中考数学试题分类汇编及解析-函数
全国各地2022年中考数学真题分类解析汇编：二次函数
二次函数一、选择题1. （2014•广东，第10题3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，以下说法错误的选项是（）A．函数有最小值B．对称轴是直线x=C．当x＜，y随x的增大而减小D．当﹣1＜x＜2时，y＞0考点：二次函数的性质．分析：根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断A；根据图形直接判断B；根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，进而判断C；根据图象，当﹣1＜x＜2时，抛物线落在x轴的下方，则y＜0，从而判断D．解答：解：A、由抛物线的开口向下，可知a＜0，函数有最小值，正确，故本选项不符合题意；B、由图象可知，对称轴为x=，正确，故本选项不符合题意；C、因为a＞0，所以，当x ＜时，y随x的增大而减小，正确，故本选项不符合题意；D、由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，错误，故本选项符合题意．应选D．点评：此题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想解题．2. （2014•广西贺州，第10题3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如下图，则一次函数y=cx +与反比例函数y =在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．考二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．点：分析：先根据二次函数的图象得到a＞0，b＜0，c＜0，再根据一次函数图象与系数的关系和反比例函数图象与系数的关系判断它们的位置．解答：解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣＞0，∴b＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴一次函数y=cx +的图象过第二、三、四象限，反比例函数y =分布在第二、四象限．应选B．点评：此题考查了二次函数的图象：二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；当a ＜0，抛物线开口向下．对称轴为直线x=﹣；与y轴的交点坐标为（0，c）．也考查了一次函数图象和反比例函数的图象．3．(四川资阳，第10题3分)二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出以下四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个考点：二次函数图象与系数的关系．分析：利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断．解答：解：∵抛物线和x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，∴①正确；∵对称轴是直线x﹣1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，∴抛物线和x轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a﹣2b+c＞0，∴4a+c＞2b，∴②错误；∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c＜0，∴2a+2b+2c＜0，∵b=2a，∴3b，2c＜0，∴③正确；∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，∴y=a﹣b+c的值最大，即把（m，0）（m≠0）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，∴am2+bm+b＜a，即m（am+b）+b＜a，∴④正确；即正确的有3个，应选B．点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表现一元二次方程ax2+bx+c=0的解的方法．同时注意特殊点的运用．4．(天津市，第12 题3分)已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，有以下结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．其中，正确结论的个数是（）A． 0 B． 1 C． 2 D． 3考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由图象可知二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，进而判断①；先根据抛物线的开口向下可知a＜0，由抛物线与y轴的交点判断c 与0的关系，根据对称轴在y轴右侧得出b与0的关系，然后根据有理数乘法法则判断②；一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，则可转化为ax2+bx+c=m，即可以理解为y=ax2+bx+c和y=m没有交点，即可求出m的取值范围，判断③即可．解答：解：①∵二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故①正确；②∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∵对称轴x=﹣＞0，∴ab＜0，∵a＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故②正确；③∵一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，∴y=ax2+bx+c和y=m没有交点，由图可得，m＞2，故③正确．应选D．点评：此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．5．（2014•新疆，第6题5分）对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，以下说法正确的选项是（）点式为y =a（x﹣）2+，的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣b2a，当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下．6．（2014•舟山，第10题3分）当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x ﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．﹣B．或C．2或D．2或﹣或考点：二次函数的最值专题：分类讨论．分析：根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可．解答：解：二次函数的对称轴为直线x=m，①m＜﹣2时，x=﹣2时二次函数有最大值，此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1=4，解得m=﹣，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；②当﹣2≤m≤1时，x=m时，二次函数有最大值，此时，m2+1=4，解得m=﹣，m =（舍去）；③当m＞1时，x=1时，二次函数有最大值，此时，﹣（1﹣m）2+m2+1=4，解得m=2，综上所述，m的值为2或﹣．应选C．此题考查了二次函数的最值问题，难点在于分情况讨论．点评：7.（2014•毕节地区，第11题3分）抛物线y=2x2，y=﹣2x2，共有的性质是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．都有最低点D．y随x的增大而减小考点：二次函数的性质分析：根据二次函数的性质解题．解答：解：（1）y=2x2开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点；（2）y=﹣2x2开口向下，对称轴为y轴，有最高点，顶点为原点；（3）y=x2开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点．应选B．点评：考查二次函数顶点式y=a（x﹣h）2+k的性质．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．8.（2014•孝感，第12题3分）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点专题：数形结合．分析：由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=﹣1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x=1时，y＜0，则a+b+c＜0；由抛物线的顶点为D（﹣1，2）得a﹣b+c=2，由抛物线的对称轴为直线x=﹣=1得b=2a，所以c ﹣a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x=1时，ax2+bx+c=2，所以说方程ax2+bx+c ﹣2=0有两个相等的实数根．解答：解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①错误；∵顶点为D（﹣1，2），∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1，∵抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，∴当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，所以②正确；∵抛物线的顶点为D（﹣1，2），∴a﹣b+c=2，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴b=2a，∴a﹣2a+c=2，即c﹣a=2，所以③正确；∵当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x=1时，ax2+bx+c=2，∴方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根，所以④正确．应选C．点评：此题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac ＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．9．（2014·台湾，第26题3分）已知a、h、k为三数，且二次函数y＝a(x﹣h)2＋k在坐标平面上的图形通过(0，5)、(10，8)两点．若a＜0，0＜h＜10，则h之值可能为以下何者？( )A．1 B．3 C．5 D．7分析：先画出抛物线的大致图象，根据顶点式得到抛物线的对称轴为直线x＝h，由于抛物线过(0，5)、(10，8)两点．若a＜0，0＜h＜10，则点(0，5)到对称轴的距离大于点(10，8)到对称轴的距离，所以h ﹣0＞10﹣h，然后解不等式后进行判断．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝h，而(0，5)、(10，8)两点在抛物线上，∴h﹣0＞10﹣h，解得h＞5．应选D．点评：此题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y＝ax2＋bx ＋c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时(即ab＞0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab＜0)，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于(0，c)；抛物线与x轴交点个数由△决定，△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．10．（2014·浙江金华，第9题4分）如图是二次函数2=-++的y x2x4图象，使y1≤成立的x的取值范围是【】A．1x3≤-C．x1≥-≤≤B．x1D．x1≤-或x3≥【答案】D．【解析】试题分析：由图象可知，当y1≤时，x1≤-或x3≥. 应选D．11．（2014•浙江宁波，第12题4分）已知点A（a﹣2b，2﹣4ab）在抛物线y=x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为（）A．（﹣3，7）B．（﹣1，7）C．（﹣4，10）D．（0，10）考点：二次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变更－对称．分析：把点A坐标代入二次函数解析式并利用完全平方公式整理，然后根据非负数的性质列式求出a、b，再求出点A的坐标，然后求出抛物线的对称轴，再根据对称性求解即可．解答：解：∵点A（a﹣2b，2﹣4ab）在抛物线y=x2+4x+10上，∴（a﹣2b）2+4×（a﹣2b）+10=2﹣4ab，a2﹣4ab+4b2+4a﹣8ab+10=2﹣4ab，（a+2）2+4（b﹣1）2=0，∴a+2=0，b﹣1=0，解得a=﹣2，b=1，∴a﹣2b=﹣2﹣2×1=﹣4，2﹣4ab=2﹣4×（﹣2）×1=10，∴点A的坐标为（﹣4，10），∵对称轴为直线x=﹣=﹣2，∴点A关于对称轴的对称点的坐标为（0，10）．应选D．点评：此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性，坐标与图形的变更﹣对称，把点的坐标代入抛物线解析式并整理成非负数的形式是解题的关键．12.（2014•菏泽第8题3分）如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，C、D两点不重合，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则以下图象中能表现y与x之间的函数关系的是（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．专题：数形结合．分析：分类讨论：当0＜x≤1时，根据正方形的面积公式得到y=x2；当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形MNE的面积得到y=x2﹣2（x﹣1）2，配方得到y=﹣（x﹣2）2+2，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断．解答：解：当0＜x≤1时，y=x2，当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，如图，CD=x，则AD=2﹣x，∵Rt△ABC中，AC=BC=2，∴△ADM为等腰直角三角形，∴DM=2﹣x，∴EM=x﹣（2﹣x）=2x﹣2，∴S△ENM=（2x﹣2）2=2（x﹣1）2，∴y=x2﹣2（x﹣1）2=﹣x2+4x﹣2=﹣（x﹣2）2+2，∴y=，应选A．13.（2014•济宁，第8题3分）“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m ＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（）A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b考点：抛物线与x轴的交点．分析：依题意画出函数y=（x﹣a）（x﹣b）图象草图，根据二次函数的增减性求解．解答：解：依题意，画出函数y=（x﹣a）（x﹣b）的图象，如下图．函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为a，b（a＜b）．方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0转化为（x﹣a）（x﹣b）=1，方程的两根是抛物线y=（x﹣a）（x﹣b）与直线y=1的两个交点．由m＜n，可知对称轴左侧交点横坐标为m，右侧为n．由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y随x增大而减少，则有m＜a；在对称轴右侧，y随x增大而增大，则有b＜n．综上所述，可知m＜a＜b＜n．应选A．点评：此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，考查了数形结合的数学思想．解题时，画出函数草图，由函数图象直观形象地得出结论，防止了繁琐复杂的计算．14．（山东泰安，第17题3分）已知函数y=（x﹣m）（x﹣n）（其中m ＜n）的图象如下图，则一次函数y=mx+n与反比例函数y =的图象可能是（）A．B C D．分析：根据二次函数图象判断出m＜﹣1，n=1，然后求出m+n＜0，再根据一次函数与反比例函数图象的性质判断即可．解：由图可知，m＜﹣1，n=1，所以，m+n＜0，所以，一次函数y=mx+n经过第二四象限，且与y轴相交于点（0，1），反比例函数y=的图象位于第二四象限，纵观各选项，只有C选项图形符合．应选C．点评：此题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，观察二次函数图象判断出m、n的取值是解题的关键．15.（山东泰安，第20题3分）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：X﹣1 0 1 3y﹣1 3 5 3以下结论：（1）ac＜0；（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个分析：根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=1.5，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．解：由图表中数据可得出：x=1时，y=5值最大，所以二次函数y=ax2+bx+c开口向下，a＜0；又x=0时，y=3，所以c=3＞0，所以ac＜0，故（1）正确；∵二次函数y=ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x==1.5，∴当x ＞1.5时，y的值随x值的增大而减小，故（2）错误；∵x=3时，y=3，∴9a+3b+c=3，∵c=3，∴9a+3b+3=3，∴9a+3b=0，∴3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根，故（3）正确；∵x=﹣1时，ax2+bx+c=﹣1，∴x=﹣1时，ax2+（b﹣1）x+c=0，∵x=3时，ax2+（b﹣1）x+c=0，且函数有最大值，∴当﹣1＜x＜3时，ax2=（b﹣1）x+c＞0，故（4）正确．应选B．点评：此题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式，有一定难度．熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．16.（2014•滨州，第9题3分）以下函数中，图象经过原点的是（）A．y=3x B．y=1﹣2x C．y=D．y=x2﹣1考点：二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征分析：将点（0，0）依次代入以下选项的函数解析式进行一一验证即可．解答：解：∵函数的图象经过原点，∴点（0，0）满足函数的关系式；A、当x=0时，y=3×0=0，即y=0，∴点（0，0）满足函数的关系式y=3x；故本选项正确；B、当x=0时，y=1﹣2×0=1，即y=1，∴点（0，0）不满足函数的关系式y=1﹣2x；故本选项错误；C、y=的图象是双曲线，不经过原点；故本选项错误；D、当x=0时，y=02﹣1=﹣1，即y=﹣1，∴点（0，0）不满足函数的关系式y=x2﹣1；故本选项错误；应选A．点评：此题综合考查了二次函数、一次函数、反比例图象上的点的坐标特征．经过函数图象上的某点，该点一定满足该函数的解析式．1. （2014•安徽省,第12题5分）某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y= a（1+x）2．考点：根据实际问题列二次函数关系式．分析：由一月份新产品的研发资金为a元，根据题意可以得到2月份研发资金为a×（1+x），而三月份在2月份的基础上又增长了x，那么三月份的研发资金也可以用x表现出来，由此即可确定函数关系式．解答：解：∵一月份新产品的研发资金为a元，2月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，∴2月份研发资金为a×（1+x），∴三月份的研发资金为y=a×（1+x）×（1+x）=a（1+x）2．故填空答案：a（1+x）2．点评：此题主要考查了根据实际问题二次函数列解析式，此题是平均增长率的问题，可以用公式a（1±x）2=b来解题．2．(云南，第16题3分)抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是．考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．解答：解：∵y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=（x﹣1）2+2，∴抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是（1，2）．点评：此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h，此题还考查了配方法求顶点式．3．（2014•浙江湖州，第16题4分）已知当x1=a，x2=b，x3=c时，二次函数y=x2+mx对应的函数值分别为y1，y2，y3，若正整数a，b，c 恰好是一个三角形的三边长，且当a＜b＜c时，都有y1＜y2＜y3，则实数m的取值范围是．分析：根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出a最小为2，再根据二次函数的增减性和对称性判断出对称轴在2、3之间偏向2，即不大于2.5，然后列出不等式求解即可．解：∵正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且a＜b＜c，∴a最小是2，∵y1＜y2＜y3，∴﹣＜2.5，解得m＞﹣．故答案为：m＞﹣．点评：此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，三角形的三边关系，判断出a最小可以取2以及对称轴的位置是解题的关键．4. （2014•株洲，第16题，3分）如果函数y=（a﹣1）x2+3x +的图象经过平面直角坐标系的四个象限，那么a的取值范围是a＜﹣5 ．考点：抛物线与x轴的交点分析：函数图象经过四个象限，需满足3个条件：（I）函数是二次函数；（II）二次函数与x轴有两个交点；（III）二次函数与y轴的正半轴相交．解答：解：函数图象经过四个象限，需满足3个条件：（I）函数是二次函数．因此a﹣1≠0，即a≠1①（II）二次函数与x轴有两个交点．因此△=9﹣4（a﹣1）=﹣4a﹣11＞0，解得a＜﹣②（III）二次函数与y轴的正半轴相交．因此＞0，解得a＞1或a＜﹣5③综合①②③式，可得：a＜﹣5．故答案为：a＜﹣5．点评：此题考查二次函数的图象与性质、二次函数与x轴的交点、二次函数与y轴交点等知识点，解题关键是确定“函数图象经过四个象限”所满足的条件．5. （江苏南京，第16题，2分）已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…﹣1 0 1 2 3 …y…10 5 2 1 2 …则当y＜5时，x的取值范围是．考点：二次函数与不等式分析：根据表格数据，利用二次函数的对称性判断出x=4时，y=5，然后写出y＜5时，x的取值范围即可．解答：由表可知，二次函数的对称轴为直线x=2，所以，x=4时，y=5，所以，y＜5时，x的取值范围为0＜x＜4．故答案为：0＜x＜4．点评：此题考查了二次函数与不等式，观察图表得到y=5的另一个x的值是解题的关键．6. （2014•扬州，第16题，3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为0 ．（第3题图）考抛物线与x轴的交点点：分析：依据抛物线的对称性求得与x轴的另一个交点，代入解析式即可．解答：解：设抛物线与x轴的另一个交点是Q，∵抛物线的对称轴是过点（1，0），与x轴的一个交点是P（4，0），∴与x轴的另一个交点Q（﹣2，0），把（﹣2，0）代入解析式得：0=4a﹣2b+c，∴4a﹣2b+c=0，故答案为：0．点评：此题考查了抛物线的对称性，知道与x轴的一个交点和对称轴，能够表现出与x轴的另一个交点，求得另一个交点坐标是此题的关键．7．（2014•菏泽，第12题3分）如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2（x≥0）与y 2=（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E ，则= _______．考点：二次函数综合题．专题：代数几何综合题；压轴题．分析：设A点坐标为（0，a），利用两个函数解析式求出点B、C 的坐标，然后求出AB的长度，再根据CD∥y轴，利用y1的解析式求出D点的坐标，然后利用y2求出点E的坐标，从而得到DE的长度，然后求出比值即可得解．解答：解：设设A点坐标为（0，a），（a＞0），则x2=a，解得x=，∴点B（，a），=a，则x=，∴点C（，a），∵CD∥y轴，∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为，∴y1=2=3a，∴点D的坐标为（，3a），∵DE∥AC，∴点E的纵坐标为3a，∴=3a，∴x=3，∴点E的坐标为（3，3a），∴DE=3﹣，==3﹣．故答案为：3﹣．点评：此题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数图象上点的坐标特征，根据平行与x轴的点的纵坐标相同，平行于y轴的点的横坐标相同，求出用点A的纵坐标表现出各点的坐标是解题的关键．8. （2014•珠海，第9题4分）如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，則它的对称轴为直线x=2 ．考点：二次函数的性质分析：点（1，0），（3，0）的纵坐标相同，这两点一定关于对称轴对称，那么利用两点的横坐标可求对称轴．解答：解：∵点（1，0），（3，0）的纵坐标相同，∴这两点一定关于对称轴对称，∴对称轴是：x ==2．故答案为：直线x=2．点评：此题主要考查了抛物线的对称性，图象上两点的纵坐标相同，则这两点一定关于对称轴对称．1. （2014•安徽省,第22题12分）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表白式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．考点：二次函数的性质；二次函数的最值．专题：新定义．分析：（1）只需任选一个点作为顶点，同号两数作为二次项的系数，用顶点式表现两个为“同簇二次函数”的函数表白式即可．（2）由y1的图象经过点A（1，1）可以求出m的值，然后根据y1+y2与y1为“同簇二次函数”就可以求出函数y2的表白式，然后将函数y2的表白式转化为顶点式，在利用二次函数的性质就可以解决问题．解答：解：（1）设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为y=a（x ﹣h）2+k，当a=2，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=2（x﹣3）2+4．∵2＞0，∴该二次函数图象的开口向上．当a=3，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=3（x﹣3）2+4．∵3＞0，∴该二次函数图象的开口向上．∵两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4顶点相同，开口都向上，∴两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4是“同簇二次函数”．∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4．（2）∵y1的图象经过点A（1，1），∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1．整理得：m2﹣2m+1=0．解得：m1=m2=1．∴y1=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1．∴y1+y2=2x2﹣4x+3+ax2+bx+5=（a+2）x2+（b﹣4）x+8∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”，∴y1+y2=（a+2）（x﹣1）2+1=（a+2）x2﹣2（a+2）x+（a+2）+1．其中a+2＞0，即a＞﹣2．∴．解得：．∴函数y2的表白式为：y2=5x2﹣10x+5．∴y2=5x2﹣10x+5=5（x﹣1）2．∴函数y2的图象的对称轴为x=1．∵5＞0，∴函数y2的图象开口向上．①当0≤x≤1时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而减小．∴当x=0时，y2取最大值，最大值为5（0﹣1）2=5．②当1＜x≤3时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而增大．∴当x=3时，y2取最大值，最大值为5（3﹣1）2=20．综上所述：当0≤x≤3时，y2的最大值为20．