高等数学：第十三讲 条件极值

Fz xy 2λ( y x)， Fλ 2xy 2 yz 2zx a2，
Hale Waihona Puke Baidu题：
解方程组
yz 2λ( y z) 0
xz 2λ(x z) 0
xy 2λ(x y) 0
2xy 2 yz 2zx a2
求得 x y z 6 a. 6
这是唯一可能的极值点，因为由问题本身可知最大值一定存在，
方法1 代入法.
在条件 φ(x, y) 0 下，求函数 z f (x, y) 的极值.
转 化
从条件φ(x, y) 0 中解出 y ψ(x)
求一元函数 z f (x,ψ(x)) 的无条件极值问题.
02 拉格朗日乘数法
方法2 拉格朗日乘数法. 目标函数
约束条件
求函数 u f (x, y, z) 在条件 φ(x, y, z) 0下的极值.
所以最大值就在这个极值点处求得，也就是说，表面积为 a2 的
长方体中，以棱长为 6 a 的正方体的体积为最大，此时最大体积
为 V 6 a3.
6
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内容小结
1.条件极值：对自变量除定义域限制外，还有其它条件限制. 2.拉格朗日乘数法
构造拉格朗日函数 F (x, y, z, λ) f (x, y, z) λφ(x, y, z)
条件极值
目录
01
条件极值
02 拉格朗日乘数法
01 条件极值
无条件极值：对自变量只有定义域限制. 极值问题
条件极值：对自变量除定义域限制外，还有其它条件限制.
条件极值的一般提法
求函数
z f (x, y)
在条件
φ(x, y) 0
下的极值.
目标函数 约束条件
01 条件极值
条件极值的求解方法
Fλ φ(x, y, z) 0
得出的解 x、y、z、λ 即为函数 u f (x, y, z) 在条件 φ(x, y, z) 0 下
可能取得极值的点的坐标．
例题：
求表面积为 a2 而体积为最大的长方体体积.
解 设长方体的长、宽、高分别为 x、y、z，则问题就是在条件
2xy 2 yz 2zx a2，即 φ(x, y, z) 2xy 2 yz 2zx a2 0 下求函数 V xyz (x 0, y 0, z 0) 的最大值. 构造拉格朗日函数 F (x, y, z, λ) xyz λ(2xy 2 yz 2zx a2 )， 则 Fx yz 2λ( y z)， Fy xz 2λ(x z)，
先构造拉格朗日函数 F (x, y, z, λ) f (x, y, z) λφ(x, y, z)
然后解方程组 Fx fx(x, y, z) λφx (x, y, z) 0
Fy f y(x, y, z) λφy (x, y, z) 0
Fz
fz(x, y, z) λφz (x, y, z) 0
谢谢