第五章 对单个和两个总体平均数的假设检验

魏泽辉讲义
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解：总体方差未知但相等，可用t检验 (1) 假设: H0:µ1= µ2 ,即两种不同饲料对香猪的生长影响无差异 HA: µ1≠= µ2 ,两种不同饲料对香猪的生长影响存在差异 (2)计算检验统计量
X1 6.74kg；X2 7.55kg
SS1
X12
( X1 )2 n1
X1 X 2
因此，可以计算检验统计量Z 对总体均数进行假设 检验，分三种情况分别介绍。
3、确定否定域
比较检验统计量和临界值的关系，根据小概率 事件（显著水平：0.01；0.05）原理，确定其落在 否定域还是接收域。
4、对假设进行统计推断
接受原假设，否定备择假设；或否定原假设， 接受备择假设
1.两总体方差已知时的检验－Z检验
H A : 0
H0 : 0,
H A : 0
H0 : 0,
H A : 0
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4
2) 构造并计算检验统计量
z

X


~
N (0,1)
n
H0 : 0 z x 0 n
~ N(0,1)
8.7 9 3.1623 0.3 10
H 0：1 2 即犊牛和成年母牛之间血液中血糖含量无差异； H A：1 2 即犊牛和成年母牛之间血液中血糖含量有差异。
（2）计算检验统计量


12


2 2
＝
15.642 12.072＝3.3054
( X1X2 )
n1 n2
31
48
Z X1 X 2 ＝81.23－70.43＝3.27
2
df1
2
df 2
1
df1 df2
2
df1 df2
(n1 1)S12 (n2 1)S2 2 n1 n2 2 n1 n2 2
(x1 x1 )2 (x1 x1 )2
(n1 1) (n2 1)
SS1 SS2 df1 df2
x1 x2 (1 1) (2 2 ) (1 2 ) (1 2 )
目的就是分析表面效应主要
1 2 : 处理效应 1 2 : 试验误差
是由处理效应引起，还是由 实验误差引起。从而分析处
理效应是否存在。
x1 x2 : 表面效应
表面效应可以计算，实验误 差可以估计，根据这些推断
本例为总体方差未知相等，且样本容量不等。
解： (1) 假设: H0:µ1= µ2 ,两品种猪的肌肉脂肪含量无差异
HA: µ1≠= µ2 ,两品种猪的肌肉脂肪含量存在差异
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(2)计算检验统计量
S S S 2
2
df1
2
df2
1
df1 df2
2
df1 df2
(n1 1)S12 (n2 1)S22 n1 n2 2 n1 n2 2
x1 x2
~ t(n1 n2 2)
自由度为：df=(n1-1)+(n2-1)= n1+n2-2
例： 研究两种不同饲料对香猪生长的影响，随机选择了体重相
近的12头香猪并随机分成两组，一组喂 甲种饲料，另一组喂乙 种饲料 在相同条件下饲养， 6周后的增重结果如下（kg）： 甲饲料：6.65，6.35，7.05，7.90，8.04，4.45 乙饲料: 5.35，7.00，9.89，7.05，6.74， 9.28 设两样本所属总体服从正态分布且方差相等， 试比 较两种不 同饲料对香猪的生长是否有差异？
(3)取α＝0.01, 查附表4 得t0.01(12) = 3.055 ∵|t| = 5.79 < t0.01(12) = 3.055 ∴P < 0.01, 否定H0，两品种猪的肌肉脂肪含量存在极显著差异。
Sx
S n
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【例5.1】 按照规定，100g 罐头番茄汁中的平均 维生素 C 含量不得少于 21mg/g，现在从工厂的 产品中抽取 17 个罐头，其 100g 番茄汁 中测得 维生素 C 含量记录如下：16，25，21，20，23， 21，19，15，13，23，17，20，29，18，22，16， 22，设维生 素 C 含量服从正态分布，问这批罐 头是否符合规定要求？
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5.2两个样本平均数的比较
推断两个样本平均数差异是否显著的问题， 以了解两样本所属总体的平均数是否相同 。
x1 x2 1 2
两个总体
u检验：总体方差已知
非配对试验
t检验：总体方差未知
总体方差未知相等
配对试验
总体方差未知不等
11
5. 2.1 随机分组资料的假设检验
x1 1 1, x2 2 2



x2 2

( x2 )2
n2

•
11
(n1 1) (n2 1)
n1 n2
S x1 x2
均数差异标准误
5. 2.3 两总体方差相等但未知时的检验－t 检验
当n1=n2=n时，上面公式演变为：
S
(x1 x1)2 (x1 x1)2
x1 x2
当 n1≥30 和 n2≥30 时（大样本）， 可以用样本方差代替总体方差，仍然用Z 检验， 因为在大样本中其近似服从正态分布。
当 n1≤30 和 n2≤30 时（小样本）， 不能用样本方差代替总体方差，应该采用t 检验。
5. 2.3 两总体方差相等但未知时的检验－t 检验
在μ1=μ2 （原假设），σ2＝σ2＝σ条件下，认为两个 样本来自同一个总体，因此可以将两个样本合并， 然后用合并样本的方差代替总体方差。
合并方差S 2：两个样本的方差S12和S22 以各自的自由度为权的加权平均数。
样本1 x1，n1 1
2
(x1 x1) /(n1 1)
样本2 x2，n2 1
2
(x2 x2 ) /(n2 1)
5. 2.3 两总体方差相等但未知时的检验－t 检验
计算公式如下：
S S S 2
(
1 n1

)1
n2
如果两个样本的含量也相等
则， 2 ( X1X2 )
22 n
统计量 X1 X 2 的抽样分布
2、构造检验统计量
如果两个总体都是正态总体，则：
(X1