点评：此题考查了求二次函数表白式以及二次函数一般式与顶点式之间相互转化，考查了二次函数的性质（开口方向、增减性），考查了分类讨论的思想，考查了阅读理解能力．而对新定义的正确理解和分类讨论是解决第二小题的关键．2. （2014•福建泉州，第22题9分）如图，已知二次函数y=a（x ﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．（1）写出该函数图象的对称轴；（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？考点：二次函数的性质；坐标与图形变更－旋转．分析：（1）由于抛物线过点O（0，0），A（2，0），根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1；（2）作A′B⊥x轴与B，先根据旋转的性质得OA′=OA=2，∠A′OA=2，再根据含30度的直角三角形三边的关系得OB =OA′=1，A′B =OB =，则A′点的坐标为（1，），根据抛物线的顶点式可判断点A′为抛物线y=﹣（x﹣1）2+的顶点．解答：解：（1）∵二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．∴抛物线的对称轴为直线x=1；（2）点A′是该函数图象的顶点．理由如下：如图，作A′B⊥x轴于点B，∵线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，∴OA′=OA=2，∠A′OA=2，在Rt△A′OB中，∠OA′B=30°，∴OB =OA′=1，∴A′B =OB =，∴A′点的坐标为（1，），∴点A′为抛物线y=﹣（x﹣1）2+的顶点．点评：此题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x ＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．也考查了旋转的性质．3. （2014•福建泉州，第25题12分）如图，在锐角三角形纸片ABC 中，AC＞BC，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上．（1）已知：DE∥AC，DF∥BC．①判断四边形DECF一定是什么形状？②裁剪当AC=24cm，BC=20cm，∠ACB=45°时，请你探索：如何剪四边形DECF，能使它的面积最大，并证明你的结论；（2）折叠请你只用两次折叠，确定四边形的顶点D，E，C，F，使它恰好为菱形，并说明你的折法和理由．考点：四边形综合题分析：（1）①根据有两组对边互相平行的四边形是平行四边形即可求得，②根据△ADF∽△ABC推出对应边的相似比，然后进行转换，即可得出h与x之间的函数关系式，根据平行四边形的面积公式，很容易得出面积S关于h的二次函数表白式，求出顶点坐标，就可得出面积s最大时h的值．（2）第一步，沿∠ABC的对角线对折，使C与C1重合，得到三角形ABB1，第二步，沿B1对折，使DA1⊥BB1．解答：解：（1）①∵DE∥AC，DF∥BC，∴四边形DECF是平行四边形．②作AG⊥BC，交BC于G，交DF于H，∵∠ACB=45°，AC=24cm∴AG ==12，设DF=EC=x，平行四边形的高为h，则AH =12h，∵DF∥BC，∴=，∵BC=20cm，即：=∴x =×20，∵S=xh=x •×20=20h ﹣h2．∴﹣=﹣=6，∵AH =12，∴AF=FC，∴在AC中点处剪四边形DECF，能使它的面积最大．（2）第一步，沿∠ABC的对角线对折，使C与C1重合，得到三角形ABB1，第二步，沿B1对折，使DA1⊥BB1．理由：对角线互相垂直平分的四边形是菱形．点评：此题考查了相似三角形的判定及性质、菱形的判定、二次函数的最值．关键在于根据相似三角形及已知条件求出相关线段的表白式，求出二次函数表白式，即可求出结论．4. （2014•广东，第25题9分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AB 于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm 的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF 的面积最大时，求线段BP的长；（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．考点：相似形综合题．分析：（1）如答图1所示，利用菱形的定义证明；（2）如答图2所示，首先求出△PEF的面积的表白式，然后利用二次函数的性质求解；（3）如答图3所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解．解答：（1）证明：当t=2时，DH=AH=2，则H为AD的中点，如答图1所示．又∵EF⊥AD，∴EF为AD的垂直平分线，∴AE=DE，AF=DF．∵AB=AC，AD⊥AB于点D，∴AD⊥BC，∠B=∠C．∴EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∴AE=AF=DE=DF，即四边形AEDF为菱形．。
中考数学真题分类汇编及解析(十三) 函数初步
（2022•桂林中考）桂林作为国际旅游名城，每年吸引着大量游客前来观光．现有一批游客分别乘坐甲乙两辆旅游大巴同时从旅行社前往某个旅游景点．行驶过程中甲大巴因故停留一段时间后继续驶向景点，乙大巴全程匀速驶向景点．两辆大巴的行程s（km）随时间t（h）变化的图象（全程）如图所示．依据图中信息，下列说法错误的是（）A．甲大巴比乙大巴先到达景点B．甲大巴中途停留了0.5hC．甲大巴停留后用1.5h追上乙大巴D．甲大巴停留前的平均速度是60km/h【解析】选C．由图象可得，甲大巴比乙大巴先到达景点，故选项A正确，不符合题意；甲大巴中途停留了1﹣0.5＝0.5（h），故选项B正确，不符合题意；甲大巴停留后用1.5﹣1＝0.5h追上乙大巴，故选项C错误，符合题意；甲大巴停留前的平均速度是30÷0.5＝60（km/h），故选项D正确，不符合题意．（2022•玉林中考）龟兔赛跑之后，输了比赛的兔子决定和乌龟再赛一场．图中的函数图象表示了龟兔再次赛跑的过程（x表示兔子和乌龟从起点出发所走的时间，y1，y2分别表示兔子与乌龟所走的路程）．下列说法错误的是（）A．兔子和乌龟比赛路程是500米B．中途，兔子比乌龟多休息了35分钟C．兔子比乌龟多走了50米D．比赛结果，兔子比乌龟早5分钟到达终点【解析】选C．A.“龟兔再次赛跑”的路程为500米，原说法正确，故此选项不符合题意；B.乌龟在途中休息了35﹣30＝5（分钟），兔子在途中休息了50﹣10＝40（分钟），兔子比乌龟多休息了35分钟，（2022•江西中考）甲、乙两种物质的溶解度y（g）与温度t（℃）之间的对应关系如图所示，则下列说法中，错误的是（）A．甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大 B．当温度升高至t2℃时，甲的溶解度比乙的溶解度大C．当温度为0℃时，甲、乙的溶解度都小于20g D．当温度为30℃时，甲、乙的溶解度相等【解析】选D．由图象可知，A、B、C都正确，当温度为t1时，甲、乙的溶解度都为30g，故D错误. （2022•温州中考）小聪某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为s米，所经过的时间为t 分钟．下列选项中的图象，能近似刻画s与t之间关系的是（）A． B． C． D．【解析】选A．由题意可知：小聪某次从家出发，s米表示他离家的路程，所以C，D错误；小聪在凉亭休息10分钟，所以A正确，B错误.（2022•重庆中考A卷）如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度h（m）随飞行时间t（s）的变化情况，则这只蝴蝶飞行的最高高度约为（）A．5m B．7m C．10m D．13m【解析】选D．观察图象，当t＝3时，h＝13，∴这只蝴蝶飞行的最高高度约为13m.A．3时B．6时C．9时D．12时【解析】选C．由图形可知，在这一时段内心跳速度最快的时刻约为9时.（2022•河北中考）某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完成需12天．若m个人共同完成需n天，选取6组数对（m，n），在坐标系中进行描点，则正确的是（）A． B． C． D．，【解析】选C．∵一个人完成需12天，∴一人一天的工作量为112∵m个人共同完成需n天，∴一人一天的工作量为1，mn∵每人每天完成的工作量相同，∴mn＝12．，∴n是m的反比例函数，∴选取6组数对（m，n），在坐标系中进行描点，则正确的是：C．∴n=12m1301 （2022•宜昌中考）如图是小强散步过程中所走的路程s（单位：m）与步行时间t（单位：min）的函数图象．其中有一时间段小强是匀速步行的．则这一时间段小强的步行速度为（）m/min D．20m/minA．50m/min B．40m/min C．2007【解析】选D．由函数图象知，从30﹣70分钟时间段小强匀速步行，=20（m/min）.∴这一时间段小强的步行速度为2000−120070−30（2022•武汉中考）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为一折线）．这个容器的形状可能是（）A． B． C． D．【解析】选D.注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平缓，陡；那么速度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．则相应的排列顺序就为选项D.体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中x表示时间，y表示张强离家的距离，则下列结论不正确的是（）A．张强从家到体育场用了15min B．体育场离文具店1.5kmC．张强在文具店停留了20min D．张强从文具店回家用了35min【解析】选B.由图象知，A.张强从家到体育场用了15min，故A选项不符合题意；B.体育场离文具店2.5﹣1.5＝1（km），故B选项符合题意；C.张强在文具店停留了65﹣45＝20（min），故C选项不符合题意；D.张强从文具店回家用了100﹣65＝35（min），故D选项不符合题意.（2022•乐山中考）甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程s（千米）与所用的时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法错误的是（）A．前10分钟，甲比乙的速度慢B．经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米C．甲的平均速度为0.08千米/分钟D．经过30分钟，甲比乙走过的路程少【解析】选D．由图象可得：前10分钟，甲的速度为0.8÷10＝0.08（千米/分），乙的速度是1.2÷10＝0.12（千米/分），∴甲比乙的速度慢，故A正确，不符合题意；经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米，故B正确，不符合题意；∵甲40分钟走了3.2千米，∴甲的平均速度为3.2÷40＝0.08（千米/分钟），故C正确，不符合题意；∵经过30分钟，甲走过的路程是2.4千米，乙走过的路程是2千米，∴甲比乙走过的路程多，故D错误，符合题意A．B．C．D．【解析】选D．过D点作DE⊥AC于点E．∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC，∵AC平分∠DAB，∴∠BAC＝∠CAD，∴∠ACD＝∠CAD，则CD＝AD＝y，即△ACD为等腰三角形，则DE垂直平分AC，∴AE＝CE=12AC＝3，∠AED＝90°，∵∠BAC＝∠CAD，∠B＝∠AED＝90°，∴△ABC∽△AED，∴ACAD=ABAE，∴6y=x3，∴y=18 x，∵在△ABC中，AB＜AC，∴x＜6（2022•台州中考）吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上，家到公园、公园到学校的距离分别为400m，600m．他从家出发匀速步行8min到公园后，停留4min，然后匀速步行6min到学校．设吴老师离公园的距离为y（单位：m），所用时间为x（单位：min），则下列表示y与x之间函数关系的图象中，正确的是（）A．B．C．D．【解析】选C．吴老师从家出发匀速步行8min到公园，则y的值由400变为0，吴老师在公园停留4min，则y的值仍然为0，吴老师从公园匀速步行6min到学校，则在18分钟时，y的值为600感器是一种气敏电阻（图1中的R1），R1的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化（如图2），血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3．下列说法不正确的是（）A．呼气酒精浓度K越大，R1的阻值越小B．当K＝0时，R1的阻值为100C．当K＝10时，该驾驶员为非酒驾状态D．当R1＝20时，该驾驶员为醉驾状态【解析】选C．由图2可知，呼气酒精浓度K越大，R1的阻值越小，故A正确，不符合题意；由图2知，K＝0时，R1的阻值为100，故B正确，不符合题意；由图3知，当K＝10时，M＝2200×10×10﹣3＝22（mg/100mL），∴当K＝10时，该驾驶员为酒驾状态，故C不正确，符合题意；由图2知，当R1＝20时，K＝40，∴M＝2200×40×10﹣3＝88（mg/100mL），∴该驾驶员为醉驾状态，故D正确，不符合题意.（2022•永州中考）学枝组织部分师生去烈士陵园参加“不忘初心，牢记使命”主题教育活动．师生队伍从学校出发，匀速行走30分钟到达烈士陵园，用1小时在烈士陵园进行了祭扫和参观学习等活动，之后队伍按原路匀速步行45分钟返校．设师生队伍离学校的距离为y米，离校的时间为x分钟，则下列图象能大致反映y 与x关系的是（）A．B．C．D．【解析】选A．根据已知0≤x≤30时，y随x的增大而增大，当30＜x≤90时，y是一个定值，当90＜x≤135时，y随x的增大而减小，∴能大致反映y与x关系的是A.（2022•雅安中考）一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段后开始匀速行驶．过了一段时间，汽车到达下一个车站．乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶．下面的哪一幅图可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况（）A．B．C．D．（2022•毕节中考）现代物流的高速发展，为乡村振兴提供了良好条件．某物流公司的汽车行驶30km后进入高速路，在高速路上匀速行驶公司的汽车行驶30km后进入高速路，在高速路上匀速行驶一段时间后，再在乡村道路上行驶1h到达目的地．汽车行驶的时间x（单位：h）与行驶的路程y（单位：km）之间的关系如图所示．请结合图象，判断以下说法正确的是（）A．汽车在高速路上行驶了2.5hB．汽车在高速路上行驶的路程是180kmC．汽车在高速路上行驶的平均速度是72km/hD．汽车在乡村道路上行驶的平均速度是40km/h【解析】选D．∵3.5h到达目的地，在乡村道路上行驶1h，∴汽车下高速公路的时间是2.5h，∴汽车在高速路上行驶了2.5﹣0.5＝2（h），故A错误，不符合题意；由图象知：汽车在高速路上行驶的路程是180﹣30＝150（km），故B错误，不符合题意；汽车在高速路上行驶的平均速度是150÷2＝75（km/h），故C错误，不符合题意；汽车在乡村道路上行驶的平均速度是（220﹣180）÷1＝40（km/h），故D正确，符合题意．（2022•哈尔滨中考）一辆汽车油箱中剩余的油量y（L）与已行驶的路程x（km）的对应关系如图所示．如果这辆汽车每千米的耗油量相同，当油箱中剩余的油量为35L时，那么该汽车已行驶的路程为（）A．150km B．165km C．125km D．350km【解析】选A．当油箱中剩余的油量为35L时，那么该汽车已行驶的路程为：（50﹣35）×（500÷50）＝150（km）.A．AF＝5B．AB＝4C．DE＝3D．EF＝8【解析】选D．由图②的第一段折线可知：点P经过4秒到达点B处，此时的三角形的面积为12，∵动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动，∴AB＝4．∵12×AF•AB＝12，∴AF＝6，∴A选项不正确，B选项也不正确；由图②的第二段折线可知：点P再经过2秒到达点C处，∴BC＝2，由图②的第三段折线可知：点P再经过6秒到达点D处，∴CD＝6，由图②的第四段折线可知：点P再经过4秒到达点E处，∴DE＝4．∴C选项不正确；∵图①中各角均为直角，∴EF＝AB+CD＝2+6＝8，∴D选项的结论正确.（2022•仙桃中考）如图，边长分别为1和2的两个正方形，其中有一条边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形的面积为S1，小正方形与大正方形重叠部分的面积为S2，若S＝S1﹣S2，则S随t变化的函数图象大致为（）A．B．C．D．【解析】选A．随着t的增加，s由大变小，所以排除B；由于边长不同，不能是0，且恒定，然后再逐渐变大，所以排除D；由于t是匀速，所以就对称，所以可以排除C；所以只剩下选项A．（2022•绥化中考）小王同学从家出发，步行到离家a 米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y （单位：米）与出发时间x （单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为（ ）A ．2.7分钟B ．2.8分钟C ．3分钟D ．3.2分钟【解析】选C ．由图象可得，小明的速度为a12米/分钟，爸爸的速度为：a (12−4)÷2=a4（米/分钟）， 设小明出发m 分钟两人第一次相遇，出发n 分钟两人第二次相遇，a12m ＝（m ﹣4）•a 4，a 12n +a 4[n ﹣4﹣（12﹣4）÷2]＝a ， 解得m ＝6，n ＝9，n ﹣m ＝9﹣6＝3．（2022·遵义中考）遵义市某天的气温y 1（单位：℃）随时间t （单位：h ）的变化如图所示，设y 2表示0时到t 时气温的值的极差（即0时到t 时范围气温的最大值与最小值的差），则y 2与t 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】选A ．因为极差是该段时间内的最大值与最小值的差．所以当t 从0到5时，极差逐渐增大；t 从5到气温为25℃时，极差不变；当气温从25℃到28℃时极差达到最大值．直到24时都不变．只有A 符合.（2022•临沂中考）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y（单位：km）与时间x（单位：h）的对应关系如图所示，下列说法中不正确的是（）A．甲车行驶到距A城240km处，被乙车追上B．A城与B城的距离是300kmC．乙车的平均速度是80km/hD．甲车比乙车早到B城【解析】选D．由题意可知，A城与B城的距离是300km，故选项B不合题意；甲车的平均速度是：300÷5＝60（km/h），乙车的平均速度是：300÷（4﹣1）＝80（km/h），故选项C不合题意；设乙车出发x小时后追上甲车，则60（x+1）＝80x，解得x＝3，60×4＝240（km），即甲车行驶到距A城240km处，被乙车追上，故选项A不合题意；由题意可知，乙车比甲车早到B城，故选项D符合题意．（2022•苏州中考）一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完．在整个过程中，容器中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则图中a的值为．（2022•威海中考）按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2，则输入x的值是1．【解析】当x＞0时，1x+1＝2，解得x＝1．当x≤0时，2x﹣1＝2，解得x＝1.5，因为1.5＞0，舍去．所以x＝1．答案：1．家跑步去体育场锻炼，锻炼结束后，步行回家吃早餐，饭后骑自行车到学校．图中x表示时间，y表示王强离家的距离．则下列结论正确的是①③④．（填写所有正确结论的序号）①体育场离王强家2.5km②王强在体育场锻炼了30min③王强吃早餐用了20min④王强骑自行车的平均速度是0.2km/min【解析】由图象中的折线中的第一段可知：王强家距离体育场2.5千米，用时15分钟跑步到达，∴①的结论正确；由图象中的折线中的第一段可知：王强从第15分钟开始锻炼，第30分钟结束，∴王强锻炼的时间为：30﹣15＝15（分钟），∴②的结论不正确；由图象中的折线中的第三段可知：王强从第30中开始回家，第67分钟到家；由图象中的折线中的第四段可知：王强从第67分钟开始吃早餐，第87分钟结束，∴王强吃早餐用时：87﹣67＝20（分钟），∴③的结论正确；由图象中的折线中的第四段可知：王强从第87分钟开始骑车去往3千米外的学校，第102分钟到达学校，∴王强骑自行车用时为：102﹣87＝15（分钟），∴王强骑自行车的平均速度是：3÷15＝0.2（km/min）∴④的结论正确．综上，结论正确的有：①③④，答案：①③④．（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式，并画出这个函数的图象．（2）当水位高度达到5米时，求进水用时x ．【解析】（1）函数的图象如图所示：根据图象可知：选择函数y ＝kx +b ，将（0，1），（1，2）代入得{b =1k +b =2，解得{k =1b =1，∴函数表达式为：y ＝x +1（0≤x ≤5）； （2）当y ＝5时，x +1＝5，∴x ＝4．答：当水位高度达到5米时，进水用时x 为4小时.【解析】（1）①如图：②通过观察函数图象，当x＝4时，y＝200，当y值最大时，x＝21；（2）该函数的两条性质如下（答案不唯一）：①当2≤x≤7时，y随x的增大而增大；②当x＝14时，y有最小值为80；（3）由图象，当y＝260时，x＝5或x＝10或x＝18或x＝23，∴当5＜x＜10或18＜x＜23时，y＞260，即当5＜x＜10或18＜x＜23时，货轮进出此港口．（2022•天津中考）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．已知学生公寓、阅览室、超市依次在同一条直线上，阅览室离学生公寓1.2km，超市离学生公寓2km．小琪从学生公寓出发，匀速步行了12min到阅览室；在阅览室停留70min后，匀速步行了10min到超市；在超市停留20min后，匀速骑行了8min返回学生公寓．给出的图象反映了这个过程中小琪离学生公寓的距离ykm与离开学生公寓的时间xmin之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）填表：离开学生公寓的时间/min 5 8 50 87 112离学生公寓的距离/km0.5 0.8 1.2 1.6 2（Ⅱ）填空：①阅览室到超市的距离为0.8 km；②小琪从超市返回学生公寓的速度为0.25 km/min；③当小琪离学生公寓的距离为1km时，他离开学生公寓的时间为10或116 min．（Ⅲ）当0≤x≤92时，请直接写出y关于x的函数解析式．0.08x−5.36(82＜x≤92)（2022•陕西中考）如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值．输入x…﹣6 ﹣4 ﹣2 0 2 …输出y…﹣6 ﹣2 2 6 16 …根据以上信息，解答下列问题：（1）当输入的x值为1时，输出的y值为8 ；（2）求k，b的值；（3）当输出的y值为0时，求输入的x值．【解析】（1）当输入的x值为1时，输出的y值为y＝8x＝8×1＝8，。
2021年四川省中考数学试题分类汇编——专题5二次函数(含解析)
2021年四川省中考数学试题分类汇编——专题5二次函数一．选择题（共8小题）1．（2021•达州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（2，0），且对称轴为直线x=12，有下列结论：①abc＞0；②a+b＞0；③4a+2b+3c＜0；④无论a，b，c取何值，抛物线一定经过（c2a，0）；⑤4am2+4bm﹣b≥0．其中正确结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（2021•广元）将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y＝x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（）A．−214或﹣3B．−134或﹣3C．214或﹣3D．134或﹣33．（2021•广安）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0，②4a﹣2b+c＜0，③a﹣b≥x（ax+b），④3a+c＜0，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（2021•眉山）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为（）A．y＝﹣x2﹣4x+5B．y＝x2+4x+5C．y＝﹣x2+4x﹣5D．y＝﹣x2﹣4x﹣5 5．（2021•资阳）已知A、B两点的坐标分别为（3，﹣4）、（0，﹣2），线段AB上有一动点M（m，n），过点M作x轴的平行线交抛物线y＝a（x﹣1）2+2于P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点．若x1＜m≤x2，则a的取值范围为（）A．﹣4≤a＜−32B．﹣4≤a≤−32C．−32≤a＜0D．−32＜a＜06．（2021•凉山州）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（）A．abc＞0B．函数的最大值为a﹣b+cC．当﹣3≤x≤1时，y≥0D．4a﹣2b+c＜07．（2021•遂宁）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b2＜4ac；③2c＜3b；④a+b＞m（am+b）（m≠1）；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个8．（2021•泸州）直线l过点（0，4）且与y轴垂直，若二次函数y＝（x﹣a）2+（x﹣2a）2+（x﹣3a）2﹣2a2+a（其中x是自变量）的图象与直线l有两个不同的交点，且其对称轴在y轴右侧，则a的取值范围是（）A．a＞4B．a＞0C．0＜a≤4D．0＜a＜4二．填空题（共2小题）9．（2021•南充）关于抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0），给出下列结论：①当a＜0时，抛物线与直线y＝2x+2没有交点；②若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；③若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）围成的三角形区域内（包括边界），则a≥1．其中正确结论的序号是．10．（2021•成都）在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y＝x2+2x+k与x轴只有一个交点，则k＝．三．解答题（共16小题）11．（2021•广元）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值：x…﹣10123…y…03430…（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求AQ+QP+PC的最小值；（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD的外接圆与DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．12．（2021•达州）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．（1）写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？13．（2021•达州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A和C（1，0），交y轴于点B（0，3），抛物线的对称轴交x轴于点E，交抛物线于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）将线段OE绕着点O沿顺时针方向旋转得到线段OE'，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AE′，BE′，求BE′+13AE′的最小值；（3）M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A，B，M，N 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由．14．（2021•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为（3，0），B点坐标为（﹣1，0），连接AC、BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒√2个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q 从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．（1）求b、c的值．（2）在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？（3）在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．15．