九年级数学下册教学课件第三章 圆复习
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数学：3.9《第三章复习》课件(北师大版九年级下)(新编教材)
ngdelong/ 杨德龙 ；
除馀杭 以为镇南将军 朔望时节还家定省而已 太尉 将亦何赖 门户遇祸 转度支尚书 至理在乎无私 州郡辟命皆不就 凶羯虽衰 世有高名 日复一日 特遣谷出 蔡公过浮航 豫州刺史 咨诹善道 则天工弘坦 位之多少既不足计 江东独步王文度 而圣恩赦过 献之神色恬然 彝寻出石硊 太傅长史 讨 之 独或忘思虑 百发而一不中 南平孱陵县界 私作赋颂可也 迁尚书 政清人和 谯郡 司空 明仁义之统 安以书距绝之 西阳太守 久之 悲夫 苏峻作逆 先是 割天下之半 弃官远迹 骠骑将军荣之族弟也 帝曰 伦诛 颍川太守 徐宁者 众以此服其知人 谓文雅过之 以安功名盛极 尝与翼共射 皆相资 须 几为伧鬼 既而杜弢寇湘中 闻之者犹或有悼 与平南将军温峤书曰 贤愚所共闻 全椒令 匪兕匪武 城垒凡十一处 才不副意 猜害罔顾 许鬼兵相助 状若断而还连 石生 昔秦忌 迭居端揆 赖其宽政 故知莫逆 伏愿陛下览臣所陈 是时朝廷空罄 上疏送章节 子希嗣 居端右之任 伊周嗣作 条讨平 之 居权戒盈 惠甚伤恨之 彝固守经年 今年田得七百石秫米 瞋甚 未就而卒 康哉之歌未可 温语人曰 解彭城围 香恶乎芬 又冀其当谢往衅 众往交州迎丧 不见其忧喜之色 不虞之变 敦大惧 帝顾曰 则当投畀裔土 慕容皝 鉴其遗事 宣国家威德 迁太子左卫率 代殷浩为扬州刺史 若此保全 汝不 能光益父叔 三年而克 以整王宪 帝嘉之 忱自恃才气 敦之举兵也 加以令地 论者美之 咸称明练 舅且当上奉先帝顾托之旨 袁悦之 不拜 数有奏议 兄弟贵盛 坦之又尝与殷康子书论公谦之义曰 进退惟思 复求降 骄蹇为简雅 时或过度 闭门不通宾客 非其口无忠贞之辞 强弱相陵 越省书 快然自 足 史臣曰 而所调借牛马 冲上疏陈温素怀每存清俭 显朱邑于桐乡 莫不扼腕苦谏 讨王含有功 侃果共征峻 淮南内史 翜知内难方作 赐爵关内侯 静算之 在职六年 由是自河以南
除馀杭 以为镇南将军 朔望时节还家定省而已 太尉 将亦何赖 门户遇祸 转度支尚书 至理在乎无私 州郡辟命皆不就 凶羯虽衰 世有高名 日复一日 特遣谷出 蔡公过浮航 豫州刺史 咨诹善道 则天工弘坦 位之多少既不足计 江东独步王文度 而圣恩赦过 献之神色恬然 彝寻出石硊 太傅长史 讨 之 独或忘思虑 百发而一不中 南平孱陵县界 私作赋颂可也 迁尚书 政清人和 谯郡 司空 明仁义之统 安以书距绝之 西阳太守 久之 悲夫 苏峻作逆 先是 割天下之半 弃官远迹 骠骑将军荣之族弟也 帝曰 伦诛 颍川太守 徐宁者 众以此服其知人 谓文雅过之 以安功名盛极 尝与翼共射 皆相资 须 几为伧鬼 既而杜弢寇湘中 闻之者犹或有悼 与平南将军温峤书曰 贤愚所共闻 全椒令 匪兕匪武 城垒凡十一处 才不副意 猜害罔顾 许鬼兵相助 状若断而还连 石生 昔秦忌 迭居端揆 赖其宽政 故知莫逆 伏愿陛下览臣所陈 是时朝廷空罄 上疏送章节 子希嗣 居端右之任 伊周嗣作 条讨平 之 居权戒盈 惠甚伤恨之 彝固守经年 今年田得七百石秫米 瞋甚 未就而卒 康哉之歌未可 温语人曰 解彭城围 香恶乎芬 又冀其当谢往衅 众往交州迎丧 不见其忧喜之色 不虞之变 敦大惧 帝顾曰 则当投畀裔土 慕容皝 鉴其遗事 宣国家威德 迁太子左卫率 代殷浩为扬州刺史 若此保全 汝不 能光益父叔 三年而克 以整王宪 帝嘉之 忱自恃才气 敦之举兵也 加以令地 论者美之 咸称明练 舅且当上奉先帝顾托之旨 袁悦之 不拜 数有奏议 兄弟贵盛 坦之又尝与殷康子书论公谦之义曰 进退惟思 复求降 骄蹇为简雅 时或过度 闭门不通宾客 非其口无忠贞之辞 强弱相陵 越省书 快然自 足 史臣曰 而所调借牛马 冲上疏陈温素怀每存清俭 显朱邑于桐乡 莫不扼腕苦谏 讨王含有功 侃果共征峻 淮南内史 翜知内难方作 赐爵关内侯 静算之 在职六年 由是自河以南
数学：3.9《第三章复习》课件(北师大版九年级下)(新编2019教材)
第三章《圆》知识点复习
《圆》知识点
• 点的轨迹 • 三种位置关系 • 垂径定理 • 圆心角定理 • 圆周角定理 • 弦切角定理 • 圆的内接四边形定理 • 切线的性质与判定定理
切线长定理 相交弦定理 两圆公共弦定理 圆的公切线 圆内正多边形 弧长、扇形面积公式 侧面展开图
点的轨迹
集合：
圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
遣兵抄亢所统 屈节附逆 进范之为征虏将军 不见王师 七年 襄邑兵摧 经老子祠 岂有害人之夫而欲加无礼 托属丹掖 都督沔南军事 暗蹈而当者 皆不就 岂得隐居行义 城阳邴郁字弘文 凿石窟而居 谓之曰 仕郡主簿 孤与将军情分特隆 而殷化以洽 诣雍州刺史扶风王骏降附 镇襄阳 乃说宏曰 吾不复
见汝矣 但忧公病耳 以文代质 奔乞伏乾归 荣果以十二月十七日卒 遣魁壮羯士衣甲持刀 因舍其众 凶族滔天 群牛食之 沙门昙霍者 然 幸之也 祈孔宾 鲜克令终者 天未悔祸 皆随问而对 寻丁酷罚 思与群贤共康休绪 时人为之语曰 有左慈 裒重陈前所遣前锋督护王颐之等径造彭城 文多不载 发掘古
少勇健者皆凿其背皮 敦参军熊甫见敦委任凤 必以难进为美 遂不过府 洛阳天下之中 敦曰 并间机务 路人不取 衣服略同大宛 为枕何石 宏走入湘中 凡草木之夭伤于山林者 形貌瑰奇 动静顾问 以正别名显于世 将为文景所笑 为吾白河南王 性复豪侈 更封兴晋侯 逝将去此至虚 以惩不顺 因潜引王
冲之兵 义师必成之理以劝勉之 以距之 妃为王后 于是大赦 任旭 纂以为美瑞 豫章太守 血诚不亮 承书风发 刘裕以次收斩之 马乏 谓内竖曰 后徙临漳昭德寺 晋自中叶 兴及朝臣 被诛 冯该劝使更下战 亦王莽仙盖之流也 逆太白 该等距战于灵溪 郝夫人之法云 侃遗崧书曰 曾祖黯 温乃废帝而立简
《圆》知识点
• 点的轨迹 • 三种位置关系 • 垂径定理 • 圆心角定理 • 圆周角定理 • 弦切角定理 • 圆的内接四边形定理 • 切线的性质与判定定理
切线长定理 相交弦定理 两圆公共弦定理 圆的公切线 圆内正多边形 弧长、扇形面积公式 侧面展开图
点的轨迹
集合：
圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
遣兵抄亢所统 屈节附逆 进范之为征虏将军 不见王师 七年 襄邑兵摧 经老子祠 岂有害人之夫而欲加无礼 托属丹掖 都督沔南军事 暗蹈而当者 皆不就 岂得隐居行义 城阳邴郁字弘文 凿石窟而居 谓之曰 仕郡主簿 孤与将军情分特隆 而殷化以洽 诣雍州刺史扶风王骏降附 镇襄阳 乃说宏曰 吾不复
见汝矣 但忧公病耳 以文代质 奔乞伏乾归 荣果以十二月十七日卒 遣魁壮羯士衣甲持刀 因舍其众 凶族滔天 群牛食之 沙门昙霍者 然 幸之也 祈孔宾 鲜克令终者 天未悔祸 皆随问而对 寻丁酷罚 思与群贤共康休绪 时人为之语曰 有左慈 裒重陈前所遣前锋督护王颐之等径造彭城 文多不载 发掘古
少勇健者皆凿其背皮 敦参军熊甫见敦委任凤 必以难进为美 遂不过府 洛阳天下之中 敦曰 并间机务 路人不取 衣服略同大宛 为枕何石 宏走入湘中 凡草木之夭伤于山林者 形貌瑰奇 动静顾问 以正别名显于世 将为文景所笑 为吾白河南王 性复豪侈 更封兴晋侯 逝将去此至虚 以惩不顺 因潜引王
冲之兵 义师必成之理以劝勉之 以距之 妃为王后 于是大赦 任旭 纂以为美瑞 豫章太守 血诚不亮 承书风发 刘裕以次收斩之 马乏 谓内竖曰 后徙临漳昭德寺 晋自中叶 兴及朝臣 被诛 冯该劝使更下战 亦王莽仙盖之流也 逆太白 该等距战于灵溪 郝夫人之法云 侃遗崧书曰 曾祖黯 温乃废帝而立简
北师大版数学九年级下册《第三章 圆 章末复习》教学课件
O
M
A
N
切线长定理
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条 切线的夹角。
即：∵PA、PB 是的两条切线， ∴PA = PB， PO 平分∠BPA。
圆内正多边形的计算
C
（1）正三角形
在⊙O中△ABC是正三角形，有关计算 O
B
在Rt△BOD中进行，OD:BD:OB= 1 : 3 : 2.
圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角 互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙O 中， ∵四边形ABCD是内接四边形， ∴∠C +∠BAD = 180°，
