f(x)随着增大”试一试你能仿照这样的描述说明函数f(x)=x 2在区间(-=0,0］上是减函数吗??【概念生成】1. 增函数的概念：一般地，设函数f(x)的定义域为I :如果对于定义域I 内某个区间 D 上的2. 总结归纳请同学们自己归纳一下减函数的定义。
3探索判断题：(1定义在［-2,2］上的函数f (X)若f (0) <f (1),则函数 ()(2定义在［-2,2］上的函数f (X)满足f (0) >f (1),则函数 增函数()4.单调区间如果函数y=f(x)在区间D 上是 _______________ ,那么就说函数y=f(x)在这一区间 具有(严格的)单调性,区间D 叫做函数y=f(x)的单调区间.①函数的单调区间只能是其定义域的子集 ②在单调区间上，增函数的图象自左向右看是上升的，减函数的图象自左向右看是 下降的.都有那么就说函数f(x)在区间D 上是___函数.两个自变量的值Xp%当 f(X)在［-2,2］上是增函数f(X)在［-2,2］上一定不是【典例分析】例1.如图是定义在闭区间［-5,5］上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单 调区间，以及在每一个单调区间上,y=f(x)是增函数还是减函数.I-j ri 严 A ■兰丄“ Is — ■ _______ ■―i a 3 4 夢例2物理学中的波意耳定律 定量的气体，当其体积V 减小时,压强P 将增大.试用函数的单调性 证明之.思路探究：(1 )证明依据(2 )当v ^v 2则需要判定P(vj, p(v 2)的 (3)如何比较p(v i ), p(V 2)的大小变式练习:1证明函数f(x) =1 在区间(0,+ =0)上是单调增函数变式练习:求y 二丄的单调区间p=k/V(k 为正常数)告述我们，对于 -■.存 115 ■3 ■■■x试一试：总结一下根据定义证明单调函数的步骤第一步:第二步: 第三步: 第四步:【达标检测】1.y=kx+b是增函数，贝U k的取值范围 _____2.函数y=f(x)在定义域R上增函数，且满足f(X i)>f(X2),则x iX2 3.证明f(x)=-2x+1 在R上是减函数。
3.2.1单调性与最大(小)值(第二课时)课件(人教版)
x2 −x1
x2 ) +
x 1 x2
1
)
x1
=
− (x2 +
1
)
x2
x1 −x2
(x1 x2
x1 x2
= (x1 − x2 ) +
1
(
x1
1
− )
x2
− 1).
由x1 , x2 ∈ (1, +∞)，得1 < x1 < x2 ，所以x1 x2 > 0, x1 x2 − 1 > 0.
又x1 < x2 ，所以x1 − x2 < 0，所以f(x1 ) − f(x2 ) < 0.即f(x1 ) < f(x2 ).
①存在x0∈I，使得f(x0)＝m
②对于任意x∈I，都有f(x)≥m
几何意义
函数y＝f(x)图象上
最高点的纵坐标
函数y＝f(x)图象上
最低点的纵坐标
常用的求函数最值的方法：
(1)利用函数图像判断最值.
(2)利用函数的单调性判断最值.
所以f(x1 ) − f(x2 ) < 0.即f(x1 ) < f(x2 ).
所以函数f(x) = −3 +
那么f(x)max = −3
1
在区间[2,4]上单调递增.
1−x
+
1−4
=
10
− ；f(x)min
3
= −3
1
+
1−2
= −4.
=
x1 −x2
.
(1−x1 )(1−x2 )
练习巩固
练习4：已知函数f(x) = x 2 − ax + 1.
3.2.1单调性与最大(小)值第2课时课件(人教版)
−
− −
=(x1-x2)(1)=
∵x1<x2,∴x1-x2<0.当1≤x1<x2≤2时,x1x2>0,1<x1x2<4,
即x1x2-4<0.
∴f(x1)>f(x2),即f(x)在区间[1,2]上是减函数.