（2021•资阳）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且B（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P 是抛物线上位于直线AC 上方的一点，BP 与AC 相交于点E ，当PE ：BE ＝1：2时，求点P 的坐标；（3）如图2，点D 是抛物线的顶点，将抛物线沿CD 方向平移，使点D 落在点D '处，且DD '＝2CD ，点M 是平移后所得抛物线上位于D '左侧的一点，MN ∥y 轴交直线OD '于点N ，连结CN ．当√55D 'N +CN 的值最小时，求MN 的长． 16．（2021•南充）超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克，同样数量的苹果只用200元．（1）求苹果的进价；（2）如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格减少2元/千克，写出购进苹果的支出y （元）与购进数量x （千克）之间的函数关系式；（3）超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完，据统计，销售单价z （元/千克）与一天销售数量x （千克）的关系为z =−1100x +12．在（2）的条件下，要使超市销售苹果利润w （元）最大，求一天购进苹果数量．（利润＝销售收入﹣购进支出）17．（2021•眉山）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2+bx +4（a ≠0）经过点A （﹣2，0）和点B （4，0）．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）点P 为该抛物线上一点（不与点C 重合），直线CP 将△ABC 的面积分成2：1两部分，求点P 的坐标；（3）点M 从点C 出发，以每秒1个单位的速度沿y 轴移动，运动时间为t 秒，当∠OCA＝∠OCB﹣∠OMA时，求t的值．18．（2021•南充）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x=5 2．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．19．（2021•乐山）已知关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）二次函数y＝x2+x﹣m的部分图象如图所示，求一元二次方程x2+x﹣m＝0的解．20．（2021•乐山）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象开口向上，且经过点A （0，32），B （2，−12）．（1）求b 的值（用含a 的代数式表示）；（2）若二次函数y ＝ax 2+bx +c 在1≤x ≤3时，y 的最大值为1，求a 的值；（3）将线段AB 向右平移2个单位得到线段A ′B ′．若线段A ′B ′与抛物线y ＝ax 2+bx +c +4a ﹣1仅有一个交点，求a 的取值范围．21．（2021•成都）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝a （x ﹣h ）2+k 与x 轴相交于O ，A 两点，顶点P 的坐标为（2，﹣1）．点B 为抛物线上一动点，连接AP ，AB ，过点B 的直线与抛物线交于另一点C ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点B 的横坐标与纵坐标相等，∠ABC ＝∠OAP ，且点C 位于x 轴上方，求点C 的坐标；（3）若点B 的横坐标为t ，∠ABC ＝90°，请用含t 的代数式表示点C 的横坐标，并求出当t ＜0时，点C 的横坐标的取值范围．22．（2021•凉山州）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C点，AC=√10，OB＝OC＝3OA．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大，求出点P的坐标；（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q，使点P、B、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．23．（2021•遂宁）某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元．（1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？24．（2021•遂宁）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B（﹣3，0）两点，与y轴交于C（0，﹣3），对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝﹣2x+m经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F．（1）求抛物线的解析式和m的值；（2）在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；（3）直线y＝1上有M、N两点（M在N的左侧），且MN＝2，若将线段MN在直线y ＝1上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）．25．（2021•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−14x2+32x+4与两坐标轴分别相交于A，B，C三点．（1）求证：∠ACB＝90°；（2）点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．①求DE+BF的最大值；②点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，求点D的坐标．26．（2021•自贡）如图，抛物线y＝（x+1）（x﹣a）（其中a＞1）与x轴交于A、B两点，交y轴于点C．（1）直接写出∠OCA的度数和线段AB的长（用a表示）；（2）若点D为△ABC的外心，且△BCD与△ACO的周长之比为√10：4，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的前提下，试探究抛物线y＝（x+1）（x﹣a）上是否存在一点P，使得∠CAP＝∠DBA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2021年四川省中考数学试题分类汇编——专题5二次函数参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．【解答】解：①∵抛物线的对称轴为直线x =12，即对称轴在y 轴的右侧， ∴ab ＜0，∵抛物线与y 轴交在负半轴上，∴c ＜0，∴abc ＞0，故①正确；②∵抛物线的对称轴为直线x =12，∴−b 2a =12，∴﹣2b ＝2a ，∴a +b ＝0，故②不正确；③∵抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）经过点（2，0），∴4a +2b +c ＝0，∵c ＜0，∴4a +2b +3c ＜0，故③正确；④由对称得：抛物线与x 轴另一交点为（﹣1，0），∵{a +b =04a +2b +c =0， ∴c ＝﹣2a ，∴c 2a =−1，∴当a ≠0，无论b ，c 取何值，抛物线一定经过（c 2a ，0），故④正确；⑤∵b ＝﹣a ， ∴4am 2+4bm ﹣b ＝4am 2﹣4am +a ＝a （4m 2﹣4m +1）＝a （2m ﹣1）2，∵a＞0，∴a（2m﹣1）2≥0，即4am2+4bm﹣b≥0，故⑤正确；本题正确的有：①③④⑤，共4个．故选：D．2．【解答】解：二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点坐标为（1，4），当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的交点为A（﹣1，0），B（3，0），把抛物线y＝﹣x2+2x+3图象x轴S4方的部分沿x轴翻折到x轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3），顶点坐标M（1，﹣4），如图，当直线y＝x+b过点B时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，∴3+b＝0，解得b＝﹣3；当直线y＝x+b与抛物线y＝（x﹣1）2﹣4（﹣3≤x≤1）相切时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，即（x﹣1）2﹣4＝x+b有相等的实数解，整理得x2﹣3x﹣b﹣3＝0，△＝32﹣4（﹣b﹣3）＝0，解得b=−21 4，所以b的值为﹣3或−21 4，故选：A．3．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴为直线x＝﹣1，即−b2a=−1，∴b＝2a，则b＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＞0，故①正确；∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点横坐标在0和1之间，则与x轴的另一个交点在﹣2和﹣3之间，∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，故②错误；∵x＝﹣1时，y＝ax2+bx+c的最大值是a﹣b+c，∴a﹣b+c≥ax2+bx+c，∴a﹣b≥ax2+bx，即a﹣b≥x（ax+b），故③正确；∵当x＝1时，y＝a+b+c＜0，b＝2a，∴a+2a+c＝3a+c＜0，故④正确；故选：C．4．【解答】解：由抛物线y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）²+1知，抛物线顶点坐标是（2，1）．由抛物线y＝x2﹣4x+5知，C（0，5）．∴抛物线y＝x2﹣4x+5的顶点坐标是（﹣2，9）．∴该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为：y＝﹣（x+2）²+9＝﹣x²﹣4x+5．故选：A．5．【解答】解：如图，由题意，抛物线的开口向下，a＜0．当抛物线y＝a（x﹣1）2+2经过点A(3,﹣4)时，﹣4＝4a+2,∴a=−3 2,观察图象可知，当抛物线与线段AB没有交点或经过点A时，满足条件,∴−32≤a＜0．故选：C．6．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=−1，∴b＝2a＜0，∵抛物线与y轴的交点坐标在x轴上方，∴c＞0，∴abc＞0，所以A不符合题意；当x＝﹣1时，函数的最大值为：a•(﹣1)2+b•(﹣1)+c＝a﹣b+c，故B不符合题意；由图可知，抛物线与x轴的另一交点为（﹣3,0），所以﹣3≤x≤1时，y≥0,故C不符合题意；当x＝﹣2时，y＞0,所以，a•(﹣2)2+b•(﹣2)+c＞0,即4a﹣2b+c＞0,故D符合题意，故选：D．7．【解答】解：①二次函数图象性质知，开口向下，则a＜0．再结合对称轴−b2a＞0，得b＞0．据二次函数图象与y轴正半轴相交得c＞0．∴abc＜0．①错．②二次函数图象与x轴交于不同两点，则b2﹣4ac＞0．∴b2＞4ac．②错．③∵−b2a=1，∴b＝﹣2a．又当x＝﹣1时，y＜0．即a﹣b+c＜0．∴2a﹣2b+2c＜0．∴﹣3b+2c＜0．2c＜3b．∴③正确．④要使a+b＞m（am+b）（m≠1）成立，只须a+b+c＞m（am+b）+c成立．即当x＝1时的y值大于当x＝m时的y值成立．由于x＝1时函数有最大值，所以上述式子成立．∴④正确．⑤将x轴下方二次函数图象翻折到x轴上方，则与直线y＝1有四个交点即可．由二次函数图像的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为4．故⑤错．综上：③④正确，故选：A．8．【解答】解：∵直线l过点（0，4）且与y轴垂直，∴直线l为：y＝4，∵二次函数y＝（x﹣a）2+（x﹣2a）2+（x﹣3a）2﹣2a2+a的图象与直线l有两个不同的交点，∴（x﹣a）2+（x﹣2a）2+（x﹣3a）2﹣2a2+a＝4，整理得：3x2﹣12ax+12a2+a﹣4＝0，△＝（﹣12a）2﹣4×3（12a2+a﹣4）＝144a2﹣144a2﹣12a+48＝﹣12a+48＞0，∴a＜4，又∵二次函数y＝（x﹣a）2+（x﹣2a）2+（x﹣3a）2﹣2a2+a＝3x2﹣12ax+12a2+a对称轴在y轴右侧，∴−−12a2×3=2a＞0，∴a＞0，∴0＜a＜4，故选：D．二．填空题（共2小题）9．【解答】解：由{y =2x +2y =ax 2−2x +1,消去y 得到，ax 2﹣4x ﹣1＝0, ∵△＝16+4a ,a ＜0,∴△的值可能大于0，∴抛物线与直线y ＝2x +2可能有交点，故①错误．∵抛物线与x 轴有两个交点,∴△＝4﹣4a ＞0,∴a ＜1,∵抛物线经过(0,1),且x ＝1时，y ＝a ﹣1＜0,∴抛物线与x 轴的交点一定在（0,0）与（1,0）之间．故②正确，∵抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）围成的三角形区域内（包括边界）， ∴−−22a＞0, ∴a ＞0,∴1＞4a−44a≥0, 解得，a ≥1,故③正确，故答案为：②③．10．【解答】解：由题意得：△＝b 2﹣4ac ＝4﹣4k ＝0，解得k ＝1，故答案为1．三．解答题（共16小题）11．【解答】解：（1）根据表格可得出A （﹣1，0），B （3，0），C （0，3）， 设抛物线解析式为y ＝a （x +1）（x ﹣3），将C （0，3）代入，得：3＝a （0+1）（0﹣3），解得：a ＝﹣1，∴y ＝﹣（x +1）（x ﹣3）＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，∴该抛物线解析式为y ＝﹣x 2+2x +3，顶点坐标为M （1，4）；（2）如图1，将点沿y 轴向下平移1个单位得C ′（0，2），连接BC ′交抛物线对称轴x ＝1于点Q ′，过点C 作CP ′∥BC ′，交对称轴于点P ′，连接AQ ′，∵A、B关于直线x＝1对称，∴AQ′＝BQ′，∵CP′∥BC′，P′Q′∥CC′，∴四边形CC′Q′P′是平行四边形，∴CP′＝C′Q′，Q′P′＝CC′＝1，在Rt△BOC′中，BC′=√OC′2+OB2=√22+32=√13，∴AQ′+Q′P′+P′C＝BQ′+C′Q′+Q′P′＝BC′+Q′P′=√13+1，此时，C′、Q′、B三点共线，BQ′+C′Q′的值最小，∴AQ+QP+PC的最小值为√13+1；（4）线段EF的长为定值1.如图2，连接BE，设D（t，﹣t2+2t+3），且t＞3，∵EF⊥x轴，∴DF＝﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t﹣3，∵F（t，0），∴BF＝OF﹣OB＝t﹣3，AF＝t﹣（﹣1）＝t+1，∵四边形ABED是圆内接四边形，∴∠DAF+∠BED＝180°，∵∠BEF+∠BED＝180°，∴∠DAF＝∠BEF，∵∠AFD＝∠EFB＝90°，∴△AFD∽△EFB，∴EFBF =AFDF，∴EFt−3=t+1t2−2t−3，∴EF=(t+1)(t−3)t2−2t−3=t2−2t−3t2−2t−3=1，∴线段EF的长为定值1．12．【解答】解：（1）由题意得：W＝（48﹣30﹣x）（500+50x）＝﹣50x2+400x+9000，x＝2时，W＝（48﹣30﹣2）（500+50×2）＝9600（元），答：工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系为W＝﹣50x2+400x+9000，当降价2元时，工厂每天的利润为9600元；（2）由（1）得：W＝﹣50x2+400x+9000＝﹣50（x﹣4）2+9800，∵﹣50＜0，∴x＝4时，W最大为9800，即当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元；（3）﹣50x2+400x+9000＝9750，解得：x 1＝3，x 2＝5，∵让利于民，∴x 1＝3不合题意，舍去，∴定价应为48﹣5＝43（元），答：定价应为43元．13．【解答】解：（1）把C （1，0），B （0，3）代入y ＝﹣x 2+bx +c 中，得：{−1+b +c =0c =3， ∴b ＝﹣2，c ＝3，∴y ＝﹣x 2﹣2x +3，（2）在OE 上取一点D ，使得OD =13OE ，连接DE '，BD ，∵OD =13OE =13OE′，对称轴x ＝﹣1，∴E （﹣1，0），OE ＝1，∴OE '＝OE ＝1，OA ＝3，∴OE′OA =OD OE′=13， 又∵∠DOE '＝∠E 'OA ，△DOE '∽△E 'OA ，∴DE ′=13AE′，∴BE ′+13AE′=BE′+DE′，当B ，E '，D 三点共线时，BE ′+DE ′最小为BD ，BD =√OD 2+OB 2=√32+(13)2=√823，∴BE ′+13AE′的最小值为√823； （3）∵A （﹣3，0），B （0，3），设N （n ，﹣n 2﹣2n +3），M （x ，y ），则AB 2＝18，AN 2＝（n 2+2n ﹣3）2+（n +3）2，BN 2＝n 2+（n 2+2n ）2，∵ABMN 构成的四边形是矩形，∴△ABN 是直角三角形，若AB 是斜边，则AB 2＝AN 2+BN 2，即18＝（n 2+2n ﹣3）2+（n +3）2+n 2+（n 2+2n ）2，解得：n 1=−1−√52，n 2=−1+√52， ∴N 的横坐标为−1−√52或−1+√52， 若AN 是斜边，则AN 2＝AB 2+BN 2，即（n 2+2n ﹣3）2+（n +3）2＝18+n 2+（n 2+2n ）2，解得n ＝﹣1，∴N 的横坐标是﹣1，若BN 是斜边，则BN 2＝AB 2+AN 2，即n 2+（n 2+2n ）2＝18+（n 2+2n ﹣3）2+（n +3）2，解得n ＝2，∴N 的横坐标为2，综上N 的横坐标为−1−√52，−1+√52，﹣1，2．14．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A （3，0），B （﹣1，0），则 {0=−9+3b +c 0=−1−b +c， 解得：{b =2c =3； （2）由（1）得：抛物线表达式为y ＝﹣x 2+2x +3，C （0，3），A （3，0），∴△OAC 是等腰直角三角形，由点P 的运动可知：AP =√2t ，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为E ，∴AE ＝PE =√2t√2=t ，即E （3﹣t ，0），又Q （﹣1+t ，0），∴S 四边形BCPQ ＝S △ABC ﹣S △APQ=12×4×3−12×[3−(−1+t)]t =12t 2−2t +6，∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，AC =√32+32=3√2，AB ＝4，∴0≤t ≤3，∴当t ＝2时，四边形BCPQ 的面积最小，即为12×22−2×2+6=4；（3）∵点M 是线段AC 上方的抛物线上的点，如图，过点P 作x 轴的垂线，交x 轴于E ，过M 作y 轴的垂线，与EP 交于F ，∵△PMQ 是等腰直角三角形，PM ＝PQ ，∠MPQ ＝90°，∴∠MPF +∠QPE ＝90°，又∠MPF +∠PMF ＝90°，∴∠PMF ＝∠QPE ，在△PFM 和△QEP 中，{∠F =∠QEP∠PMF =∠QPE PM =PQ，∴△PFM ≌△QEP （AAS ），∴MF ＝PE ＝t ，PF ＝QE ＝4﹣2t ，∴EF ＝4﹣2t +t ＝4﹣t ，又OE ＝3﹣t ，∴点M 的坐标为（3﹣2t ，4﹣t ），∵点M 在抛物线y ＝﹣x 2+2x +3上，∴4﹣t ＝﹣（3﹣2t ）2+2（3﹣2t ）+3，解得：t =9−√178或9+√178（舍）， ∴M 点的坐标为（3+√174，23+√178）．15．【解答】解：（1）∵y ＝﹣x 2+bx +c 经过B （﹣1，0），C （0，3），∴{c =3−1−b +c =0， 解得{b =2c =3， ∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x +3．（2）如图1中，过点B 作BT ∥y 轴交AC 于T ，过点P 作PQ ∥OC 交AC 于Q ．设P （m ，﹣m 2+2m +3），对于抛物线y ＝﹣x 2+2x +3，令y ＝0，可得x ＝3或﹣1，∴A （3，0），∵C （0，3），∴直线AC 的解析式为y ＝﹣x +3，∵B （﹣1，0），∴T （﹣1，4），∴BT ＝4，∵PQ ∥OC ，∴Q （m ，﹣m +3），∴PQ ＝﹣m 2+2m +3﹣（﹣m +3）＝﹣m 2+3m ，∵PQ ∥BT ，∴PQ BT =PE BE =12， ∴﹣m 2+3m ＝2，解得m ＝1或2，∴P （1，4）或（2，3）．（3）如图2中，连接AD ，过点N 作NJ ⊥AD 于J ，过点C 作CT ⊥AD 于T ．∵抛物线y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，∴顶点D （1，4），∵C （0，3），∴直线CD 的解析式为y ＝x +3，CD =√2，∵DD ′＝2CD ，∵DD ′＝2√2，CD ′＝3√2，∴D ′（3，6），∵A （3，0），∴AD ′⊥x 轴，∴OD ′=√OA 2+D′A 2=√32+62=3√5，∴sin ∠OD ′A =OA OD′=√55，∵CT ⊥AD ′，∴CT ＝3，∵NJ ⊥AD ′，∴NJ ＝ND ′•sin ∠OD ′A =√55D ′N ，∴√55D 'N +CN ＝CN +NJ ， ∵CN +NJ ≥CT ，∴√55D 'N +CN ≥3， ∴√55D 'N +CN 的最小值为3， 此时N （1.5，3）N （1.5，3.75），∴MN ＝0.75．16．【解答】(1)解：设苹果的进价为x 元/千克，根据题意得：300x+2=200x−2，解得：x ＝10，经检验x ＝10是原方程的根，且符合题意，答：苹果的进价为10元/千克．(2)解：当0≤x ≤100时，y ＝10x ；当x ＞100时，y ＝10×100+(x ﹣100)(10﹣2)＝8x +200；∴y ={10x(0≤x ≤100)8x +200(x >100)． (3)解：当0≤x ≤100时，w ＝(z ﹣10)x＝(−1100x +12−10)x =−1100(x −100)2+100，∴当x ＝100时，w 有最大值为100；当100＜x ≤300时，w ＝(z ﹣10)×100+(z ﹣8)(x ﹣100)＝(−1100x +12−10)×100+(−1100x +12−8)(x ﹣100)=−1100x 2+4x −200 =−1100(x −200)2+200， ∴当x ＝200时，w 有最大值为200；∵200＞100，∴一天购进苹果数量为200千克时，超市销售苹果利润最大为200元．答：一天购进苹果数量为200千克时，超市销售苹果利润最大．17．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y ＝a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2），则y ＝a （x +2）（x ﹣4）＝ax 2﹣2ax ﹣8a ，即﹣8a ＝4，解得a =−12，故抛物线的表达式为y =−12x 2+x +4①；（2）由点A 、B 的坐标知，OB ＝2OA ，故CO 将△ABC 的面积分成2：1两部分，此时，点P 不在抛物线上；如图1，当BH =13AB ＝2时，CH 将△ABC 将△ABC 的面积分成2：1两部分，即点H 的坐标为（2，0），则CH 和抛物线的交点即为点P ，由点C 、H 的坐标得，直线CH 的表达式为y ＝﹣2x +4②，联立①②并解得{x =6y =−8（不合题意的值已舍去）， 故点P 的坐标为（6，﹣8）；（3）在点OB 上取点E （2，0），则∠ACO ＝∠OCE ，∵∠OCA ＝∠OCB ﹣∠OMA ，故∠AMO ＝∠ECB ，过点E 作EH ⊥BC 于点H ，在△BCE 中，由OB ＝OC 知，∠OBC ＝45°，则EH =√22EB =√22（4﹣2）=√2=BH ，由点B 、C 的坐标知，BC ＝4√2，则CH ＝BC ＝BH ＝4√2−√2=3√2，则tan ∠ECB =EH CH =√23√2=13=tan ∠AMO ， 则tan ∠AMO =AO OM =2OM =13，则OM ＝6，故CM ＝OM ±OC ＝6±4＝2或10，则t ＝2或10．18．【解答】解：（1）由题意得：{a +b +4=0−b 2a =52，解得{a =1b =−5， 故抛物线的表达式为y ＝x 2﹣5x +4①；（2）对于y ＝x 2﹣5x +4，令y ＝x 2﹣5x +4＝0，解得x ＝1或4，令x ＝0，则y ＝4， 故点B 的坐标为（4,0），点C （0,4），设直线BC 的表达式为y ＝kx +t ，则{t =44k +t =0，解得{k =−1t =4， 故直线BC 的表达式为y ＝﹣x +4，设点P 的坐标为（x ，﹣x +4），则点Q 的坐标为（x ，x 2﹣5x +4），则PQ ＝（﹣x +4）﹣（x 2﹣5x +4）＝﹣x 2+4x ，∵﹣1＜0，故PQ 有最大值，当x ＝2时，PQ 的最大值为4＝CO ，此时点Q 的坐标为（2，﹣2）；∵PQ ＝CO ，PQ ∥OC ，故四边形OCPQ 为平行四边形；（3）∵D 是OC 的中点，则点D （0,2），由点D 、Q 的坐标，同理可得，直线DQ 的表达式为y ＝﹣2x ﹣2，过点Q 作QH ⊥x 轴于点H ，则QH ∥CO ，故∠AQH ＝∠ODA ，而∠DQE ＝2∠ODQ ．∴∠HQA ＝∠HQE ，则直线AQ 和直线QE 关于直线QH 对称，故设直线QE 的表达式为y ＝2x +r ，将点Q 的坐标代入上式并解得r ＝﹣6，故直线QE 的表达式为y ＝2x ﹣6②，联立①②并解得{x =5y =4（不合题意的值已舍去）， 故点E 的坐标为（5,4），设点F 的坐标为（0，m ），由点B 、E 的坐标得：BE 2＝（5﹣4）2+（4﹣0）2＝17，同理可得，当BE ＝BF 时，即16+m 2＝17，解得m ＝±1；当BE ＝EF 时，即25+（m ﹣4）2＝17，方程无解；当BF ＝EF 时，即16+m 2＝25+（m ﹣4）2，解得m =258； 故点F 的坐标为（0,1）或（0，﹣1）或（0，258）．19．【解答】解：（1）∵一元二次方程x 2+x ﹣m ＝0有两个不相等的实数根，∴△＞0，即1+4m ＞0，∴m ＞−14；（2）二次函数y ＝x 2+x ﹣m 图象的对称轴为直线x =−12，∴抛物线与x 轴两个交点关于直线x =−12对称，由图可知抛物线与x 轴一个交点为（1，0），∴另一个交点为（﹣2，0），∴一元二次方程x 2+x ﹣m ＝0的解为x 1＝1，x 2＝﹣2．20．【解答】解：（1）∵二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象开口向上，经过点A （0，32），B （2，−12），∴{ a ＞0c =324a +2b +c =−12， ∴b ＝﹣2a ﹣1（a ＞0）．（2）∵二次函数y ＝ax 2﹣（2a +1）x +32，a ＞0，在1≤x ≤3时，y 的最大值为1， ∴x ＝1时，y ＝1或x ＝3时，y ＝1，∴1＝a ﹣（2a +1）+32或1＝9a ﹣3（2a +1）+32，解得a =−12（舍弃）或a =56．∴a =56．（3）∵线段AB 向右平移2个单位得到线段A ′B ′，∴A ′（2，32），B ′（4，−12）． ∵线段A ′B ′与抛物线y ＝ax 2﹣（2a +1）x +12+4a 仅有一个交点，∴{4a −2(2a +1)+12+4a ≤3216a −4(2a +1)+12+4a ≥−12， 解得，14≤a ≤34． 或{4a −2(2a +1)+12+4a ≥3216a −4(2a +1)+12+4a ≤−12不等式组无解， ∴14≤a ≤34． 21．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝a （x ﹣h ）2+k ，顶点P 的坐标为（2，﹣1）， ∴h ＝2,k ＝﹣1,即抛物线y ＝a （x ﹣h ）2+k 为y ＝a (x ﹣2)2﹣1,∵抛物线y ＝a （x ﹣h ）2+k 经过O ，即y ＝a (x ﹣2)2﹣1的图象过（0,0）， ∴0＝a (0﹣2)2﹣1,解得a =14,∴抛物线表达为y =14(x ﹣2)2﹣1=14x 2﹣x ；（2）在y =14x 2﹣x 中，令y ＝x 得x =14x 2﹣x ,解得x ＝0或x ＝8,∴B (0,0)或B (8，8),①当B (0，0)时，过B 作BC ∥AP 交抛物线于C ，此时∠ABC ＝∠OAP ，如图：在y =14x 2﹣x 中，令y ＝0,得14x 2﹣x ＝0， 解得x ＝0或x ＝4,∴A (4,0),设直线AP 解析式为y ＝kx +b ,将A (4,0)、P (2，﹣1)代入得：{0=4k+b−1=2k+b,解得{k=12 b=−2,∴直线AP解析式为y=12x﹣2,∵BC∥AP,∴设直线BC解析式为y=12x+b',将B(0，0)代入得b'＝0,∴直线BC解析式为y=1 2x,由{y=12xy=14x2−x 得{x=0y=0（此时为点O，舍去）或{x=6y=3,∴C(6,3)；②当B(8，8)时，过P作PQ⊥x轴于Q,过B作BH⊥x轴于H，作H关于AB的对称点M，作直线BM交抛物线于C,连接AM,如图：∵P(2，﹣1),A(4，0),∴PQ＝1，AQ＝2，Rt△APQ中，tan∠OAP=PQAQ=12,∵B(8,8),A(4,0),∴AH＝4,BH＝8,Rt△ABH中，tan∠ABH=AHBH=12,∴∠OAP＝∠ABH,∵H关于AB的对称点M,∴∠ABH＝∠ABM,∴∠ABM＝∠OAP,即C是满足条件的点，设M (x ,y ),∵H 关于AB 的对称点M , ∴AM ＝AH ＝4，BM ＝BH ＝8， ∴{(x −4)2+(y −0)2=42(x −8)2+(y −8)2=82, 两式相减变形可得x ＝8﹣2y ,代入即可解得{x =8y =0(此时为H ，舍去）或{x =85y =165, ∴M (85,165),设直线BM 解析式为y ＝cx +d ,将M (85,165),B (8，8)代入得；{8=8c +d165=85c +d ,解得{c =34d =2,∴直线BM 解析式为y =34x +2,解{y =34x +2y =14x 2−x 得{x =−1y =54或{x =8y =8（此时为B ,舍去）， ∴C (﹣1,54),综上所述，C 坐标为（6,3）或（﹣1，54）；（3）设BC 交y 轴于M ，过B 作BH ⊥x 轴于H ，过M 作MN ⊥BH 于N ,如图：∵点B 的横坐标为t ， ∴B (t ,14t 2﹣t ）,又A (4，0)，∴AH ＝|t ﹣4|,BH ＝|14t 2﹣t |,OH ＝|t |＝MN ,∵∠ABC ＝90°,∴∠MBN ＝90°﹣∠ABH ＝∠BAH , 且∠N ＝∠AHB ＝90°， ∴△ABH ∽△BMN ,∴AH BN=BH MN,即|t−4|BN=|14t 2−t||t|∴BN =|t 2−4t||14t 2−t|=4,∴NH =14t 2﹣t +4, ∴M (0,14t 2﹣t +4）,设直线BM 解析式为y ＝ex +14t 2﹣t +4, 将B (t ,14t 2﹣t ）代入得14t 2﹣t ＝et +14t 2﹣t +4,∴e =−4t ,∴直线BC 解析式为y =−4tx +14t 2﹣t +4，由{y =14x 2−x y =−4t x +14t 2−t +4得14x 2−x =−4t x +14t 2−t +4, 解得x 1＝t (B 的横坐标）,x 2=−t 2−4t+16t =−t −16t+4,∴点C 的横坐标为﹣t −16t +4； 当t ＜0时， x C ＝﹣t −16t +4 ＝(√−t )2+(√−t )2+4 ＝（√−t 4√−t 2+12,∴√−t =√−t时，x C 最小值是12，此时t ＝﹣4, ∴当t ＜0时，点C 的横坐标的取值范围是x C ≥12． 