解析几何题型方法归纳(配例题)

解析几何解题方法归纳

一．求轨迹方程（常出现在小题或大题第一问）： 1.【待定系数法】

（1）已知焦点在x 轴上的椭圆两个顶点的坐标为（4,0±），离心率为1

2

，其方程为 ．

22

11612

x y += 提示：2a c =，且24,2,12a c b =∴==.

（2）已知椭圆中心在原点，焦距为

2倍，则该椭圆的标准方程是 ．

提示：

已知2222242,16b a b c a a b c

⎧⎧===⎪⎪

⇒⇒⇒⎨⎨=-=⎪⎪⎩⎩221164x y +=与221416x y +=为所求. (3)已知双曲线12222=-b y a x 的离心率332=e ，过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距离是

.2

3

求双曲线的方程； 解：∵（1）

,3

32=a c 原点到直线AB ：

1=-b

y a x 的距离.

3,1.23

2

2=

=∴==+=

a b c ab b a ab d .

故所求双曲线方程为 .13

22

=-y x

2. 【定义法】由动点P 向圆221x y +=引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，60APB ∠=︒，

则动点P 的轨迹方程为 ．

解：设(,)P x y ，连结OP ,则90,30PAO APO ∠=︒∠=︒, 所以22OP OA ==. 3.【几何性质代数化】与圆2240x y x +-=外切，且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程是____________．

y 2=8x （x >0）或y =0（x <0） 提示：若动圆在y 轴右侧，则动圆圆心到定点（2，0）与到

定直线x =－2的距离相等，其轨迹是抛物线；若动圆在y 轴左侧，则动圆圆心轨迹是x 负半

轴．

4.【相关点法】P 是抛物线2210x y -+=上的动点，点A 的坐标为（0,1-），点M 在直线PA 上，且2PM MA =，则点M 的轨迹方程为

解：设点(,)M x y ，由2PM MA =，()3,32P x y ∴+，代入2210

x y -+=得22(3)3210x y --+=即218310x y --=

5.【参数法】一元二次函数22()(21)1()f x x m x m m R =+++-∈的图象的顶点的轨迹方程是

提示：设22(21)1()y x m x m m R =+++-∈顶点坐标为(,)x y ，则

22

21122

4(1)(21)5

44

m x m m m y m +⎧=-=--⎪⎪⎨--+⎪==--⎪⎩，消去m ，得顶点的轨迹方程34x y -= 二．常见几何关系转化与常见问题类型 （1）中点问题：韦达定理、点差法

变式：A 、B 、C 、D 共线且AB ＝CD 问题，可以转化为共中点问题，或者弦长相等； 例1:已知双曲线中心在原点且一个焦点为F

，0），直线1y x =-与其相交于M 、N 两

点，MN 中点的横坐标为2

3-，则此双曲线的方程为 。

提示：设双曲线方程为22x a －22y b =1．将y =x －1代入22x a －2

2y b

=1，整理得（b 2－a 2）x 2+2a 2x

－a 2－a 2b 2

=0．由韦达定理得x 1+x 2=2222a a b -，122x x +=222

a a b

-=－23．由c 2=a 2+b 2求得a 2=2，b 2

=5．双曲线的方程为22x －25

y =1

（2）垂直问题：斜率互为负倒数、向量数量积等于0 变式：

a.等腰三角形问题（若AB ＝AC ，则转化为BC 中垂线处理）

b.菱形问题，可以利用对角线垂直＋共中点;

c.点在以AB 为直径的圆上转化为垂直问题；

d.三角形垂心问题（例3）

例2.已知直线)0(5≠+=k kx y 交双曲线2213

x

y -=于不同的点C ，D 且C ，D 都在以B

（0，-1）为圆心的圆上，求k 的值.

把33522=-+=y x kx y 代入中消去y ，整理得 07830)31(22=---kx x k . 设CD y x D y x C ),,(),,(2211的中点是),(00y x E ，则

.

11,315

531152002002

210k

x y k k kx y k k x x x BE

-=+=-=+=⋅-=+= ,000=++∴k ky x

即7,0,031531152

2

2=∴≠=+-+-k k k k

k k k 又 故所求k=±7.

例3、记椭圆的上顶点为，直线交椭圆于两点，问：是否存在直线，使右焦点恰为的垂心？若存在，求出直线的方程;若不存在，请说明理由。 解:假设存在直线交椭圆于两点，且恰为的垂心，则

设，∵

，故，

于是设直线为 ，由得， ∵

又

得 即

由韦达定理得

解得或（此时P 、Q 、M 共线，舍） 经检验符合条件． （3）弦长问题

例4.已知椭圆G ：2

214

x y +=，过点（m ，0）作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点。将||AB 表示为m 的函数，并求||AB 的最大值。

2

212

x y +=M l Q P ,l F PQM ∆l l Q P ,F PQM ∆1122(,),(,)P x y Q x y (0,1),(1,0)M F 1=PQ k l y x m =+22

22

y x m x y =+⎧⎨+=⎩22

34220x mx m ++-=12210(1)(1)MP FQ x x y y ⋅==-+-(1,2)i i y x m i =+=1221(1)()(1)0x x x m x m -+++-=212122()(1)0x x x x m m m ++-+-=222242(1)033

m m m m m -⋅--+-=43m =-

1m =4

3

m =-