(2)由(1)知f(x)的最小值为f(2),f(2)=2+2=4;
整理得y=- +162x-21
000=- (x-4
050)2+307 050.
所以当x=4 050,即每辆车的租金为4 050元时,租赁公司的月收益
最大,最大月收益是307 050元.
五、归纳小结
1.函数最大值、最小值的概念；
2.利用单调性求最大值、最小值的方法.
谢
谢！
3.2.1 单调性与最大（小）值
第2课时 函数的最大（小）值
一、情境引入
画出下列函数的图象，分析图象的变化趋势.
（1）f(x)=-2x+3
（2）f(x)=-2x+3,
x∈[-1,2]
（3）f(x)=x2+2x+2,
x∈[-3,-2]
（4）f(x)=x2+2x+2,
x∈[-2,1]
二、新知探究
探究：根据上面所画函数图象思考下列问题：
(2)当每辆车的月租金为多少元时,租赁公司的月收益最大?最
大月收益是多少?
解：(1)当每辆车的月租金为3 600元时,未租出的车辆数为
−
=12,所以此时租出了88辆.
(2)设每辆车的月租金为x元,租赁公司的月收益为y=ቀ −
第二节 函数的单调性与最大(小)值
f(x－1)>0 的解集是
()
A．(－∞，－1)∪12，＋∞ C．－∞，－12∪(1，＋∞)
B．－12，1 D．－1，12
[解析] f(x)的定义域为 R ，且 f(－x)＝ax－a1x＝－f(x)，所以 f(x)为奇函数．
__________．
解析：易知f(x)＝x2－2kx＋4的图象的对称轴为x＝k，由题意可得k≤5或 k≥20.
答案：(－∞，5]∪[20，＋∞)
三、“基本思想”很重要 1．(数形结合)设定义在[－1,7]上的函数 y＝f(x)的图象如图所示，则函数 y＝f(x)
的增区间为________．
解析：由图象可知函数的增区间为[－1,1]和[5,7]． 答案：[－1,1]和[5,7]
命题点三 函数单调性的应用(多角探明) [逐点例析]
题点(一) 比较大小
x2＋1，x≥0， [例 1] (2020·湘潭三模)设函数 f(x)＝13x3－32x2＋2x＋1，x<0， a＝f(0.7－0.5)，
b＝f(0.8－0.5)，c＝f(log0.75)，则 a，b，c 的大小关系是
A．b<c<a
3．(2021·石家庄模拟)对于任意实数 a，b，定义 min{a，b}＝ab，，aa≤>bb. ， 设函 数 f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数 h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是 ________．
解析：在同一坐标系中，作出函数 f(x)，g(x)的图象，依题意， h(x)的图象如图中实线所示．易知点 A(2,1)为图象的最高点， 因此 h(x)的最大值是 h(2)＝1. 答案：1
(2)单调区间D必为定义域的子集，所以函数的单调性是函数的局部性质． (3)对于区间端点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减的变化，所
单调性与最大(小)值 说课稿 教案 教学设计
单调性与最大（小）值【教学目标】1.知识与技能：（1）通过函数图象了解函数最大值、最小值在图象上的特征。
（2）会用函数的解析式和数学语言刻画函数最大值和最小值的概念。
（3）了解函数最值在实际中的应用，会求简单的函数的最值。
2.过程与方法：从已有知识出发，通过学生的观察、归纳、抽象和推理论证培养学生的数学能力，进一步领会数形结合和分类的思想方法。
3.情感态度价值观：通过知识的探究过程，突出学生的主观能动性，培养学生认真分析、科学论证的数学思维习惯.【重点难点】1.教学重点：理解函数的最值。
2.教学难点：运用函数的单调性求函数的最值。
【教学策略与方法】1.教学方法：问题引导，主动探究，启发式教学．2.教具准备：多媒体【教学过程】教学流程教师活动学生活动设计意图一、情境引入；喷泉喷出的抛物线型水柱到达“最高点”后便下落，经历了先“增”后“减”的过程，从中我们发现单调性与函数的最值之间似乎有着某种“联系”，让我们来研究——函数的最大值与最小值.1.观察与思考；问题1. 这两个函数图象有何共同特征？问题 2. 设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M,则对函数定义域内任意自变量x,学生通过对图像的观察，进行口答。
