光学教程第2章_参考答案

2.1 单色平面光照射到一个圆孔上，将其波面分成半波带，求第k 各带的半径。

若极点到观察点的距离r 0为1m ，单色光波长为450nm ，求此时第一半波带的半径。

解：由菲涅耳衍射，第k 个半波带满足关系式)1
1(02
R r R k hk +=λ，
当∞→R 时，0r k R hk λ=。

第一半波带半径067.011045001100=⨯⨯⨯==-r k R hk λcm 。

2.2平行单色光从左向右垂直射到一个有圆形小孔的屏上，设此孔可以像摄像机光圈那样改变大小．问：(1)小孔半径应满足什么条件时，才能使得此小孔右侧轴线上距小孔中心4 m 的P 点的光强分别得到极大值和极小值；(2)P 点最亮时，小孔直径应为多大?设此光的波长为500nm 。

解：(1)由菲涅耳衍射，第k 个半波带满足关系式)1
1(02
R r R k hk +=λ，
当∞→R 时，k k r k R hk 414.14105000100=⨯⨯⨯==-λmm 。

K 为奇数时，P 点光强为极大值； K 为偶数时，P 点光强为极小值。

(2)P 点最亮时，由p 点的振幅)(2
1
1k k a a a +=，所以当k=1时，k a 为最大
所以2828.021==h R d cm 。

2.3 波长为500nm 的单色点光源离光阑1m ，光阑上有一个内外半径分别为0.5 mm 和1 mm 的透光圆环，接收点P 离光阑1 m ，求P 点的光强I 与没有光阑时的光强度I 0之比。

解：由菲涅耳衍射，第k 个半波带满足关系式)1
1(02
R
r R k hk +=λ，
圆环内径对应的半波带数1)1
1
11(105000)105.0()11(102302
1
1=+⨯⨯=+=--R r R k h λ
圆环外径对应的半波带数4)1
1
11(105000)101()11(10
2302
1
2=+⨯⨯=+=--R r R k h λ 由题意可知，实际仅露出3各半波带，即142)(2
1
a a a a k ≈+=，
而112
1
)(21a a a a ≈+=∞∞
所以光强之比4
22
0==∞a a I I k。

2.4波长为632.8 nm 的平行光射向直径为2.76 mm 的圆孔，与孔相距l m 处放一屏，试问：(1)屏上正对圆孔中心的P 点是亮点还是暗点?(2)要使P 点变成与(1)相反的情况，至少要把屏幕分别向前或向后移动多少?
解：(1)由菲涅耳衍射，第k 个半波带满足关系式)1
1(02
R
r R k hk +=λ，
当∞→R 时，31
106328)21076.2(102
302≈⨯⨯⨯==
--r R k hk λ。

由于k=3，为奇数，所以屏上正对圆孔中心的P 点时亮点。

(2)预使P 点变为暗点，即要使k 为偶数，即k=2or4 当k=2时
5.12106328)2107
6.2('102
320≈⨯⨯⨯==--k R r hk λm 5.0'00-=-=∆r r r m 即将屏向后移动0.5m 当k=2时
75.04106328)21076.2('10
2
320≈⨯⨯⨯==--k R r hk λm 25.0'00=-=∆r r r m
即将屏向前移动0.25m
2.5 一波带片由五个半波带组成，第一半波带为半径r 1的不透明圆盘，第二半波带是半径r 1至r 2的透明圆环，第三半波带是r 2至r 3的不透明圆环，第四半波带是r 3至r 4的透明圆环，第五半波带是r 4至无穷大的不透明区域．已知r 1：r 2：r 3：r 4=l ：2：3：4，用波长500nm 的平行单色光照明，最亮的像点在距波带片1 m 的轴上．试求：(1)r1；(2)像点的光强；(3)光强极大值出现在轴上哪些位置上。

解：(1)由菲涅耳衍射，第k 个半波带满足关系式)1
1(02
R r R k hk +=λ，
当∞→R 时，λk r R hk 0=，由于500=λnm ，0r =1m ， 所以k R hk 101050001-⨯⨯=
由题意可知43214321:4:3:2:1:::k k k k R R R R h h h h ：：== 所以1k =1，2k =2，3k =3，4k =4。