22．【解答】解：（1）∵OC ＝3OA ，AC =√10，∠AOC ＝90°， ∴OA 2+OC 2＝AC 2，即OA 2+（3OA ）2＝（√10）2， 解得：OA ＝1，∴OC ＝3，∴A （1，0），C （0，3）， ∵OB ＝OC ＝3， ∴B （﹣3，0），设抛物线解析式为y ＝a （x +3）（x ﹣1），将C （0，3）代入， 得：﹣3a ＝3， 解得：a ＝﹣1，∴y ＝﹣（x +3）（x ﹣1）＝﹣x 2﹣2x +3， ∴该抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3； （2）如图1，过点P 作PK ∥y 轴交BC 于点K ，设直线BC 解析式为y ＝kx +n ，将B （﹣3，0），C （0，3）代入， 得：{−3k +n =0n =3，解得：{k =1n =3，∴直线BC 解析式为y ＝x +3，设P （t ，﹣t 2﹣2t +3），则K （t ，t +3）， ∴PK ＝﹣t 2﹣2t +3﹣（t +3）＝﹣t 2﹣3t ，∴S △PBC ＝S △PBK +S △PCK =12PK •（t +3）+12PK •（0﹣t ）=32PK =32（﹣t 2﹣3t ）， S △ABC =12AB •OC =12×4×3＝6，∴S 四边形PBAC ＝S △PBC +S △ABC =32（﹣t 2﹣3t ）+6=−32（t +32）2+758， ∵−32＜0，∴当t =−32时，四边形PBAC 的面积最大，此时点P 的坐标为（−32，154）；（3）存在．如图2，分两种情况：点Q 在x 轴上方或点Q 在x 轴下方． ①当点Q 在x 轴上方时，P 与Q 纵坐标相等， ∴﹣x 2﹣2x +3=154，解得：x 1=−12，x 2=−32（舍去）， ∴Q 1（−12，154），②当点Q在x轴下方时，P与Q纵坐标互为相反数，∴﹣x2﹣2x+3=−15 4，解得：x1=−√31+22，x2=√31−22，∴Q2（−√31+22，−154），Q3（√31−22，−154），综上所述，Q点的坐标为Q1（−12，154），Q2（−√31+22，−154），Q3（√31−22，−154）．23．【解答】解：（1）设T恤的销售单价提高x元，由题意列方程得：（x+40﹣30）（300﹣10x）＝3360，解得：x1＝2或x2＝18，∵要尽可能减少库存，∴x2＝18不合题意，应舍去．∴T恤的销售单价应提高2元，答：T恤的销售单价应提高2元；（2）设利润为M元，由题意可得：M＝（x+40﹣30）（300﹣10x），＝﹣10x 2+200x +3000， ＝﹣10（x ﹣10）2+4000， ∴当x ＝10时，M 最大值 ＝4000元， ∴销售单价：40+10＝50（元），答：当服装店将销售单价定为50元时，得到最大利润是4000元．24．【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴x ＝﹣1，与x 轴的交点为A ，B （﹣3，0）， ∴A （1，0），∴可以假设抛物线的解析式为y ＝a （x +3）（x ﹣1）， 把C （0，﹣3）代入得到，a ＝1， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2+2x ﹣3． ∵直线y ＝﹣2x +m 经过点A （1，0）， ∴0＝﹣2+m ， ∴m ＝2．（2）如图1中，∵直线AF 的解析式为y ＝﹣2x +2交y 轴于D ，与抛物线交于点E ， ∴D （0，2），由{y =−2x +2y =x 2+2x −3，解得{x =1y =0即点A ，或{x =−5y =12， ∴E （﹣5，12）， 过点E 作EP ⊥y 轴于P ．∵∠EPD ＝∠AOD ＝90°，∠EDP ＝∠ODA ，∴△EDP∽△ADO，∴P（0，12）．过点E作EP′⊥DE交y轴于P′，同法可证，△P′DE∽△ADO，∴∠P′＝∠DAO，∴tan∠P′＝tan∠DAO，∴EPPP′=ODOA，∴5PP′=21，∴PP′＝2.5，∴P′（0，14.5），综上所述，满足条件的点P的坐标为（0，12）或（0，14.5）．（3）∵E，F为定点，∴线段EF的长为定值，∴当EM+FN的和最小时，四边形MEFN的周长最小，如图2中，画出直线y＝1，将点F向左平移2个单位得到F′，作点E关于直线y＝1的对称点E′，连接E′F′与直线y＝1交于点M，过点F作FN ∥E′F′交直线y＝1于点N，由作图可知，EM＝E′M，FN＝F′M，∵E′，M，F′三点共线，∴EM +FN ＝E ′M +F ′M ＝E ′F ′，此时EM +FN 的值最小， ∵点F 为直线y ＝﹣2x +2与x ＝﹣1的交点， ∴F （﹣1，4）， ∴F ′（﹣3，4）， ∵E （﹣5，12）， ∴E ′（﹣5，﹣10），如图，延长FF ′交线段EE ′于W ， ∵FF ′∥直线y ＝1， ∴FW ⊥EE ′，在Rt △WEF 中，EF =√EW 2+FW 2=√(12−4)2+(−1+5)2=4√5，在Rt △E ′F ′W 中，E ′F ′=√E′W 2+F′W 2=√(4+10)2+(−3+5)2=10√2， ∴四边形MEFN 的周长的最小值＝ME +FN +EF +MN ＝E ′F ′+EF +MN ＝10√2+4√5+2． 25．【解答】解：（1）y =−14x 2+32x +4中，令x ＝0得y ＝4，令y ＝0得x 1＝﹣2，x 2＝8， ∴A （﹣2，0），B （8，0），C （0，4）， ∴OA ＝2，OB ＝8，OC ＝4，AB ＝10， ∴AC 2＝OA 2+OC 2＝20，BC 2＝OB 2+OC 2＝80， ∴AC 2+BC 2＝100， 而AB 2＝102＝100， ∴AC 2+BC 2＝AB 2， ∴∠ACB ＝90°；（2）①设直线BC 解析式为y ＝kx +b ，将B （8，0），C （0，4）代入可得：{0=8k +b 4=b ，解得{k =−12b =4，∴直线BC 解析式为y =−12x +4，设第一象限D （m ，−14m 2+32m +4），则E （m ，−12m +4）， ∴DE ＝（−14m 2+32m +4）﹣（−12m +4）=−14m 2+2m ，BF ＝8﹣m ， ∴DE +BF ＝（−14m 2+2m ）+（8﹣m ） =−14m 2+m +8=−14（m ﹣2）2+9，∴当m ＝2时，DE +BF 的最大值是9； ②由（1）知∠ACB ＝90°， ∴∠CAB +∠CBA ＝90°， ∵DF ⊥x 轴于F ， ∴∠FEB +∠CBA ＝90°， ∴∠CAB ＝∠FEB ＝∠DEC ， （一）当A 与E 对应时，以点C ，D ，E 为顶点的三角形与△AOG 相似，只需OADE=AG CE或OA CE=AG DE，而G 为AC 中点，A （﹣2，0），C （0，4）， ∴G （﹣1，2），OA ＝2，AG =√5，由①知：DE =−14m 2+2m ，E （m ，−12m +4）， ∴CE =√(0−m)2+[4−(−12m +4)]2=√52m ， 当OA DE=AG CE时，2−14m 2+2m=√5√52m ，解得m ＝4或m ＝0（此时D 与C 重合，舍去）∴D （4，6）， 当OA CE=AG DE时，√52m =√5−14m 2+2m，解得m ＝3或m ＝0（舍去），∴D （3，254），∵Rt △AOC ，G 是AC 中点， ∴OG ＝AG ，∴∠GAO ＝∠GOA ，即∠CAB ＝∠GOA ， ∴∠DEC ＝∠GOA ， （二）当O 与E 对应时，以点C ，D ，E 为顶点的三角形与△AOG 相似，只需OA DE=OG CE或OA CE=OG DE，∵OG ＝AG ， ∴OA DE=OG CE与OADE=AG CE答案相同，同理OA CE=OG DE与或OA CE=AG DE答案相同，综上所述，以点C ，D ，E 为顶点的三角形与△AOG 相似，则D 的坐标为（4，6）或（3，254）．26．【解答】解：（1）定义抛物线y ＝（x +1）（x ﹣a ），令y ＝0，可得x ＝﹣1或a ， ∴B （﹣1，0），A （a ，0）， 令x ＝0，得到y ＝﹣a ， ∴C （0，﹣a ）， ∴OA ＝OC ＝a ，OB ＝1， ∴AB ＝1+a ． ∵∠AOC ＝90°， ∴∠OCA ＝45°．（2）∵△AOC 是等腰直角三角形， ∴∠OAC ＝45°， ∵点D 是△ABC 的外心，∴∠BDC ＝2∠CAB ＝90°，DB ＝DC ， ∴△BDC 也是等腰直角三角形， ∴△DBC ∽△OAC ， ∴BC AC=√104， ∴√1+a 2√2a=√104， 解得a ＝2或﹣2（舍弃），∴抛物线的解析式为y ＝（x +1）（x ﹣2）＝x 2﹣x ﹣2．（3）作点C 关于抛物线的对称轴x =12的对称点C ′，连接AC ′．∵C（0，﹣2），C′（1，﹣2），∴PC∥AB，∵BC，AC′关于直线x=12对称，∴CB＝AC′，∴四边形ABCP是等腰梯形，∴∠CBA＝∠C′AB，∵∠DBC＝∠OAC＝45°，∴∠ABD＝∠CAC′，∴当点P与点C′重合时满足条件，∴P（1，﹣2）．作点P关于直线AC的对称点E（0，﹣1），则∠EAC＝∠P AC＝∠ABD，作直线AE交抛物线于P′，点P′满足条件，∵A（2，0），E（0，﹣1），∴直线AE的解析式为y=12x﹣1，由{y=12x−1y=x2−x−2，解得{x=2y=0或{x=−12y=−54，∴P′（−12，−54），综上所述，满足条件的点P的坐标为（1，﹣2）或（−12，−54）．第41 页共41 页。
2021年中考数学真题分类汇编--函数：函数与几何(压轴题1)(老师版)
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）当∠CP′M为直角时，则P′C∥x轴，即可求解；当∠PCM为直角时，用解直角三角形的方法求出PN＝MN+PM＝6+ ＝ ，即可求解；
【详解】（1）将 代入 ，
化简得 ，则 （舍）或 ，
∴ ，
得： ，则 ．
设直线 对应的函数表达式为 ，
将 、 代入可得 ，解得 ，
则直线 对应的函数表达式为 ．
（2）如图，过点A作 ∥BC，设直线 与y轴的交点为G，将直线BC向下平移GC个单位，得到线 ，
【答案】（1） ；（2） ；（3）存在， 或 ．
6.（2021•株洲市）已知二次函数 ．
（1）若 ， ，求方程 的根的判别式的值；
（2）如图所示，该二次函数的图像与 轴交于点 、 ，且 ，与 轴的负半轴交于点 ，点 在线段 上，连接 、 ，满足 ， ．
①求证： ；
②连接 ，过点 作 于点 ，点 在 轴的负半轴上，连接 ，且 ，求 的值．
当x＝±2时，y＝ ＝±2，
故“雁点”坐标为（2,2）或（﹣2，﹣2）；
（2）①∵“雁点”的横坐标与纵坐标相等，
故“雁点”的函数表达式为y＝x，
∵物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“雁点”E，
则ax2+5x+c＝x，
则△＝25﹣4ac＝0，即ac＝4，
∵a＞1，
故c＜4；
②∵ac＝4，则ax2+5x+c＝0为ax2+5x+ ＝0，
作点C关于函数对称轴的对称点C′（2，8），作点D关于x轴的对称点D′（0，﹣4），
“三角函数”中考试题分类汇编(含答案)
1、锐角三角函数要点一：锐角三角函数的基本概念 一、选择题1.（2009·漳州中考）三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan α的值是（ ）A ．35B ．43 C ．34 D ．452.（2008·威海中考）在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝13，则sin B ＝（ ）A ．1010 B ．23C ．34D ．310103.（2009·齐齐哈尔中考）如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（ ）A ．23 B ．32 C ．34 D ．434.（2009·湖州中考）如图，在Rt ABC △中，ACB ∠=Rt ∠，1BC =，2AB =，则下列结论正确的是（ ） A ．3sin A =B ．1tan 2A = C ．3cosB = D ．tan 3B =5.（2008·温州中考）如图，在Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的中线，已知2CD =，3AC =，则sin B 的值是（ ）A ．23B ．32C ．34D ．436.（2007·泰安中考）如图，在ABC △中，90ACB ∠=，CD AB ⊥于D ，若23AC =，32AB =，则tan BCD ∠的值为（ ）（A ）2 （B ）22 （C ）63（D ）33二、填空题7.（2009·梧州中考）在△ABC 中，∠C ＝90°， BC ＝6 cm ，53sin =A ，则AB 的长是 cm ． .（2009·孝感中考）如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则 sin α= ．9.（2009·庆阳中考）如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，3sin 5A =，则这个菱形ACBD的面积= cm 2．答案：60 三、解答题10.(2009·河北中考) 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD = 24 m ，OE ⊥CD 于点E ．已测得sin ∠DOE =1213．（1）求半径OD ；（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降， 则经过多长时间才能将水排干？ 【11.（2009·綦江中考）如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE ．（1）求证：ABE △DFA ≌△；（2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值．12.（2008·宁夏中考）如图，在△ABC 中，∠C =90°，sin A =54，AB =15，求△ABC 的周长和tan A 的值．DABCEFOEC D14.（2007·芜湖中考）如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan cos B DAC =∠，(1) 求证：AC=BD ； (2)若12sin 13C =，BC =12，求AD 的长．要点二、特殊角的三角函数值 一、选择题1.（2009·钦州中考）sin30°的值为（ ）A ．32B ．22C ．12D ．33答案：C2.（2009·长春中考）．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，452AOC OC ∠==°，，则点B 的坐标为（ ）A ．2，B ．2)，C ．211)，D ．(121)，答案：C3.(2009·定西中考)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ） A ．8米 B ．3 C 83米 D 43米4.（2008·宿迁中考）已知α为锐角，且23)10sin(=︒-α，则α等于（ ） Ａ．︒50 Ｂ．︒60 Ｃ．︒70 Ｄ．︒805.（2008·毕节中考） A （cos60°，－tan30°）关于原点对称的点A 1的坐标是（ ）A ．1323⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，B ．3323⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，C ．1323⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭， D ．1322⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 6.（2007·襄樊中考）计算：2cos 45tan 60cos30+等于（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）3 二、填空题7. （2009·荆门中考）104cos30sin 60(2)(20092008)-︒︒+---=______．答案：238.（2009·百色中考）如图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B 与钢缆固定点C 的距离为4米，钢缆与地面的夹角为60º，则这条钢缆在电线杆上的固定点A 到地面的距离AB 是 米．（结果保留根号）．答案：439.（2008·江西中考）计算：（1）1sin 60cos302-= ． 答案：1410.（2007·济宁中考）计算sin 60tan 45cos30︒-︒︒的值是 。
中考数学真题分类函数专题(反比例函数)试题及答案详解
中考数学真题分类之函数专题——反比例函数一．反比例函数的定义（共2小题） 1．已知反比例函数的解析式为y =|a|−2x，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≠2B ．a ≠﹣2C ．a ≠±2D ．a ＝±2 2．等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是（ ）A ．正比例函数B ．一次函数C ．反比例函数D ．二次函数二．反比例函数的图象（共1小题）3．已知ab ＜0，一次函数y ＝ax ﹣b 与反比例函数y =ax在同一直角坐标系中的图象可能（ ）A ．B ．C ．D ．三．反比例函数的性质（共2小题）4．反比例函数y =2x的图象位于（ ）A ．第一、三象限B ．第二、三象限C ．第一、二象限D ．第二、四象限5．关于反比例函数y =5x 的图象，下列说法正确的（ ） A ．经过点（2，3） B ．分布在第二、第四象限 C ．关于直线y ＝x 对称D ．x 越大，越接近x 轴四．反比例函数系数k 的几何意义（共3小题）6．如图，矩形OABC 的边AB 与x 轴交于点D ，与反比例函数y =kx（k ＞0）在第一象限的图象交于点E ，∠AOD ＝30°，点E 的纵坐标为1，△ODE 的面积是4√33，则k 的值是 ．7．如图，矩形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴上，且关于y 轴对称，反比例函数y =k1x（x ＞0）的图象经过点C ，反比例函数y =k 2x（x ＜0）的图象分别与AD ，CD 交于点E ，F ，若S △BEF ＝7，k 1+3k 2＝0，则k 1等于 ．8．如图，菱形ABCD 的边AB 在x 轴上，点A 的坐标为（1，0），点D （4，4）在反比例函数y =k x（x ＞0）的图象上，直线y =23x +b 经过点C ，与y 轴交于点E ，连接AC ，AE ．（1）求k ，b 的值； （2）求△ACE 的面积．五．反比例函数图象上点的坐标特征（共8小题）9．如图，点A ，B 是直线y ＝x 上的两点，过A ，B 两点分别作x 轴的平行线交双曲线y =1x（x ＞0）于点C ，D ．若AC =√3BD ，则3OD 2﹣OC 2的值为（ ）A ．5B ．3√2C ．4D ．2√310．、若点（﹣1，y 1），（2，y 2），（3，y 3）在反比例函数y =kx（k ＜0）的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 3＞y 2＞y 1C ．y 1＞y 3＞y 2D ．y 2＞y 3＞y 111．如图，点A ，B 在双曲线y =3x（x ＞0）上，点C 在双曲线y =1x（x ＞0）上，若AC ∥y 轴，BC ∥x 轴，且AC ＝BC ，则AB 等于（ ） A ．√2 B ．2√2 C ．4 D ．3√212．反比例函数y =k x（x ＜0）的图象如图所示，下列关于该函数图象的四个结论：①k ＞0；②当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；③该函数图象关于直线y ＝﹣x 对称；④若点（﹣2，3）在该反比例函数图象上，则点（﹣1，6）也在该函数的图象上．其中正确结论的个数有 个．13．已知：函数y 1＝|x |与函数y 2=1|x|的部分图象如图所示，有以下结论：①当x ＜0时，y 1，y 2都随x 的增大而增大； ②当x ＜﹣1时，y 1＞y 2；③y 1与y 2的图象的两个交点之间的距离是2； ④函数y ＝y 1+y 2的最小值是2． 则所有正确结论的序号是 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，反比例y =kx（k ＞0）的图象和△ABC 都在第一象限内，AB ＝AC =52，BC ∥x 轴，且BC ＝4，点A 的坐标为（3，5）．若将△ABC 向下平移m 个单位长度，A ，C 两点同时落在反比例函数图象上，则m 的值为 ．15．一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，球上分别标有数字﹣1，1，2．第一次从袋中任意摸出一个小球（不放回），得到的数字作为点M 的横坐标x ；再从袋中余下的两个小球中任意摸出一个小球，得到的数字作为点M 的纵坐标y ．（1）用列表法或树状图法，列出点M （x ，y ）的所有可能结果；（2）求点M （x ，y ）在双曲线y =−2x上的概率．16．如图，已知菱形ABCD 的对称中心是坐标原点O ，四个顶点都在坐标轴上，反比例函数y =k x（k ≠0）的图象与AD 边交于E （﹣4，12），F （m ，2）两点． （1）求k ，m 的值；（2）写出函数y =kx图象在菱形ABCD 内x 的取值范围．六．待定系数法求反比例函数解析式（共3小题） 17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A （﹣1，2）．（1）将点A 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点B ，则点B 的坐标是 ．（2）点C 与点A 关于原点O 对称，则点C 的坐标是 ． （3）反比例函数的图象经过点B ，则它的解析式是 ． （4）一次函数的图象经过A ，C 两点，则它的解析式是 ．18．如图，已知平行四边形OABC 中，点O 为坐标原点，点A （3，0），C （1，2），函数y =kx （k ≠0）的图象经过点C ． （1）求k 的值及直线OB 的函数表达式： （2）求四边形OABC 的周长．19．如图，直线AB 与x 轴交于点A （1，0），与y 轴交于点B （0，2），将线段AB绕点A 顺时针旋转90°得到线段AC ，反比例函数y =kx（k ≠0，x ＞0）的图象经过点C ．（1）求直线AB 和反比例函数y =kx （k ≠0，x ＞0）的解析式；（2）已知点P 是反比例函数y =kx （k ≠0，x ＞0）图象上的一个动点，求点P 到直线AB 距离最短时的坐标．七．反比例函数与一次函数的交点问题（共5小题）20．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y 1＝kx +b （k 、b 是常数，且k ≠0）与反比例函数y 2=cx（c 是常数，且c ≠0）的图象相交于A （﹣3，﹣2），B （2，3）两点，则不等式y 1＞y 2的解集是（ ）A ．﹣3＜x ＜2B ．x ＜﹣3或x ＞2C ．﹣3＜x ＜0或x ＞2D ．0＜x ＜221．如图，一次函数y 1＝（k ﹣5）x +b 的图象在第一象限与反比例函数y 2=kx的图象相交于A ，B 两点，当y 1＞y 2时，x 的取值范围是1＜x ＜4，则k ＝ ．22．已知直线y ＝ax （a ≠0）与反比例函数y =kx（k ≠0）的图象一个交点坐标为（2，4），则它们另一个交点的坐标是 ．23．如图，已知反比例函数y =k x（x ＞0）的图象与一次函数y =−12x +4的图象交于A 和B （6，n ）两点． （1）求k 和n 的值；（2）若点C （x ，y ）也在反比例函数y =kx（x ＞0）的图象上，求当2≤x ≤6时，函数值y 的取值范围．24．如图，一次函数y ＝mx +b 的图象与反比例函数y =kx的图象交于A （3，1），B （−12，n ）两点．（1）求该反比例函数的解析式；（2）求n 的值及该一次函数的解析式．八．反比例函数的应用（共1小题）25．南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设．玉林良睦隧道是全线控制性工程，首期打通共有土石方总量为600千立方米，设计划平均每天挖掘土石方x 千立方米，总需用时间y 天，且完成首期工程限定时间不超过600天． （1）求y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围；（2）由于工程进度的需要，实际平均每天挖掘土石方比原计划多0.2千立方米，工期比原计划提前了100天完成，求实际挖掘了多少天才能完成首期工程？九．反比例函数综合题（共1小题）26．在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点坐标为A（0，0），B（6，0），C（6，8），D（0，8），AC，BD交于点E．（1）如图（1），双曲线y=k1x过点E，直接写出点E的坐标和双曲线的解析式；（2）如图（2），双曲线y=k2x 与BC，CD分别交于点M，N，点C关于MN的对称点C′在y轴上．求证△CMN～△CBD，并求点C′的坐标；（3）如图（3），将矩形ABCD向右平移m（m＞0）个单位长度，使过点E的双曲线y=k3x与AD交于点P．当△AEP为等腰三角形时，求m的值．参考答案与试题解析一．反比例函数的定义（共2小题） 1．【解答】解：根据反比例函数解析式中k 是常数，不能等于0，由题意可得：|a |﹣2≠0， 解得：a ≠±2， 故选：C ． 2．【解答】解：设等腰三角形的底角为y ，顶角为x ，由题意，得y =−12x +90°， 故选：B ．二．反比例函数的图象（共1小题）3．【解答】解：若反比例函数y =ax经过第一、三象限，则a ＞0．所以b ＜0．则一次函数y ＝ax ﹣b 的图象应该经过第一、二、三象限；若反比例函数y =ax经过第二、四象限，则a ＜0．所以b ＞0．则一次函数y ＝ax ﹣b 的图象应该经过第二、三、四象限． 故选项A 正确； 故选：A ．三．反比例函数的性质（共2小题） 4．【解答】解：∵k ＝2＞0，∴反比例函数经过第一、三象限； 故选：A ．5．【解答】解：A 、把点（2，3）代入反比例函数y =5x得2.5≠3不成立，故A 选项错误；B 、∵k ＝5＞0，∴它的图象在第一、三象限，故B 选项错误；C 、反比例函数有两条对称轴，y ＝x 和y ＝﹣x ；当x ＜0时，x 越小，越接近x 轴，故C 选项正确；D 、反比例函数有两条对称轴，y ＝x 和y ＝﹣x ；当x ＜0时，x 越小，越接近x 轴，故D 选项错误． 故选：C ．四．反比例函数系数k 的几何意义（共3小题） 6．【解答】解：如图，作EM ⊥x 轴于点M ，则EM ＝1． ∵△ODE 的面积是4√33， ∴12OD •EM =4√33，∴OD =8√33． 在直角△OAD 中，∵∠A ＝90°，∠AOD ＝30°， ∴∠ADO ＝60°，∴∠EDM ＝∠ADO ＝60°．在直角△EMD 中，∵∠DME ＝90°，∠EDM ＝60°， ∴DM =EM tan60°=√3=√33， ∴OM ＝OD +DM ＝3√3， ∴E （3√3，1）．∵反比例函数y =kx（k ＞0）的图象过点E ，∴k ＝3√3×1＝3√3． 故答案为3√3．7．【解答】解：设点B 的坐标为（a ，0），则A 点坐标为（﹣a ，0） 由图象可知，点C （a ，k 1a），E （﹣a ，−k 2a），D （﹣a ，k 1a），F （−a3，k 1a） 矩形ABCD 面积为：2a •k 1a=2k 1∴S △DEF =DE⋅DF 2=23a×(−2k 2a)2=−23k 2S △BCF =CF⋅BC2=43a×k 1a2=23k 1S △ABE =AB⋅AE2=2a×(−k 2a)2=−k 2∵S △BEF ＝7∴2k 1+23k 2−23k 1+k 2＝7 ①∵k 1+3k 2＝0∴k 2=−13k 1代入①式得43k 1+53×(−13k 1)=7解得k 1＝9 故答案为：9 8．【解答】解：（1）由已知可得AD ＝5， ∵菱形ABCD ，∴B （6，0），C （9，4），∵点D （4，4）在反比例函数y =kx（x ＞0）的图象上， ∴k ＝16，将点C （9，4）代入y =23x +b ，∴b ＝﹣2；（2）E （0，﹣2），直线y =23x ﹣2与x 轴交点为（3，0）， ∴S △AEC =12×2×（2+4）＝6；五．