小学数学解题方法解题技巧之最值问题

小学数学解题方法解题技巧之最值问题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第一章小学数学解题方法解题技巧之最值问题【最小值问题】例1 外宾由甲地经乙地、丙地去丁地参观。

甲、乙、丙、丁四地和甲乙、乙丙、丙丁的中点，原来就各有一位民警值勤。

为了保证安全，上级决定在沿途增加值勤民警，并规定每相邻的两位民警（包括原有的民警）之间的距离都相等。

现知甲乙相距5000米，乙丙相距8000米，丙丁相距4000米，那么至少要增加______位民警。

（《中华电力杯》少年数学竞赛决赛第一试试题）讲析：如图5.91，现在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各处中点各有一位民警，共有7位民警。

他们将上面的线段分为了2个2500米，2个4000米，2个2000米。

现要在他们各自的中间插入若干名民警，要求每两人之间距离相等，这实际上是要求将2500、4000、2000分成尽可能长的同样长的小路。

由于2500、4000、2000的最大公约数是500，所以，整段路最少需要的民警数是（5000＋8000＋4000）÷500＋1=35（名）。

例2 在一个正方体表面上，三只蚂蚁分别处在A、B、C的位置上，如图5.92所示，它们爬行的速度相等。

若要求它们同时出发会面，那么，应选择哪点会面最省时？（湖南怀化地区小学数学奥林匹克预赛试题）讲析：因为三只蚂蚁速度相等，要想从各自的地点出发会面最省时，必须三者同时到达，即各自行的路程相等。

我们可将正方体表面展开，如图5.93，则A、B、C三点在同一平面上。

这样，便将问题转化为在同一平面内找出一点O，使O到这三点的距离相等且最短。

所以，连接A和C，它与正方体的一条棱交于O；再连接OB，不难得出AO=OC=OB。

故，O点即为三只蚂蚁会面之处。

【最大值问题】例1 有三条线段a、b、c，并且a＜b＜c。

判断：图5.94的三个梯形中，第几个图形面积最大？（全国第二届“华杯赛”初赛试题）讲析：三个图的面积分别是：三个面积数变化的部分是两数和与另一数的乘积，不变量是（a＋b＋c）的和一定。

其问题实质上是把这个定值拆成两个数，求这两个数为何值时，乘积最大。

由等周长的长方形面积最大原理可知，（a＋b）×c这组数的值最接近。

故图（3）的面积最大。

例2 某商店有一天，估计将进货单价为90元的某商品按100元售出后，能卖出500个。

已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个。

为了使这一天能赚得更多利润，售价应定为每个______元。

（台北市数学竞赛试题）讲析：因为按每个100元出售，能卖出500个，每个涨价1元，其销量减少10个，所以，这种商品按单价90元进货，共进了600个。

现把600个商品按每份10个，可分成60份。

因每个涨价1元，销量就减少1份（即10个）；相反，每个减价1元，销量就增加1份。

所以，每个涨价的钱数与销售的份数之和是不变的（为60），根据等周长长方形面积最大原理可知，当把60分为两个30时，即每个涨价30元，卖出30份，此时有最大的利润。

因此，每个售价应定为90＋30=120（元）时，这一天能获得最大利润。

42、最值规律【积最大的规律】（1）多个数的和一定（为一个不变的常数），当这几个数均相等时，它们的积最大。

用字母表示，就是如果a1+a2+…+a n=b（b为一常数），那么，当a1=a2=…=a n时，a1×a2×…×a n有最大值。

例如，a1+a2=10，…………→…………；1+9=10→1×9=9；2+8=10→2×8=16；3+7=10→3×7=21；4+6=10→4×6=24；4.5+5.5=10→4.5×5.5=24.75；5+5=10→5×5=25；5.5+4.5=10→5.5×4.5=24.75；…………→…………；9+1=10→9×1=9；…………→…………由上可见，当a1、a2两数的差越小时，它们的积就越大；只有当它们的差为0，即a1=a2时，它们的积就会变得最大。

三个或三个以上的数也是一样的。

由于篇幅所限，在此不一一举例。

由“积最大规律”，可以推出以下的结论：结论1 所有周长相等的n边形，以正n边形（各角相等，各边也相等的n边形）的面积为最大。

例如，当n=4时，周长相等的所有四边形中，以正方形的面积为最大。

例题：用长为24厘米的铁丝，围成一个长方形，长宽如何分配时，它的面积为最大？解设长为a厘米，宽为b厘米，依题意得（a+b）×2=24即 a+b=12由积最大规律，得a=b=6（厘米）时，面积最大为6×6=36（平方厘米）。

（注：正方形是特殊的矩形，即特殊的长方形。

）结论2 在三度（长、宽、高）的和一定的长方体中，以正方体的体积为最大。

例题：用12米长的铁丝焊接成一个长方体，长、宽、高如何分配，它的体积才会最大？解设长方体的长为a米，宽为b米，高为c米，依题意得（a+b+c）×4=12即a+b+c=3由积最大规律，得a=b=c=1（米）时，长方体体积为最大。

