第6章：双变量线性回归模型的延伸

ln Yi = α + β 2 ln X i + ui
其中 α = ln β1 这样即把指数模型变换为对数线性(双对数 模型。 双对数)模型 这样即把指数模型变换为对数线性 双对数 模型。
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上式中， 上式中，由于
d ln Yi X i dYi β1 = = d ln X i Yi dX i
1 1 2 1
rXY = rX *Y *
不难看出,当 和 按同一标准减缩或扩大 按同一标准减缩或扩大w 不难看出 当X和Y按同一标准减缩或扩大 1= w2, 估计的斜率无变化， 但截距变化,方差变化 方差变化.当 估计的斜率无变化 ， 但截距变化 方差变化 当 w1≠ w2时, 估计的斜率和截距均有变化 但由于 估计的斜率和截距均有变化.但由于 这种变换仅仅将数据扩大或减缩,所以估计量的 这种变换仅仅将数据扩大或减缩 所以估计量的 性质不发生改变. 性质不发生改变 一般而言， 一般而言，在实际应用中对于所拥有的数据一 般不改变度量单位， 般不改变度量单位，回归结果按原始数据的测 度单位进行解释. 度单位进行解释
弹性
一个变量Y ( 如需求量 ) 对另一变量 ( 如价格 ) X 的弹性定义： Y的%变化 ( ∆Y Y ) ×100 ∆Y X X E= = = × = ( 斜率 ) × X 的%变化 ( ∆X X ) ×100 ∆X Y Y
ˆ 过原点模型：Yi = β 2 X i + ui，利用OLS，得出： ˆ = ∑ X iYi β2 X i2 ∑ ˆ )= σ var( β 2
2
X i2 ∑
2 2 i
ˆ σ2 =
ˆ2 ∑u n −1 u2 ∑ˆ n−2
而含有截距项的模型得出的估计是： ˆ β2 =
∑ xi yi ∑x
2 i
ˆ )= σ var( β 2
2
9
例子:CAPM.用Afuture基金年回报率作为期望风险溢价即
( ERi − r f ) ＝Y，用Fisher指数度量市场期望溢价即年回报
率（解释变量X），而 β i 则作为待估参数，于是模型为 于是模型为
Yt = β1 X t + ut Yt = β 0 + β1 X t + ut
其估计分别为
对于模型：Yi = β1 + β 2 X i + ui
β 2为斜率系数，即变化率。它的单位就是如下
比率的单位： 因变量Yi的单位 解释变量X i的单位 斜率系数的解释：解释变量X i 每改变一个单位， 因变量Yi 会随之平均改变β 2个单位。
标准化变量的回归
模型： Yi = β1 + β 2 X i + ui 对变量进行标准化： Yi − Y Yi = SY
第6章 双变量线性回归模型的延伸 章
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在前面的内容中，我们所讲授的模型，对变 量和参数而言，均为线性，本章将弱化这种 设定。
6.1 过原点回归
1.对于模型 对于模型
Yi = β1 X i + ui
截距不出现在模型中,故称为过原点回归。 截距不出现在模型中 故称为过原点回归。其图形为 故称为过原点回归 Yi ^ ^
∑x
ˆ σ2 =
通过比较可以看出，过原点回归得出的估计参数是 原始数据的交叉相乘之和与原始数据的平方和之比， 而含截距模型的参数估计则为离差平方和或离差交叉 乘积的比。
过原点模型的特点：
第一：对有截距项的模型来说， u2 = 0总是成立的。 ∑ˆ ˆ 但过原点模型中的∑u2却不一定等于0. 第二：对有截距项的模型来说，R = 0总是非负的。
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The t-value shows that α is statistically insignificant different from zero