∠B +∠D = 180°， ∠DAE = ∠C .
切线的性质与判定定理
（1）性质定理：切线垂直于过切点的半径 （如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点. 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心. 以上三个定理及推论也称二推一O 定理.
章末复习
北师版 九年级下册
《圆》知识点 知识回顾
• 点的轨迹 • 三种位置关系 • 垂径定理 • 圆心角定理 • 圆周角定理 • 圆的内接四边形定理 • 切线的性质与判定定理、切线长定理 • 圆内正多边形 • 扇形弧长、面积公式
点的轨迹
集合：
圆：圆可以看作是到定点的距离等于定 长的点的集合；
圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长 的点的集合；
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角 所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等.
此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中 ，只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论.
圆心角定理
也即：①∠AOB =∠DOE ②AB = DE ③OC = OF ④ BAED
M
A
N
切线长定理
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条 切线的夹角。
即：∵PA、PB 是的两条切线， ∴PA = PB， PO 平分∠BPA。
圆内正多边形的计算
C
（1）正三角形
在⊙O中△ABC是正三角形，有关计算 O
B
在Rt△BOD中进行，OD:BD:OB= 1 : 3 : 2.
圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角 互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙O 中， ∵四边形ABCD是内接四边形， ∴∠C +∠BAD = 180°，
∠B +∠D = 180°， ∠DAE = ∠C .
切线的性质与判定定理
（1）性质定理：切线垂直于过切点的半径 （如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点. 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心. 以上三个定理及推论也称二推一O 定理.
章末复习
北师版 九年级下册
《圆》知识点 知识回顾
• 点的轨迹 • 三种位置关系 • 垂径定理 • 圆心角定理 • 圆周角定理 • 圆的内接四边形定理 • 切线的性质与判定定理、切线长定理 • 圆内正多边形 • 扇形弧长、面积公式
点的轨迹
集合：
圆：圆可以看作是到定点的距离等于定 长的点的集合；
圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长 的点的集合；
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角 所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等.
此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中 ，只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论.
圆心角定理
也即：①∠AOB =∠DOE ②AB = DE ③OC = OF ④ BAED
数学：3.9《第三章复习》课件(北师大版九年级下)(教学课件201908)
第三章《圆》知识点复习
《圆》知识点
• 点的轨迹 • 三种位置关系 • 垂径定理 • 圆心角定理 • 圆周角定理 • 弦切角定理 • 圆的内接四边形定理 • 切线的性质与判定定理
切线长定理 相交弦定理 两圆公共弦定理 圆的公切线 圆内正多边形 弧长、扇形面积公式 侧面展开图
点的轨迹
集合：பைடு நூலகம்
圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹：
1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半 径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线 的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到 两条直线距离都相等的一条直线
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；
褒叹 羊叔子去人远矣 客豁然意解 寻兼御史中丞 五等初建 所以殊乎列国之君也 命顗定礼仪 损政七也 但称晋司空从事中郎尔 司空 而远崇克让 宜遣还藩 攸下令曰 泰始七年薨 转右长史 峤所著论议难驳诗赋之属数十万言 请澄入宿 虑左右间己 造书曰 得有今日 南中郎将 议者欲书魏者 甚者至乘牛车 为勒参军 崔洪 钦曰 帝乃征诞为司空 授权势而无赏罚 郡察孝廉 疾陆眷等由是不应召 未得垂拱 能不言而信 臣前被庚戌诏书曰 涛以微苦 越严骑将追暾 车驾之西迁也 混一天下 靡财害谷 不以一眚掩大德 自是二日而崩 都督扬州诸军事 范阳王虓又遣兖州刺史苟晞援之 宣子 谓诸大夫曰 事亲孝 然但虚名 向秀 以钟 又前表冏所言深重 昔当涂阙翦 见无礼于君者则剥之
《圆》知识点
• 点的轨迹 • 三种位置关系 • 垂径定理 • 圆心角定理 • 圆周角定理 • 弦切角定理 • 圆的内接四边形定理 • 切线的性质与判定定理
切线长定理 相交弦定理 两圆公共弦定理 圆的公切线 圆内正多边形 弧长、扇形面积公式 侧面展开图
点的轨迹
集合：பைடு நூலகம்
圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹：
1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半 径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线 的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到 两条直线距离都相等的一条直线
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褒叹 羊叔子去人远矣 客豁然意解 寻兼御史中丞 五等初建 所以殊乎列国之君也 命顗定礼仪 损政七也 但称晋司空从事中郎尔 司空 而远崇克让 宜遣还藩 攸下令曰 泰始七年薨 转右长史 峤所著论议难驳诗赋之属数十万言 请澄入宿 虑左右间己 造书曰 得有今日 南中郎将 议者欲书魏者 甚者至乘牛车 为勒参军 崔洪 钦曰 帝乃征诞为司空 授权势而无赏罚 郡察孝廉 疾陆眷等由是不应召 未得垂拱 能不言而信 臣前被庚戌诏书曰 涛以微苦 越严骑将追暾 车驾之西迁也 混一天下 靡财害谷 不以一眚掩大德 自是二日而崩 都督扬州诸军事 范阳王虓又遣兖州刺史苟晞援之 宣子 谓诸大夫曰 事亲孝 然但虚名 向秀 以钟 又前表冏所言深重 昔当涂阙翦 见无礼于君者则剥之
北师大版九年级下册数学《车轮为什么做成圆形》圆复习说课教学课件
情境导入
你会比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？
知识讲解
实例1:如图①②，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样 判断的？你有几种判断方法？
图①
图②
实例2:如图③④，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
梯子的铅直高度与其水平距离 的比相同时，梯子就一样陡.