反比例函数图象上点的坐标特征（共8小题） 9．【解答】解：延长CA 交y 轴于E ，延长BD 交y 轴于F ． 设A 、B 的横坐标分别是a ，b ， ∵点A 、B 为直线y ＝x 上的两点， ∴A 的坐标是（a ，a ），B 的坐标是（b ，b ）．则AE ＝OE ＝a ，BF ＝OF ＝b ．∵C 、D 两点在交双曲线y =1x （x ＞0）上，则CE =1a，DF =1b． ∴BD ＝BF ﹣DF ＝b −1b，AC =1a−a ．又∵AC =√3BD ， ∴1a−a =√3（b −1b），两边平方得：a 2+1a2−2＝3（b 2+1b2−2），即a 2+1a 2=3（b 2+1b2）﹣4，在直角△ODF 中，OD 2＝OF 2+DF 2＝b 2+1b2，同理OC 2＝a 2+1a2， ∴3OD 2﹣OC 2＝3（b 2+1b 2）﹣（a 2+1a2）＝4．故选：C ．10．【解答】解：∵k ＜0，∴在每个象限内，y 随x 值的增大而增大， ∴当x ＝﹣1时，y 1＞0， ∵2＜3， ∴y 2＜y 3＜y 1 故选：C ．11．【解答】解：点C在双曲线y=1x上，AC∥y轴，BC∥x轴，设C（a，1a ），则B（3a，1a），A（a，3a），∵AC＝BC，∴3a −1a=3a﹣a，解得a＝1，（负值已舍去）∴C（1，1），B（3，1），A（1，3），∴AC＝BC＝2，∴Rt△ABC中，AB＝2√2，故选：B．12．【解答】解：观察反比例函数y=kx （x＜0）的图象可知：图象过第二象限，∴k＜0，所以①错误；因为当x＜0时，y随x的增大而增大；所以②正确；因为该函数图象关于直线y＝﹣x对称；所以③正确；因为点（﹣2，3）在该反比例函数图象上，所以k＝﹣6，则点（﹣1，6）也在该函数的图象上．所以④正确．所以其中正确结论的个数为3个．故答案为3．13．【解答】解：补全函数图象如图：①当x＜0时，y1随x的增大而减小，y2随x的增大而增大；故①错误；②当x＜﹣1时，y1＞y2；故②正确；③y1与y2的图象的两个交点之间的距离是2；故③正确；④∵（x﹣1）2≥0，∴x2+1≥2|x|，∵y＝y1+y2＝|x|+1|x|=x2+1|x|≥2，∴函数y ＝y 1+y 2的最小值是2． 故④正确．综上所述，正确的结论是②③④． 故答案为②③④．14．【解答】解：∵AB ＝AC =52，BC ＝4，点A （3，5）． ∴B （1，72），C （5，72）， 将△ABC 向下平移m 个单位长度，∴A （3，5﹣m ），C （5，72−m ）， ∵A ，C 两点同时落在反比例函数图象上，∴3（5﹣m ）＝5（72−m ）， ∴m =54；故答案为54；15．【解答】解：（1）用树状图表示为： 点M （x ，y ）的所有可能结果；（﹣1，1）（﹣1，2）（1，﹣1）（1，2）（2，﹣1）（2，1）共六种情况．（2）在点M 的六种情况中，只有（﹣1，2）（2，﹣1）两种在双曲线y =−2x上， ∴P =26=13；因此，点M （x ，y ）在双曲线y =−2x上的概率为13．16．【解答】解：（1）∵点E （﹣4，12）在y =k x上，∴k ＝﹣2，∴反比例函数的解析式为y =−2x， ∵F （m ，2）在y =−2x上，∴m ＝﹣1．（2）函数y =kx图象在菱形ABCD 内x 的取值范围为：﹣4＜x ＜﹣1或1＜x ＜4．六．待定系数法求反比例函数解析式（共3小题） 17．【解答】解：（1）将点A 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点B ，则点B 的坐标是（2，3）；（2）点C 与点A 关于原点O 对称，则点C 的坐标是（1，﹣2）；（3）设反比例函数解析式为y =kx， 把B （2，3）代入得：k ＝6，∴反比例函数解析式为y =6x；（4）设一次函数解析式为y ＝mx +n ，把A （﹣1，2）与C （1，﹣2）代入得：{−m +n =2m +n =−2，解得：{m =−2n =0，则一次函数解析式为y ＝﹣2x ．故答案为：（1）（2，3）；（2）（1，﹣2）；（3）y =6x；（4）y ＝﹣2x ．18．【解答】解：（1）依题意有：点C （1，2）在反比例函数y =kx（k ≠0）的图象上，∴k ＝xy ＝2， ∵A （3，0） ∴CB ＝OA ＝3， 又CB ∥x 轴， ∴B （4，2），设直线OB 的函数表达式为y ＝ax ， ∴2＝4a ，∴a =12，∴直线OB 的函数表达式为y =12x ；（2）作CD ⊥OA 于点D ， ∵C （1，2），∴OC =√12+22=√5， 在平行四边形OABC 中， CB ＝OA ＝3，AB ＝OC =√5，∴四边形OABC 的周长为：3+3+√5+√5=6+2√5， 即四边形OABC 的周长为6+2√5．19．【解答】解：（1）将点A（1，0），点B（0，2），代入y＝mx+b，∴b＝2，m＝﹣2，∴y＝﹣2x+2；∵过点C作CD⊥x轴，∵线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，∴△ABO≌△CAD（AAS），∴AD＝OB＝2，CD＝OA＝1，∴C（3，1），∴k＝3，∴y=3x ；（2）设与AB平行的直线y＝﹣2x+h，联立﹣2x+h=3x ，∴﹣2x2+hx﹣3＝0，当△＝h2﹣24＝0时，h＝2√6或﹣2√6（舍弃），此时点P到直线AB距离最短；∴P（√62，√6）；七．反比例函数与一次函数的交点问题（共5小题）20．【解答】解：∵一次函数y1＝kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2=c x （c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，∴不等式y1＞y2的解集是﹣3＜x＜0或x＞2．故选：C．21．【解答】解：由已知得A、B的横坐标分别为1，4，所以有{k −5+b =k4(k −5)+b =k 4解得k ＝4， 故答案为4． 22．【解答】解：∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，∴另一个交点的坐标与点（2，4）关于原点对称， ∴该点的坐标为（﹣2，﹣4）． 故答案为：（﹣2，﹣4）．23．【解答】解：（1）当x ＝6时，n =−12×6+4＝1， ∴点B 的坐标为（6，1）． ∵反比例函数y =kx 过点B （6，1），∴k ＝6×1＝6． （2）∵k ＝6＞0，∴当x ＞0时，y 随x 值增大而减小， ∴当2≤x ≤6时，1≤y ≤3．24．【解答】解：（1）∵反比例函数y =kx的图象经过A （3，1）， ∴k ＝3×1＝3，∴反比例函数的解析式为y =3x；（2）把B （−12，n ）代入反比例函数解析式，可得 −12n ＝3， 解得n ＝﹣6，∴B （−12，﹣6），把A （3，1），B （−12，﹣6）代入一次函数y ＝mx +b ，可得{1=3m +b−6=−12m +b，解得{m =2b =−5，∴一次函数的解析式为y ＝2x ﹣5．八．反比例函数的应用（共1小题）25．【解答】解：（1）根据题意可得：y =600x， ∵y ≤600， ∴x ≥1；（2）设实际挖掘了m天才能完成首期工程，根据题意可得：600 m −600m+100=0.2，解得：m＝﹣600（舍）或500，检验得：m＝500是原方程的根，答：实际挖掘了500天才能完成首期工程．九．反比例函数综合题（共1小题）26．【解答】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴DE＝EB，∵B（6，0），D（0，8），∴E（3，4），∵双曲线y=k1x 过点E，∴k1＝12．∴反比例函数的解析式为y=12x．（2）如图2中，∵点M，N在反比例函数的图象上，∴DN•AD＝BM•AB，∵BC＝AD，AB＝CD，∴DN•BC＝BM•CD，∴DNBM =CDBC，∴DNCD =BMCB，∴CNCD =CMCB，∵∠MCN ＝∠BCD ， ∴△MCN ∽△BCD ， ∴∠CNM ＝∠CDB ， ∴MN ∥BD ，∴△CMN ∽△CBD ． ∵B （6，0），D （0，8），∴直线BD 的解析式为y =−43x +8， ∵C ，C ′关于MN 对称， ∴CC ′⊥MN ， ∴CC ′⊥BD ， ∵C （6，8），∴直线CC ′的解析式为y =34x +72， ∴C ′（0，72）．（3）如图3中，①当AP ＝AE ＝5时，∵P （m ，5），E （m +3，4），P ，E 在反比例函数图象上， ∴5m ＝4（m +3）， ∴m ＝12．②当EP ＝AE 时，点P 与点D 重合，∵P （m ，8），E （m +3，4），P ，E 在反比例函数图象上， ∴8m ＝4（m +3）， ∴m ＝3．③显然PA ≠PE ，若相等，点P 在点E 的下方，显然不可能． 综上所述，满足条件的m 的值为3或12．。
2023年辽宁省各市中考数学试题真题汇编——函数(含答案)
函数（真题汇编）2023年辽宁省各市中考数学试题全解析版一．选择题（共8小题）;1．（2023•沈阳）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则k，b的取值范围是（ ）A．k＞0，b＞0B．k＞0，b＜0C．k＜0，b＞0D．k＜0，b＜0 2．（2023•沈阳）二次函数y＝﹣（x+1）2+2图象的顶点所在的象限是（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（2023•大连）已知蓄电池两端电压U为定值，电流I与R成反比例函数关系．当I＝4A时，R＝10Ω，则当I＝5A时R的值为（ ）A．6ΩB．8ΩC．10ΩD．12Ω4．（2023•大连）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为（ ）A．﹣2B．﹣1C．0D．25．（2023•锦州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，在△DEF中，DE＝DF＝5，EF＝8，BC与EF在同一条直线上，点C与点E重合．△ABC以每秒1个单位长度的速度沿线段EF所在直线向右匀速运动，当点B运动到点F时，△ABC停止运动．设运动时间为t秒，△ABC与△DEF重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）A．B．C．D．6．（2023•营口）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．下列说法：①abc＜0；②抛物线的对称轴为直线x＝﹣1；③当﹣3＜x＜0时，ax2+bx+c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而增大；⑤am2+bm≤a﹣b（m为任意实数），其中正确的个数是（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个7．（2023•辽宁）如图，∠MAN＝60°，在射线AM，AN上分别截取AC＝AB＝6，连接BC，∠MAN 的平分线交BC于点D，点E为线段AB上的动点，作EF⊥AM交AM于点F，作EG∥AM交射线AD于点G，过点G作GH⊥AM于点H，点E沿AB方向运动，当点E与点B重合时停止运动．设点E运动的路程为x，四边形EFHG与△ABC重叠部分的面积为S，则能大致反映S与x 之间函数关系的图象是（ ）A．B．C．D．8．（2023•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝3cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿射线AB匀速运动，到点B停止运动，同时动点Q从点A出发，以cm/s的速度沿射线AC匀速运动．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．在PQ的右侧以PQ为边作菱形PQMN，点N在射线AB上．设点P的运动时间为x（s），菱形PQMN与△ABC的重叠部分的面积为y（cm2），则能大致反映y与x之间函数关系的图象是（ ）A．B．C．D．二．填空题（共7小题）9．（2023•锦州）如图，在平面直角坐标系中，△AOC的边OA在y轴上，点C在第一象限内，点B＝（．（2023•锦州）如图，在平A4B4B5C4，…都是平行四边形，顶点C4，…都在正比例函数y＝x2A4C3，…，连接A1B2，A2B3，．（2023•辽宁）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），将线段AO转120°，得到线段AB，连接OB，点B恰好落在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则值是 ．．（2023•沈阳）若点＝的图象上，则y2．（用“＜”“＞”或“＝”填空）．（2023•大连）如图，在数轴上，且A在OC上方．连接AB．（2023•辽宁）如图，矩形＝（B，D，对角线CA的延长线经过原点三．解答题（共13小题）．（2023•辽宁）电商平台销售某款儿童组装玩具，进价为每件的销售量y（件）与每件玩具售价．（2023•大连）如图1，在平面直角坐标系为线段OB上一动点（不与点B重合）的重叠面积为S，S关于t的函数图象如图（1）OB的长为 ；△OAB（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量21．（2023•辽宁）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（4，0），与y轴交于点C （0，4），点E在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）点E在第一象限内，过点E作EF∥y轴，交BC于点F，作EH∥x轴，交抛物线于点H，点H在点E的左侧，以线段EF，EH为邻边作矩形EFGH，当矩形EFGH的周长为11时，求线段EH的长；（3）点M在直线AC上，点N在平面内，当四边形OENM是正方形时，请直接写出点N的坐标．22．（2023•锦州）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣1，0）和B，交y轴于点C（0，3），顶点为D．（1）求抛物线的表达式；（2）若点E在第一象限内对称轴右侧的抛物线上，四边形ODEB的面积为7，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，若点F是对称轴上一点，点H是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是菱形，且∠EFG＝60°，如果存在，请直接写出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．23．（2023•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象交x轴于点A（8，0），交的一个动点（点M不与点C重合），过点M作x轴的垂线交直线CD于点N．设点M的横坐标为m．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）以线段MN，MC为邻边作▱MNQC，直线QC与x轴交于点E．①当0≤m＜时，设线段EQ的长度为l，求l与m之间的关系式；②连接OQ，AQ，当△AOQ的面积为3时，请直接写出m的值．24．（2023•营口）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB⊥y轴于点B，tan∠AOB＝，AB＝2．（1）求反比例函数的解析式；（2）点C在这个反比例函数图象上，连接AC并延长交x轴于点D，且∠ADO＝45°，求点C的坐标．25．（2023•辽宁）抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，4），点P为第一象限内抛物线上的动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当△BEF的周长是线段PF长度的2倍时，求点P的坐标；（3）如图2，当点P运动到抛物线顶点时，点Q是y轴上的动点，连接BQ，过点B作直线l⊥BQ，连接QF并延长交直线l于点M，当BQ＝BM时，请直接写出点Q的坐标．26．（2023•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，2），与x轴的交点为点B（，0）和点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点E，G在y轴正半轴上，OG＝2OE，点D在线段OC上，OD＝OE．以线段OD，OE 为邻边作矩形ODFE，连接GD，设OE＝a．①连接FC，当△GOD与△FDC相似时，求a的值；②当点D与点C重合时，将线段GD绕点G按逆时针方向旋转60°后得到线段GH，连接FH，FG，将△GFH绕点F按顺时针方向旋转α（0°＜α≤180°）后得到△G′FH′，点G，H的对应点分别为G′、H′，连接DE．当△G′FH′的边与线段DE垂直时，请直接写出点H′的横坐标．27．（2023•大连）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝x2上有两点A、B，其中点A的横坐标为﹣2，点B的横坐标为1，抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c过点A、B．过A作AC∥x轴交抛物线C1另一点为点C．以AC、AC长为边向上构造矩形ACDE．（1）求抛物线C2的解析式；（2）将矩形ACDE向左平移m个单位，向下平移n个单位得到矩形A′C′D′E′，点C的对应点C′落在抛物线C1上．①求n关于m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；②直线A′E′交抛物线C1于点P，交抛物线C2于点Q．当点E′为线段PQ的中点时，求m的值；③抛物线C2与边E′D′、A′C′分别相交于点M、N，点M、N在抛物线C2的对称轴同侧，当MN＝时，求点C′的坐标．28．（2023•营口）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D（3，0），过点B作直线l⊥x轴，过点D作DE⊥CD，交直线l于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点P为第三象限内抛物线上的点，连接CE和BP交于点Q，当＝时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AC，在直线BP上是否存在点F，使得∠DEF＝∠ACD+∠BED？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．函数（真题汇编）2023年辽宁省各市中考数学试题全解析版参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2023•沈阳）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则k，b的取值范围是（ ）A．k＞0，b＞0B．k＞0，b＜0C．k＜0，b＞0D．k＜0，b＜0【答案】B【解答】解：由图可知该一次函数图象经过第一、三、四象限，则k＞0，b＜0．故答案为B．2．（2023•沈阳）二次函数y＝﹣（x+1）2+2图象的顶点所在的象限是（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2+2，∴顶点坐标为（﹣1，2），∴顶点在第二象限．故选：B．3．（2023•大连）已知蓄电池两端电压U为定值，电流I与R成反比例函数关系．当I＝4A时，R＝10Ω，则当I＝5A时R的值为（ ）A．6ΩB．8ΩC．10ΩD．12Ω【答案】B【解答】解：设I＝，则U＝IR＝40，∴R＝＝＝8，故选：B．4．（2023•大连）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为（ ）A．﹣2B．﹣1C．0D．2【答案】D【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，∴对称轴为直线x＝1，∵a＝1＞0，∴抛物线的开口向上，∴当0≤x＜1时，y随x的增大而减小，∴当x＝0时，y＝﹣1，当1≤x≤3时，y随x的增大而增大，∴当x＝3时，y＝9﹣6﹣1＝2，∴当0≤x≤3时，函数的最大值为2，故选：D．5．（2023•锦州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，在△DEF中，DE＝DF＝5，EF＝8，BC与EF在同一条直线上，点C与点E重合．△ABC以每秒1个单位长度的速度沿线段EF所在直线向右匀速运动，当点B运动到点F时，△ABC停止运动．设运动时间为t秒，△ABC与△DEF重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：过点D作DH⊥CB于H，∵DE＝DF＝5，EF＝8，∴EH＝FH＝EF＝4，∴DH＝＝3，当0≤t＜4时，如图，重叠部分为△EPQ，此时EQ＝t，PQ∥DH，∴△EPQ∽△EDH，∴，即，∴PQ＝t，∴S＝＝2，当4≤t＜8时，如图，重叠部分为四边形POC′B′，此时BB′＝CC′＝t，PB∥DE．∴B′F＝BC+CF﹣BB′＝12﹣t，FC＝8﹣t，∵PB∥DE，∴△PBF∽△DCF，∴，又S△DCF＝，∴，∵DH⊥BC．∠AB′C′＝90°，∴AC′∥DH，∴△C′QF∽△HFD．∴，即，∴，∴S＝S△PB′F﹣S△C′QF＝＝，当8≤t≤12时如图，重叠部分为四边形△PFB′，此时BB′＝CC′＝t，PB′∥DE．∴B′F＝BC+CF﹣BB′＝12﹣t，∵PB′∥DE．∴△PB′F∽△DCF，∴，即，∴，S＝S△PB′F＝，综上，∴符合题意的函数图象是选项A．故选：A．6．（2023•营口）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．下列说法：①abc＜0；②抛物线的对称轴为直线x＝﹣1；③当﹣3＜x＜0时，ax2+bx+c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而增大；⑤am2+bm≤a﹣b（m为任意实数），其中正确的个数是（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），∴对称轴为直线x＝＝﹣1，故②正确；∴﹣＝﹣1，∴b＝2a＜0，∵与y轴的交点在正半轴上，∴c＞0，∴abc＞0，故①错误；由图象可知，当﹣3＜x＜0时，y＞0，∴当﹣3＜x＜0时，ax2+bx+c＞0，故③正确；由图象可知，当x＞1时，y随x的增大而减小，故④错误；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴当x＝﹣1时，函数有最大值，∴当m为任意实数时，am2+bm+c≤a﹣b+c，∴am2+bm≤a﹣b，故⑤正确；综上所述，结论正确的是②③⑤共3个．故选：C．7．（2023•辽宁）如图，∠MAN＝60°，在射线AM，AN上分别截取AC＝AB＝6，连接BC，∠MAN 的平分线交BC于点D，点E为线段AB上的动点，作EF⊥AM交AM于点F，作EG∥AM交射线AD于点G，过点G作GH⊥AM于点H，点E沿AB方向运动，当点E与点B重合时停止运动．设点E运动的路程为x，四边形EFHG与△ABC重叠部分的面积为S，则能大致反映S与x 之间函数关系的图象是（ ）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：∵∠MAN＝60°，AC＝AB＝6，∴△ABC是边长为6的正三角形，∵AD平分∠MAN，∴∠MAD＝∠NAD＝30°，AD⊥BC，CD＝DB＝3，①当矩形EFHG全部在△ABC之中，即由图1到图2，此时0＜x≤3，∵EG∥AC，∴∠NAD＝∠AGE＝30°，∴AE＝EG＝x，在Rt△AEF中，AE＝x，∠EAF＝60°，∴EF＝AE＝x，∴S＝x2；②图3时，AE+AF＝AC，即x+x＝6，解得x＝4，由图2到图3，此时3＜x≤4，如图4，由题意可知△EQB是正三角形，∴EQ＝EB＝BQ＝6﹣x，∴GQ＝x﹣（6﹣x）＝2x﹣6，∴S＝S矩形EFHG﹣S△PQG＝x2﹣×（2x﹣6）2＝﹣x2+12x﹣18，③图6时，x＝6，由图3到图6，此时4＜x≤6，如图5，由题意可知△EKB是正三角形，∴EK＝EB＝BK＝6﹣x，FC＝AC﹣AF＝6﹣x，EF＝x，∴S＝S梯形EFCK＝（6﹣x+6﹣x）×x＝﹣x2+3x，综上所述，S与x的函数关系式为S＝，因此三段函数的都是二次函数关系，其中第1段是开口向上，第2段、第3段是开口向下的抛物线，故选：A．8．（2023•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝3cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿射线AB匀速运动，到点B停止运动，同时动点Q从点A出发，以cm/s的速度沿射线AC匀速运动．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．在PQ的右侧以PQ为边作菱形PQMN，点N在射线AB上．设点P的运动时间为x（s），菱形PQMN与△ABC的重叠部分的面积为y（cm2），则能大致反映y与x之间函数关系的图象是（ ）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：作PD⊥AC于点D，作QE⊥AB于点E，由题意得AP＝x，AQ＝x，∴AD＝AP•cos30°＝x，∴AD＝DQ＝AQ，∴PD是线段AQ的垂直平分线，∴∠PQA＝∠A＝30°，∴∠QPE＝60°，PQ＝AP＝x，∴QE＝AQ＝x，PQ＝PN＝MN＝QM＝x，当点M运动到直线BC上时，此时，△BMN是等边三角形，∴AP＝PN＝BN＝AB＝1，x＝1；当点Q、N运动到与点C，B重合时，∴AP＝PN＝AB＝，x＝；当点P运动到与点B重合时，∴AP＝AB＝3，x＝3；∴当0＜x≤1时，y＝x•x＝x2，≤时，如图，作则BN＝FN＝FB＝3﹣2x，FM＝MS＝FS＝（∴y＝x2﹣（3x﹣3）•（3x﹣3）＝﹣x+x﹣，当＜x＜3时，如图，作HI⊥AB于点则BP＝PH＝HB＝3﹣x，HI＝（3﹣x），∴y＝•（3﹣x）•（3﹣x）＝x2﹣x+，综上，y与x之间函数关系的图象分为三段，当0＜x≤时，是开口向下的一段抛物线，当＜x＜3时，是开口向上的一段抛物线，＝（【答案】4．【解答】解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图：设点C的坐标为（a，b），点A的坐标为（0，c），∴CD＝a，OA＝c，∵△AOC的面积是6，∴，∴ac＝12，∵点C（a，b）在反比例函数（x＞0）的图象上，∴k＝ab，∵点B为AC的中点，∴点，∵点B在反比例函数（x＞0）的图象上，∴，即：4k＝a（b+c），∴4k＝ab+ac，将ab＝k，ac＝12代入上式得：k＝4．故答案为：4．10．（2023•锦州）如图，在平面直角坐标系中，四边形A1B1B2C1，A2B2B3C2，A3B3B4C3，A4B4B5C4，…都是平行四边形，顶点B1，B2，B3，B4，B5…都在x轴上，顶点C1，C2，C3，C4，…都在正比例函数y＝x（x≥0）的图象上，且B2C1＝2A2C1，B3C2＝2A3C2，B4C3＝2A4C3，…，连接A1B2，A2B3，A3B4，A4B5，…，分别交射线OC1于点O1，O2，O3，O4，…，连接O1A2，O2A3，O3A4，…，得到△O1A2B2，△O2A3B3，△O3A4A4，…若B1（2，0），B2（3， ．【答案】．【解答】解：∵B2（3，0），A1（3，1）∴O1（3，），A1B2⊥x轴，同理可得：A2B3⊥x轴，A3B4⊥x轴，∴，∴，＝，∴＝O＝，：＝（∴＝（）＝（）＝，故答案为：．＝（ ．【答案】．【解答】解：过点B由旋转的性质得，AO∵点A的坐标为（0，∴，由勾股定理得，的坐标为，恰好落在反比例函数（∴，故答案为：．＝的图象上，则则，则，【答案】15．【解答】解：设AB为xm1+ ．1+，＝＝＝，＝，1+，1+．1+，＝（【答案】6．【解答】解：如图，延长∵矩形ABCD的面积是由几何意义得，＝三．解答题（共13小题）16．（2023•辽宁）电商平台销售某款儿童组装玩具，进价为每件100元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与每件玩具售价x（元）之间满足一次函数关系（其中100≤x≤160，且x为整数），当每件玩具售价为120元时，每周的销量为80件；当每件玩具售价为140元时，每周的销量为40件．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每件玩具售价为多少元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大？最大周利润是多少元？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，∵当每件玩具售价为120元时，每周的销量为80件；当每件玩具售价为140元时，每周的销量为40件，∴，解得，即y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+320；（2）设利润为w元，由题意可得：w＝（x﹣100）（﹣2x+320）＝﹣2（x﹣130）2+1800，∴当x＝130时，w取得最大值，此时w＝1800，答：当每件玩具售价为130元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大，最大周利润是1800元．17．（2023•营口）某大型超市购进一款热销的消毒洗衣液，由于原材料价格上涨，今年每瓶洗衣液的进价比去年每瓶洗衣液的进价上涨4元，今年用1440元购进这款洗衣液的数量与去年用1200元购进这款洗衣液的数量相同，当每瓶洗衣液的现售价为36元时，每周可卖出600瓶，为了能薄利多销，该超市决定降价销售，经市场调查发现，这种洗衣液的售价每降价1元，每周的销量可增加100瓶，规定这种消毒洗衣液每瓶的售价不低于进价．