对于无截距模型的估计结果Yt = 1.089X t , 表明市场回 报率每增加一个单位, Afuture基金的期望回报率增加 1.1个单位, 且市场表现为进攻型( β > 1)。 而对于含截距的模型(6.4)的估计结果, 首先应检验 H 0：α = 0 H1：α ≠ 0，运用前述t检验 ˆ α − 0 1.278 − 0 = = 0.17 t= ˆ se(α ) 7.69 这一数值落入接受域(不显著), 所以不拒绝原假设, 或接受 原假设即α 在统计上与0不显著。
这 一 结 论 表 明 ， Afuture 基 金 符 合 CAPM 理 论 ， 因 此 模 型 不 应 含 截 距 项 。 另 一 方 面 ， β 的 估 计 为1.069 ， 与 无 截 距 模 型 的1.089 有 差 异，形成这种差异的原因为设定误差，即包含了不应包含的截距 项 导 致 了 设 定 误 差 ， 表 现 为 β 的 估 计 不 一 致 。 这 里 ， 由 于 CAPM 能 用 于 解 释 Afuture 基 金 ， 所 以 应 基 于 无 截 距 模 型 解 释 回 归 结 果 。
几点说明
1 除非有非常强的先验性预期，否则还是采 取含有截距项的模型为好 检验截距项是否为0 若不含截距项，则容易犯设定的错误
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尺度与测量单位
问题：对于 和 的数据 同时改变测度单位， 的数据， 问题：对于X和Y的数据，同时改变测度单位，对 参数估计会产生什么影响？ 如投资GDPI（＝ ） （＝X） 参数估计会产生什么影响？ 如投资 （＝ （＝Y）的关系， 原为10亿的度量 与GNP（＝ ）的关系，将X和Y原为 亿的度量 （＝ 和 原为 单位减缩为百万，或者将X的度量单位减缩为千万 的度量单位减缩为千万， 单位减缩为百万，或者将 的度量单位减缩为千万， Y的度量单位减缩为百万，这种改变对于回归参数 的度量单位减缩为百万， 的度量单位减缩为百万 的估计产生何种影响？这一问题可表述为： 的估计产生何种影响？这一问题可表述为： X*＝w1X Y*＝w2Y
β 2∗的解释：若（标准化）回归元 X i∗增加一个单位标准差
则（标准化）回归子 Yi ∗会平均增加 β 2∗单 位 个标准差 。 注意区别：不在采用 Y 和 X 的单位，而是用标 准差为单位。
标准化回归模型的优点：
在多元回归中，将回归元X进行标准化，我们就能将 它们放在同等地位并直接比较它们对Y的解释能力。 若一个标准化回归元的系数比模型中另一个标准化回 归元的系数大，那么前者就能比后者更多地解释Y。 β 即将 作为各个回归元相对解释力的一个度量。 注：将在后面章节中来研究这个问题。
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回归模型的函数形式
1 2 3 4
对数线性模型 半对数模型 倒数模型 对数倒数模型
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1、对数线性模型 ：弹性测量
考虑指数回归模型
Yi = β1 X i e
取对数，有 取对数，
β 2 ui
ln Yi = ln β1 + β 2 ln X i + ui
对于使用X和 的原始数据的模型 对于使用 和Y的原始数据的模型 Y=α+βΧ+ α+βΧ+U α+βΧ+
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和使用数据X 和使用数据 *和Y*的模型 α∗+β Y*=α∗+β∗Χ∗+ U* 估计的参数(α α∗之间,β和 之间有什么关系 之间,β 之间有什么关系. 估计的参数 α和α∗之间,β和β∗)之间有什么关系
∗
Xi − X X = SX
∗ i
标准化变量进行回归：
∗ Yi ∗ = β1∗ + β 2∗ X i∗ + ui∗ = β 2 X i∗ + ui∗ ˆ ˆ 由于 β ∗ = Y ∗ − β ∗ X ∗，而 Y ∗ = 0， X ∗ = 0 1 i 2 i i i
ˆ 所以，截距项总是为 β1∗ = 0.