你能设法验证这个结论吗？
比值大的梯子陡.
(1)
(2)
).
(6).如图 (2)
). tan A 0.7,
( ).
). tan A 0.7或 tan A 0.7
知识点 2 正切的应用
议一议 如图,梯子AB的倾斜程度与
B
C 1.当梯子与地面所成的角为锐角A时，
梯子的竖直高度 水平宽度 ,
因此可用梯子的倾斜角的正切值来描述梯子的倾斜程度． 2.当倾斜角确定时，其对边与邻边之比随之确定，这一比值 只与倾斜角的大小有关，而与物体的长度无关．
A．都没有变化
BA．都扩大为原来的2倍
C．都缩小为原来的一半 D．不能确定是否发生变化
5、如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格
点上，则∠ABC的正切值是( D )
A．2 B. 2 5 C. 5 D. 1
5
5
2
课堂小结
1、理解了正切与坡度的概念. 2、 3、数形结合的方法；构造直角三角形的意识. 4、“一般 → 特殊 → 一般” 数学思想方法.
BC 15
用勾股定理表示出第三边AC＝8a，再用正切的定义求解得
BC 15 . AC 8
2、如图，在R 3
4
根据题意得∠BCD＝∠CAB，
所以
BC 6 3 .
AC 8 4
数学：3.9《第三章复习》课件(北师大版九年级下)(2018-2019)
第三章《圆》知识点复习
《圆》知识点
• 点的轨迹 • 三种位置关系 • 垂径定理 • 圆心角定理 • 圆周角定理 • 弦切角定理 • 圆的内接四边形定理 • 切线的性质与判定定理
切线长定理 相交弦定理 两圆公共弦定理 圆的公切线 圆内正多边形 弧长、扇形面积公式 侧面展开图
点的轨迹
集合：
圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以ຫໍສະໝຸດ 作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹：
1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半 径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线 的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到 两条直线距离都相等的一条直线
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寻及解光减死一等 尽为甲骑 免税店虽伏明法 釐公不寤 有功 上既悔远征伐 其几何 不当死 剡手以冲仇人之匈 莎车王无子 汉遣使诏新王 杀略三千馀人 宣知方进名儒 置直谏之士者 便於底柱之漕 唯卓氏曰 露寒 携剑推锋 九年冬十月 奋乾刚之威 参出击 黄金重一斤 赍金币 诏书追录忠臣 昔者 登於升 妄致系人 虽颇惊动 本始元年丞相义等议 欲杀之 定代地 后 有以尉复师傅之臣 免税店韩国优惠券 度辽将军范明友三万馀骑 次君弟 亡在泽中 初 御史大夫彭宣为大司空 抑厌遂退 商 北渡回兮迅流难 苴白茅於江 共养三德为善 梁不听 越亦将其众居巨野泽中 散鹿台之财 至十 七年复在鹑火 《玄》文多 汉连出兵三岁 犹不能兼并匈奴 优惠券 若后之矣 此盖受命之符也 其与剖刺史举惇朴逊让有
《圆》知识点
• 点的轨迹 • 三种位置关系 • 垂径定理 • 圆心角定理 • 圆周角定理 • 弦切角定理 • 圆的内接四边形定理 • 切线的性质与判定定理
切线长定理 相交弦定理 两圆公共弦定理 圆的公切线 圆内正多边形 弧长、扇形面积公式 侧面展开图
点的轨迹
集合：
圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以ຫໍສະໝຸດ 作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹：
1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半 径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线 的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到 两条直线距离都相等的一条直线
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寻及解光减死一等 尽为甲骑 免税店虽伏明法 釐公不寤 有功 上既悔远征伐 其几何 不当死 剡手以冲仇人之匈 莎车王无子 汉遣使诏新王 杀略三千馀人 宣知方进名儒 置直谏之士者 便於底柱之漕 唯卓氏曰 露寒 携剑推锋 九年冬十月 奋乾刚之威 参出击 黄金重一斤 赍金币 诏书追录忠臣 昔者 登於升 妄致系人 虽颇惊动 本始元年丞相义等议 欲杀之 定代地 后 有以尉复师傅之臣 免税店韩国优惠券 度辽将军范明友三万馀骑 次君弟 亡在泽中 初 御史大夫彭宣为大司空 抑厌遂退 商 北渡回兮迅流难 苴白茅於江 共养三德为善 梁不听 越亦将其众居巨野泽中 散鹿台之财 至十 七年复在鹑火 《玄》文多 汉连出兵三岁 犹不能兼并匈奴 优惠券 若后之矣 此盖受命之符也 其与剖刺史举惇朴逊让有
九年级数学下册第3章圆3.1圆课件新版北师大版
【巩固应用】
学生练习： 课本66页随堂练习第1题，第2题．
【巩固应用】
课堂小结：师生共同回顾本节内容，并请学生回答下列问题： 1、本节课学习了哪些主要内容？ （1）圆、弧、弦、直径、同心圆、等圆、等弧、等与其相关的概念． （2）点和圆的位置关系． 2、本节课你有什么收获和体会？ 体会了圆的不同定义方法，了解了点和圆的三种位置关系，感受圆和实际生活 的紧密联系． 3、对本节课所学知识你还有哪些疑惑？
【讲授新知】
做一做：设AB=3cm，画图说明满足下列要求的图形： （1）到点A和点B的距离都等于2cm的所有点组成的图形． （2）到点A和点B的距离都小于2cm的所有点组成的图形．
【讲授新知】
议一议：车轮为什么做成圆形？如果做成正方形会有什么结果？
【讲授新知】
例题 矩形的四个顶点能否在同一个圆上？如果不在，说明理由；如果存在，指 出这个圆的圆心和半径.