最大体积为1×1×1=1（立方米）。

（2）将给定的自然数N，分拆成若干个（不定）的自然数的和，只有当这些自然数全是2或3，并且2至多为两个时，这些自然数的积最大。

例如，将自然数8拆成若干个自然数的和，要使这些自然数的乘积为最大。

怎么办呢？我们可将各种拆法详述如下：分拆成8个数，则只能是8个“1”，其积为1。

分拆成7个数，则只能是6个“1”，1个“2”，其积为2。

分拆成6个数，可得两组数：（1，1，1，1，1，3）；（1，1，1，1，2，2）。

它们的积分别是3和4。

分拆成5个数，可得三组数：（1，1，1，1，4）；（1，1，1，2，3）；（1，1，2，2，2）。

它们的积分别为4，6，8。

分拆成4个数，可得5组数：（1，1，1，5）；（1，1，2，4）；（1，1，3，3）；（1，2，2，3）；（2，2，2，2）。

它们的积分别为5，8，9，12，16。

分拆成3个数，可得5组数：（1，1，6）；（1，2，5）；（1，3，4）；（2，2，4）；（2，3，3）。

它们的积分别为6，10，12，16，18。

分拆成2个数，可得4组数：（1，7）；（2，6）；（3，5）；（4，4）。

它们的积分别为7，12，15，16。

分拆成一个数，就是这个8。

从上面可以看出，积最大的是18=3×3×2。

可见，它符合上面所述规律。

用同样的方法，将6、7、14、25分拆成若干个自然数的和，可发现6=3+3时，其积3×3=9为最大；7=3+2+2时，其积3×2×2=12为最大；14=3+3+3+3+2时，其积3×3×3×3×2=162为最大；由这些例子可知，上面所述的规律是正确的。

【和最小的规律】几个数的积一定，当这几个数相等时，它们的和相等。

用字母表达，就是如果a1×a2×…×a n=c（c为常数），那么，当a1=a2=…=an时，a1+a2+…+a n有最小值。

例如，a1×a2=9，…………→…………1×9=9→1+9=10；3×3=9→3+3=6；…………→…………由上述各式可见，当两数差越小时，它们的和也就越小；当两数差为0时，它们的和为最小。

例题：用铁丝围成一个面积为16平方分米的长方形，如何下料，材料最省？解设长方形长为a分米，宽为b分米，依题意得a×b=16。

要使材料最省，则长方形周长应最小，即a+b要最小。

根据“和最小规律”，取a=b=4（分米）时，即用16分米长的铁丝围成一个正方形，所用的材料为最省。

推论由“和最小规律”可以推出：在所有面积相等的封闭图形中，以圆的周长为最小。

例如，面积均为4平方分米的正方形和圆，正方形的周长为8分米；而的周长小于正方形的周长。

【面积变化规律】在周长一定的正多边形中，边数越多，面积越大。

为0.433×6=2.598（平方分米）。

方形的面积。

推论由这一面积变化规律，可以推出下面的结论：在周长一定的所有封闭图形中，以圆的面积为最大。

例如，周长为4分米的正方形面积为1平方分米；而周长为4分米的圆，于和它周长相等的正方形面积。

【体积变化规律】在表面积一定的正多面体（各面为正n边形，各面角和各二面角相等的多面体）中，面数越多，体积越大。

例如，表面积为8平方厘米的正四面体S—ABC（如图1.30），它每一个面均为正三角形，每个三角形面积为2平方厘米，它的体积约是1.1697立方厘米。

而表面积为8平方厘米长约为1.1546厘米，体积约为1.539立方厘米。

显然，正方体体积大于正四面体体积。

推论由这一体积变化规律，可推出如下结论：在表面积相等的所有封闭体中，以球的体积为最大。

例如，表面积为8平方厘米的正四面体，体积约为1.1697立方米；表面积为8平方厘米的正六面体（正方体），体积约为1.539立方厘米；而表面积是8平方厘米的球，体积却约有2.128立方厘米。

可见上面的结论是正确的。

【排序不等式】对于两个有序数组：a1≤a2≤…≤a n及b1≤b2≤…≤b n，则a1b1+a2b2+……+a n b抇n（同序）T≥a1b抇1+a2b抇2+……+a n b抇n（乱序）≥a1bn+a2b n-1+……+a>n b1（倒序）（其中b抇1、b抇2、……、b抇n为b1、b2、……、b n的任意一种排列（顺序、倒序排列在外），当且仅当a1=a2=…=a n，或b1=b2=…=b n时，式中等号成立。

）由这一不等式可知，同序积之和为最大，倒序积之和为最小。

例题：设有10个人各拿一只水桶，同时到一个水龙头下接水。

水龙头注满第一、第二、……九、十个人的桶，分别需要1、2、3、……、9、10分钟。

问：如何安排这10个人的排队顺序，可使每个人所费时间的总和尽可能少这个总费时至少是多少分钟解设每人水桶注满时间的一个有序数组为：1，2，3，……，9，10。

打水时，等候的人数为第二个有序数组，等候时间最长的人数排前，这样组成1，2，3，……，9，10。

根据排序不等式，最小积的和为倒序，即1×10+2×9+3×8+4×7+5×6+6×5+7×4+8×3+9×2+10×1=（1×10+2×9+3×8+4×7+5×6）×2=（10+18+24+28+30）×2=220（分钟）其排队顺序应为：根据注满一桶水所需时间的多少，按从少到多的排法。