图上作业法
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-1500 +2900
+3200
乙 （32） A E -1300
（57）
丙 （55）
A A
（78） （74）
（41） A H -900 A G
（45）
A B
（109）
A D
-900
-900
（75） 甲 （57）
（74）
A F -1000
-600
A C -1000
（132）
+2000
图3-9
解：步骤一
此时，按调整后的新方案组织运输，
总运输量为： 1500×78+800×32+500×57+900×55+1500×41+900×74+ 100×57+1000×132+900×75+900×74=620500 初始方案组织运输的运输量为： 1500×78+100×32+1400×57+900×55+600×41+1000×57 +1000×132+900×45+1800×74=636800 由此可知，调整后的运输方案比初始运输方案节约运力为 636800—620500=16300
（1）对流：所谓对流就是在一段线路上有同一种物资出现相对 运输现象（往返运输）（同一段线路上，两各方向都 有流向），如图4-4。
(20) 甲 20 (10) 10 10 乙 甲 20
(10)
10 10
(20) 乙
(10)
图 4-4
图 4-5
•甲乙两地是一种对流现象。如果把流向图改成图4-5，就 可以避免对流现象，从而可以节约运输量20×10=200(吨公 里)。
B4 1 （7） 1 3 （5） 2 2 BI 3 （4） （3） 2 3 A2 图3-8 1 （4） （2） 1 A3
（3）
1
（4）
1
B3
B2
检验新运输线路图中的里外圈流向长，看是否超过全圈（封闭 回路线）总长的1/2. 新的流量图中，在A1B1B2A3B4圈内，内流长4+7=11km， 外流长5km，都不超过新圈长（23km）的一半。在B2A2B3A4圈 内，内流长为3km，外流长为4+2=6km，也都没有全圈（13km） 的一半，因此，这个流向图没有迂回现象，是该问题的最优调运 方案。此时，按调整后的新方案组织运输，总运输量为： 1×7+2×5+1×4+2×3+2×1=29(t.km)
步骤三
重新去段破圈，调整流向。
初始方案中圈A1B1B2A3B4 的里圈符合要求，外圈流向超过全 圈总长的一半，故需缩小外圈。
对圈A1B1B2A3B4 的调整方法是，在外圈的各流量中，减去 外圈的最小流量1万吨，然后在内圈的各流量中加上1万吨，在此圈 中，因无内流量，所以无处可加。另外，在无流量的线段上，新添 上内圈流量1万吨，这样得出新的流量图。如图3-8所示.
圈甲乙E丙GF： 总长为（109+57+74+41+57+32）=370 半圈长为（370/2）=185 外圈流向总长为（57+57）=114 里圈流向总长为 （32+41+41+74）=147
圈乙DB甲： 总长为（74+45+75+109）=303 半圈长为（303/2）=151.5 外圈流向总长为74 内圈流向总长为 75 圈BD乙E丙GF、圈甲乙E丙GF、圈乙DB甲的外圈流向总长和 内圈流向总长都小于其半圈长，所以不存在迂回现象。
案例分析
（一）任务内容
有某物资7万吨，由发运点A1、A2、A3发出， 发量分别为3、3、1（万吨），运往收点B1、B2、B3， 收收量分别为2、3、1 （万吨），收发量平衡，交通 路线如图3-6所示。问应如何调运，才能使总运输量最 小。 （二）任务目标 掌握成圈与不成圈的图上作业法。 （三）任务准备 图上作业法的适用范围
步骤三 重新去段破圈，调整流向。
丙 A 1500 -1500 A 乙 +3200 900 B A -900 （45） 900 （75） 1000 A -1000 C （132） （32） 800 （74） （109） D 甲 （57） +2000 100 900 A -1000 F -1300 A E 500 （57） +2900 900 （55）
（78）
1500 （41） A -900 H
-900 A
A -6源自文库0
（74）
G
步骤四
再次检查有无迂回
圈BD乙E丙GF： 总长为（32+57+41+74+57+75+45+74）=455 半圈长为（455/2）=227.5 外圈流向总长为（57+74+57）=188
