理论力学---第七章复合运动 (2)

*定参考坐标系（定系）
通常将固定在地球上的坐标系称为定参 考系。
2.三种运动
绝对运动：动点相对定系的运动 相对运动：动点相对动系的运动 牵连运动：动系相对定系的运动
}
点的运动
刚体的运动
3 牵连点和三种速度
*绝对速度：动点相对定系的速度; *相对速度：动点相对动系的速度; *牵连速度：动系中与动点重合之点（牵连点） 相对定系的速度.
r a r1 e 1 e1
vr’
va’
ve’
x
因为牵连运动为平动，所以有：
v r1 v r

即
va ' va ve1 ve vr ' vr1 lim lim lim t 0 t 0 t 0 t t t
y
ve1 ve '
ve va sin
va rw sin
r 2w l 2 r2

o1
x
w1
ve
r 2w l 2 r2
2
O1 Aw1
2 r 2w l 2 r2
O1 A l r w1
解 题 步 骤
（1）、选定动点、动参考系和定参 考系。 （2）、分析三种运动和三种速度。 （3）、作出速度平行四边形。 （4）、利用速度平行四边形中的几 何关系解出未知数。
rl l 2 r 2
在图示平面机构中，半径 R=10cm 的 半 圆 凸 轮 与 曲 柄AB 及CD以铰链连接， AB=CD= 5cm，推杆EF可 在铅垂滑道K内滑动。设 曲 柄 AB 以 匀 角 速 度 w=2rad/s 转 动 ， 在 图 示 f=60o 瞬时，推杆EF的端 点E恰与凸轮顶点接触。 试求此瞬时推杆上E点的 绝对速度和绝对加速度的 大小。
v0
M y´ x´
上，原点O´与地心重合，并使坐 标面O´ y´ z´ 与铁轨所在的子午 面重合，O´ z´轴与地轴重合。 2. 运动分析
绝对运动－ 空间曲线运动。
相对运动－ M点在子午面内以
O´ 为圆心、R为半径和速度为v0 的 匀速圆弧运动。
2 w 7.27 105 rad s 24 60 60
牵连运动－地球绕O´ z´轴的匀 角速转动。
3. 加速度分析
z´
aa：大小方向均未知；
v0 ae： ae ( R cos f )w 2 , 方向垂直
M
ae aC
x´
于O´z´轴，并指向此轴；
y´
ar
vr 2 v0 2 ar： r a ; 方向指向地心O。 R R
aC： aC 2w vr sin f 2w v0 sin f 方向指向沿M点纬度线的切线， 并且向西；
ve ' ve ve ' ve1 ve1 ve lim lim t 0 t 0 t t ve1 ' ve1 lim ae w vr ae t 0 t
a a ae a r ac
以AD杆上A点为动点，动 系固连于套筒上
例 火车M以等速v0 沿子午线自南往北行驶，如图所示。
为了考虑地球的自转，设定坐标系以地心为原点，坐标轴 分别指向恒星。地球的平均半径为R。求火车M在北纬φ度 处的绝对加速度。
z´
解：1. 选择动点与动系 动点－火车M 。
动系－O´ x´y´ z´
， 固结在地球
1 aa sin
在AX上投影：
n r
A
ae a rn R
a r

aa
a
v
x v2 v2 a cos actg 2 R sin R sin3
例2 已知曲柄转动的匀角速度为w, OAr,
OO =l, 求当OA处于水平时摇杆O1B的 加速度
例2已知：简谐运动机构的 求：图示位置T形槽的速度。
例3已知：凸轮顶杆机构中 求： 与水平成 角时顶杆的速度。
。
分析：不能再选接触点为动点， 选动系与顶杆固结，选C为动点。
如果 为任意瞬时的角度，则 任意瞬时顶杆之速度为
§7-3 加速度合成定理
由 自然想到
引例：半径为R的圆盘绕O以 作等角速 转动，点M沿其边缘相对圆盘以 反向等速运动，求M点的绝对加速度。
1
B
o
w
A

o1
w1
解：
va
动点：滑块A；
o
w ve
w1
vr
A
B
动系：摇杆O1B；
绝对运动：圆周运动；
相对运动：直线运动； 牵连运动：转动

o1
va ve vr
va rw 2 ve va tg r w / l
w1 ve / o1 A y
B
vr va cos
2
v0 2 v0 2 2 2w v0 sin f i1 ( Rw ) cos f j1 sin f k1 R R
2
据此，可进一步求得的大小和方向。
2