（1）求今年这款消毒洗衣液每瓶进价是多少元；根据题意得：＝，）代入得，解得，∴y＝﹣x+140；（2）∵规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，∴40≤x≤80，设每月出售这种护眼灯所获的利润为w元，根据题意得，w＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣x+140）＝﹣x2+180x﹣5600＝﹣（x﹣90）2+2500，∴当护眼灯销售单价定为80元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为2400元．19．（2023•锦州）端午节前夕，某批发部购入一批进价为8元/袋的粽子，销售过程中发现：日销量y（袋）与售价x（元/袋）满足如图所示的一次函数关系．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）每袋粽子的售价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大日销售利润是多少元？【答案】（1）y与x的函数关系式为y＝﹣40x+680；（2）当粽子的售价定为12.5元/袋时，日销售利润最大，最大日销售利润是810元．【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，把x＝10，y＝280和x＝14，y＝120别代入解析式，得，解得，∴y与x的函数关系式为y＝﹣40x+680；（2）设这种粽子日销售利润为w元，则w＝（x﹣8）（﹣40x+680）＝40x2+1000x﹣5440＝40（x﹣）2+810，∵﹣40＜0，抛物线开口向下， ；【答案】（1）4，；（2）S＝．【解答】解：（1）t＝0时，P与O重合，此时S＝S△ABO＝，t＝4时，S＝0，P与B重合，∴OB＝4，B（4，0），，；＝OB，即×＝，＝，∴A（，）；当0≤t≤时，设OA交PD于E，如图：∵∠AOB＝45°，PD⊥OB，∴△PEO是等腰直角三角形，∴PE＝PO＝t，∴S△POE＝t2，∴S＝﹣S△POE＝﹣t2；当＜t＜4时，如图：由A（，），B（4，0）得直线AB解析式为y＝﹣x+2，当x＝0时，y＝2，∴C（0，2），∴OC＝2，∵tan∠CBO＝＝＝＝，∴DP＝PB＝（4﹣t）＝2﹣t，∴S＝S△DPB＝DP•PB＝（2﹣t）×（4﹣t）＝（4﹣t）2＝t2﹣2t+4；综上所述，S＝．21．（2023•辽宁）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（4，0），与y轴交于点C （0，4），点E在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）点E在第一象限内，过点E作EF∥y轴，交BC于点F，作EH∥x轴，交抛物线于点H，点H在点E的左侧，以线段EF，EH为邻边作矩形EFGH，当矩形EFGH的周长为11时，求线段EH的长；（3）点M在直线AC上，点N在平面内，当四边形OENM是正方形时，请直接写出点N的坐标．【答案】（1）见解答．（2）EH＝4，（3）点N的坐标为（4，4）或（﹣，）或（，）或（，）．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（4，0）和C（0，4），∴解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；（2）∵点B（4，0）和C（0，4）．设直线BC的解析式为v＝kx+4，则0＝4k+4，解得k＝﹣1．直线BC的解析式为y＝﹣x+4，设E（x，﹣x2+x+4），且0＜x＜4，则F（x，﹣x+4），GH﹣EF＝﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+2x，∴解析式的对称轴为﹣，∴H（2﹣x，﹣x2+x+4），∴GF﹣EH＝x﹣（4﹣x）＝2x﹣2，依题意得2（﹣x2+2x+2x﹣2）＝11．解得x＝5（舍去）或x＝3．∴EH＝4，（3）令y＝0，则﹣x2+x+4＝0，解得x＝﹣2或x＝4．∴A（﹣2，0）．同理，直线AC的解析式为y＝2x+4，∵四边形OENM是正方形，∴OE＝OM，∠EOM＝90°，分别过点M、E作y轴的垂线，垂足分别为P、Q，如图，∠OPM＝∠EQO＝90°，∠OMP＝90°﹣∠MOP＝∠EOQ．∴△OMP≌ΔEOQ（AAS）．∴PM＝OQ，PO＝EQ．设E（m，﹣m2+m+4），∴PM＝OQ＝﹣m，PO﹣EQ＝﹣m2+m+4．则M（m2﹣m+4，m），∵点M在直线AC上，∴m＝2（﹣m﹣4）+4．解得m＝4或m＝﹣1当m＝4时，M（0，4），E（4，0），即点M与点C重合，点E与点B重合时，四边形OENM是正方形，此时N（4，4）：当m＝﹣1时，M（﹣，﹣1），E（﹣1，），点O向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点M，则点E向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点N，N（﹣1﹣，﹣1），即N（﹣，）．当OM沿着点O逆时针旋转90°得到OE，如图：设M（a，b），则点E（b，﹣a），∵点M在y＝2x+4，∴b＝2a+4，则点M（a，2a+4），此时点E（2a+4，﹣a），点E在y＝﹣x2+x+4的图象上，∴，解得a＝0或﹣，∴M1（0，4），E1（4，0），M2（﹣，﹣1），E2（﹣1，），当点E为点M绕点O逆时针旋转90°时，点E（﹣b，a），M（a，2a+4），E（﹣2a﹣4，a），点E在y＝﹣x2+x+4的图象上，∴﹣（﹣2a﹣4）2﹣2a﹣4+4＝a，解得a＝，∴M1（，），E1（，），M2（，），E2（，），∴点N的坐标为（，）或（，），综上，点N的坐标为（4，4）或（﹣，）或（，）或（，）．22．（2023•锦州）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣1，0）和B，交y轴于点C（0，3），顶点为D．（1）求抛物线的表达式；（2）若点E在第一象限内对称轴右侧的抛物线上，四边形ODEB的面积为7，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，若点F是对称轴上一点，点H是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是菱形，且∠EFG＝60°，如果存在，请直接写出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）E（2，3）；（3）存在，G的坐标为（，）或（，）．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）和点C（0，3），∴，∴，∴抛物线的表达式y＝﹣x2+2x+3．（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，过点E作EN⊥x轴于点N，设E（x，﹣x2+2x+3），∴BN＝3﹣x，MN＝x﹣1，∴S四边形ODEB＝S△ODM+S梯形DMNE+S△ENB＝×1×4+（4﹣x2+4x+3）（x﹣1）+（﹣x2+2x+3）（3﹣x）＝﹣x2+4x+3，∵四边形ODEB的面积为7，∴﹣x2+4x+3＝7，∴x2﹣4x+4＝0，∴x1＝x2＝2，∴E（2，3）．（3）存在点G，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是菱形，且∠EFG＝60°，满足条件G的坐标为（，）或（，）．理由如下：如图，连接CG，DG，∵四边形EFGH是菱形，且∠EFG＝60°，∴△EFG是等边三角形，∴△DCE是等边三角形，∴△CEG≌△DEF，∴∠ECG＝∠EDF＝30°，∴直线CG的表达式为y＝﹣x+3，∴，∴G（，）；如图，连接CG、DG、CF，∵四边形EFGH是菱形，且∠EFG＝60°，∴△EFG是等边三角形，∴△DCE是等边三角形，∴△DGE≌△CFE，∴DG＝CF，∴CF＝FE，GE＝FE，∴DG＝GE，∴△CDG≌△CEG，∴∠DCG＝∠ECG＝30°，∴直线CG的表达式为y＝x+3，∴，∴G（，），综上，G（，）或（，）．23．（2023•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象交x轴于点A（8，0），交y轴于点B．直线y＝x﹣与y轴交于点D，与直线AB交于点C（6，a）．点M是线段BC上的一个动点（点M不与点C重合），过点M作x轴的垂线交直线CD于点N．设点M的横坐标为m．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）以线段MN，MC为邻边作▱MNQC，直线QC与x轴交于点E．①当0≤m＜时，设线段EQ的长度为l，求l与m之间的关系式；②连接OQ，AQ，当△AOQ的面积为3时，请直接写出m的值．【答案】（1）a的值为，直线AB解析式为y＝﹣x+6；（2）①l＝；②或．【解答】解：（1）∵点C（6，a）在直线y＝x﹣上，∴a＝＝，∵一次函数y＝kx+b的图象过点A（8，0）和点C（6，），∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6；（2）①∵M点在直线y＝﹣x+6上，且M的横坐标为m，∴M的纵坐标为：﹣m+6，∵N点在直线y＝x﹣上，且N点的横坐标为m，∴N点的纵坐标为：m﹣，∴|MN|＝﹣m+6﹣m+＝﹣，∵点C（6，），线段EQ的长度为l，∴|CQ|＝1+，∵|MN|＝|CQ|，∴﹣＝1+，即l＝；②∵△AOQ的面积为3，∴OA•EQ＝3，即，解得EQ＝，由①知，EQ＝6﹣，∴|6﹣|＝，解得m＝或，即m的值为或．24．（2023•营口）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB⊥y轴于点B，tan∠AOB＝，AB＝2．（1）求反比例函数的解析式；（2）点C在这个反比例函数图象上，连接AC并延长交x轴于点D，且∠ADO＝45°，求点C 的坐标．【答案】（1）反比例函数的解析式为y＝；（2）C（4，2）．【解答】解：（1）∵AB⊥y轴于点B，∴∠OBA＝90°，在Rt△OBA中，AB＝2，tan∠AOB＝，∴OB＝4，∴A（2，4），∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝4×2＝8；∴反比例函数的解析式为y＝；（2）如图，过A作AF⊥x轴于F，∴∠AFD＝90°，∵∠ADO＝45°，∴∠FAD＝90°﹣∠CDE＝45°，∴AF＝DF＝OB＝4，∵OF＝AB＝2，∴OD＝6，∴D（6，0），设直线AC的解析式为y＝ax+b，∵点A（2，4），D（6，0）在直线AC上，∴，∴，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6①，由（1）知，反比例函数的解析式为y＝②，联立①②解得，或，∴C（4，2）．25．（2023•辽宁）抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，4），点P为第一象限内抛物线上的动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当△BEF的周长是线段PF长度的2倍时，求点P的坐标；（3）如图2，当点P运动到抛物线顶点时，点Q是y轴上的动点，连接BQ，过点B作直线l⊥BQ，连接QF并延长交直线l于点M，当BQ＝BM时，请直接写出点Q的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；（2）P（，5）；（3）Q（0，+）或（0，﹣）．【解答】解：（1）将点B（3，0），点C（0，4）代入y＝ax2+x+c，∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；（2）∵点B（3，0），点C（0，4），∴OB＝3，OC＝4，∴tan∠OBC＝，∴BE＝EF，BF＝EF，∴△BEF的周长＝3EF，∵△BEF的周长是线段PF长度的2倍，∴3EF＝2PF，设直线BC的解析式为y＝kx+4，∴3k+4＝0，解得k＝﹣，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，设P（t，﹣t2+t+4），则F（t，﹣t+4），E（t，0），∴EF＝﹣t+4，PF＝﹣t2+t+4+t﹣4＝﹣t2+4t，∴3（﹣t+4）＝2（﹣t2+4t），解得t＝3（舍）或t＝，∴P（，5）；（3）∵y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣1）2+，∴P（1，），∵FP⊥x轴，∴F（1，），设Q（0，n），过点M作MN⊥x轴交于点N，∵∠QBM＝90°，∴∠QBO+∠MBN＝90°，∵∠QBO+∠OQB＝90°，∴∠MBN＝∠OQB，∵BQ＝BM，∴△BQO≌△MBN（AAS），∴QO＝BN，MN＝OB，∴M（3+n，3），设直线QM的解析式为y＝k'x+n，∴k'（3+n）+n＝3，解得k'＝，∴直线QM的解析式为y＝x+n，将点F代入，+n＝，解得n＝+或n＝﹣，∴Q（0，+）或（0，﹣）．26．（2023•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，2），与x轴的交点为点B（，0）和点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点E，G在y轴正半轴上，OG＝2OE，点D在线段OC上，OD＝OE．以线段OD，OE 为邻边作矩形ODFE，连接GD，设OE＝a．①连接FC，当△GOD与△FDC相似时，求a的值；②当点D与点C重合时，将线段GD绕点G按逆时针方向旋转60°后得到线段GH，连接FH，F G，将△GFH绕点F按顺时针方向旋转α（0°＜α≤180°）后得到△G′FH′，点G，H的对应点分别为G′、H′，连接DE．当△G′FH′的边与线段DE垂直时，请直接写出点H′的横坐标．【答案】（1）y＝﹣x+2；（2）①或；②当△G′FH′的边与线段DE垂直时，点H ′的横坐标为2+3或2+或．【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，2），与x轴的交点为点B （，0），∴，解得：，∴此抛物线的解析式为y＝﹣x+2；（2）①令y＝0，则﹣x+2＝0，解得：x＝或x＝2，∴C（2，0），∴OC＝2．∵OE＝a，OG＝2OE，OD＝OE，∴OG＝2a，OD＝a．∵四边形ODFE为矩形，∴EF＝OD＝a，FD＝OE＝a，∴E（0，a），D（a，0），F（a，a），G（0，2a），∴CD＝OC﹣OD＝2﹣a．Ⅰ．当△GOD∽△FDC时，∴，∴，∴a＝；Ⅱ．当△GOD∽△CDF时，∴，∴，∴a＝．综上，当△GOD与△FDC相似时，a的值为或；②∵点D与点C重合，∴OD＝OC＝2．∴OE＝2，OG＝2OE＝4，EF＝OD＝2，DF＝OE＝2，∴EG＝OE＝2．∴EG＝DF＝2，∵EG∥DF，∴四边形GEDF为平行四边形，∴FG＝DE＝＝＝4，∴∠GFE＝30°，∴∠EGF＝60°，∵∠DGH＝60°，∴∠EGF＝∠DGH，∴∠OGD＝∠FGH．在△GOD和△GFH中，，∴△GOD≌△GFH（SAS），∴FH＝OD＝2，∠GOD＝∠GFH＝90°．∴GH＝＝＝2．Ⅰ．当G′F所在直线与DE垂直时，如图，∵∠GFH＝90°，GF∥DE，∴∠G′FH′＝90°，∴G，F，H′三点在一条直线上，∴GH′＝GF+FH′＝FG+FH＝4+2．过点H′作H′K⊥y轴于点K，则H′K∥FE，∴∠KH′G＝∠EFG＝30°，∴H′K＝H′G•cos30°＝×（4+2）＝2+3，∴此时点H′的横坐标为2+3；Ⅱ．当G′H′所在直线与DE垂直时，如图，∵GF∥DE，∴G′H′⊥GF，设GF的延长线交G′H′于点M，过点M作MP⊥EF，交EF的延长线于点P，过点H′作H′N⊥MP，交PM的延长线于点N，则H′N∥PF∥x轴，∠PFM＝∠EFG＝30°．∵G′H′•FM＝FH′•FG′，∴4×2＝2FM，∴FM＝．∴FP＝FM•cos30°＝＝，∴PE＝PF+EF＝2+．∵H′M＝＝，∴H′N＝H′M•sin30°＝，∴此时点H′的横坐标为PE﹣H′N＝2＝2+；Ⅲ．当FH′所在直线与DE垂直时，如图，∵∠H′FG′＝90°，GF∥DE，∴∠GFH′＝90°，∴H，F，H′三点在一条直线上，则∠H′FD＝30°，过点H′作H′L⊥DF，交FD的延长线于点L，H′L＝H′F•sin30°＝2×＝，∴此时点H′的横坐标为EF﹣H′L＝2＝．综上，当△G′FH′的边与线段DE垂直时，点H′的横坐标为2+3或2+或．27．（2023•大连）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝x2上有两点A、B，其中点A的横坐标为﹣2，点B的横坐标为1，抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c过点A、B．过A作AC∥x轴交抛物线C1另一点为点C．以AC、AC长为边向上构造矩形ACDE．（1）求抛物线C2的解析式；（2）将矩形ACDE向左平移m个单位，向下平移n个单位得到矩形A′C′D′E′，点C的对应点C′落在抛物线C1上．①求n关于m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；②直线A′E′交抛物线C1于点P，交抛物线C2于点Q．当点E′为线段PQ的中点时，求m 的值；③抛物线C2与边E′D′、A′C′分别相交于点M、N，点M、N在抛物线C2的对称轴同侧，当MN＝时，求点C′的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+4．（2）①n＝﹣m2+4m（0＜m＜4）．②．③或．【解答】（1）根据题意，点A的横坐标为﹣2，点B的横坐标为1，代入抛物线C1：y＝x2，∴当x＝﹣2时，y＝（﹣2）2＝4，则A（﹣2，4），当x＝1时，y＝1，则B（1，1），将点A（﹣2，4），B（1，1）代入抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c，∴，解得，∴抛物线C2的解析式为y＝﹣x2﹣2x+4．（2）①∵AC∥x轴交抛物线另一点为C，当y＝4时，x＝±2，。
人教全国各地中考数学分类：二次函数综合题汇编含答案解析
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=14x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为y=14x2﹣x+1．（2）点P的坐标为（2813，﹣1）．（3）定点F的坐标为（2，1）．【解析】分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出（1-12-12y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出关于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标．详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），设抛物线的解析式为y=a（x-2）2．∵该抛物线经过点（4，1），∴1=4a，解得：a=14，∴抛物线的解析式为y=14（x-2）2=14x2-x+1．（2）联立直线AB 与抛物线解析式成方程组，得：214114y x y x x ⎧⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩＝＝，解得：11114x y ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，2241x y ⎧⎨⎩＝＝， ∴点A 的坐标为（1，14），点B 的坐标为（4，1）． 作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′交直线l 于点P ，此时PA+PB 取得最小值（如图1所示）．∵点B （4，1），直线l 为y=-1， ∴点B′的坐标为（4，-3）．设直线AB′的解析式为y=kx+b （k≠0）， 将A （1，14）、B′（4，-3）代入y=kx+b ，得： 1443k b k b ⎧+⎪⎨⎪+-⎩＝＝，解得：131243k b ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝， ∴直线AB′的解析式为y=-1312x+43， 当y=-1时，有-1312x+43=-1， 解得：x=2813， ∴点P 的坐标为（2813，-1）． （3）∵点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等， ∴（m-x 0）2+（n-y 0）2=（n+1）2， ∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0n+y 02=2n+1． ∵M （m ，n ）为抛物线上一动点，∴n=14m 2-m+1， ∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0（14m 2-m+1）+y 02=2（14m 2-m+1）+1， 整理得：（1-12-12y 0）m 2+（2-2x 0+2y 0）m+x 02+y 02-2y 0-3=0． ∵m 为任意值，∴000220001110222220230y x y x y y ⎧--⎪⎪-+⎨⎪+--⎪⎩＝＝＝， ∴0021x y ⎧⎨⎩＝＝， ∴定点F 的坐标为（2，1）．点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P 的位置；（3）根据点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x 0、y 0的方程组．2．童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售,经市场调查发现：每降价1元,每星期可多卖10件,已知该款童装每件成本30元,设降价后该款童装每件售价x 元,每星期的销售量为y 件.(1)降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时，求这一星期中每件童装降价多少元?(2)当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少?【答案】（1）这一星期中每件童装降价20元；（2）每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元． 【解析】 【分析】（1）根据售量与售价x （元/件）之间的关系列方程即可得到结论． （2）设每星期利润为W 元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题． 【详解】解：（1）根据题意得，（60﹣x ）×10+100＝3×100， 解得：x ＝40， 60﹣40＝20元，答：这一星期中每件童装降价20元； （2）设利润为w ，根据题意得，w＝（x﹣30）[（60﹣x）×10+100]＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，答：每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．【点睛】本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为P（2，9），与x轴交于点A，B，与y轴交于点C（0，5）．（Ⅰ）求二次函数的解析式及点A，B的坐标；（Ⅱ）设点Q在第一象限的抛物线上，若其关于原点的对称点Q′也在抛物线上，求点Q的坐标；（Ⅲ）若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，使得以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，且AC为其一边，求点M，N的坐标．【答案】（1）y=﹣x2+4x+5，A（﹣1，0），B（5，0）；（2）Q553）M （1，8），N（2，13）或M′（3，8），N′（2，3）．【解析】【分析】(1)设顶点式，再代入C点坐标即可求解解析式，再令y=0可求解A和B点坐标；(2)设点Q（m，﹣m2+4m+5），则其关于原点的对称点Q′（﹣m，m2﹣4m﹣5），再将Q′坐标代入抛物线解析式即可求解m的值，同时注意题干条件“Q在第一象限的抛物线上”；(3)利用平移AC的思路，作MK⊥对称轴x=2于K，使MK=OC，分M点在对称轴左边和右边两种情况分类讨论即可.【详解】（Ⅰ）设二次函数的解析式为y=a（x﹣2）2+9，把C（0，5）代入得到a=﹣1，∴y=﹣（x﹣2）2+9，即y=﹣x2+4x+5，令y=0，得到：x2﹣4x﹣5=0，解得x=﹣1或5，∴A（﹣1，0），B（5，0）．（Ⅱ）设点Q（m，﹣m2+4m+5），则Q′（﹣m，m2﹣4m﹣5）．把点Q′坐标代入y=﹣x2+4x+5，得到：m2﹣4m﹣5=﹣m2﹣4m+5，∴m=5或5（舍弃），∴Q（5，45）．（Ⅲ）如图，作MK⊥对称轴x=2于K．①当MK=OA，NK=OC=5时，四边形ACNM是平行四边形．∵此时点M的横坐标为1，∴y=8，∴M（1，8），N（2，13），②当M′K=OA=1，KN′=OC=5时，四边形ACM′N′是平行四边形，此时M′的横坐标为3，可得M′（3，8），N′（2，3）．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，第3问中理解通过平移AC可应用“一组对边平行且相等”得到平行四边形.4．如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．【答案】（1）y=﹣x2+2x+3．（2）当t=2时，点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由见解析；（3）y=﹣x+3；P点到直线BC 92，此时点P的坐标为（32，154）．【解析】【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；（3）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论．【详解】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，得10930b cb c-++=⎧⎨-++=⎩，解得：23bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3；（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x=1，当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），∴点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由如下：若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2，又∵t≠2，∴不存在；（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，得303m nn+=⎧⎨=⎩，解得：13mn=-⎧⎨=⎩，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3），∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，∴S=12PF•OB=﹣32t2+92t=﹣32（t﹣32）2+278；②∵﹣32＜0，∴当t=32时，S取最大值，最大值为278．∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴线段BC=2232OB OC+=，∴P点到直线BC的距离的最大值为272928832⨯=，此时点P的坐标为（32，154）．【点睛】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和t≠2两种情况考虑；（3）①利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值．5．已知，点M 为二次函数2()41y x b b =--++图象的顶点，直线5y mx =+分别交x 轴正半轴，y 轴于点,A B .（1）如图1，若二次函数图象也经过点,A B ，试求出该二次函数解析式，并求出m 的值. （2）如图2，点A 坐标为(5,0)，点M 在AOB ∆内，若点11(,)4C y ，23(,)4D y 都在二次函数图象上，试比较1y 与2y 的大小.【答案】（1）2(2)9y x =--+,1m =-；（2）①当102b <<时，12y y >；②当12b =时，12y y =；③当1425b <<时，12y y < 【解析】 【分析】 （1）根据一次函数表达式求出B 点坐标，然后根据B 点在抛物线上，求出b 值，从而得到二次函数表达式，再根据二次函数表达式求出A 点的坐标，最后代入一次函数求出m 值.（2）根据解方程组，可得顶点M 的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案． 【详解】（1）如图1，∵直线5y mx =+与y 轴交于点为B ，∴点B 坐标为(0,5)又∵(0,5)B 在抛物线上，∴25(0)41b b =--++，解得2b =∴二次函数的表达式为2(2)9y x =--+ ∴当0y =时，得15=x ，21x =- ∴(5,0)A代入5y mx =+得，550m +=，∴1m =-（2）如图2，根据题意，抛物线的顶点M 为(,41)b b +，即M 点始终在直线41y x =+上，∵直线41y x =+与直线AB 交于点E ，与y 轴交于点F ，而直线AB 表达式为5y x =-+解方程组415y xy x=+⎧⎨=-+⎩，得45215xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点421(,)55E，(0,1)F∵点M在AOB∆内，∴45b<<当点,C D关于抛物线对称轴（直线x b=）对称时，1344b b-=-，∴12b=且二次函数图象的开口向下，顶点M在直线41y x=+上综上：①当12b<<时，12y y>；②当12b=时，12y y=；③当1425b<<时，12y y<.