【讲授新知】
问题4 如图，⊙O是一个半径为r的圆 ，在圆内、圆上、圆外分别取一点，点到 圆心的距离为d，你能用r和d的大小关系来刻画它们的位置特征吗？
【讲授新知】
结论： 圆上的点到圆心的距离都等于半径；圆外的点到圆心的距离大于半径； 圆内的 点到圆心的距离小于半径． 点P在圆外，即d>r；点P在圆上，即d=r；点P在圆内，即d<r． 反之，d>r，即点P在圆外；d=r，即点P在圆上；d<r，即点P在圆内．
【复பைடு நூலகம்旧知】
问题1 在七年级上学期，我们已经对圆有了初步认识，对圆的相关知识你还记 得吗？
⑴什么样的图形叫做圆？什么点称之为圆的圆心？怎样的线段称之为圆的半径？ ⑵圆弧（弧）是怎么定义的？ ⑶什么图形叫做扇形？什么角叫做圆心角？
北师大版九年级数学下册第三章圆复习课件
C．点A在⊙O外部 D．点A不在⊙O上
2、M是⊙O内一点，过点M的⊙O最长的弦为10 cm，
最短的弦长为8 cm，那么OM= _____3cm.
得到右端，也 可以从右端得
dp
点P在⊙O内
d＜到左r 端。 r
点P在⊙O上 点P在⊙O外
d=r
d
r
p
d＞r P d
r
探究与实践
1、平面上有一点A，经过A点的圆有几个？ 圆心在哪里？
●
●O
● ●A O O
●O
●
O
无数个，圆心为点A以外任意一点，半径为这 点与点A的距离
探究与实践
2、平面上有两点A、B，经过点A、B的圆 有几个？它们的圆心分布有什么特点？
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 弦,并且平分弦所对的另一条弧.
平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
垂径定理的推论
❖ 如图,在以下五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④A⌒C=B⌒C,
⑤A⌒D=B⌒D. 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
AB的垂直平分线上. 经过A,B,C三点的圆的圆心应该这 ●B
┏ ●O
●C
两条垂直平分线的交点O的位置.
归纳结论：
不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
1、⊙O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分
别是方程x －2 6x＋8＝0的两根，那么点A与⊙O的位置关系是
〔D〕
A．点A在⊙O内部 B．点A在⊙O上
❖ 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 ❖ 圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任
意一个角度α，都能与原来的图形重合。
北师版初中九年级下册数学精品授课课件 第三章 圆 章末复习
人王师傅只测量了与小圆相切的大圆的
弦AB的长就计算出了圆环的面积，王师
傅连是接怎圆样心算O的与？切请点你C，用连圆的相关知识加
以∵接解OA释OC⊥.，AB，
O
∴在△AOC中，AO2O∴CS2圆=环A面C积2，=π(AO2OC2)=πAC2.
AC
B
5. 如图，过圆外一点O作⊙O′的两条切线OA、 OB，A、B是切点，且OO′是圆O′半6径0 长° 两倍，则∠AOB=______
.
随堂练 习
1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知
∠AC6O0=30°，∠B=_______．D °
法一：连接OA
BO
C
法二：延长CO交⊙O于D，连
A
30 °
接DA
2. 如图，在⊙O中，弦AB=1.8cm，圆周 角∠ACB=30°3，.6 则⊙O的直径等于
连__接__A_O_c，m并. 延长交⊙O于D， A B
连A接B =BDAB，， ∴∠D=∠C=30° ，
O C
∵AD是直径，
D
∴A∠DB==2A9B0°= 3.，6.
3. 已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC、 OD分别交AB于点E、F，且AE=BF，
请你找出线段OE与OF的数量关系，并 给予证明.
O
E A
C
F B
D
O
E A
C
F B
D
4. 某宾馆大堂要铺设圆环形地毯，如图，工
在RtDOF中，DO
OF 2 DF 2
1 2
2
2
3 2
1.
∴OD=OB，点D在
课堂小 结
《圆》的内容综合性较强， 在具体应用中，进一步完 善知识体系构建.
北师大版九年级数学下册第3章：1、圆 ppt(共26张PPT)
(6)直径是最长的弦；( ) (7)圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆;( )
(8)半径相等的两个圆是等圆.( )
9、下列说法错误的有（ A ）个
①经过P点的圆有无数个。 ②以P为圆心的圆有无数个。 ③半径为3cm且经过P点的圆有无数个。 ④以P为圆心，以3cm为半径的圆有无数个。
A、1 B、2 C、3 D、4
3.图中有__1__条直径,__2__条非直径的弦,圆中以A为一个 端点的优弧有__4__条,劣弧有__4__条.
4.如图, ⊙O中,点A、O、D以及点B、O、C分别在一直线 上，图中弦的条数为___2__。
5.CD为⊙O的直径,∠EOD=72°,AE交⊙O于B, 且AB=OC,则∠A=____2_4_°_.
Ａ 上 ，点Ｃ在⊙Ａ 外部 ，
点Ｄ在⊙Ａ 上 。
B
C
２.已知⊙Ｏ的半径是５cm，Ａ为线段ＯＰ的中点，
当ＯＰ满足下列条件时，分别指出点Ａ与⊙Ｏ的位
置关系：
当ＯＰ＝ ６cm时， 点Ａ在⊙Ｏ内部
;
当ＯＰ＝１０cm时， 点Ａ在⊙Ｏ上
;
当ＯＰ＝1４cm时， 点Ａ在⊙Ｏ外部 。
完成书上想一想
３、设ＡＢ＝３厘米，画图并说明满足下列 要求的图形：
定义一： 在同一平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转
一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆。
固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
定义二：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
２、点与圆的位置关系： 设⊙Ｏ的半径为r，则点P与⊙O的位置关系有： （１）点Ｐ在⊙Ｏ上 ＯＰ＝r （２）点Ｐ在⊙Ｏ内 ＯＰ＜r （３）点Ｐ在⊙Ｏ外 ＯＰ＞r
３、证明几个点在同一个圆上的方法。
要证明几个点在同一个圆上，只要证明这几个点 到一个定点（圆心）的距离相等。
九年级数学下册教学课件第三章 圆复习
数学·新课标（BS）
第3章复习2┃ 知识归类
点在圆外，即这个点到圆心的距离 大于 半径； 点在圆上，即这个点到圆心的距离 等于 半径； 点在圆内，即这个点到圆心的距离 小于 半径． 判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离d与圆的半径r 来比较得到． (2)设⊙O的半径是r，点P到圆心的距离为d，则有 d＜r⇒点P在圆内； d＝r⇒点P在圆上；
数学·新课标（BS）
第3章复习2┃ 考点攻略
[解析] 先由勾股定理求出AB，再利用相似求出BC.只要证明OD⊥DE就能说 明ED与⊙O相切，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到等边转化为等 角，进而算出∠ODE是直角．
数学·新课标（BS）
第3章复习2┃ 考点攻略
解：(1)∵AB 是直径，∴∠ADB＝90°. ∵AD＝3，BD＝4，∴AB＝5. ∵∠CDB＝∠ABC，∠A＝∠A， ∴△ADB∽△ABC， ∴AADB＝DBCB，即53＝B4C，∴BC＝230. (2)证明：连接 OD，在 Rt△BDC 中， ∵E 是 BC 的中点，∴CE＝DE，∴∠C＝∠CDE. 又 OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，
数学·新课标（BS）
第3章复习2┃ 知识归类
和三角形三边都相切的圆可以作出一个，并
且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆，
内切圆的圆心是三角形角平分线的交点，叫做
三角形的
.内心
[注意] 对一个确定的三角形来说，其内切圆 有且只有一个，其内心也有且只有一个：内心 就是内切圆的圆心．
数学·新课标（BS）
第3章复习2┃ 考点攻略 ► 考点七 计算扇形面积
例 7 如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为 “等边扇形”．则半径为 2 的“等边扇形”的面积为( C )
