函授本科数学专业(参考答案)

函授本科数学专业

《泛函分析》考试试题A 卷（120分钟）

一、单项选择题（3分×5=15分）

1、下列各式正确的是（ C ）

（A ）1lim n k n n k n A A ∞

∞

→∞

===⋃⋂; （B ）1lim n k n k n n A A ∞

∞

==→∞

=⋂⋃;

（C ）1lim n k n n k n

A A ∞

∞

→∞

===⋂⋃; （D ）1lim n k n k n

n A A ∞

∞

==→∞

=⋂⋂;

2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ D ）

（A ）=P c (B) 0mP = (C) P P ='

(D) P P =

3、下列说法不正确的是（ B ）

(A) 凡外侧度为零的集合都可测 （B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测

4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( A ) （A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n

f x 是可测函数

（C ）{}inf ()n n

f x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测

5

、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ D ） (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在]

,[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)('

x f 在],[b a 上L 可积 (D)

⎰

-=b a

a f

b f dx x f )()()('

二. 填空题(3分×5=15分)

1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=( φ )

2、设E

是[]0,1上有理点全体，则'

E =（[0，1]）,o

E =（φ）,E = （[0，1]）.

3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有（***()()m T m T E m T CE =⋂+⋂），则称E 是L 可测的。

4、)(x f 可测的（充要）条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. （填“充分”，“必要”，“充要”）

5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使

（11|()()|n i i i f x f x -=⎧⎫

-⎨⎬⎩⎭

∑成一有界数集。）,则称()f x 为 [],a b 上的有界变差函数。 三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立, 则举反例说明.(5分×4=20分)

1、设1E R ⊂，若E 是稠密集，则CE 是无处稠密集。

错误……………………………………………………2分

例如：设E 是[]0,1上有理点全体，则E 和CE 都在[]0,1中稠密

………………………..5分

2、若0=mE ，则E 一定是可数集.

错误…………………………………………………………2分

例如：设E 是Cantor 集，则0mE =，但E =c ， 故其为不可数集

……………………….5分

3、若|()|f x 是可测函数，则()f x 必是可测函数。 错误…………………………………………………………2分

例如：设E 是[],a b 上的不可测集，[],;

(),,;

x x E f x x x a b E ∈⎧⎪=⎨-∈-⎪⎩

则|()|f x 是[],a b 上的可测函数，但()f x 不是[],a b 上的可测函数………………………………………………………………..5分

4．设()f x 在可测集E 上可积分，若,()0x E f x ∀∈>，则()0E

f x >⎰

错误…………………………………………………………2分

0mE =时，对E 上任意的实函数()f x 都有()0E

f x dx =⎰…5分

四、解答题（8分×2=16分）.

1、（8分）设2,()1,x x f x x ⎧=⎨⎩

为无理数

为有理数 ，则()f x 在[]0,1上是否R -可积，是否L -可积，

若可积，求出积分值。

解：1．()f x 在[]0,1上不是R -可积的，因为()f x 仅在1x =处连续，即不连续点为正测度集………………………………………..3分

因为()f x 是有界可测函数，()f x 在[]0,1上是L -可积的…6分 因为()f x 与2

x ..a e 相等，进一步，[]

1

20,101

()3

f x dx x dx ==⎰⎰…8分

2、（8分）求0ln()lim cos x

n x n e xdx n ∞

-+⎰

解：设ln()()cos x

n x n f x e x n

-+=，则易知当n →∞时，()0n f x →

…………………………..2分

又因'

2

ln 1ln 0t t

t t -⎛⎫=< ⎪⎝⎭

，(3t ≥)，所以当3,0n x ≥≥时，

ln()ln()ln 3ln 3

(1)33

x n n x x n n x x n n x n n ++++=≤≤++………………4分 从而使得ln 3

|()|(1)3

x n f x x e -≤+…………………………………6分

但是不等式右边的函数，在[)0,+∞上是L 可积的，故有

lim ()lim ()0n n n

n

f x dx f x dx ∞∞

==⎰⎰…………………………………8分

五、证明题（6分×4+10=34分）.

1、（6分）证明[]0,1上的全体无理数作成的集其势为c .

证明：设[0,1],E =,\().A E Q B E E Q =⋂=⋂

B M B ∴∃⊂ 是无限集，可数子集 …………………………2分 .A A M M ∴⋃ 是可数集， ……………………………….3分 (\),(\),()(\),(\),

B M B M E A B A M B M A M B M M B M φφ=⋃=⋃=⋃⋃⋃⋂=⋂= 且…………..5分

,.E B B c ∴∴= ………………………………………………6分

2、（6分）设()f x 是(),-∞+∞上的实值连续函数，则对于任意常数,{|()}a E x f x a =≥是闭集。

证明：,{},lim n n n x E E x x x →∞

'∀∈=则存在中的互异点列使……….2分

,()n n x E f x a ∈∴≥ ………………………………………….3分