遵循学生的认知规律，从感性的图像入手来体会函数的单调性，进而为抽象出单调性的数学概念打下基础。
yx o x图M2()([2,6])1=∈-f x x x f(x)与M 的大小关系如何?环节二：二、观察思考，归纳抽象，形成概念； 问题1.函数最大值的“形”的定义： 当函数图象有最高点，我们就说这个函数有最大值。
当函数图象无最高点时，我们说这个函数没有最大值。
问题2.函数图象最高点的数的刻画： 函数图象在最高点处的函数值是函数在整个定义域上最大的值。
对应函数 而言，即对于任意的()y f x = ，都有0()()f x f x ≤函数最大值定义一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x ∈I ，都有________； （2）（2）存在x0∈I ，使得_______。
函数的单调性与最值课件共20张PPT
调递增
调递减
∀x1，x2∈D 且 x1≠x2，有fxx11－ －fx2x2>0(<0)或
(x1－ x2)[f(x1)－ f(x2)]>0(<0)⇔ f(x) 在区 间 D 上单 调递 增
(减).
复习回顾
图象 描述
自左向右看图象是上升的
解析
令
x2＋4＝t，则
t≥2，∴x2＝t2－4，∴y＝ t2
＋t 1＝t＋1 1，
t
设 h(t)＝t＋1，则 h(t)在[2，＋∞)上为增函数， t
∴h(t)min＝h(2)＝52，∴y≤15＝25(x＝0 时取等号)． 2
即 y 的最大值为2. 5
求函数最值的三种基本方法：
一．单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. 二．图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出
自左向右看图象是下降的
复习回顾
(2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上_单__调__递__增__或_单__调__递__减__，那么就说函数y＝f(x) 在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
复习回顾 2.函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
专题一：判断、证明函数的单调性
例 1：(3)已知 f x 2x , x 2,6. (1)判断 f x 的单调性，并加以证明；(2)求 f x 的最值.
x 1
专题一：判断、证明函数的单调性 变式 3：讨论 f x ax a 0, 的单调性.
x 1
小结： 确定函数单调性的四种方法 (1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．
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五.针对性练习
2.函数 y ? 1 在 [2,3] 上的最小值为 x?1
A. 2
B. 1 Ｃ． 2
? f (x1) ? f (x2 ) ? 0 即f ( x1) ? f ( x2 )
所以,函数f (x) ? 2 是区间[2,6]上的减函数. x?1
? 函数f ( x)在[2，6]的两个端点上分别取得最大值和最小值.
? 函数f ( x)的最大值为f (2) ? 2,最小值为f (6) ? 0.4
二.引入新课:函数的最大(小)值.
１Ｄ．１ ３
( B)
8.函数y ? x ? 1 ? x ? 1的最小值是 ___2__.
11.已知函数f (x) ? ? x2 ? 4x? a, x? [0,1],若f (x)有 最小值-2,则f (x)的最大值为_1__.
15.求函数f (x) ? x2 ? 1 ? x在区间[0, ?? )上的最大值. 1
一般地,设函数y=f(x)的定义域为 I,
如果存在实数M满足:
两个条件
(1)对于任意的x∈I,都有f(x) ≤M. 缺一不可.
(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M. 那么,我们称M是函பைடு நூலகம்y=f(x)的最大值. 记为: ymax=f(x0)
一般地,设函数y=f(x)的定义域为 I,
如果存在实数M满足:
解: 作出函数h(t)=-4.9t 2+14.7t+18的图象
显然,函数图象的 顶点就是烟花上升的 最高点, 顶点的横坐标就是烟花爆裂的 最佳时刻 ,
纵坐标就是这时距地面的 高度.