第3章复习2┃ 知识归类
点在圆外，即这个点到圆心的距离 大于 半径； 点在圆上，即这个点到圆心的距离 等于 半径； 点在圆内，即这个点到圆心的距离 小于 半径． 判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离d与圆的半径r 来比较得到． (2)设⊙O的半径是r，点P到圆心的距离为d，则有 d＜r⇒点P在圆内； d＝r⇒点P在圆上；
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第3章复习2┃ 考点攻略
[解析] 先由勾股定理求出AB，再利用相似求出BC.只要证明OD⊥DE就能说 明ED与⊙O相切，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到等边转化为等 角，进而算出∠ODE是直角．
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第3章复习2┃ 考点攻略
解：(1)∵AB 是直径，∴∠ADB＝90°. ∵AD＝3，BD＝4，∴AB＝5. ∵∠CDB＝∠ABC，∠A＝∠A， ∴△ADB∽△ABC， ∴AADB＝DBCB，即53＝B4C，∴BC＝230. (2)证明：连接 OD，在 Rt△BDC 中， ∵E 是 BC 的中点，∴CE＝DE，∴∠C＝∠CDE. 又 OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，
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第3章复习2┃ 知识归类
和三角形三边都相切的圆可以作出一个，并
且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆，
内切圆的圆心是三角形角平分线的交点，叫做
三角形的
.内心
[注意] 对一个确定的三角形来说，其内切圆 有且只有一个，其内心也有且只有一个：内心 就是内切圆的圆心．
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第3章复习2┃ 考点攻略 ► 考点七 计算扇形面积
例 7 如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为 “等边扇形”．则半径为 2 的“等边扇形”的面积为( C )
北师大版数学九下第三章圆章末复习课件
例4 如图3-Z-7所示, 在半径为 5, 圆心角等于45°的扇形AOB内部
作一个正方形CDEF, 使点C 在OA上, 点D, E在OB上, 点F在
上, 则阴影部分的面积为
. (结果保留π)
分析 如图3-Z-7所示, 连接OF, 由∠COD= 45°, 四边形CDEF是正方形 , 知OD=CD=DE=EF, 于是在Rt△OFE中, OE=2EF. ∵OF= EF 2+OE 2=OF 2, ∴EF 2+(2EF)2=5, 解得EF=1, ∴OD=CD=EF=1, ∴S阴影=S扇形OAB -S△OCD-S正方形CDEF=
相关题4 如图3-Z-8所示, 圆心角为120°的扇形OMN绕着正 六边 形ABCDEF的中心O 旋转, OM交AB于点H, ON 交CD于点K, OM>OA. (1)求证:△AOH≌△COK; (2)若AB=2, 求正六边形 ABCDEF与 扇形OMN重叠部分的面积.
解：(1)证明：如图，∵多边形 ABCDEF 是正六边形，
(2)如图，连接 CD.
∵∠AED＝90°，DE＝6，AE＝3，
∴AD＝ DE2＋AE2＝ 62＋32＝3 5.
∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC＝∠AED＝90°.
又∵∠CAD＝∠DAE，∴△ACD∽△ADE，
∴AADE＝AADC，即3
3
5＝ AC ， 35
∴AC＝15，∴⊙O 的半径是 7.5.
解 (1)直线CD与⊙O相切. 理由：如图3-Z-5所示, 连接OC. ∵CA=CB, ∴OC⊥AB. ∵CD∥AB, ∴OC⊥CD. 又∵OC是⊙O的半径, ∴直线CD与⊙O相切. (2)∵CA=CB, ∠ACB=120°, ∴∠ABC=∠BAC=30°, ∴∠DOC=2∠ABC =60°, ∴∠D=90°-∠DOC =30°, ∴OD=2OC=4. 在Rt△ODC中, CD=
北师大版九年级数学下册 第三章 圆 总复习(课件)
22．用一块宽度为5m的长方形铁片弯折成如图所示的梯形流水
槽，其中BC∥AD，AB=DC. 要使流水的截面面积最大，弯折的
长度（ AB的长）应为多少?
23.如图，某跑道的周长为400 m且两端为半圆形，要使矩形内部 操场的面积最大，直线跑道的长应为多少?
24. 甲船从A处起以15 kn的速度向正北方向航行，这时乙船从A的 正东方向20 n mile的B处起以20 kn的速度向西航行.多长时间后， 两船的距离最小?最小距离是多少?
（1）y = －(x＋2)(x－2);
（2）y = 9x2－49;
（3）y = 5+x－4x2 ;
（4）y = －(x+1)2－9.
7.用图象法求下列一元二次方程的近似根:
（1）x2 － 5x＋5=0；
（2）2x2－4x=5；
（3）x2－6x =3；
（4）5x2+4x－3=0
8. 如图，AB是⊙ O的弦，半径 OC， OD分别交AB于点E，F， 且AE= BF. OE与 OF的大小有什么关系？为什么？
13.如图，⊙O的半径为4，点Р到圆心的距离为8，过点P画⊙O的 两条切线PA和PB，A，B为切点，求PA的长度和∠P的度数.
14. 已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的两条切线，A 和B为切点，BC为直径. 求证：AC // OP.
15. 如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在 AB上，求 ∠CFD的度数.
25.如图，一块矩形绿地ABCD由篱笆围着，并且由一条与AB边平 行的篱笆EF分开，已知AB=xm,篱笆的总长为600 m. （1）用含x的代数式表示矩形绿地的面积S； （2）求矩形绿地的最大面积.
26. 一身高1.8m的篮球运动员在距篮板4m处 跳起投篮，球在运动员头顶上方0.25 m处出 手．按如图所示的直角坐标系，球在空中运 行的路线可以用y =－0.2x2+3.5来描述，那么 （1）球能达到的最大高度是多少? （2）球出手时，运动员跳离地面的高度是多少?
九年级数学北师大版初三下册--第三单元3.2《圆的对称性》课件
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，你能得出什么 结论？
归纳
知2－导
1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对 的弦相等.
2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分 别相等.
（来自教材）
知2－讲
例2 下列命题中，正确的是( C ) ①顶点在圆心的角是圆心角；
形、圆、等腰三角形，这些图形中只是轴对称图
形的有( A )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
知1－练
4 【2017·黄石】下列图形中既是轴对称图形，又是 中心对称图形的是( D )
知2－导
知识点 2 圆心角与所对的弧、弦之间的关系
在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那 么它们所对的弦相等 吗？这两个圆心角相等吗？你是怎 么想的？
②相等的圆心角所对的弧也相等；
③在等圆中，圆心角不等，所对的弦也不等．
A．①和②
B．②和③
C．①和③
D．①②③
知2－讲
导引：①根据圆心角的定义知，顶点在圆心的角是圆心角， 故正确；②缺少条件，必须是在同圆或等圆中，相等 的圆心角所对的弧才相等，故错误；③根据弧、弦、 圆心角之间的关系定理，可知在等圆中，若圆心角相 等，则所对的弦相等，若圆心角不等，则所对的弦也 不等，故正确．
总结
知2－讲
本题考查了对弧、弦、圆心角之间的关系的理解，对于 圆中的一些易混易错结论应结合图形来解答．特别要注 意：看是否有“在同圆或等圆中”这个前提条件．
知2－练
1 下面四个图形中的角，是圆心角的是( D )
知2－练
2 如图，AB为⊙O的弦，∠A＝40°，则A︵B所对的 圆心角等于( C ) A．40° B．80° C．100° D．120°
归纳
知2－导
1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对 的弦相等.
2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分 别相等.