里圈流向总长为 （32+41+74+75）=222
不合理的现象2：迂回
（2）迂回：当收点与发点之间的运输线路有两条 或两条以上时（即交通图成圈），如果运送的货 物不是走最短线路，则称这种运输为迂回运输。
注：当交通图成圈时，如果流向图中内圈流向的总 长（简称内圈长）或外圈流向的总长（简称外圈 长）超过整个圈长的一半就称为迂回运输。例如 某物资流向图如图4-6、4-7所示。
圈甲乙E丙GF：总长为（109+57+74+41+57+32）=370 半圈长为（370/2）=185 外圈流向总长为（57+32+57）=146 里圈流向总长为 41 圈乙DB甲： 总长为（74+45+75+109）=303 半圈长为（303/2）=151.5 外圈流向总长为（74+45）=119 内圈流向总长为 0 圈甲乙E丙GF、圈乙DB甲的外圈流向总长和内圈流向总长都 小于其半圈长，所以不存在迂回现象。
迂回运输的判断
6 6 （4） 4 4 4 2 2 图：4-6 （4） 图：4-7 4
显然：图4-6为迂回运输
正规（最优）流向图：
一个最优的调运方案，它的流向图必是无 对流、无迂回的流向图，称这种流向 为正规流向图。 物资调运的图上作业法就是寻找一个无对流、无 迂回的正规流向图。 步骤如下： 作出一个无对流的初始可行方案； 检验有无迂回； 若无，结束； 否则，调整，直到最优。
• 初始方案组织运输的运输量为：
3×5+1×4+3×2+2×1+3×1=30（t.km） 由此可知，调整后的运输方案比初始运输方案节约运力为 1t.km.
技能训练
某企业由甲、乙、丙3个工厂，产品销往A、B、 C、D、E、F、G、H八个地区。各工厂的位置、产 量和各销售地区的位置、需求量如图3-9所示。请 运用图上作业法确定最优运输线路图。
交通图
反映发点（产地）与收地（销地）及交通线路及其距离组成的 图形。 发点用“○”表示，发出货物的数量记在“○”之内（单位： 吨） 收地（销地）用“□”表示，收取货物的数量记在“□”之内 （单位：吨） 两点之间的线路长度记在交通线路的旁边。
10 A 3 5 2 F 8 7 G B 5 3 C 2 9 D 4 9 E
第二节 图上作业法
一、图上作业法的基本知识
1.图上作业法的常用符号 2.线形分类
二、交通图不含圈的图上作业法 三、交通图含圈的图上作业法
主题思路
一、运输路线图上作业法的的定义、适用范围 二、编制并解释交通图和流向图 三、内圈流向、外圈流向举例 四、不合理的现象（对流、迂回）
五、案例分析
六、技能训练解析
去线破圈
作一个没有对流的流向图，用“去线破圈”的方法，去一线破一圈，去掉 甲乙（109），破甲乙E丙GF圈。再去掉甲B（75），破甲BD乙E丙GF圈，原来有圈 的交通图，变成了不成圈的交通图，如图3-10所示。然后从各个端点开始，在图 上做一个没有对流的流向图 丙
A -1500 A 1500 （78） 1800 B A -900 900 （45） （75） 1000 A -1000 C （132） 乙 +3200 1400 100 -1300 A （32） （74） （109） D 甲 （57） +2000 1000 （74） E （57） （55） A -900 H A -600 G 600 （41） +2900 900
B4 1 1 （7） （3） （4） A1 3 （5） 3 2 BI A3 1 （4） 1 B3
（2） 2
1
（4）
1
3
（3） B2
3
A2 图3-7
步骤二
检验有无迂回
对流向图中的各圈进行检查，看有无迂回。如果没有迂回，这个初始方案 就是最优方案；如果其中某一圈又迂回，这个 方案就不是最优方案，需要改进。 圈A1B1B2A3B4 ：总长为（5+4+4+3+7）=23km 半圈长为（23/2）=11.5km 外圈流向总长为：（5+4+3）=12km 里圈流向总长为 0 km 因为外圈流向总长超过了全圈总长的1/2（12km>11.5km）,可以断定。 圈A1B1B2A3B4初始运输线路存在迂回现象，所对应的运输方案不是最优方 案，因而需要整体优化。 再看看B2A2B3A4 ，其总长为13km，圈中内流向长为3km，外流向为 2km,都小于圈长的一半，因此此圈不必调整。
-900 A
A -1000 F
图3-10
步骤二
检验有无迂回
圈BD乙E丙GF： 总长为（32+57+41+74+57+75+45+74）=455 半圈长为（455/2）=227.5 外圈流向总长为（57+32+74+45+57）=265