707.011050001101=⨯⨯⨯=-h R mm 。

由题意可知，屏对于波带片只让偶数的半波带透光，所以‘ 2422a a a a k ≈+=
而221
a a ≈∞
所以02
22216164I a a a I k ===≈∞
(3)因为1'2
0===λk R
r f h m ——主焦点
它还有次焦点：'31f 、'51f 、'7
1
f ……
故光强极大点出现在轴上31、51、7
1
……
2.6波长为λ的点光源经波带片成一个像点，该波带片有100个透明奇数半波带(1，3，5，…，199)．另外100个不透明偶数半波带．比较用波带片和换上同样焦距和口径的透镜时，该像点的强度比0:I I 。

解：由题意可知，将所有偶数半波带挡住了，二只有奇数的半波带透过 所以在考察点的振幅为
119919731100a a a a a a k ≈++++= ，即21210000a a I k =≈ 当换上同样焦距的口径的透镜时，
透镜对所有光波的相位延迟一样，所以1a 、2a 、3a …199a 、200a 的方向时一致的，即12001994321200a a a a a a a a k ≈+++++=
强度2
12
040000a a I k =≈
所以40
=I I
2.7 平面光的波长为480 nm ，垂直照射到宽度为0.4 mm 的狭缝上，会聚透镜的焦距
为60 cm ，分别计算当缝的两边到P 点的相位差为2π和6
π
时，P 点离焦点的距离。

解：如图所示
'
2tan 2sin 2f y b
b b λ
π
θλ
π
θλ
π
ϕ=
≈
=
∆， 所以ϕπλ∆=
b
f y 2'
18.02104.021*********'3
2911=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=∆=---ππϕπλb f y mm 06.06
104.021*********'32911=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=∆=---ππϕπλb f y mm
2.8 白光形成的单缝衍射图样中，其中某一波长的第三个次最大值与波长为600nm 的光波的第二各次最大值重合，求该光波的波长。

解：由单缝衍射出现次最大值的条件为
λθ43.1sin 10≈b λθ46.2sin 20≈b λθ47.3sin 30≈b
由题意可知
046.247.3λλ=，即91060046.247.3-⨯⨯=λ，
9104.425-⨯=λm
2.9 波长为546.1nm 的平行光垂直地射在l mm 宽的缝上，若将焦距为100 cm 的透镜紧贴于缝的后面，并使光聚焦到屏上，试问衍射图样的中央到(1)第一最小值；(2)第一最大值；(3)第三最小值的距离分别为多少?
解：(1)由单缝衍射出现最小值的条件为λθk b k =sin
而θθsin 'tan 'f f y ≈=
所以b
k f y λ'=，所以63
9
2
1101.546101101.54610100'----⨯=⨯⨯⨯⨯==b f y λ
m (2) 由单缝衍射出现第一级最大值的条件为λθ43.1sin =k b
而θθsin 'tan 'f f y ≈=
所以b f y λ
43.1'•=，
所以63
92
1109.78010
1101.5461010043.1'43.1'----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯=b f y λ (3) 由单缝衍射出现最小值的条件为λθk b k =sin
而θθsin 'tan 'f f y ≈= 所以b k
f y λ
'=， 所以6
3
921103.163810
1101.546101003'3----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==b f y λm
2.10钠光通过宽0.2 mm 的狭缝后，投射到与缝相距300cm 的照相底片上．所得的第一最小值与第二最小值间的距离为0.885 cm ，试问钠光的波长为多少?若改用X 射线(λ=0.1 nm)做此实验，问底片上这两个最小值之间的距离是多少? 解：由单缝衍射出现最小值的条件为λθk b k =sin 而θθsin 'tan 'f f y ≈=
所以b
k
f y λ
'=，
由题意可得b
f y y y λ
)
12('12-=-=∆
3
2
2
102.0)
12(1030010
885.0---⨯-⨯⨯=⨯λ
10105900-⨯=λm
若改用X 射线作此实验，底片上这两个最小值之间的距离
6
3
9212105.110
2.0101.0)12(10300)12('----⨯=⨯⨯-⨯⨯=-=-=∆b f y y y λm
2.11 以纵坐标表示强度，横坐标表示屏上的位置，粗略地画出三缝的夫琅禾费衍射(包括缝与缝之间的干涉)图样，设缝宽为b ，相邻缝间的距离为d ，d=3b ，注意缺级问题。