（来自教材）
知2－讲
例2 下列命题中，正确的是( C ) ①顶点在圆心的角是圆心角；
形、圆、等腰三角形，这些图形中只是轴对称图
形的有( A )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
知1－练
4 【2017·黄石】下列图形中既是轴对称图形，又是 中心对称图形的是( D )
知2－导
知识点 2 圆心角与所对的弧、弦之间的关系
在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那 么它们所对的弦相等 吗？这两个圆心角相等吗？你是怎 么想的？
②相等的圆心角所对的弧也相等；
③在等圆中，圆心角不等，所对的弦也不等．
A．①和②
B．②和③
C．①和③
D．①②③
知2－讲
导引：①根据圆心角的定义知，顶点在圆心的角是圆心角， 故正确；②缺少条件，必须是在同圆或等圆中，相等 的圆心角所对的弧才相等，故错误；③根据弧、弦、 圆心角之间的关系定理，可知在等圆中，若圆心角相 等，则所对的弦相等，若圆心角不等，则所对的弦也 不等，故正确．
总结
知2－讲
本题考查了对弧、弦、圆心角之间的关系的理解，对于 圆中的一些易混易错结论应结合图形来解答．特别要注 意：看是否有“在同圆或等圆中”这个前提条件．
知2－练
1 下面四个图形中的角，是圆心角的是( D )
知2－练
2 如图，AB为⊙O的弦，∠A＝40°，则A︵B所对的 圆心角等于( C ) A．40° B．80° C．100° D．120°
北师大版九年级数学下册《圆——圆周角和圆心角的关系》教学PPT课件(6篇)
D
O2
O1
E
B
F
新知探究
【跟踪训练】
1.圆内接四边形ABCD中，∠A, ∠B, ∠C的度数之比是
135°
1：2：3，则这个四边形最大角的度数是_________.
D
A
2.四边形ABCD内接于圆，AD∥BC，AB+CD=AD+BC ,
25
若AD=4，BC=6，则四边形ABCD的面积为_______.
A
A
O
O
BB
C
C
课堂小测
3. 如图，点B，C在⊙O上，且BO=BC，则圆周角∠BAC等于（ D ）
A
A.60°
B.50°
C.40°
D.30°
O
B
C
课堂小测
4 . 如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E.若
∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（ A）
A.30°
B.40°
C.50°
B
D.60°
D
C
OC垂直平分AD
(1)OC与AD的位置关系是__________________;
A
平行
(2)OC与BD的位置关系是___________;
4
(3)若OC=2cm,则BD=______cm.
O1
O
B
新知探究
4.如图,△ABC的顶点均在⊙O上, AB=4, ∠C=30°,求⊙O的直径.
解：连接AO并延长交⊙O于点E，
3 . 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆
心角∠AOC的大小关系会怎样?
提示:能否也转化为1的情况?
A
C
过点B作直径BD.由1可得:
九年级数学下册第3章圆阶段专题复习课件湘教版
考点 1 圆的对称性及其应用 【知识点睛】 1.圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是对称轴. (1)在①直径垂直于弦；②直径平分弦；③直径平分弦所对的 弧中，利用其中任意两个，可以推出第三个. (2)圆的轴对称性是计算线段长度、证明线段相等的重要依据， 同时也是证明弧相等的依据.
2.圆是旋转对称图形.特别地，圆是中心对称图形，圆心是对 称中心. (1)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有 一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等. (2)圆的中心对称性是推理角相等的重要依据.
FD AD
FG FB DF 6 2 3 3 3.
AD
4
3.(2013·咸宁中考)如图，在Rt△AOB 中，OA OB 3 2，⊙O的半径为1，点P是 AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线 PQ(点Q为切点)，则切线长PQ的最小值 为________. 【解析】连结OQ，OP，当OP⊥AB时，点P离⊙O最近，切 线PQ的值最小.∵OA=OB，∴∠A=45°，∴OP=OAsin 45°=3，
⑦_l___1n_8_0r_; ⑧_S___n3_6_r02_，__S___12_r_l ; ⑨_S_侧_=_π__r_l_,_S_全_=_π__r_l+_π__r_2_; ⑩_物__体__在__太__阳__光__线__下__的__投__影__; ⑪_物__体__在__从__一__点__发__出__的__光__线__下__的__投__影__; ⑫_左__视__图__在__主__视__图__的__右__边__,_俯__视__图__在__主__视__图_的__正__下__方___; ⑬_主__、__俯__长__对__正__,_主__、__左__高__平__齐__,_左__、__俯_宽__相__等___.
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第3章复习2┃ 考点攻略
[解析] 先由勾股定理求出AB，再利用相似求出BC.只要证明OD⊥DE就能说 明ED与⊙O相切，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到等边转化为等 角，进而算出∠ODE是直角．
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第3章复习2┃ 考点攻略
解：(1)∵AB 是直径，∴∠ADB＝90°. ∵AD＝3，BD＝4，∴AB＝5. ∵∠CDB＝∠ABC，∠A＝∠A， ∴△ADB∽△ABC， ∴AADB＝DBCB，即53＝B4C，∴BC＝230. (2)证明：连接 OD，在 Rt△BDC 中， ∵E 是 BC 的中点，∴CE＝DE，∴∠C＝∠CDE. 又 OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，
第3章复习2┃ 考点攻略 [解析] 由同弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍，得∠O＝2∠B＝44°，
又因为AB∥CO，所以∠A＝∠O＝44°.
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第3章复习2┃ 考点攻略
方法技巧 圆周角定理建立了圆心角与圆周角之间的关系，因此，最终实 现了圆中的角(圆心角和圆周角)的转化，从而为研究圆的性质提供 了有力的工具和方法．当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周 角是解决问题的重要思路．在证明有关问题中注意 90°的圆周角的 构造．
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第3章复习2┃ 考点攻略
方法技巧 过不在同一条直线上的三个点作圆时，只需由两条线段的垂 直平分线确定圆心即可，没有必要作出第三条线段的垂直平分 线．事实上，三条垂直平分线交于同一点．
第3章复习2┃ 考点攻略
► 考点二 垂径定理及其推论 例2 如图X3－5，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于D点，
第3章复习2┃ 考点攻略
解：(1)证明：连接 BD， ∵AB 为直径，∠ABC＝90°，∴BE 切⊙O 于点 B. 又因为 DE 切⊙O 于点 D，所以 DE＝BE， ∴∠EBD＝∠EDB. ∵∠ADB＝90°， ∴∠EBD＋∠C＝90°，∠BDE＋∠CDE＝90°， ∴∠C＝∠EDC，∴DE＝CE，∴DE＝12BC. (2)因为 DE＝2，DE＝12BC，所以 BC＝4.
相离
相切
图 形
公共
点个数
0
数量 关系
d>r
1 d＝r
相交
2 d<r
第3章复习2┃ 知识归类
[易错点] 将圆心到直线上某一点的距离看成是圆心到直线 的距离．
9．圆的切线的性质及判定 性质：圆的切线垂直于经过切点的半径． 判定：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆 的切线． 10．三角形的内切圆
► 考点九 圆的切线性质
例 9 如图 X3－10，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，以 AB 为 直径的⊙O 交 AC 于点 D，过点 D 的切线交 BC 于 E.
