不等式的性质(导学案)

不等式的性质

1、知识与技能：（1）理解不等式的基本性质及证明不等式的逻辑推理方法；

（2）掌握不等式的性质在实际生活中的应用.

2、过程与方法：以实例引入知识内容，提升学生的求知欲；抓住解不等式的知识载体， 复习与新知识学习相结合；加强知识的巩固与练习，

3、情感、态度、价值观：体会不等式在实际生活中的重要地位和应用；培养学生的数 学思维能力和计算技能．

知识回顾：

1. 判断两个实数大小的充要条件是：

>-⇔>b a b a 0=-⇔=b a b a

0<-⇔

作差——变形——判断符号.

二、新课导学

※ 学习探究

探究任务：

测量三个人的身高，发现小李比小王高，小王比小张高，那么肯定能够得到“小李比小张”的结论.

新知：

性质1 如果a b >，且b c >，那么a c >．

证明 ∵-0a b a b >⇒>，-0b c b c >⇒>

∴()()-=-+-0a c a b b c >

∴a c >

说明：性质1叫做不等式的传递性.

性质2 如果a b >，那么a c b c +>+．

说明：（1）性质2叫做不等式的加法性质，它表明，不等式的两边加（或减）同一个数，不等号的方向不变.

如下图所示，在天平两边的托盘里同时加上质量为c 的砝码，天平的倾斜方向不变.

（2）利用性质2，可以由+a b c >得到-a c b >，这表明对不等式可以移项．

性质3 如果a b >，0c >，那么ac bc >；

如果a b >，0c <，那么ac bc <．

说明：性质3叫做不等式的乘法法性质，它表明，不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.

※ 知识巩固

例3 选用适当的符号（“>”或“<”）填空，并说出应用了不等式的哪条性质．

（1）设a b >，3a - 3b -；

（2）设a b >，6a 6b ；

（3）设a b <，4a - 4b -；

（4）设a b <，52a - 52b -．

解 （1）3a ->3b -，应用不等式性质2；

（2）设6a >6b ，应用不等式性质3；

（3）设4a ->4b -，应用不等式性质3；

（4）52a ->52b -，应用不等式性质2

与性质3．

例4 已知0a b >>，0c d >>，求证ac bd >．

证明 因为,0a b c >>，

由不等式的性质3知，ac bc >，

同理由于,0c d b >>，故bc bd >

因此，由不等式的性质1知 ac bd >

想一想：能否利用求差的方法来证明例2的结论呢？此结论可做为不等式的一条性 质.

例5 服装市场按每套90元的价格购进40套童装，应缴纳的税费为销售额的10%，如果要获得不低于900元的纯利润，每套童装的售价至少是多少？

解 设每套童装的售价至少是x 元，则

()40-90-4010%900x x ⋅⋅≥

解得 125x ≥

答：每套童装的售价至少是125元.

*例6 甲、乙两个商店以同样的价格出售同一种商品，但推出不同的促销方案.在甲商店累计购买此种商品满100元，再购买的商品按原价的90%收费，在乙商店累计购买此种商品满200元，再购买的商品按原价的85%收费，问顾客累计购买此种商品多少元时，在甲商店能获得更大的实惠.

解 设顾客累计购买此种商品低于x 元时，在

甲商店能获得更大的实惠，则

()()100+-1000.9<200+-2000.85x x ⨯⨯

整理后，得<400x

答：顾客累计购物高于100元且低于400元时，在甲商店能获得更大的实惠.

※ 强化练习（教材练习2.1.2）

１．选用适当的数填空：

（1）设36x >，则x > ；

（2）设151x -<-，则x > ．

２. 已知a b >，c d >，求证a c b d +>+．

※ 动手试试

1. 用符合“>”或“<”填空：设a b <，

则 2a + 2b +； 1a - 1b -；

1a - 1b +； 2a 2b ；

2a - 2b -； 31a - 31b -．

2. 填空：

（1）设27x -<，则x < ；

（2）设53x +<-，则x < ；

（3）设5123

x ->，则x < ； （4）设237x -<，则x < .

三、总结提升

※ 学习小结

（1）本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？

（2）通过本次课的学习，在学习方法上有哪些体会？会解决哪些问题？

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）：

1. 选用适当的符号（“>”或“<”）填空：

（1）设a b >，3a + 3b -；

（2）设a b >， 1.5a - 1.5b -；

（3）设a b <，4a - 4b -；

（4）设a b <，32a + 32b +；

（5）设a b <，32a - 32b -．

2. 填空：

（1）设21x +<-，则x < ；

（2）设23x ->-，则x > ；

（3）设3122

x -<，则x > ； （4）设231x +<-，则x < ；

（5）设123x -<，则x > .

（教材习题2.1） 1. 解下列各不等式并指出应用了哪些不等式的性质：

（1）233274

x x -+≥； （2）()24331x x ->-．

2. 当x 为何值时，代数式53x -的值与代数式272

x -的值之差不小于2.

3. 橘子的进价是1元，销售中估计有5%的损耗，商家至少要把价格定为多少，才能避免亏本？