里圈流向总长为 41
因为外圈流向总长超过了全圈总长的1/2,可以断定。圈BD乙E 丙GF初始运输线路存在迂回现象，所对应的运输方案不是最优 方案，因而需要整体优化。
运输路线图上作业法
定义：图上作业法是在运输图上求解线性规划运输模 型的方法。它是在一张运输交通上通过一定步骤的规 划和计算来完成物资调运计划的编制工作，以便使物 资运行的总吨—公里数最小可使物资运费降低，并缩 短了运输时间，所以，在一定条件下称这样的方案为 最优方案。 适用范围：在铁路、公路等交通部门经常使用这种方 法决策最优运输问题。
B4
A3 （3）
1
（7）
1
（4）
（4）
1
B3
A1
3
（5）
（2）
2
BI
注：
3
（4） B2 （3）
3
A2
表示接收点，其中数字表示运入量。
表示发运点，其中数字表示发运量。 （ ） 中数字表示两地距离。
图3-6
步骤一 去线破圈
作一个没有对流的流向图，用“去线破圈”的方法，去一线破一圈，有几 个圈去掉几个线，把有圈的交通图化成不成圈的交通图。一般是先去掉最长的 交通线，如去掉A1B4（7km），破A1B1B2A3B4圈。再去掉A3B3（4km）， 破B2A2B3A4圈，原来有圈的交通图，变成了不成圈的交通图，如图3-7所示。 然后从各个端点开始，在图上做一个没有对流的流向图。
含有圈的流向图的补充规定
顺时针方向的流向必须画在圈的内侧，称为内圈流向 逆时针方向的流向必须画在圈的外侧，称为外圈流向
内圈流向、外圈流向举例
图：4-6 6 （4） 4 4 4 2 4 图：4-7 6
顺时针方向的流 向必须画在圈的内侧， 称为内圈流向。如图： 4-6
2
（4）
逆时针方向的流 向必须画在圈的外侧， 称为外圈流向。如图： 4-7
+3200
乙 （32） A E -1300
（57）
丙 （55）
A A
（78） （74）
（41） A H -900 A G
（45）
A B
（109）
A D
-900
-900
（75） 甲 （57）
（74）
A F -1000
-600
A C -1000
（132）
+2000
图3-9
解：步骤一
此时，按调整后的新方案组织运输，
总运输量为： 1500×78+800×32+500×57+900×55+1500×41+900×74+ 100×57+1000×132+900×75+900×74=620500 初始方案组织运输的运输量为： 1500×78+100×32+1400×57+900×55+600×41+1000×57 +1000×132+900×45+1800×74=636800 由此可知，调整后的运输方案比初始运输方案节约运力为 636800—620500=16300
（1）对流：所谓对流就是在一段线路上有同一种物资出现相对 运输现象（往返运输）（同一段线路上，两各方向都 有流向），如图4-4。
(20) 甲 20 (10) 10 10 乙 甲 20
(10)
10 10
(20) 乙
(10)
图 4-4
图 4-5
•甲乙两地是一种对流现象。如果把流向图改成图4-5，就 可以避免对流现象，从而可以节约运输量20×10=200(吨公 里)。
B4 1 （7） 1 3 （5） 2 2 BI 3 （4） （3） 2 3 A2 图3-8 1 （4） （2） 1 A3
（3）
1
（4）
1
B3
B2
检验新运输线路图中的里外圈流向长，看是否超过全圈（封闭 回路线）总长的1/2. 新的流量图中，在A1B1B2A3B4圈内，内流长4+7=11km， 外流长5km，都不超过新圈长（23km）的一半。在B2A2B3A4圈 内，内流长为3km，外流长为4+2=6km，也都没有全圈（13km） 的一半，因此，这个流向图没有迂回现象，是该问题的最优调运 方案。此时，按调整后的新方案组织运输，总运输量为： 1×7+2×5+1×4+2×3+2×1=29(t.km)
步骤三
重新去段破圈，调整流向。
初始方案中圈A1B1B2A3B4 的里圈符合要求，外圈流向超过全 圈总长的一半，故需缩小外圈。
对圈A1B1B2A3B4 的调整方法是，在外圈的各流量中，减去 外圈的最小流量1万吨，然后在内圈的各流量中加上1万吨，在此圈 中，因无内流量，所以无处可加。另外，在无流量的线段上，新添 上内圈流量1万吨，这样得出新的流量图。如图3-8所示.
