第二章 线性系统的状态空间描述

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结论2. 1 [由SISO描述导出状态空间描述]
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证明：(1)m<n 的情况。
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A
R2 uR2 ( R1 R2 )
B
R1R2 uC R2 e(t ) ( R1 R2 ) iL ( R1 R2 )
C
D
uC uC i A i Be L L uC u R2 C De iL
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1. 由输入输出描述导出状态空间方程
通常将由输入-输出描述确定状态空间描述的问题称为 实现问题。
考虑一个连续时间SISO线性定常(时不变)系统
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线性定常数系统的状态空间描述具有如下的形式 ：
实现问题归结为：通过选取适当的状态变量，确定A 、B、C、D, 使得
d1 p d2 p , d mp
m n维输出矩阵 表征输出和每个状态变 量的关系
m p维前馈矩阵, 又称为直接转移矩阵 表征输入对输出的直接 传递关系 通常D＝0
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动态方程或状态空间表达式： 将状态方程和输出方程联立，就构成动态方程或状态空间
表达式：
Ax Bu, x y Cx Du
[说明]： (1) 为方便，经常用
t t0
表示线性系统 , D) ( A, B, C
(2) 状态空间表达式非唯一性, 状态变量非唯一，导致矩阵
A,B,C,D非唯一。 (3) 上述系统称为定常（时不变）线性系统
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将通式化为矩阵形式有： 其中：
y Cmn x Dm pu
c11 c C 21 cm1
d11 d 21 D d m1
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c12 c22 cm 2
d12 d 22 dm2
c1n c2 n , cmn
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T
a1n a2 n , , 表征各状态变量间的关 系 n n维系统矩阵 ann b1 p b2 p , 表征输入对每个变量的 作用 , n p维输入矩阵 bnp
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输出方程： 通式为：
记 : x [ x1 ,..., xn ]T ,
x [ x1 ,...xn ]T , P可逆
p11... p1n , P .......... .. pn1... pnn 则
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x Px , 或 x P 1 x
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状态轨迹 状态空间：对实际系统来说，一般就是： Rn 状态随时间变化形成 R n 中一条运动轨迹（轨线）
确定性系统：
参数、动态等都是确定的或随时间变化的确定性函数
非确定性系统：系统含有不确定性成分，如 参数未知（摄动）， 外部未知干扰， 未建模动态（动态摄动）， 输入和扰动随机变量（随机系统）
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2.4 由系统的输入输出导出状态空间方程 （SISO系统）
1、由输入输出描述（含传递函数）导出状态空间方程 2、由方块图导出状态空间方程
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将通式化为矩阵形式有：
Ann x Bn pu x
其中：
x x1
x2 xn , n维状态向量
T
u u1 u2 u p , p 维输入向量
a11 a12 a a22 21 A an1 an 2 b11 b12 b b22 21 B bn1 bn 2
e(t )
-
i
L
R2
R2
-
(2) 根据电路定律列出电路的原始方程
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1 ( R1 R2 )C uC i R1 L (R R )L 1 2

R1 1 ( R1 R2 )C uC ( R1 R2 )C e(t ) R1 R2 iL R2 (R R )L ( R1 R2 ) L 1 2
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4. 状态空间描述举例
例 考察下图所示的简单电路，电路各组成元件的参数为 已知，输入变量取为电压源，输出变量取为电阻两端 的电压
R1
+
C
+
u
+
u
L
C
e(t )
-
i
L
R2
R2
-
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R1
（1）确定状态变量
+
+
C
+
u
u
L
C
电容两端的电压 uc 流经电感的电流 iL
A(t ) x B(t )u x y C (t ) x D(t )u
Ax Bu x y Cx Du
时不变(自治)系统 :
连续（时间）和离散（时间系统） 连续系统：微分方程表示 离散系统：差分方程表示
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确定性和非确定性系统
个数最小性：
减少变量，描述不完整，增加则一定存在线性相关的变量。
意味着: 这组变量是互相独立的。
状态变量组选取不唯一
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两个状态组之间的关系
设x1 ,..., xn和x1 ,..., xn为任意两个状态组，则 x1 p11 x1 ... p1n xn, ............. x p x ... p x n1 1 nn n n
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5. 离散时间线性系统状态空间描述
各变量在离散的时刻取值，状态空间反映离散时刻的 变量组间的因果关系和转换关系。
用k=0,1,2..，来表示离散的时刻 状态和输出方程（差分形式） x(k 1) Ax(k ) Bu(k ),
y (k ) Cx(k ) Du(k ),
[定常线性系统的模拟结构图（方块图）]：
常用符号：
积分器