改变测量单位对OLS统计量的影响
对于模型：Yi = β 0 + β1 X i + ui 1、当w1 =w2即尺度因子相同时，斜率系数及其标准误的估计不变。 而截距项及其标准误会放大或缩小了w1倍。 2、X i的单位不变（w2 = 1 ），而Yi 尺度按因子w1改变，则截距项和 斜率系数及其各自的标准误都会乘以相同的w1因子。 3、Yi的单位不变（w1 = 1 ），X i 尺度按因子w2改变，则斜率系数及 其标准误要乘以因子 1 ，但是截距项及其标准误的估计不 w 2 会变化，一般而言，只改变自变量的测量单位不会影响 截距项的估计。 4 注意：模型的拟合优度R 2不会依赖于变量的测量单位。也就 是说，R 2不会因Yi 和X i的单位变化而改变。
所以表示变量之间的不变弹性(假定样本期不变 所以表示变量之间的不变弹性 假定样本期不变, 假定样本期不变 或者说任一点的弹性不变)即 每变动 每变动1%,Y所变 或者说任一点的弹性不变 即X每变动 所变 化的%比变化 比变化。 化的 比变化。对（6.10）运用 ）运用OLS，即可得到 ， ˆ 其估计。要注意的是， α , ˆ 分别为α 其估计。要注意的是，尽管 β 2 分别为α和β的 ˆ ˆ ˆ 无偏估计，但在上式 α 上式中 由 ˆ 无偏估计，但在上式中,由= ln β1 ⇒ β1 = ln −1 α β 无偏估计。 不是的 1 无偏估计。
SRF : Y i = β X i 2
β2
^
1
0
Xi
这一类模型有着特殊的用途。例子：考虑现代组合证券理论 中的资产定价模型CAPM，即 (ERi − rf ) = βi (ERm − rf ) 其中，ERi：第i种证券的期望回报率; ERm：市场组合证券的期望回报率, rf ：无风险回报率
βi：为β系数, 度量不能通过分散化而消除的系统风险
y: Return on A Future Fund, % X: Return on Fisher Index, %
H0 : α = 0 1.279 - 0 7.668
^ = 1.2797 + 1.0691X Y
(0.166) (4.486)
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N=10 R2=0.715 SEE=20.69
亦可度量第i种证券回报率与市场互动程度, 于是大 于1的βi意味着高波动性或进功性的证券, 小于1的βi 则意味着一种防御型证券
如果资本市场在有效运作，则CAPM要求：证券i的期望 风险溢价即( ERi − rf )等于期望的市场风险溢价( ERm − rf )乘以 该证券的βi系数。但是β i为回归中的解释变量, 所要估计的参 数为( ERm − rf )。 由( ERi − rf ) = β i ( ERm − rf )得出 ERi = rf + β i ( ERm − rf ) 含义：市场均衡时，股票i的期望回报率等于无风险利率加上 风险溢价。 风险溢价 = 风险量 ( β i ) × 风险价格( ERm − rf ) ( ERi − rf ) ( ER j − rf )
βi
回报率都相同。
=
βj
含义：均衡时，所有股票每承担一单位的风险，市场给予的期望
为检验CAPM，将上式表达为 (ERi − rf ) = βi (ERm − rf ) + ui 或者 (ERi − rf ) = αi + βi (ERm − rf ) + ui
（6.3） （6.4）
其中变量为(ERi − rf )和βi，待估参数为(ERm − rf )，运用回归分析 即可估计模型( 6.3) 或( 6.4)，基于( 6.4)的估计，可以检验αi = 0。
ˆ β* = ( xi* ) 2 ∑ xi* yi* ∑
∑w x w y = ∑ (w x )
1 i 2 2 1 1
i
=
w1w2 ∑ xi yi w12 ∑ x12
ˆ = ( w2 / w1 ) β
同理,有 同理 有
ˆ ˆ α * = w1α
ˆ ˆ (σ * ) 2 = w12σ 2 ˆ var(α * ) = w12 var(α ) ˆ ˆ var( β * ) = ( w / w ) 2 var( β )
2
但过原点模型中的R 却可能会出现负数。
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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过原点回归的R
过原点模型的R 2 R =
2
2
X i2 ∑ Yi 2 ∑
( X iYi ) 2 ∑
不难看出，也为原始数据的平方和组成。 注：不能直接和之前的R 2 进行比较， 一般而言，不报告过原点模型的R
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