圈甲乙E丙GF： 总长为（109+57+74+41+57+32）=370 半圈长为（370/2）=185 外圈流向总长为（57+57）=114 里圈流向总长为 （32+41+41+74）=147
圈乙DB甲： 总长为（74+45+75+109）=303 半圈长为（303/2）=151.5 外圈流向总长为74 内圈流向总长为 75 圈BD乙E丙GF、圈甲乙E丙GF、圈乙DB甲的外圈流向总长和 内圈流向总长都小于其半圈长，所以不存在迂回现象。
案例分析
（一）任务内容
有某物资7万吨，由发运点A1、A2、A3发出， 发量分别为3、3、1（万吨），运往收点B1、B2、B3， 收收量分别为2、3、1 （万吨），收发量平衡，交通 路线如图3-6所示。问应如何调运，才能使总运输量最 小。 （二）任务目标 掌握成圈与不成圈的图上作业法。 （三）任务准备 图上作业法的适用范围
步骤三 重新去段破圈，调整流向。
丙 A 1500 -1500 A 乙 +3200 900 B A -900 （45） 900 （75） 1000 A -1000 C （132） （32） 800 （74） （109） D 甲 （57） +2000 100 900 A -1000 F -1300 A E 500 （57） +2900 900 （55）
（78）
1500 （41） A -900 H
-900 A
A -6源自文库0
（74）
G
步骤四
再次检查有无迂回
圈BD乙E丙GF： 总长为（32+57+41+74+57+75+45+74）=455 半圈长为（455/2）=227.5 外圈流向总长为（57+74+57）=188
里圈流向总长为 （32+41+74+75）=222
不合理的现象2：迂回
（2）迂回：当收点与发点之间的运输线路有两条 或两条以上时（即交通图成圈），如果运送的货 物不是走最短线路，则称这种运输为迂回运输。
注：当交通图成圈时，如果流向图中内圈流向的总 长（简称内圈长）或外圈流向的总长（简称外圈 长）超过整个圈长的一半就称为迂回运输。例如 某物资流向图如图4-6、4-7所示。
圈甲乙E丙GF：总长为（109+57+74+41+57+32）=370 半圈长为（370/2）=185 外圈流向总长为（57+32+57）=146 里圈流向总长为 41 圈乙DB甲： 总长为（74+45+75+109）=303 半圈长为（303/2）=151.5 外圈流向总长为（74+45）=119 内圈流向总长为 0 圈甲乙E丙GF、圈乙DB甲的外圈流向总长和内圈流向总长都 小于其半圈长，所以不存在迂回现象。
迂回运输的判断
6 6 （4） 4 4 4 2 2 图：4-6 （4） 图：4-7 4
显然：图4-6为迂回运输
正规（最优）流向图：
一个最优的调运方案，它的流向图必是无 对流、无迂回的流向图，称这种流向 为正规流向图。 物资调运的图上作业法就是寻找一个无对流、无 迂回的正规流向图。 步骤如下： 作出一个无对流的初始可行方案； 检验有无迂回； 若无，结束； 否则，调整，直到最优。
• 初始方案组织运输的运输量为：
3×5+1×4+3×2+2×1+3×1=30（t.km） 由此可知，调整后的运输方案比初始运输方案节约运力为 1t.km.