(1)求证：DE＝12BC； (2)若 tanC＝ 25，DE＝2，求 AD 的长．
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[解析] 连接BD，则在Rt△BCD中，BE＝DE，利用角的互余证明∠C＝∠EDC. 数学·新课标（BS）
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第3章复习2┃ 考点攻略
第三章 圆
1．确定圆的要素 圆心确定其位置，半径确定其大小．只有圆心没有半径， 虽圆的位置固定，但大小不定，因而圆不确定；只有半径而没 有圆心，虽圆的大小固定，但圆心的位置不定，因而圆也不确 定；只有圆心和半径都固定，圆才被唯一确定． 2．点与圆的位置关系 (1)点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在 圆内．
┃考点攻略┃
► 考点一 确定圆的条件 例1 如下图X3－4，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过
A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( B ) A．点P B．点Q C．点R D．点M
第3章复习2┃ 考点攻略
[解析] B 圆心既在AB的中垂线上又在BC的中垂线上，由图可以看出圆心应 该是点Q.
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第3章复习2┃ 考点攻略 ► 考点四 圆心角与圆周角
例4 如图X3－7，点A，B，C在⊙O上，AB∥CO，∠B＝22°，则∠A＝
________°.
44
怎样
?解答
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第3章复习2┃ 考点攻略
► 考点五 与圆有关的开放性问题 例5 如图X3－8，在边长为2的圆内接正方形ABCD中，
且AB＝6 cm，OD＝4 cm，则DC的长为( D ) A．5 cm B．2.5 cm C．2 cm D．1 cm
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第3章复习2┃ 考点攻略
[解析] D 连接AO，因为OC⊥AB，所以AD＝BD＝3 cm，因 为OD＝4 cm，在直角三角形ADO中，由勾股定理可以得到AO＝5 cm，所以OC＝5 cm，所以DC＝1 cm.
第3章复习2┃ 知识归类
(2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的弧．
4．圆的旋转不变性 (1)中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心为 圆心 .
(2)探究圆中角的一些性质
定理1：在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的 弧相等，所对的弦相等．
定理2：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、 两条弦 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相
等．
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5．圆周角与圆心角的关系
(1)圆周角的定义：顶点在圆上，且角的两边还与圆相交的角 叫做圆周角．
[注意] 圆周角有两个特征：角的顶点在圆上，两边在圆内的 部分是圆的两条弦．
(2)圆周角与圆心角的关系：一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半 .
(3)圆周角的性质
性质：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等 .
第3章复习2┃ 知识归类
直径所对的圆周角是 直角 ；90°的圆周角所对的弦 是 直径 .
[注意] “同弧”指“在一个圆中的同一段弧”；“等弧”指 “在同圆或等圆中相等的弧”；“同弧或等弧”不能改为“同 弦或等弦”．
6．确定圆的条件 不在同一直线上的三个点确定一个圆． 7．三角形的外接圆
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第3章复习2┃ 考点攻略
解：(1)45
(2)△ACP∽△DEP.
理由：∵∠AED＝∠ACD，∠APC＝∠DPE，
∴△ACP∽△DEP.
(3)∵△ACP∽△DEP，∴ADPP＝ADCE.
又 AP＝ AD2＋DP2＝ 5，
AC＝ AD2＋DC2＝2 2，
∴DE＝2
10 5.
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[解析] 两段弧长的和是以 2 cm 为半径的半圆的弧长．即12 ×2×π×2＝2π.
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► 考点八 计算弧长
例8 如图X3－9，已知正方形的边长为2 cm，以对角的两 个顶点为圆心，2 cm长为半径画弧，则所得到的两条弧长度之 和为__2_π_____cm(结果保留π)．
AC是对角线，P为边CD的中点，延长AP交圆于点E. (1)∠E＝________度； (2)写出图中现有的一对不全等的相似三角形，并说明理由； (3)求弦DE的长．
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[解析] (1)由题目可知∠E＝∠ACD，因为四边形 ABCD 是正方
形，所以∠ACD＝45°，所以∠E＝∠ACD＝45°.
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Hale Waihona Puke 3章复习2┃ 知识归类和三角形三边都相切的圆可以作出一个，并
且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆，
内切圆的圆心是三角形角平分线的交点，叫做
三角形的
.内心
[注意] 对一个确定的三角形来说，其内切圆 有且只有一个，其内心也有且只有一个：内心 就是内切圆的圆心．
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又∵∠OBD＋∠DBC＝90°，∠C＋∠DBC＝90°， ∴∠C＝∠OBD，∴∠BDO＝∠CDE. ∵AB 是直径，∴∠ADB＝90°， ∴∠BDC＝90°，即∠BDE＋∠CDE＝90°， ∴∠BDE＋∠BDO＝90°，即∠ODE＝90°， ∴ED 与⊙O 相切．
(2)当对应角相等的时候，两个三角形相似，由圆的性质可知∠E
＝∠ACD，∠EDP＝∠CAP，所以△ACP∽△DEP.
(3)因为△ACP∽△DEP，所以ADPP＝ADCE，因为 P 是 CD 的中点，
所以 CP＝DP＝21CD＝1，由勾股定理分别求出 AP＝ 5，AC＝2 2，
代入比例式算出
DE＝2
10 5.
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在 Rt△ABC 中，tanC＝ABCB， 所以 AB＝BC·25＝2 5. 在 Rt△ABC 中， AC＝ AB2＋BC2＝ 2 52＋42＝6. 又因为△ABD∽△ACB， 所以AADB＝AACB，即2AD5＝2 6 5， 所以 AD＝130.
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[注意] (1)两圆内含时，若 d 为 0，则两圆为同心圆． (2)由两圆构成的图形都是轴对称图形，其对称轴是两圆的圆 心所在的直线． 12．弧长及扇形的面积公式 (1)弧长公式
nπR 半径为 R 的圆中，n°的圆心角所对的弧长 l＝ 180 . (2)扇形的面积公式 半径为 R，圆心角是 n°的扇形面积是 S 扇形＝3n60πR2；
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方法技巧 (1)垂径定理是根据圆的对称性推导出来的，该定理及其推论是 证明线段相等、垂直关系、弧相等的重要依据．利用垂径定理常作 “垂直于弦的直径”辅助线(往往又只是作圆心到弦的垂线段，如本 例)；(2)垂径定理常与勾股定理结合在一起，进行有关圆的半径、圆 心到弦的距离、弦长等数量的计算．这些量之间的关系是 r2＝d2＋a2 2(其中 r 为圆半径，d 为圆心到弦的距离，a 为弦长)．
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[解析] 先由勾股定理求出AB，再利用相似求出BC.只要证明OD⊥DE就能说 明ED与⊙O相切，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到等边转化为等 角，进而算出∠ODE是直角．
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解：(1)∵AB 是直径，∴∠ADB＝90°. ∵AD＝3，BD＝4，∴AB＝5. ∵∠CDB＝∠ABC，∠A＝∠A， ∴△ADB∽△ABC， ∴AADB＝DBCB，即53＝B4C，∴BC＝230. (2)证明：连接 OD，在 Rt△BDC 中， ∵E 是 BC 的中点，∴CE＝DE，∴∠C＝∠CDE. 又 OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，
第3章复习2┃ 考点攻略 [解析] 由同弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍，得∠O＝2∠B＝44°，
又因为AB∥CO，所以∠A＝∠O＝44°.