【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合应用，难度系数大同学们需要认真分析即可.6．如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）．A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x＝3．（1）求该二次函数的解析式；（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标；（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．【答案】（1）21342y x x =-；（2）当t ＝3时，S △AMN 有最大值3，此时M 点坐标为（3，0）；（3）P 点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）或（8，0）． 【解析】 【分析】（1）先利用抛物线的对称性确定B （6，0），然后设交点式求抛物线解析式；（2）设M （t ，0），先其求出直线OA 的解析式为12y x =直线AB 的解析式为y=2x-12，直线MN 的解析式为y=2x-2t ，再通过解方程组1222y x y x t⎧=⎪⎨⎪=-⎩得N （42t,t 33），接着利用三角形面积公式，利用S △AMN =S △AOM -S △NOM 得到AMN 112S 4t t t 223∆=⋅⋅-⋅⋅然后根据二次函数的性质解决问题； （3）设Q 213m,m m 42⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据相似三角形的判定方法，当PQ PO OC AC=时，△PQO ∽△COA ，则213m m 2|m |42-=；当PQ POAC OC=时，△PQO ∽△CAO ，则2131m m m 422-=，然后分别解关于m 的绝对值方程可得到对应的P 点坐标． 【详解】解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x ＝3， ∴B 点坐标为（6，0），设抛物线解析式为y ＝ax （x ﹣6）， 把A （8，4）代入得a•8•2＝4，解得a ＝14， ∴抛物线解析式为y ＝14x （x ﹣6），即y ＝14x 2﹣32x ； （2）设M （t ，0），易得直线OA 的解析式为y ＝12x ， 设直线AB 的解析式为y ＝kx+b ， 把B （6，0），A （8，4）代入得6084k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得k 2b 12=⎧⎨=-⎩， ∴直线AB 的解析式为y ＝2x ﹣12，∵MN ∥AB ，∴设直线MN 的解析式为y ＝2x+n ，把M （t ，0）代入得2t+n ＝0，解得n ＝﹣2t ，∴直线MN 的解析式为y ＝2x ﹣2t ， 解方程组1222y x y x t ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得4323x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则42N t,t 33⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴S △AMN ＝S △AOM ﹣S △NOM1124t t t 223=⋅⋅-⋅⋅ 21t 2t 3=-+ 21(t 3)33=--+， 当t ＝3时，S △AMN 有最大值3，此时M 点坐标为（3，0）；（3）设213m,m m 42⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∵∠OPQ ＝∠ACO ，∴当PQ PO OC AC =时，△PQO ∽△COA ，即PQ PO 84=， ∴PQ ＝2PO ，即213m m 2|m |42-=， 解方程213m m 2m 42-=得m 1＝0（舍去），m 2＝14，此时P 点坐标为（14，0）； 解方程213m m 2m 42-=-得m 1＝0（舍去），m 2＝﹣2，此时P 点坐标为（﹣2，0）； ∴当PQ PO AC OC =时，△PQO ∽△CAO ，即PQ PO 48=， ∴PQ ＝12PO ，即2131m m m 422-=， 解方程2131m m m 422=-=得m 1＝0（舍去），m 2＝8，此时P 点坐标为（8，0）；解方程2131m m m 422=-=-得m 1＝0（舍去），m 2＝4，此时P 点坐标为（4，0）； 综上所述，P 点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）或（8，0）．【点睛】 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；灵活运用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．7．如图，抛物线22y ax bx =++交x 轴于A (1,0)-，(4,0)B 两点，交y 轴于点C ，与过点C 且平行于x 轴的直线交于另一点221(6)()82x x -+=，点P 是抛物线上一动点． （1）求抛物线解析式及点D 的坐标；（2）点E 在x 轴上，若以A ，E ，D ，P 为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P 的坐标；（3）过点P 作直线CD 的垂线，垂足为Q ，若将CPQ 沿CP 翻折，点Q 的对应点为Q '．是否存在点P ，使Q '恰好落在x 轴上？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）213222y x x =-++；点D 坐标为(32)，； （2）P 1(0,2)； P 2(412,-2)；P 3(3412-,-2) ; （3）满足条件的点P 13 132），（13-132）． 【解析】【分析】1)用待定系数法可得出抛物线的解析式,令y=2可得出点D 的坐标(2)分两种情况进行讨论,①当AE 为一边时,AE ∥PD,②当AE 为对角线时,根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等,求解点P 坐标(3)结合图形可判断出点P 在直线CD 下方,设点P 的坐标为(a ，213222a a -++),分情况讨论,①当P 点在y 轴右侧时,②当P 点在y 轴左侧时,运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可【详解】解：（1）∵抛物线22y ax bx =++经过A (10)-，，B (40)，两点， ∴2016420a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：12a =-，32b =， ∴抛物线解析式为：213222y x x =-++； 当2y =时，2132222x x -++=，解得：13x =，20x =（舍），即：点D 坐标为(32)，．（2）∵A ，E 两点都在x 轴上，∴AE 有两种可能：①当AE 为一边时，AE ∥PD ，此时点P 与点C 重合（如图1），∴1(0,2)P ， ②当AE 为对角线时，P 点、D 点到直线AE （即x 轴）的距离相等，∴P 点的纵坐标为2-（如图2），把2y =-代入抛物线的解析式，得：2132222x x -++=-， 解得：13412x =，23412x =， ∴P 点的坐标为3+41(2)-，341(2)2-， 综上所述：1(0,2)P ； 2P 3+412)-；3P 341(2)2- ． （3）存在满足条件的点P ，显然点P 在直线CD 下方，设直线PQ 交x 轴于F ， 点P 的坐标为（a ，213222a a -++）， ①当P 点在y 轴右侧时（如图3），p CQ x a ==，2132(2)22c p PQ y y a a =-=--++=21322a a -， 又∵CQ O FQ P ''∠+∠=18018090CQ P PQC '︒-∠=︒-∠=︒，90CQ O OCQ ''∠+∠=︒∴FQ P OCQ ''∠=∠,又90COQ Q FP ''∠=∠=︒，∴COQ Q FP ''， ∴'''Q C Q P CO Q F=， ∵Q C CQ a '==，2CO =，Q P PQ '==21322a a -，∴213222'a a a Q F-=，∴'3Q F a =-，∴(3)OQ OF Q F a a ''=-=--3=，CQ ＝CQ '2222'2313CO OQ +=+= 即13a =，∴点p 139132-）， ②当p 点在y 轴左侧时（如图4），此时0a <，2132022a a -++<，CQ ＝P x ＝a -， PQ ＝2－（213222a a -++）＝21322a a -， 又∵90CQ O FQ P CQ P PQC '''∠+∠=∠=∠=︒，90CQ O OCQ ''∠+∠=︒， ∴FQ P OCQ ''∠=∠，又90COQ Q FP ''∠=∠=︒∴COQ Q FP ''，∴'''Q C Q P CO Q F=， ∵Q C CQ a '==-，2CO =，Q P PQ '==21322a a -， ∴213222'a a a Q F--=，∴'3Q F a =-， ∴3()3OQ Q F OF a a ''=-=---=，CQ ＝CQ '2222'2313CO OQ +=+= 此时13a =P 的坐标为（13913--）． 综上所述，满足条件的点P 139132-+），（13-913--）． 【点睛】此题考查二次函数综合题，解题关键在于运用待定系数法的出解析式，难度较大8．（12分）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=1 6-x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3 m，到地面OA的距离为172m.（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=16-x2+2x+4，拱顶D到地面OA的距离为10 m；(2)两排灯的水平距离最小是3．【解析】【详解】试题分析：根据点B和点C在函数图象上，利用待定系数法求出b和c的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0）），然后求出当x=2或x=10时y的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x的值，然后进行做差得出最小值．试题解析：（1）由题知点17(0,4),3,2B C⎛⎫⎪⎝⎭在抛物线上所以41719326cb c=⎧⎪⎨=-⨯++⎪⎩，解得24bc=⎧⎨=⎩，所以21246y x x=-++所以，当62bxa=-=时，10ty=≦答：21246y x x=-++，拱顶D到地面OA的距离为10米（2）由题知车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0））当x=2或x=10时，2263y =>，所以可以通过 （3）令8y =，即212486x x -++=，可得212240x x -+=，解得12623,623x x =+=-1243x x -=答：两排灯的水平距离最小是43考点：二次函数的实际应用．9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .（1）求二次函数的表达式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ∆面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由.【答案】（1）二次函数的解析式为233642y x x =--+；（2）当23x =-时，ADE ∆的面积取得最大值503；（3）P 点的坐标为()1,1-，(1,11-，(1,219--. 【解析】分析：（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；（2）根据函数解析式设出点D 坐标，过点D 作DG ⊥x 轴，交AE 于点F ，表示△ADE 的面积，运用二次函数分析最值即可；（3）设出点P 坐标，分PA =PE ，PA =AE ，PE =AE 三种情况讨论分析即可．详解：（1）∵二次函数y =ax 2+bx +c 经过点A （﹣4，0）、B （2，0），C （0，6），∴1640 4206a b ca b cc-+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：3 4 3 26abc⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，所以二次函数的解析式为：y=233642x x--+；（2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直线解析式为y=122x--，过点D作DN⊥x轴，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H，如图，设D（m，233642m m--+），则点F（m，122m--），∴DF=233642m m--+﹣（122m--）=2384m m--+，∴S△ADE=S△ADF+S△EDF=12×DF×AG+12DF×EH=12×DF×AG+12×DF×EH=12×4×DF=2×（2384m m--+）=23250233m-++（），∴当m =23-时，△ADE 的面积取得最大值为503． （3）y =233642x x --+的对称轴为x =﹣1，设P （﹣1，n ），又E （0，﹣2），A （﹣4，0），可求PA =29n +，PE =212n ++（），AE =16425+=，分三种情况讨论： 当PA =PE 时，29n +=212n ++（），解得：n =1，此时P （﹣1，1）； 当PA =AE 时，29n +=16425+=，解得：n =11±，此时点P 坐标为（﹣1，11±）；当PE =AE 时，212n ++（）=16425+=，解得：n =﹣219±，此时点P 坐标为：（﹣1，﹣219±）．综上所述：P 点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，11±），（﹣1，﹣219±）． 点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分析三角形面积的最大值，会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键．10．如图1，抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴交于A （﹣4，0），B （1，0）两点，过点B 的直线y=kx+23分别与y 轴及抛物线交于点C ，D ． （1）求直线和抛物线的表达式； （2）动点P 从点O 出发，在x 轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，△PDC 为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t 的值；（3）如图2，将直线BD 沿y 轴向下平移4个单位后，与x 轴，y 轴分别交于E ，F 两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M ，在直线EF 上是否存在点N ，使DM+MN 的值最小？若存在，求出其最小值及点M ，N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为：y=228233x x +-，BD 解析式为y=﹣2233x +；（2）t 的值为49、151296±、233．（3）N 点坐标为（﹣2，﹣2），M 点坐标为（﹣32，﹣54），213. 【解析】分析：（1）利用待定系数法求解可得；（2）先求得点D的坐标，过点D分别作DE⊥x轴、DF⊥y轴，分P1D⊥P1C、P2D⊥DC、P3C⊥DC三种情况，利用相似三角形的性质逐一求解可得；（3）通过作对称点，将折线转化成两点间距离，应用两点之间线段最短．详解：（1）把A（﹣4，0），B（1，0）代入y=ax2+2x+c，得168020a ca c-+=⎧⎨++=⎩，解得：2383ac⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴抛物线解析式为：y=228233x x+-，∵过点B的直线y=kx+23，∴代入（1，0），得：k=﹣23，∴BD解析式为y=﹣2233x+；（2）由2282332233y x xy x﹣⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得交点坐标为D（﹣5，4），如图1，过D作DE⊥x轴于点E，作DF⊥y轴于点F，当P1D⊥P1C时，△P1DC为直角三角形，则△DEP1∽△P1OC，∴DEPO=PEOC，即4t=523t-，解得t=151296±，当P2D⊥DC于点D时，△P2DC为直角三角形由△P2DB∽△DEB得DBEB=2P BDB，即52=52，解得：t=233；当P3C⊥DC时，△DFC∽△COP3，∴DFOC =3CFP O，即523=103t，解得：t=49，∴t的值为49、151296±、233．（3）由已知直线EF解析式为：y=﹣23x﹣103，在抛物线上取点D的对称点D′，过点D′作D′N⊥EF于点N，交抛物线对称轴于点M过点N作NH⊥DD′于点H，此时，DM+MN=D′N最小．则△EOF∽△NHD′设点N坐标为（a，﹣21033a-），∴OENH =OFHD'，即52104()33a---=1032a-，解得：a=﹣2，则N点坐标为（﹣2，﹣2），求得直线ND′的解析式为y=32x+1，当x=﹣32时，y=﹣54，∴M点坐标为（﹣32，﹣54），此时，DM+MN点睛：本题是二次函数和几何问题综合题，应用了二次函数性质以及转化的数学思想、分类讨论思想．解题时注意数形结合．。
2020年江苏省中考数学试题分类汇编(4)——二次函数(含答案)
2020年江苏省中考数学试题分类（4）——二次函数一．二次函数的性质（共4小题）1．（2020•镇江）点P （m ，n ）在以y 轴为对称轴的二次函数y ＝x 2+ax +4的图象上．则m ﹣n 的最大值等于（ ）A ．154B ．4C ．−154D ．−174 2．（2020•无锡）请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为y 轴： ．3．（2020•无锡）二次函数y ＝ax 2﹣3ax +3的图象过点A （6，0），且与y 轴交于点B ，点M 在该抛物线的对称轴上，若△ABM 是以AB 为直角边的直角三角形，则点M 的坐标为 ．4．（2020•淮安）二次函数y ＝﹣x 2﹣2x +3的图象的顶点坐标为 ．二．二次函数图象与几何变换（共2小题）5．（2020•宿迁）将二次函数y ＝（x ﹣1）2+2的图象向上平移3个单位长度，得到的拋物线相应的函数表达式为（ ）A ．y ＝（x +2）2﹣2B ．y ＝（x ﹣4）2+2C ．y ＝（x ﹣1）2﹣1D ．y ＝（x ﹣1）2+56．（2020•南京）下列关于二次函数y ＝﹣（x ﹣m ）2+m 2+1（m 为常数）的结论：①该函数的图象与函数y ＝﹣x 2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点（0，1）；③当x ＞0时，y 随x 的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y ＝x 2+1的图象上．其中所有正确结论的序号是 ．三．抛物线与x 轴的交点（共3小题）7．（2020•南通）已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过A （2，0），B （3n ﹣4，y 1），C （5n +6，y 2）三点，对称轴是直线x ＝1．关于x 的方程ax 2+bx +c ＝x 有两个相等的实数根．（1）求抛物线的解析式；（2）若n ＜﹣5，试比较y 1与y 2的大小；（3）若B ，C 两点在直线x ＝1的两侧，且y 1＞y 2，求n 的取值范围．8．（2020•盐城）若二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴有两个交点M （x 1，0），N （x 2，0）（0＜x 1＜x 2），且经过点A （0，2）．过点A 的直线l 与x 轴交于点C ，与该函数的图象交于点B （异于点A ）．满足△ACN 是等腰直角三角形，记△AMN 的面积为S 1，△BMN 的面积为S 2，且S 2=52S 1．（1）抛物线的开口方向 （填“上”或“下”）；（2）求直线l 相应的函数表达式；（3）求该二次函数的表达式． 9．（2020•苏州）如图，二次函数y ＝x 2+bx 的图象与x 轴正半轴交于点A ，平行于x 轴的直线l 与该抛物线交于B 、C 两点（点B 位于点C 左侧），与抛物线对称轴交于点D （2，﹣3）．（1）求b 的值；（2）设P 、Q 是x 轴上的点（点P 位于点Q 左侧），四边形PBCQ 为平行四边形．过点P 、Q 分别作x 轴的垂线，与抛物线交于点P '（x 1，y 1）、Q '（x 2，y 2）．若|y 1﹣y 2|＝2，求x 1、x 2的值．四．二次函数的应用（共4小题）10．（2020•连云港）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为min．11．（2020•宿迁）某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：55 60 65 70销售单价x（元/千克）销售量y（千克）70 60 50 40（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？12．（2020•南京）小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去B地．设小丽出发第xmin时，小丽、小明离B 地的距离分别为y1m、y2m．y1与x之间的函数表达式是y1＝﹣180x+2250，y2与x之间的函数表达式是y2＝﹣10x2﹣100x+2000．（1）小丽出发时，小明离A地的距离为m．（2）小丽出发至小明到达B地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？13．（2020•无锡）有一块矩形地块ABCD，AB＝20米，BC＝30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米．现决定在等腰梯形AEHD 和BCGF中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米2、40元/米2，设三种花卉的种植总成本为y元．（1）当x＝5时，求种植总成本y；（2）求种植总成本y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本．五．二次函数综合题（共8小题）14．（2020•镇江）如图①，直线l经过点（4，0）且平行于y轴，二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a、c是常数，a ＜0）的图象经过点M（﹣1，1），交直线l于点N，图象的顶点为D，它的对称轴与x轴交于点C，直线DM、DN分别与x轴相交于A、B两点．（1）当a ＝﹣1时，求点N 的坐标及AA AA 的值； （2）随着a 的变化，AA AA 的值是否发生变化？请说明理由；（3）如图②，E 是x 轴上位于点B 右侧的点，BC ＝2BE ，DE 交抛物线于点F ．若FB ＝FE ，求此时的二次函数表达式．15．（2020•宿迁）二次函数y ＝ax 2+bx +3的图象与x 轴交于A （2，0），B （6，0）两点，与y 轴交于点C ，顶点为E ．．（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E 的坐标；（2）如图①，D 是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD 的垂直平分线恰好经过点C 时，求点D 的坐标；（3）如图②，P 是该二次函数图象上的一个动点，连接OP ，取OP 中点Q ，连接QC ，QE ，CE ，当△CEQ 的面积为12时，求点P 的坐标． 16．（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝﹣ax 2+2ax +3a （a ＞0）的图象交x 轴于点A 、B ，交y 轴于点C ，它的对称轴交x 轴于点E ．过点C 作CD ∥x 轴交抛物线于点D ，连接DE 并延长交y 轴于点F ，交抛物线于点G ．直线AF 交CD 于点H ，交抛物线于点K ，连接HE 、GK ．（1）点E 的坐标为： ；（2）当△HEF 是直角三角形时，求a 的值；（3）HE 与GK 有怎样的位置关系？请说明理由．17．（2020•淮安）如图①，二次函数y＝﹣x2+bx+4的图象与直线l交于A（﹣1，2）、B（3，n）两点．点P 是x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线l于点M，交该二次函数的图象于点N，设点P的横坐标为m．（1）b＝，n＝；（2）若点N在点M的上方，且MN＝3，求m的值；（3）将直线AB向上平移4个单位长度，分别与x轴、y轴交于点C、D（如图②）．①记△NBC的面积为S1，△NAC的面积为S2，是否存在m，使得点N在直线AC的上方，且满足S1﹣S2＝6？若存在，求出m及相应的S1，S2的值；若不存在，请说明理由．②当m＞﹣1时，将线段MA绕点M顺时针旋转90°得到线段MF，连接FB、FC、OA．若∠FBA+∠AOD﹣∠BFC＝45°，直接写出直线OF与该二次函数图象交点的横坐标．18．（2020•常州）如图，二次函数y＝x2+bx+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点C（1，0），且顶点为D，连接AC、BC、BD、CD．（1）填空：b＝；（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q．若∠CQD＝∠ACB，求点P的坐标；（3）点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为G，连接AG．当点F在x轴上时，直接写出AG的长．19．（2020•泰州）如图，二次函数y 1＝a （x ﹣m ）2+n ，y 2＝6ax 2+n （a ＜0，m ＞0，n ＞0）的图象分别为C 1、C 2，C 1交y 轴于点P ，点A 在C 1上，且位于y 轴右侧，直线P A 与C 2在y 轴左侧的交点为B ．（1）若P 点的坐标为（0，2），C 1的顶点坐标为（2，4），求a 的值；（2）设直线P A 与y 轴所夹的角为α．①当α＝45°，且A 为C 1的顶点时，求am 的值；②若α＝90°，试说明：当a 、m 、n 各自取不同的值时，AA AA 的值不变；（3）若P A ＝2PB ，试判断点A 是否为C 1的顶点？请说明理由．20．（2020•连云港）在平面直角坐标系xOy 中，把与x 轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L 1：y =12x 2−32x ﹣2的顶点为D ，交x 轴于点A 、B （点A 在点B 左侧），交y 轴于点C ．抛物线L 2与L 1是“共根抛物线”，其顶点为P ．（1）若抛物线L 2经过点（2，﹣12），求L 2对应的函数表达式；（2）当BP ﹣CP 的值最大时，求点P 的坐标；（3）设点Q 是抛物线L 1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若△DPQ 与△ABC 相似，求其“共根抛物线”L 2的顶点P 的坐标． 21．（2020•无锡）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线OA 交二次函数y =14x 2的图象于点A ，∠AOB＝90°，点B 在该二次函数的图象上，设过点（0，m ）（其中m ＞0）且平行于x 轴的直线交直线OA 于点M ，交直线OB 于点N ，以线段OM 、ON 为邻边作矩形OMPN ．（1）若点A 的横坐标为8．①用含m的代数式表示M的坐标；②点P能否落在该二次函数的图象上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．（2）当m＝2时，若点P恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式．2020年江苏省中考数学试题分类（4）——二次函数参考答案与试题解析一．二次函数的性质（共4小题）1．【解答】解：∵点P （m ，n ）在以y 轴为对称轴的二次函数y ＝x 2+ax +4的图象上，∴a ＝0，∴n ＝m 2+4，∴m ﹣n ＝m ﹣（m 2+4）＝﹣m 2+m ﹣4＝﹣（m −12）2−154，∴当m =12时，m ﹣n 取得最大值，此时m ﹣n =−154，故选：C ．2．【解答】解：∵图象的对称轴是y 轴，∴函数表达式y ＝x 2（答案不唯一），故答案为：y ＝x 2（答案不唯一）．3．【解答】解：∵抛物线的对称轴为x =−122×(−16)=32， 设点M 的坐标为：（32，m ），当∠ABM ＝90°，过B 作BD 垂直对称轴于D ，则∠1＝∠2，∴tan ∠2＝tan ∠1=63=2， ∴AA AA =2，∴DM ＝3， ∴M （32，6），当∠M ′AB ＝90°时，∴tan ∠3=A′A AA =tan ∠1=63=2， ∴M ′N ＝9， ∴M ′（32，﹣9），综上所述，点M 的坐标为（32，﹣9）或（32，6）．故答案为：（32，﹣9）或（32，6）． 4．【解答】解：∵y ＝﹣x 2﹣2x +3＝﹣（x 2+2x +1﹣1）+3＝﹣（x +1）2+4，∴顶点坐标为（﹣1，4）．故答案为：（﹣1，4）．二．二次函数图象与几何变换（共2小题）5．