技能训练
某企业由甲、乙、丙3个工厂，产品销往A、B、 C、D、E、F、G、H八个地区。各工厂的位置、产 量和各销售地区的位置、需求量如图3-9所示。请 运用图上作业法确定最优运输线路图。
交通图
反映发点（产地）与收地（销地）及交通线路及其距离组成的 图形。 发点用“○”表示，发出货物的数量记在“○”之内（单位： 吨） 收地（销地）用“□”表示，收取货物的数量记在“□”之内 （单位：吨） 两点之间的线路长度记在交通线路的旁边。
10 A 3 5 2 F 8 7 G B 5 3 C 2 9 D 4 9 E
第二节 图上作业法
一、图上作业法的基本知识
1.图上作业法的常用符号 2.线形分类
二、交通图不含圈的图上作业法 三、交通图含圈的图上作业法
主题思路
一、运输路线图上作业法的的定义、适用范围 二、编制并解释交通图和流向图 三、内圈流向、外圈流向举例 四、不合理的现象（对流、迂回）
五、案例分析
六、技能训练解析
去线破圈
作一个没有对流的流向图，用“去线破圈”的方法，去一线破一圈，去掉 甲乙（109），破甲乙E丙GF圈。再去掉甲B（75），破甲BD乙E丙GF圈，原来有圈 的交通图，变成了不成圈的交通图，如图3-10所示。然后从各个端点开始，在图 上做一个没有对流的流向图 丙
A -1500 A 1500 （78） 1800 B A -900 900 （45） （75） 1000 A -1000 C （132） 乙 +3200 1400 100 -1300 A （32） （74） （109） D 甲 （57） +2000 1000 （74） E （57） （55） A -900 H A -600 G 600 （41） +2900 900
B4 1 1 （7） （3） （4） A1 3 （5） 3 2 BI A3 1 （4） 1 B3
（2） 2
1
（4）
1
3
（3） B2
3
A2 图3-7
步骤二
检验有无迂回
对流向图中的各圈进行检查，看有无迂回。如果没有迂回，这个初始方案 就是最优方案；如果其中某一圈又迂回，这个 方案就不是最优方案，需要改进。 圈A1B1B2A3B4 ：总长为（5+4+4+3+7）=23km 半圈长为（23/2）=11.5km 外圈流向总长为：（5+4+3）=12km 里圈流向总长为 0 km 因为外圈流向总长超过了全圈总长的1/2（12km>11.5km）,可以断定。 圈A1B1B2A3B4初始运输线路存在迂回现象，所对应的运输方案不是最优方 案，因而需要整体优化。 再看看B2A2B3A4 ，其总长为13km，圈中内流向长为3km，外流向为 2km,都小于圈长的一半，因此此圈不必调整。
-900 A
A -1000 F
图3-10
步骤二
检验有无迂回
圈BD乙E丙GF： 总长为（32+57+41+74+57+75+45+74）=455 半圈长为（455/2）=227.5 外圈流向总长为（57+32+74+45+57）=265
里圈流向总长为 41
因为外圈流向总长超过了全圈总长的1/2,可以断定。圈BD乙E 丙GF初始运输线路存在迂回现象，所对应的运输方案不是最优 方案，因而需要整体优化。
运输路线图上作业法
定义：图上作业法是在运输图上求解线性规划运输模 型的方法。它是在一张运输交通上通过一定步骤的规 划和计算来完成物资调运计划的编制工作，以便使物 资运行的总吨—公里数最小可使物资运费降低，并缩 短了运输时间，所以，在一定条件下称这样的方案为 最优方案。 适用范围：在铁路、公路等交通部门经常使用这种方 法决策最优运输问题。
B4
A3 （3）
1
（7）
1
（4）
（4）
1
B3
A1
3
（5）
（2）
2
BI
注：
3
（4） B2 （3）
3
A2
表示接收点，其中数字表示运入量。
表示发运点，其中数字表示发运量。 （ ） 中数字表示两地距离。
图3-6
步骤一 去线破圈
作一个没有对流的流向图，用“去线破圈”的方法，去一线破一圈，有几 个圈去掉几个线，把有圈的交通图化成不成圈的交通图。一般是先去掉最长的 交通线，如去掉A1B4（7km），破A1B1B2A3B4圈。再去掉A3B3（4km）， 破B2A2B3A4圈，原来有圈的交通图，变成了不成圈的交通图，如图3-7所示。 然后从各个端点开始，在图上做一个没有对流的流向图。
含有圈的流向图的补充规定
顺时针方向的流向必须画在圈的内侧，称为内圈流向 逆时针方向的流向必须画在圈的外侧，称为外圈流向
内圈流向、外圈流向举例
图：4-6 6 （4） 4 4 4 2 4 图：4-7 6
顺时针方向的流 向必须画在圈的内侧， 称为内圈流向。如图： 4-6
2
（4）
逆时针方向的流 向必须画在圈的外侧， 称为外圈流向。如图： 4-7