由二次函数的知识 ,函数h(t)=- 4.9t2+14.7t+18有:
当t
?
?
14.7 2 ? (?4.9)
?
1.5时，函数有最大值
h(t)当?t ??4?.函92(?数t1(4??h.4732(.t9)))=2 ?-?41.4.95t?时2+(，?1函444..数79?t)+(有??11最488.有9大?):值14..72
h ? 4 ? (?4.9) ? 18 ? 14.72 ? 29 4 ? (?4.9)
于是,烟花冲出后 1.5s是它爆裂的最佳时刻 , 距地面的高度为 29m.
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量
的值x1 ,x2,当x1＜x2时,都有f(x1)> f(x2) ,那么就说 f(x)在这个区间上是减函数
2.用定义法证明函数的单调性的步骤 ;
取值 作差变形 定号 判断
3.函数单调性是对于定义域内的某个区间而言的。
判断并证明函数f ( x) ? 2 在区间[2，6]上的单调性. x?1
六.小结
1.这节课我们学习了函数最值的定义 ,定义中两 点是缺一不可的 ,另外,若函数的最大值和最小值存 在,则都是唯一的 ,但取最值时的自变量可以有多个 . 有些函数不一定有最值 ,有最值的不一定同时有 最大 值最小值 .
2.单调函数在 闭区间上的最值 ,关键是先判断 函 数的单调性 ,然后在区间的端点处取得 .
试求函数f ( x)在[2，6]上的最大值和最小值.
解: 设x1,x2是区间[2,6]上的任意
两个实数 ,且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=
2? x1 ? 1
2 x2 ? 1
?
2(x2 ? x1) (x1 ?1)(x2 ?1)
由2 ? x1 ? x2 ? 6,得x2 ? x1 ? 0,(x1 ? 1)(x2 ?1)? 0,
一知识回顾 : 1.增函数,减函数的图象特征 ,以及定义;
y y? f(x)
y
y? f(x)
f(x1) f(x2)
f (x1)
O
x1
x2 x
O
x1
x2
x
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量
的值x1 ,x2,当x1＜x2时,都有f(x1)< f(x2) ,那么就说 f(x)在这个区间上是增函数
(1)对于任意的x∈I,都有f(x) ≥M.
(2)存在 x0∈I,使得 f(x0)=M. 那么,我们称M是函数y=f(x)的最小值. 记为: ymin=f(x0)
四.例题讲解
例3.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一。制造时一般是 期望在它达到 最高点时暴裂 ，如果烟花距地面的高度
hm与时间t s之间的关系为 h(t)=- 4.9t2+14.7t+18 ,那么 烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地 面的高度是多少（精确到 1m）?
练习：
y
求下列函数的最值：
（1）y=x2-2x+3, x∈R
（2）y=x2-2x+3, x∈[2,5]
（3）y=x2-2x+3, x∈[-2,0]
-1 0
3x
（4）y=x2-2x+3, x∈[0,4]
五.针对性练习
1. P32 课后练习5 2. 教辅P43-44 2 、 8 、 11 、 15
课后练习5:
观察下图函数的图象 f(x)=x2和f(x)=x的图象,试确定函数
值的取值范围 :
f(x)=x
f(x)=x2
y f (x) ? 1 x
1
O
x
你能以函数 f(x)=-x2为例说明 函数f(x)的最大值的含义吗 ?
如何用数学语言给函数的 最大(小 )值下定义 ?
三.讲授新课 是否每个函数都有最大值、最小值？
3.二次函数在 闭区间上的最值 ,常先配方 ,再由函 数在区间上的单调性取得最值 .
布置作业 习题1.3 A组 5 B组 1
.
四.例题讲解
例3.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一。制造时一般是 期望在它达到 最高点时暴裂 ，如果烟花距地面的高度 hm与时间t s之间的关系为 h(t)=- 4.9t2+14.7t+18 ,那么 烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地 面的高度是多少（精确到 1m）?
由二次函数的知识 ,