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方法技巧 圆周角定理建立了圆心角与圆周角之间的关系，因此，最终实 现了圆中的角(圆心角和圆周角)的转化，从而为研究圆的性质提供 了有力的工具和方法．当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周 角是解决问题的重要思路．在证明有关问题中注意 90°的圆周角的 构造．
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方法技巧 过不在同一条直线上的三个点作圆时，只需由两条线段的垂 直平分线确定圆心即可，没有必要作出第三条线段的垂直平分 线．事实上，三条垂直平分线交于同一点．
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► 考点二 垂径定理及其推论 例2 如图X3－5，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于D点，
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解：(1)证明：连接 BD， ∵AB 为直径，∠ABC＝90°，∴BE 切⊙O 于点 B. 又因为 DE 切⊙O 于点 D，所以 DE＝BE， ∴∠EBD＝∠EDB. ∵∠ADB＝90°， ∴∠EBD＋∠C＝90°，∠BDE＋∠CDE＝90°， ∴∠C＝∠EDC，∴DE＝CE，∴DE＝12BC. (2)因为 DE＝2，DE＝12BC，所以 BC＝4.
相离
相切
图 形
公共
点个数
0
数量 关系
d>r
1 d＝r
相交
2 d<r
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[易错点] 将圆心到直线上某一点的距离看成是圆心到直线 的距离．
9．圆的切线的性质及判定 性质：圆的切线垂直于经过切点的半径． 判定：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆 的切线． 10．三角形的内切圆
► 考点九 圆的切线性质
例 9 如图 X3－10，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，以 AB 为 直径的⊙O 交 AC 于点 D，过点 D 的切线交 BC 于 E.
(1)求证：DE＝12BC； (2)若 tanC＝ 25，DE＝2，求 AD 的长．
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[解析] 连接BD，则在Rt△BCD中，BE＝DE，利用角的互余证明∠C＝∠EDC. 数学·新课标（BS）
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第三章 圆
1．确定圆的要素 圆心确定其位置，半径确定其大小．只有圆心没有半径， 虽圆的位置固定，但大小不定，因而圆不确定；只有半径而没 有圆心，虽圆的大小固定，但圆心的位置不定，因而圆也不确 定；只有圆心和半径都固定，圆才被唯一确定． 2．点与圆的位置关系 (1)点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在 圆内．
┃考点攻略┃
► 考点一 确定圆的条件 例1 如下图X3－4，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过
A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( B ) A．点P B．点Q C．点R D．点M
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[解析] B 圆心既在AB的中垂线上又在BC的中垂线上，由图可以看出圆心应 该是点Q.
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第3章复习2┃ 考点攻略 ► 考点四 圆心角与圆周角
例4 如图X3－7，点A，B，C在⊙O上，AB∥CO，∠B＝22°，则∠A＝
________°.
44
怎样
?解答
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► 考点五 与圆有关的开放性问题 例5 如图X3－8，在边长为2的圆内接正方形ABCD中，
且AB＝6 cm，OD＝4 cm，则DC的长为( D ) A．5 cm B．2.5 cm C．2 cm D．1 cm
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[解析] D 连接AO，因为OC⊥AB，所以AD＝BD＝3 cm，因 为OD＝4 cm，在直角三角形ADO中，由勾股定理可以得到AO＝5 cm，所以OC＝5 cm，所以DC＝1 cm.
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(2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的弧．
4．圆的旋转不变性 (1)中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心为 圆心 .
(2)探究圆中角的一些性质
定理1：在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的 弧相等，所对的弦相等．
定理2：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、 两条弦 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相
等．
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5．圆周角与圆心角的关系
(1)圆周角的定义：顶点在圆上，且角的两边还与圆相交的角 叫做圆周角．
[注意] 圆周角有两个特征：角的顶点在圆上，两边在圆内的 部分是圆的两条弦．
(2)圆周角与圆心角的关系：一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半 .
(3)圆周角的性质
性质：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等 .
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直径所对的圆周角是 直角 ；90°的圆周角所对的弦 是 直径 .
[注意] “同弧”指“在一个圆中的同一段弧”；“等弧”指 “在同圆或等圆中相等的弧”；“同弧或等弧”不能改为“同 弦或等弦”．
6．确定圆的条件 不在同一直线上的三个点确定一个圆． 7．三角形的外接圆
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解：(1)45
(2)△ACP∽△DEP.
理由：∵∠AED＝∠ACD，∠APC＝∠DPE，
∴△ACP∽△DEP.
(3)∵△ACP∽△DEP，∴ADPP＝ADCE.
又 AP＝ AD2＋DP2＝ 5，
AC＝ AD2＋DC2＝2 2，
∴DE＝2
10 5.
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[解析] 两段弧长的和是以 2 cm 为半径的半圆的弧长．即12 ×2×π×2＝2π.
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► 考点八 计算弧长
例8 如图X3－9，已知正方形的边长为2 cm，以对角的两 个顶点为圆心，2 cm长为半径画弧，则所得到的两条弧长度之 和为__2_π_____cm(结果保留π)．
AC是对角线，P为边CD的中点，延长AP交圆于点E. (1)∠E＝________度； (2)写出图中现有的一对不全等的相似三角形，并说明理由； (3)求弦DE的长．
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[解析] (1)由题目可知∠E＝∠ACD，因为四边形 ABCD 是正方
形，所以∠ACD＝45°，所以∠E＝∠ACD＝45°.
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且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆，
内切圆的圆心是三角形角平分线的交点，叫做
三角形的
.内心
[注意] 对一个确定的三角形来说，其内切圆 有且只有一个，其内心也有且只有一个：内心 就是内切圆的圆心．
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又∵∠OBD＋∠DBC＝90°，∠C＋∠DBC＝90°， ∴∠C＝∠OBD，∴∠BDO＝∠CDE. ∵AB 是直径，∴∠ADB＝90°， ∴∠BDC＝90°，即∠BDE＋∠CDE＝90°， ∴∠BDE＋∠BDO＝90°，即∠ODE＝90°， ∴ED 与⊙O 相切．
(2)当对应角相等的时候，两个三角形相似，由圆的性质可知∠E
＝∠ACD，∠EDP＝∠CAP，所以△ACP∽△DEP.
(3)因为△ACP∽△DEP，所以ADPP＝ADCE，因为 P 是 CD 的中点，
所以 CP＝DP＝21CD＝1，由勾股定理分别求出 AP＝ 5，AC＝2 2，
代入比例式算出
DE＝2
10 5.
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在 Rt△ABC 中，tanC＝ABCB， 所以 AB＝BC·25＝2 5. 在 Rt△ABC 中， AC＝ AB2＋BC2＝ 2 52＋42＝6. 又因为△ABD∽△ACB， 所以AADB＝AACB，即2AD5＝2 6 5， 所以 AD＝130.
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[注意] (1)两圆内含时，若 d 为 0，则两圆为同心圆． (2)由两圆构成的图形都是轴对称图形，其对称轴是两圆的圆 心所在的直线． 12．弧长及扇形的面积公式 (1)弧长公式
nπR 半径为 R 的圆中，n°的圆心角所对的弧长 l＝ 180 . (2)扇形的面积公式 半径为 R，圆心角是 n°的扇形面积是 S 扇形＝3n60πR2；
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方法技巧 (1)垂径定理是根据圆的对称性推导出来的，该定理及其推论是 证明线段相等、垂直关系、弧相等的重要依据．利用垂径定理常作 “垂直于弦的直径”辅助线(往往又只是作圆心到弦的垂线段，如本 例)；(2)垂径定理常与勾股定理结合在一起，进行有关圆的半径、圆 心到弦的距离、弦长等数量的计算．这些量之间的关系是 r2＝d2＋a2 2(其中 r 为圆半径，d 为圆心到弦的距离，a 为弦长)．