比例器
ki
加法器

模拟结构图：
D
U
B
X



A
X
C

Y
X AX BU Y CX D U
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3. 连续时间时变系统：
状态空间描述一般形式为：
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(连续时间)线性时变系统的方块图：
或时变形式
k 0,1,2,...
x(k 1) A(k ) x(k ) B(k )u (k ), y(k ) C (k ) x(k ) D(k )u (k ), k 0,1,2,...
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[小结]: 本节主要对： 状态变量组、 状态、 状态空间、 系统状态描述 等基本概念进行了讨论，这部分知识是本章的 基础。
另外: 一个非线系统可通过泰勒展开获得局部近似线 性化系统（P.29, 自学）
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时变和时不变（自治）系统
时变系统: f ( x, u, t ) x , y g ( x, u, t )
f ( x, u) x , y g ( x, u)
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(2) 系统的内部描述
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2. 状态和状态空间的定义
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状态变量组的完全表征性： 如果给定了 系统在
t 时刻这组变量值，和 t0
时输入，那么， t t0
的任何瞬间的行为就完全确定了。 t t0
f1 ( x, u, t ) , f ( x, u , t ) f n ( x, u , t ) 均为向量函数。
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g1 ( x, u, t ) g ( x, u , t ) g q ( x, u , t )
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2.3 连续动态系统按状态空间描述分类
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线性和非线性系统
非线性系统:
f ( x, u , t ) x y g ( x, u , t ) 其中, x [ x1 ,..., xn ]T 为系统状态， u [u1， ...,u p ]T 为外部（控制）输入， y [ y1,...,yq ]T 为系统输出。
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u
b0
n x

an1
xn

wenku.baidu.com
xn1

x2

x1
1
y
an2

a1
a0
实现方块图
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sxi (s) i xi (s) kiu(s)
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2.1 状态和状态空间
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1、动态系统的两类数学描述
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（1）系统的外部描述（输入-输出描述）
特点： 避开表征系统内部的动态过程，反映外部变量间的因果关系。 系统作为“黑箱” 例如：一个系统是线性定常数的，且只有一个输出变量和一 个输入变量，那么其外部描述为如下形式的一个线性 常系数微分方程：
第2章 线性系统的状态空间描述
2.1 状态和状态空间 2.2 线性系统的状态空间描述 2.3 连续变量动态系统按状态空间分类 2.4 由输入输出描述导出状态空间描述 2.5 线性系统的特征结构 2.6 状态方程的约当规范形 2.7 由状态空间描述导出传递函数矩阵
2.8 线性系统在坐标变换下的特性
2.9 组合系统的状态空间描述和传递函数矩阵
至少有一个f i 或g j 是关于x和u的非线性函数 称为非线性系统。
当 f ( x, u, t ) A(t ) x B(t )u, g ( x, u, t ) C (t ) x D(t )u 则上述系统变为线性（ 时变）系统： A(t ) x B(t )u x y C (t ) x D(t )u 这里A(t ), B(t ), C (t ), D(t )均不依赖于x和u。
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2.2 线性系统的状态空间描述
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1. 动态系统的（动力学）结构
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2. 连续时间线性系统的状态空间描述 状态方程：
1 a11 x1 a12 x2 a1n xn b11u1 b12u2 b1 p u p x 2 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b21u1 b22u2 b2 p u p x n an1 x1 an 2 x2 ann xn bn1u1 bn 2u2 bnp u p x
y1 c11 x1 c12 x2 c1n xn d11u1 d12u2 d1r ur y2 a21 x1 a22 x2 c2 n xn d 21u1 d 22u2 d 2 r ur ym cm1 x1 cm 2 x2 cmn xn bm1u1 d m 2u2 d mr ur
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证明：只证 m 0 情形（ m 0 自学）。
此时，状态变量取为