解：
2.12 一束平行白光垂直入射在每毫米50条刻痕的全息光栅上，问第一级光谱的末端和第二光谱的始端的衍射角θ之差为多少?(设可见光中最短的紫光波长为400 nm ，最长的红光波长为760nm)
解：由光栅方程λθj d k =sin (j=0，±1 、±2、±3… )
由题意可知光栅常数53
10250
1011--⨯=⨯=
=N d m 对于白光，第一级的末端为红光，对应波长为760nm
25
9
1108.310
2107601sin ---⨯=⨯⨯⨯==d j λθrad 第二级的始端为紫光，对应波长为400nm
25
9
2100.410
2104002sin ---⨯=⨯⨯⨯==d j λθrad 所以衍射角之差为
rad 100.2)10arcsin(3.8)10arcsin(4.0Δθ222---⨯≈⨯-⨯=
'
7180102.02=︒
⨯⨯=-π
2.13 用可见光(760-400nm)照射全息光栅，一级光谱和二级光谱是否重叠?二级和三级怎样？若重叠，则重叠范围是多少？
解：由光栅方程λθj d k =sin (j=0，±1 、±2、±3… )
对于白光，第一级的末端为红光，对应波长为760nm
d
d d j 9
9110760107601sin --⨯=⨯⨯==λθrad
第二级的始端为紫光，对应波长为400nm
d
d d j 9
9210800104002sin --⨯=⨯⨯==λθrad
所以12θθ>，所以第一级与第二级之间是不会重叠的 第二级末端的红光，对应的衍射角由
d
d d j 9
92101520107602sin --⨯=⨯⨯==λθrad
第三级始端的紫光，对应的衍射角
d
d d j 9
93101200104003sin --⨯=⨯⨯==λθrad
23θθ<，所以第二级与第三级之间是会重叠的
对于重叠范围如下计算
32sin sin θθ=时，即为重叠部分
故有d
d 9
910)760~400(310)760~400(2--⨯⨯=⨯⨯，即
)760~400(3)760~400(2⨯=⨯ )2280~1200()1520~800(=
可见重叠部分为1520~12001520~1200= 对于第二级对应波长为600~760nm 对于第三级对应的波长为400~506.7nm
即第二级光谱的600~760nm 与第三级的400~506.7nm 重合。

2.14 用波长为589nm 的单色光照射一衍射光栅，其光谱的中央最大值和第二十级主最大值之间衍射角为15°10’，求该光栅l cm 内的缝数是多少? 解：由光栅方程λθj d k =sin (j=0，±1 、±2、±3… )
第一级主最大值的衍射角为0，所以 由第二十级主最大的衍射角可以求得
m d 59
105.4'
1015sin 1058920--⨯=︒⨯⨯=
该光栅每厘米内的缝数N 222105.410115
2
=⨯⨯=
=--d N 条/厘米
2.15 用每毫米内有400条刻痕的平面透射光栅观察波长为589nm 的钠光谱．试问：(1)光垂直入射时，最多能观察到几级光谱?(2)光以30°角入射时，最多能观察到几级光谱？
解：(1)由题意可得光栅常数63
105.2400
101--⨯=⨯=
d m 当光垂直入射时，由光栅方程λθj d k =sin (j=0，±1 、±2、±3… )
961058990sin 105.2--⨯⨯=︒⨯⨯j 24.4=j
所以最多能看到第4及光谱
(2)当光以30°入射时，此时对应的光栅方程为λθθj d k =±)sin (sin 0 9610589)90sin 30(sin 105.2--⨯⨯=︒±︒⨯⨯j 36.6=j or -2.12=j
所以最大可以看到第6级。