3
2
y
B
ac aa
ac
l
2w r l
2 3 2
r
2

3
2
w o
ar
A
aax aex arx acx
a
e
a

o1
n e
x
aa cos ae ac
a e


w1
x
rl l 2 r 2
l
2
r
2

3
2
w 2
ae w2 2 2 2 O1 A l r
第七章 点的复合运动
§7-1 基本概念 §7-3 速度合成定理 §7-4 加速度合成定理
§7-1 基本概念
点的复合运动实例
直升飞机
起重机
点的复合运动理论研究点相对不同参考坐标 系运动之间的关系 .
1.三个对象
*动点(实实在在的一个点) *动参考坐标系（动系）
通常将固连在相对于地球运动的参考体 上的坐标系称为动参考系。
在岸上观察，舰以角速度 w 作纵摇运动，飞机沿甲板飞行。问： 当飞机未飞出甲板时ve =？ 当飞机已飞出甲板时 ve =？
§7-2 速度合成定理
B
B
va
M
vr
ve
M1
M
A
A MM MM 1 M 1M
M 1M MM MM 1 lim lim lim t 0 t t 0 t t 0 t
M1 t+t
ve1 x
2.牵连运动为转动时的加速度合成定理
v a v r ve va ' vr ' ve '
va’ ve’ ve1
B (t+t) vr’
M’ vr1
M1 va vr
w
o
ve M
A (t)
va ' va ve ' ve vr ' vr lim lim lim t 0 t 0 t 0 t t t
应用加速度合成定理 z´
aa ae a r aC
v0
ae aC
x´
M
如以i，j和k分别表示沿坐标轴O´x´ ， O´y´ 和
O´z´的单位矢量，则M点的加速度aa可表示为
y´
ar
aa ae a r aC
v0 2 v0 2 R w cos f j1 ( cos f j1 sin f k1 ) R R 2w v0 sin i1
解题注意：
1、选取动点和动参考系后，应根据动参考系的运动 （平动还是转动），确定是否有科氏加速度。
2、点的加速度合成定理一般可写成如下形式：
n r n n a a a a ae ae a r a r ac
在图示平面机构中，杆AB在水平滑道 中匀速滑动，速度v = 10 m/s，长12 m 的杆AD穿过套筒，套筒可绕O轴转 动， h = 3 m。 试求图示 = 30°瞬 时： （1）套筒的角速度，角加速度； （2）杆AD的中点O的速度和加速度
其中
va’ ve’ ve1
B (t+t) vr’ M’
a c 2w v r a c 2w v r sin
w
o
vr1 M1 ve M
va
v
r
A (t)
例1
凸轮在水平面上 向右作减速运动， 求AB在图示位置
B
时的加速度。
A
R

a
v
解： 动点：AB杆上A； 动系：凸轮；
vr
点的速度合成定理
动点在某瞬时的绝对速度等于它 在该瞬时的牵连速度与相对速度 的矢量和。
va ve vr
*这是矢量方程式，在平面问题中相当两个标量方程式; *建立了任一瞬时三个运动之间的速度关系，可避免列 写运动方程及求导处理，直接求得速度 .
例： 刨床急回机构。曲柄长OA r , 两轴间
解：建立动点、动系与定系 ，指向O点 ，指向O点 根据 ，指向O点
实际上M点的绝对运动为静止，
2.牵连运动为平动时的加速度合成定理
y v a v r ve M’ va ' vr ' ve ' v v va ' va aa lim v t 0 t M vr ' vr1 v M v ar lim t 0 t t+t ve1 ve o t ae lim t 0 t va ' va ve ' ve vr ' vr lim lim lim t 0 t 0 t 0 t t t