X2)
~
N (1

2，
2 X1 X 2
)
标准化为：
Z （X1－X 2 ) (1 2 ) ~ N (0，1)
(10 1) 0.42＋(4 1) 0.42 10 4 2
0.1600
S

2
S(
1

1
)

0.16( 1 1)＝0.2366
x1 x2
n1 n2
10 4
31
t x1 x2 3.93 2.56 5.79
S
0.2366
x1 x2
df= n1+n2-2=10+4-2=12

2 ( X1X2 )
Var( X1

X2)
Var( X1 ) Var( X 2 )
12 22
n1 n2
统计量 X1 X 2
的抽样分布

2 (X1X2 )

12
n1


2 2
n2
如果两个总体方差相等
，
2 1
22

2
则， 2 ( X1X2 )


2

3.35
( X1X2 )
（3）确定显著性水平
u0.05= 1.96 u0.01=2.58
Z ＝3.22 u0.01 2.58 P 0.01
所以：否定H0，接受备择假设。即犊牛和成年母牛 之间血糖含量存在极显著的差异。
2.两总体方差相等但未知时的检验－t 检验
实际研究中总体方差往往是未知的，因为很难得到总 体内所有个体的观测值，因此无法计算总体方差。尤 其对于无限总体和连续性资料。
5. 2.3 两总体方差相等但未知时的检验－t 检验
所以：均数差异标准误为
S S 2 ( 1 1 )
(x1 x1)2 (x2 x2 )2 • 1 1
x1 x2
n1 n2
(n1 1) (n2 1)
n1 n2


x12

( x1 )2
n1
(3)取α＝0.05, 查附表4 得t0.05(10) = 2.23 ∵|t| = 0.92 < t0.05(10) = 2.23 ∴P > 0.05, 接受H0， 接受不同饲料对香猪的生长影响无 显著差异。
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例： 测定金华猪与长白猪肌内脂肪含量（％），金华猪共10头，
其样本平均数为3.93，标准差为0.4；长白猪4头，平均数为2.56， 标准差为0.4。设两样本所属总体服从正态分布，且方差相等， 试测验两品种猪的肌肉脂肪含量是否存在差异。
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3
一、方差已知时μ 的假设检验
例 ：某猪场称该场的猪在体重为100kg时的平均背膘厚度 为9±0.32 mm2。问如何检验该场的说法是否真确？（已
知该场猪的背膘厚服从正态分布）
• 由该百度文库随机抽取了10头猪，测得它们在体重为100kg时的 平均背膘厚为8.7mm。
• 1）提出假设
H0 : 0,
第5章 对单个和两个 样本平均数的假设检验
1
5.1 对单个总体均数的检验
检验一个样本平均数与已知的总体平均数是否有显著差异 （检验该样本是否来自某一总体）
已知的总体平均数一般为一些公认的理论数值、经验数值 或期望数值。
（正常生理指标、怀孕期、家禽出雏日龄）
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5.1.1 z检验：总体方差已知
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解：依题意，可对此批罐头的平均维生素 C 含量 μ提出待检验
假设：
H0：µ=21，HA：µ<21 由于总体的方差未知，故用 t 检验
先计算所需的样本统计量：
n=17，X =20， S=3.98
检验统计量为:
t x 0 20 21 1.04
Sx
3.98 17
于是单侧检验，否定域为 t 分布小于-t2 α (n-1) 的区域，取显著 性水平 α =0.05，查表得两尾概率为 2 α =0.1， 自由度 df=n1=16 时的 t 分布分位点为 t0.1(16)=-1.746,因为 t=-1.04>-1.746, 不能否定零假设，即该批罐头的平均 维生素 C 含量与规定的 21mg 无显著差异，可以出厂。
处理效应是否显著。
1、提出假设
（1）H 0：1 2；H A：1 2 双侧检验 （2）H 0：1 2；H A：1 2 单侧检验 （3）H 0：1 2；H A：1 2 单侧检验
统计量 X1 X 2 的抽样分布
E( X1 X 2 ) E( X1) E( X 2 ) 1 2
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7
X 0 X 0


t X 0
n
n
标准 正态 分布
显著性检验步骤
S n
S2
2
(n1)S 2 2
n 1
Χ2分 布
1、提出假设
（1） H0：μ＝μ0；HA：μ≠μ0 双侧检验
2、计算t值 t x 0
Sx
df n 1
3、查临界t值，作出统计推断
例：某单位测定了31头犊牛和48头母牛100 ml 中血 液中血糖的含量（mg），得犊牛平均血糖含量为
81.23，成年母牛的平均血糖含量为70.23。 设已知犊牛血糖的总体方差为15.642，成年母牛血糖 的总体方差为12.072，问犊牛和成年母牛之间血糖含 量有无差异？
Z检验
解： （1）提出假设
n(n 1)


x12

( x1 )2
n1



x22

( x2 )2
n2

n(n 1)
SS1 SS2 n(n 1)
5. 2.3 两总体方差相等但未知时的检验－t 检验
t值为
x1 x2 (1 2 ) x1 x2
t

S
S
x1 x2
8.536, SS2

X
2 2

( X2 )2
n2
14.561
S SS1 SS2 8.536 14.5612 0.8774
x1 x2
n(n 1)
6(6 1)
28
t x1 x2 6.74 7.55 0.92
S
0.8774
x1 x2
df= n1+n2-2=6+6-2=10
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3）确定否定域并作统计推断
若取 ＝5％，则 1 P(u0.05 z u0.05 ) 0.0
否定域 接受域 否定域
2.5% 95%
2.5%
-1.96
1.96
z = -3.1623 < -1.96 （落入）
接受备择假设
结论：该场猪的平均背膘厚与9mm差异显著6
5.1.2 t检验：总体方差未知