2.16 白光垂直照射到一个每毫米250条刻痕的平面透射光栅上，试问在衍射角为30°处会出现那些波长的光?其颜色如何?
解：由题意可得光栅常数63
100.4250
101--⨯=⨯=
d m 当光垂直入射时，由光栅方程λθj d k =sin (j=0，±1 、±2… ) 当j=1时，λ⨯=︒⨯⨯-130sin 100.46，9102000-⨯=λm 当j=2时，λ⨯=︒⨯⨯-230sin 100.46，9101000-⨯=λm 当j=3时，λ⨯=︒⨯⨯-330sin 100.46，9107.666-⨯=λm 当j=4时，λ⨯=︒⨯⨯-430sin 100.46，910500-⨯=λm 当j=5时，λ⨯=︒⨯⨯-530sin 100.46，910400-⨯=λm 当j=6时，λ⨯=︒⨯⨯-630sin 100.46，9103.333-⨯=λm 可出现的光有紫光400nm 、绿光500nm 、红光666.7nm
2.17 用波长为624 nm 的单色光照射一光栅，已知该光栅的缝宽b 为0.012mm ，不透明部分的宽度a 为0.029 mm ，缝数N 为103条，试求：(1)单缝衍射图样的中央角宽度，(2)单缝衍射图样中央宽度内能看到多少级光谱?(3)谱线的半宽度为多少? 解：(1)单缝衍射的中央角宽度一旁边两最小值对透镜中心所张的角 所以由单缝衍射出现最小值的条件λθk b k =sin
得91310624sin 10012.0--⨯=⨯⨯θ 052.01=θrad ，
所以中央角宽度rad 104.0=∆θ
(2)由光栅方程λθj d k =sin ，在单缝衍射图样中央宽度内能看到的光谱满足
91310624sin 10)012.0029.0(--⨯⨯=⨯⨯+j θ
j=3.42，即能看到的3级的光谱。

0、±1、±2、±3共7条谱线。

(3)谱线的半角宽度由θ
λ
θcos Nd =
∆，当衍射角θ很小时，1cos ≈θ
rad Nd 53
39
1052.110041.01010624---⨯=⨯⨯⨯==∆λ
θ
2.18 NaCI 的晶体结构是简单的立方点阵，其分子量M=58.5，密度ρ=2.17 g/cm 3，(1)试证相邻两离子问的平均距离为
nm N M A 2819.023=ρ 式中N A =6.02×1023/mol 为阿伏伽德罗常量；(2)用X 线照射晶面时，第二级光谱的最大值在掠射角为1°的方向上出现．试计算该X 射线的波长。

解：
2.19 波长为0.001 47 nm 的平行X 射线射在晶体界面上，晶体原子层的间距为0.28nm ，试问光线与界面成什么角度时，能观察到二级光谱。

解：
2.20 如题2.20图所示有三条彼此平行的狭缝，宽度均为b ，缝距分别为d 和2d ，试用振幅矢量叠加法证明正入射时，夫琅禾费衍射强度公式为
)]6cos 4cos 2(cos 23[sin 220v v v u
u
I I +++=θ
式中λθπsin b u =λ
θ
πsin d v =。

解：
2.2l 一宽度为2cm 的平面光栅上刻有12000条刻痕。

如题2.2l 图所示，以波长λ=500nm 的单色光垂直投射，将折射率为1.5的劈状玻璃片置于光栅前方，玻璃片的厚度从光栅的一端到另一端由lmm 均匀变薄到0.5mm ，试问第一级主最大方向改变了多少? 解：
2.22一平行单色光投射于平面光栅上，其方向与光栅的法线成θ角，在和法线成ll °和53°角的方向上出现第一级谱线，且位于法线的两侧。

(1)试求入射角θ0；(2)试问为什么在法线两侧能观察到一级谱线，而在法线同侧则能观察到二级谱线? 解：
2.23波长为600nm 的单色光正入射到一平面光栅上，有两个相邻主最大分别出现在sin θ1=0.2和sin θ=0.3处，第四级为缺级。

(1)试求光栅常量；(2)试求光栅的缝可能的最小宽度；(3)在确定了光栅常量与缝宽之后。

试列出在光屏上实际呈现的全部级数。

解：
2.24设计实验：测定CD 或DVD 光盘的光栅常数。

解：。