【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将二次函数y ＝（x ﹣1）2+2的图象向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为：y ＝（x ﹣1）2+2+3，即y ＝（x ﹣1）2+5；故选：D ．6．【解答】解：①∵二次函数y ＝﹣（x ﹣m ）2+m +1（m 为常数）与函数y ＝﹣x 2的二次项系数相同， ∴该函数的图象与函数y ＝﹣x 2的图象形状相同，故结论①正确；②∵在函数y ＝﹣（x ﹣m ）2+m 2+1中，令x ＝0，则y ＝﹣m 2+m 2+1＝1，∴该函数的图象一定经过点（0，1），故结论②正确；③∵y ＝﹣（x ﹣m ）2+m 2+1，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x ＝m ，当x ＞m 时，y 随x 的增大而减小，故结论③错误；④∵抛物线开口向下，当x ＝m 时，函数y 有最大值m 2+1，∴该函数的图象的顶点在函数y ＝x 2+1的图象上．故结论④正确，故答案为①②④．三．抛物线与x 轴的交点（共3小题）7．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过A （2，0），∴0＝4a +2b +c ①，∵对称轴是直线x ＝1，∴−A 2A =1②， ∵关于x 的方程ax 2+bx +c ＝x 有两个相等的实数根，∴△＝（b ﹣1）2﹣4ac ＝0③，由①②③可得：{A =−12A =1A =0，∴抛物线的解析式为y =−12x 2+x ；（2）∵n ＜﹣5，∴3n ﹣4＜﹣19，5n +6＜﹣19∴点B ，点C 在对称轴直线x ＝1的左侧，∵抛物线y =−12x 2+x ，∴−12＜0，即y 随x 的增大而增大，∵（3n ﹣4）﹣（5n +6）＝﹣2n ﹣10＝﹣2（n +5）＞0，∴3n ﹣4＞5n +6，∴y 1＞y 2；（3）若点B 在对称轴直线x ＝1的左侧，点C 在对称轴直线x ＝1的右侧时，由题意可得{3A −4＜15A +6＞11−(3A −4)＜5A +6−1， ∴0＜n ＜53， 若点C 在对称轴直线x ＝1的左侧，点B 在对称轴直线x ＝1的右侧时，由题意可得：{3A −4＞15A +6＜13A −4−1＜1−(5A +6)，∴不等式组无解，综上所述：0＜n ＜53．8．【解答】解：（1）如图，如二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴有两个交点M （x 1，0），N （x 2，0）（0＜x 1＜x 2），且经过点A （0，2）．∴y ＝ax 2+bx +2，令y ＝0，则ax 2+bx +2＝0，∵0＜x 1＜x 2，∴2A ＞0，∴a ＞0，∴抛物线开口向上，故答案为：上；（2）①若∠ACN ＝90°，则C 与O 重合，直线l 与抛物线交于A 点，因为直线l 与该函数的图象交于点B （异于点A ），所以不合题意，舍去；②若∠ANC ＝90°，则C 在x 轴的下方，与题意不符，舍去；③若∠CAN ＝90°，则∠ACN ＝∠ANC ＝45°，AO ＝CO ＝NO ＝2，∴C （﹣2，0），N （2，0），设直线l 为y ＝kx +b ，将A （0，2）C （﹣2，0）代入得{A =2−2A +A =0， 解得{A =1A =2， ∴直线l 相应的函数表达式为y ＝x +2；（3）过B 点作BH ⊥x 轴于H ，S 1=12AA ⋅AA ，S 2=12AA ⋅AA ，∵S 2=52S 1， ∴BH =52OA ， ∵OA ＝2，∴BH ＝5，即B 点的纵坐标为5，代入y ＝x +2中，得x ＝3，∴B （3，5），将A 、B 、N 三点的坐标代入y ＝ax 2+bx +c 得{A =24A +2A +A =09A +3A +A =5，解得{A =2A =−5A =2，∴抛物线的解析式为y ＝2x 2﹣5x +2．9．【解答】解：（1）直线与抛物线的对称轴交于点D （2，﹣3），故抛物线的对称轴为x ＝2，即−12b ＝2，解得：b ＝﹣4，（2）∵b ＝﹣4∴抛物线的表达式为：y ＝x 2﹣4x ；把y ＝﹣3代入y ＝x 2﹣4x 并解得x ＝1或3，故点B 、C 的坐标分别为（1，﹣3）、（3，﹣3），则BC ＝2，∵四边形PBCQ 为平行四边形，∴PQ ＝BC ＝2，故x 2﹣x 1＝2，又∵y 1＝x 12﹣4x 1，y 2＝x 22﹣4x 2，|y 1﹣y 2|＝2，故|（x 12﹣4x 1）﹣（x 22﹣4x 2）|＝2，|x 1+x 2﹣4|＝1．∴x 1+x 2＝5或x 1+x 2＝3，由{A 2−A 1=2A 1+A 2=5，解得{A 1=32A 2=72； 由{A 2−A 1=2A 1+A 2=3，解得{A 1=12A 2=52． 四．二次函数的应用（共4小题）10．【解答】解：根据题意：y ＝﹣0.2x 2+1.5x ﹣2，当x =−1.52×(−0.2)=3.75时，y 取得最大值， 则最佳加工时间为3.75min ．故答案为：3.75．11．【解答】解：（1）设y 与x 之间的函数表达式为y ＝kx +b （k ≠0），将表中数据（55，70）、（60，60）代入得：{55A +A =7060A +A =60， 解得：{A =−2A =180． ∴y 与x 之间的函数表达式为y ＝﹣2x +180．（2）由题意得：（x ﹣50）（﹣2x +180）＝600，整理得：x 2﹣140x +4800＝0，解得x 1＝60，x 2＝80．答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克．（3）设当天的销售利润为w 元，则：w ＝（x ﹣50）（﹣2x +180）＝﹣2（x ﹣70）2+800，∵﹣2＜0，∴当x ＝70时，w 最大值＝800．答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．12．【解答】解：（1）∵y 1＝﹣180x +2250，y 2＝﹣10x 2﹣100x +2000，∴当x ＝0时，y 1＝2250，y 2＝2000，∴小丽出发时，小明离A 地的距离为2250﹣2000＝250（m ），故答案为：250；（2）设小丽出发第xmin 时，两人相距sm ，则s ＝（﹣180x +2250）﹣（﹣10x 2﹣100x +2000）＝10x 2﹣80x +250＝10（x ﹣4）2+90，∴当x ＝4时，s 取得最小值，此时s ＝90，答：小丽出发第4min 时，两人相距最近，最近距离是90m ．13．【解答】解：（1）当x ＝5时，EF ＝20﹣2x ＝10，EH ＝30﹣2x ＝20，y ＝2×12（EH +AD ）×20x +2×12（GH +CD ）×x ×60+EF •EH ×40＝（20+30）×5×20+（10+20）×5×60+20×10×40＝22000；（2）EF ＝（20﹣2x ）米，EH ＝（30﹣2x ）米，参考（1），由题意得：y ＝（30+30﹣2x ）•x •20+（20+20﹣2x ）•x •60+（30﹣2x ）（20﹣2x ）•40＝﹣400x +24000（0＜x ＜10）；（3）S 甲＝2×12（EH +AD ）×x ＝（30﹣2x +30）x ＝﹣2x 2+60x ， 同理S 乙＝﹣2x 2+40x ，∵甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米2，∴﹣2x 2+60x ﹣（﹣2x 2+40x ）≤120，解得：x ≤6，故0＜x ≤6，而y ＝﹣400x +24000随x 的增大而减小，故当x ＝6时，y 的最小值为21600，即三种花卉的最低种植总成本为21600元．五．二次函数综合题（共8小题）14．【解答】解：（1）分别过点M 、N 作MG ⊥CD 于点E ，NT ⊥DC 于点T ，∵MG ∥TN ∥x 轴，∴△DMG ∽△DAC ，△DCB ∽△DTN ，∴AA AA =AA AA ，AA AA =AA AA ，∵a ＝﹣1，则y ＝﹣x 2+2x +c ，将M （﹣1，1）代入上式并解得：c ＝4，∴抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+2x +4，则点D （1，5），N （4，﹣4），则MG ＝2，DG ＝4，DC ＝5，TN ＝3，DT ＝9，∴2AA =45，AA 3=59，解得：AC =52，BC =53， ∴AA AA =32；（2）不变，理由：第（2）问有错误MG ＝2，DG ＝4a∵y ＝ax 2﹣2ax +c 过点M （﹣1，1），则a +2a +c ＝1，解得：c ＝1﹣3a ，∴y ＝ax 2﹣2ax +（1﹣3a ），∴点D （1，1﹣4a ），N （4，1+5a ），∴MG ＝2，DG ＝4a ，DC ＝1﹣4a ，FN ＝3，DF ＝﹣9a ，由（1）的结论得：AC =1−4A −2A ，BC =1−4A −3A ，∴AA AA =32；（3）过点F 作FH ⊥x 轴于点H ，则FH ∥l ，则△FHE ∽△DCE ，∵FB ＝FE ，FH ⊥BE ，∴BH ＝HE ，∵BC ＝2BE ，则CE ＝6HE ，∵CD ＝1﹣4a ，∴FH =1−4A 6， ∵BC =4A −13A ， ∴CH =54×4A −13A =20A −512A ，∴F （53−512A +1，16−23a ）， 将点F 的坐标代入y ＝ax 2﹣2ax +（1﹣3a ）＝a （x +1）（x ﹣3）+1得： 16−23a ＝a （53−512A +1+1）（53−512A +1﹣3）+1，解得：a =−54或14（舍弃）， 经检验a =−54，故y =−54x 2+52x +194． 15．【解答】解：（1）将A （2，0），B （6，0）代入y ＝ax 2+bx +3， 得{4A +2A +3=036A +6A +3=0， 解得{A =14A =−2 ∴二次函数的解析式为y =14A 2−2x +3．∵y =14A 2−2A +3=14(A −4)2−1，∴E （4，﹣1）．（2）如图1，图2，连接CB ，CD ，由点C 在线段BD 的垂直平分线CN 上，得CB ＝CD ．设D （4，m ），∵C （0，3），由勾股定理可得：42+（m ﹣3）2＝62+32．解得m ＝3±√29．∴满足条件的点D 的坐标为（4，3+√29）或(4，3−√29)．（3）如图3，设CQ 交抛物线的对称轴于点M ，设P （n ，14A 2−2n +3），则Q （12A ，18A 2−A +32）， 设直线CQ 的解析式为y ＝kx +3，则18A 2−A +32=12nk +3． 解得k =14A −2−3A ，于是CQ ：y ＝（14A −2−3A ）x +3，当x ＝4时，y ＝4（14A −2−3A ）+3＝n ﹣5−12A， ∴M （4，n ﹣5−12A ），ME ＝n ﹣4−12A ．∵S △CQE ＝S △CEM +S △QEM =12×12A ⋅AA =12⋅12A ⋅(A −4−12A )=12． ∴n 2﹣4n ﹣60＝0，解得n ＝10或n ＝﹣6，当n ＝10时，P （10，8），当n ＝﹣6时，P （﹣6，24）．综合以上可得，满足条件的点P 的坐标为（10，8）或（﹣6，24）．16．【解答】解：（1）对于抛物线y ＝﹣ax 2+2ax +3a ，对称轴x =−2A −2A=1， ∴E （1，0），故答案为（1，0）．（2）如图，连接EC ．对于抛物线y ＝﹣ax 2+2ax +3a ，令x ＝0，得到y ＝3a ，令y ＝0，﹣ax 2+2ax +3a ＝0，解得x ＝﹣1或3，∴A （﹣1，0），B （3，0），C （0，3a ），∵C ，D 关于对称轴对称，∴D （2，3a ），CD ＝2，EC ＝DE ，当∠HEF ＝90°时，∵ED ＝EC ，∴∠ECD ＝∠EDC ，∵∠DCF ＝90°，∴∠CFD +∠EDC ＝90°，∠ECF +∠ECD ＝90°，∴∠ECF ＝∠EFC ，∴EC ＝EF ＝DE ，∵EA ∥DH ，∴F A ＝AH ，∴AE =12DH ，∵AE ＝2，∴DH ＝4，∵HE ⊥DFEF ＝ED ，∴FH ＝DH ＝4，在Rt △CFH 中，则有42＝22+（6a ）2，解得a =√33或−√33（不符合题意舍弃），∴a =√33．当∠HFE ＝90°时，∵OA ＝OE ，FO ⊥AE ，∴F A ＝FE ，∴OF ＝OA ＝OE ＝1，∴3a ＝1，∴a =13， 综上所述，满足条件的a 的值为√33或13．（3）结论：EH ∥GK ．理由：由题意A （﹣1，0），F （0，﹣3a ），D （2，3a ），H （﹣2，3a ），E （1，0），∴直线AF 的解析式y ＝﹣3ax ﹣3a ，直线DF 的解析式为y ＝3ax ﹣3a ，由{A =−3AA −3A A =−AA 2+2AA +3A ，解得{A =−1A =0或{A =6A =−21A ， ∴K （6，﹣21a ），由{A =3AA −3A A =−AA 2+2AA +3A ，解得{A =2A =3A 或{A =−3A =−12A ， ∴G （﹣3，﹣12a ），∴直线HE 的解析式为y ＝﹣ax +a ，直线GK 的解析式为y ＝﹣ax ﹣15a ，∵k 相同，a ≠﹣15a ，∴HE ∥GK ．17．【解答】解：（1）将点A （﹣1，2）代入二次函数y ＝﹣x 2+bx +4中，得﹣1﹣b +4＝2，∴b ＝1，∴二次函数的解析式为y ＝﹣x 2+x +4，将点B （3，n ）代入二次函数y ＝﹣x 2+x +4中，得n ＝﹣9+3+4＝﹣2，故答案为：1，﹣2；（2）设直线AB 的解析式为y ＝kx +a ，由（1）知，点B （3，﹣2），∵A （﹣1，2），∴{−A +A =23A +A =−2， ∴{A =−1A =1， ∴直线AB 的解析式为y ＝﹣x +1，由（1）知，二次函数的解析式为y ＝﹣x 2+x +4，∵点P （m ，0），∴M （m ，﹣m +1），N （m ，﹣m 2+m +4），∵点N 在点M 的上方，且MN ＝3，∴﹣m 2+m +4﹣（﹣m +1）＝3，∴m ＝0或m ＝2；（3）①如图1，由（2）知，直线AB 的解析式为y ＝﹣x +1，∴直线CD 的解析式为y ＝﹣x +1+4＝﹣x +5，令y ＝0，则﹣x +5＝0，∴x ＝5，∴C （5，0），∵A （﹣1，2），B （3，﹣2），∴直线AC 的解析式为y =−13x +53，直线BC 的解析式为y ＝x ﹣5，过点N 作y 轴的平行线交AC 于K ，交BC 于H ，∵点P （m ，0），∴N （m ，﹣m 2+m +4），K （m ，−13m +53），H （m ，m ﹣5），∴NK ＝﹣m 2+m +4+13m −53=−m 2+43m +73，NH ＝﹣m 2+9，∴S 2＝S △NAC =12NK ×（x C ﹣x A ）=12（﹣m 2+43m +73）×6＝﹣3m 2+4m +7，S 1＝S △NBC =12NH ×（x C ﹣x B ）＝﹣m 2+9，∵S 1﹣S 2＝6，∴﹣m 2+9﹣（﹣3m 2+4m +7）＝6，∴m ＝1+√3（由于点N 在直线AC 上方，所以，舍去）或m ＝1−√3；∴S 2＝﹣3m 2+4m +7＝﹣3（1−√3）2+4（1−√3）+7＝2√3−1，S 1＝﹣m 2+9＝﹣（1−√3）2+9＝2√3+5；②如图2，记直线AB 与x 轴，y 轴的交点为I ，L ，由（2）知，直线AB 的解析式为y ＝﹣x +1，∴I （1，0），L （0，1），∴OL ＝OI ，∴∠ALD ＝∠OLI ＝45°，∴∠AOD +∠OAB ＝45°，过点B 作BG ∥OA ，∴∠ABG ＝∠OAB ，∴∠AOD +∠ABG ＝45°，∵∠FBA ＝∠ABG +∠FBG ，∠FBA +∠AOD ﹣∠BFC ＝45°，∴∠ABG +∠FBG +∠AOD ﹣∠BFC ＝45°，∴∠FBG ＝∠BFC ，∴BG ∥CF ，∴OA ∥CF ，∵A （﹣1，2），∴直线OA 的解析式为y ＝﹣2x ，∵C （5，0），∴直线CF 的解析式为y ＝﹣2x +10，过点A ，F 分别作过点M 平行于x 轴的直线的垂线，交于点Q ，S ，由旋转知，AM ＝MF ，∠AMF ＝90°，∴△AMF 是等腰直角三角形，∴∠F AM ＝45°，∵∠AIO ＝45°，∴∠F AM ＝∠AIO ，∴AF ∥x 轴，∴点F 的纵坐标为2，∴F （4，2），∴直线OF 的解析式为y =12x ①，∵二次函数的解析式为y ＝﹣x 2+x +4②， 联立①②解得，{A =1+√654A =1+√658或{A =1−√654A =1−√658， ∴直线OF 与该二次函数图象交点的横坐标为1+√654或1−√654．18．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+3的图象过点C（1，0），∴0＝1+b+3，∴b＝﹣4，故答案为：﹣4；（2）∵b＝﹣4，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3∵抛物线y＝x2﹣4x+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，∴点A（0，3），3＝x2﹣4x+3，∴x1＝0（舍去），x2＝4，∴点B（4，3），∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴顶点D坐标（2，﹣1），如图1，当点Q在点D上方时，过点C作CE⊥AB于E，设BD与x轴交于点F，∵点A（0，3），点B（4，3），点C（1，0），CE⊥AB，∴点E（1，3），CE＝BE＝3，AE＝1，∴∠EBC＝∠ECB＝45°，tan∠ACE=AAAA=13，∴∠BCF＝45°，∵点B（4，3），点C（1，0），点D（2，﹣1），∴BC=√9+9=3√2，CD=√1+1=√2，BD=√(4−2)2+(3+1)2=2√5，∵BC2+CD2＝20＝BD2，∴∠BCD＝90°，∴tan ∠DBC =AA AA =√23√2=13=tan ∠ACE ， ∴∠ACE ＝∠DBC ，∴∠ACE +∠ECB ＝∠DBC +∠BCF ，∴∠ACB ＝∠CFD ，又∵∠CQD ＝∠ACB ，∴点F 与点Q 重合，∴点P 是直线CF 与抛物线的交点，∴0＝x 2﹣4x +3，∴x 1＝1，x 2＝3，∴点P （3，0）；当点Q 在点D 下方上，过点C 作CH ⊥DB 于H ，在线段BH 的延长线上截取HF ＝QH ，连接CQ 交抛物线于点P ，∵CH ⊥DB ，HF ＝QH ，∴CF ＝CQ ，∴∠CFD ＝∠CQD ，∴∠CQD ＝∠ACB ，∵CH ⊥BD ，∵点B （4，3），点D （2，﹣1），∴直线BD 解析式为：y ＝2x ﹣5，∴点F （52，0）， ∴直线CH 解析式为：y =−12x +12， ∴{A =−12A +12A =2A −5，解得{A =115A =−35， ∴点H 坐标为（115，−35）， ∵FH ＝QH ，∴点Q （1910，−65）， ∴直线CQ 解析式为：y =−43x +43， 联立方程组{A =−43A +43A =A 2−4A +3，解得：{A 1=1A 1=0或{A 2=53A 2=−89，∴点P （53，−89）； 综上所述：点P 的坐标为（3，0）或（53，−89）；（3）如图，设直线AC 与BD 的交点为N ，作CH ⊥BD 于H ，过点N 作MN ⊥x 轴，过点E 作EM ⊥MN ，连接CG ，GF ，∵点A （0，3），点C （1，0），∴直线AC 解析式为：y ＝﹣3x +3，∴{A =−3A +3A =2A −5， ∴{A =85A =−95， ∴点N 坐标为（85，−95），∵点H 坐标为（115，−35）， ∴CH 2＝（115−1）2+（35）2=95，HN 2＝（115−85）2+（−35+95）2=95， ∴CH ＝HN ，∴∠CNH ＝45°，∵点E 关于直线BD 对称的点为F ，∴EN ＝NF ，∠ENB ＝∠FNB ＝45°，∴∠ENF ＝90°，∴∠ENM +∠FNM ＝90°，又∵∠ENM +∠MEN ＝90°，∴∠MEN ＝∠FNM ，∴△EMN ≌△NKF （AAS ）∴EM ＝NK =95，MN ＝KF ，∴点E 的横坐标为−15，∴点E （−15，185）， ∴MN =275=KF ，∴CF =85+275−1＝6， ∵点F 关于直线BC 对称的点为G ，∴FC ＝CG ＝6，∠BCF ＝∠GCB ＝45°，∴∠GCF ＝90°，∴点G （1，6），∴AG =√12+(6−3)2=√10．19．【解答】解：（1）由题意m ＝2，n ＝4，∴y 1＝a （x ﹣2）2+4，把（0，2）代入得到a =−12．（2）①如图1中，过点A 作AN ⊥x 轴于N ，过点P 作PM ⊥AN 于M ． ∵y 1＝a （x ﹣m ）2+n ＝ax 2﹣2amx +am 2+n ，∴P （0，am 2+n ），∵A （m ，n ），∴PM ＝m ，AN ＝n ，∵∠APM ＝45°，∴AM ＝PM ＝m ，∴m +am 2+n ＝n ，∵m ＞0，∴am ＝﹣1．②如图2中，由题意AB ⊥y 轴， ∵P （0，am 2+n ），当y ＝am 2+n 时，am 2+n ＝6ax 2+n ，解得x ＝±√66m ， ∴B （−√66m ，am 2+n ），∴PB =√66m ，∵AP ＝2m ，∴AA AA =√66A =2√6．（3）如图3中，过点A 作AH ⊥x 轴于H ，过点P 作PK ⊥AH 于K ，过点B 作BE ⊥KP 交KP 的延长线于E ．设B （b ，6ab 2+n ），∵P A ＝2PB ，∴点A 的横坐标为﹣2b ，∴A [﹣2b ，a （﹣2b ﹣m ）2+n ]，∵BE ∥AK ， ∴AAAA =AAAA =12， ∴AK ＝2BE ，∴a （﹣2b ﹣m ）2+n ﹣am 2﹣n ＝2（am 2+n ﹣6ab 2﹣n ），整理得：m 2﹣2bm ﹣8b 2＝0，∴（m ﹣4b ）（m +2b ）＝0，∵m ﹣4b ＞0，∴m +2b ＝0，∴m ＝﹣2b ，∴A （m ，n ），∴点A 是抛物线C 1的顶点．20．【解答】解：（1）当y ＝0时，12x 2−32x ﹣2＝0，解得x ＝﹣1或4，∴A （﹣1，0），B （4，0），C （0，﹣2），由题意设抛物线L 2的解析式为y ＝a （x +1）（x ﹣4），把（2，﹣12）代入y ＝a （x +1）（x ﹣4），﹣12＝﹣6a ，解得a ＝2，∴抛物线的解析式为y ＝2（x +1）（x ﹣4）＝2x 2﹣6x ﹣8．（2）∵抛物线L 2与L 1是“共根抛物线”，A （﹣1，0），B （4，0），∴抛物线L 1，L 2的对称轴是直线x =32， ∴点P 在直线x =32上，∴BP ＝AP ，如图1中，当A ，C ，P 共线时，BP ﹣PC 的值最大，此时点P 为直线AC 与直线x =32的交点，∵直线AC 的解析式为y ＝﹣2x ﹣2，∴P （32，﹣5）（3）由题意，AB ＝5，CB ＝2√5，CA =√5，∴AB 2＝BC 2+AC 2，∴∠ACB ＝90°，CB ＝2CA ，∵y =12x 2−32x ﹣2=12（x −32）2−258，∴顶点D （32，−258）， 由题意，∠PDQ 不可能是直角，第一种情形：当∠DPQ ＝90°时，①如图3﹣1中，当△QDP ∽△ABC 时，AA AA =AA AA =12， 设Q （x ，12x 2−32x ﹣2），则P （32，12x 2−32x ﹣2），∴DP =12x 2−32x ﹣2﹣（−258）=12x 2−32x +98，QP ＝x −32， ∵PD ＝2QP ，∴2x ﹣3=12x 2−32x +98，解得x =112或32（舍弃）， ∴P （32，398）．②如图3﹣2中，当△DQP ∽△ABC 时，同法可得PQ ＝2PD ，x −32=x 2﹣3x +94，解得x =52或32（舍弃）， ∴P （32，−218）． 第二种情形：当∠DQP ＝90°．①如图3﹣3中，当△PDQ ∽△ABC 时，AA AA =AA AA =12， 过点Q 作QM ⊥PD 于M ．则△QDM ∽△PDQ ，∴AA AA =AA AA =12，由图3﹣3可知，M （32，398），Q （112，398）， ∴MD ＝8，MQ ＝4，∴DQ ＝4√5，由AA AA =AA AA ，可得PD ＝10， ∵D （32，−258） ∴P （32，558）．②当△DPQ ∽△ABC 时，过点Q 作QM ⊥PD 于M ．同法可得M （32，−218），Q （52，−218）， ∴DM =12，QM ＝1，QD =√52，由AA AA =AA AA ，可得PD =52， ∴P （32，−58）． 综上所述：P 点坐标为（32，398）或（32，−218）或（32，558）或（32，−58）． 21．【解答】解：（1）①∵点A 在y =14x 2的图象上，横坐标为8， ∴A （8，16），∴直线OA 的解析式为y ＝2x ，∵点M 的纵坐标为m ，∴M （12m ，m ）．②假设能在抛物线上，连接OP ．∵∠AOB ＝90°，∴直线OB 的解析式为y =−12x ，∵点N 在直线OB 上，纵坐标为m ，∴N （﹣2m ，m ），∴MN 的中点的坐标为（−34m ，m ），∴P （−32m ，2m ），把点P 坐标代入抛物线的解析式得到m =329．（2）①当点A 在y 轴的右侧时，设A （a ，14a 2），∴直线OA 的解析式为y =14ax ， ∴M （8A，2），∵OB ⊥OA ， ∴直线OB 的解析式为y =−4A x ，可得N （−A 2，2），∴P （8A −A 2，4），代入抛物线的解析式得到，8A −A 2=±4，解得，a ＝4√2±4，∴直线OA 的解析式为y ＝（√2±1）x ．②当点A 在y 轴的左侧时，即为①中点B 的位置，∴直线OA的解析式为y=−4A x＝﹣（√2±1）x，综上所述，满足条件的直线OA的解析式为y＝（√2±1）x或y＝﹣（√2±1）x．。
2022年中考数学真题分类汇编：一次函数
2022年中考数学真题分类汇编：一次函数一、单选题(共15题；共45分)1．（3分）（2022·北部湾）已知反比例函数y=b x(b≠0)的图象如图所示，则一次函数y=cx−a(c≠0)和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【解答】解：∵反比例函数y=bx(b≠0)的图象在第一和第三象限内，∴b>0，若a<0，则- b2a>0，所以二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，故A，B，C，D选项全不符合；当a>0，则- b2a<0时，所以二次函数开口向上，对称轴在y轴左侧，故只有C、D两选项可能符合题意，由C、D两选图象知，c<0，又∵a>0，则-a<0，当c<0，a>0时，一次函数y=cx-a图象经过第二、第三、第四象限，故只有D选项符合题意.故答案为：D.【分析】根据反比例函数图象所在的象限可得b>0，若a>0，则-b 2a <0时，二次函数开口向上，对称轴在y 轴左侧，据此排除A 、B ；若a>0，c<0，一次函数图象经过二、三、四象限，据此判断C 、D.2．（3分）（2022·鄂州）数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图，一次函数y ＝kx+b （k 、b 为常数，且k ＜0）的图象与直线y ＝13x 都经过点A （3，1），当kx+b ＜13x 时，x 的取值范围是（ ）A ．x ＞3B ．x ＜3C ．x ＜1D ．x ＞1【答案】A【解析】【解答】解：由函数图象可知不等式kx+b ＜13x 的解集即为一次函数图象在正比例函数图象下方的自变量的取值范围，∴当kx+b ＜13x 时，x 的取值范围是x >3.故答案为：A.【分析】根据图象，找出一次函数y=kx+b 的图象在直线 y ＝13x 的图象下方部分所对应的x 的范围即可.3．（3分）（2022·绥化）小王同学从家出发，步行到离家a 米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y （单位：米）与出发时间x （单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为（ ）A ．2.7分钟B ．2.8分钟C ．3分钟D ．3.2分钟【答案】C【解析】【解答】解： 如图：根据题意可得A （8，a ），D （12，a ），E （4，0），F （12，0）设AE 的解析式为y=kx+b ，则{0=4k +b a =8k +b ，解得{k =a 4b =−a ∴直线AE 的解析式为y=a4x-3a同理：直线AF 的解析式为：y=-a 4x+3a ，直线OD 的解析式为：y=a12x 联立{y =a 12x y =a 4x −a ，解得{x =6y =a 2联立{y =a12xy =−a 4x +3a，解得{x =9y =3a 4 两人先后两次相遇的时间间隔为9-6=3min ．故答案为C ．【分析】先求出直线AE 和直线OD 的解析式，再联立方程组{y =a12x y =a 4x −a 求出{x =6y =a 2和{y =a12xy =−a 4x +3a 求出{x =9y =3a 4，最后作差即可得到答案。
中考数学试题分类分析汇编专题6：函数的图像与性质
中考数学试题分类分析汇编（12专题）专题6：函数的图像与性质一．选择题1. （2001年福建福州4分）二次函数2y ax bx c(a 0)=++≠的图象如图所示，下列结论： （1）c 0<（2）b 0> （3）4a 2b c 0++> （4）22(a c)b +<其中正确的有【 】 A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C 。
【考点】二次函数图象与系数的关系。
【分析】（1）∵图象与y 轴交于y 轴负半轴，则c ＜0，正确。
（2）∵对称轴bx 12a=-=，开口向下，∴a＜0，故b ＞0，正确。
（3）当x=2时，y ＜0，即4a ＋2b ＋c ＞0，错误。
（4）22(a c)b +<可化为（a －b ＋c ）（a ＋b ＋c ）＜0，∵当x=1时，a ＋b ＋c ＞0，当x=－1时，a －b ＋c ＜0，故22(a c)b +<正确。
故选C 。
2. （2002年福建福州4分）如果反比例函数ky x=的图象经过点（－2，－1），那么k 的值为【 】 （A ）21 （B ）－21 （C ）2 （D ）－2【答案】C 。
【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，将（－2，－1）代入k y x =，得k12-=-，解得k=2。
故选C 。
3. （2002年福建福州4分）已知：二次函数y ＝x 2+bx+c 与x 轴相交于A （x 1，0）、B （x 2，0）两点，其顶点坐标为P （b 2-，24c b 4-），AB ＝︱x 1－x 2︱，若S △APB ＝1，则b 与c 的关系式是【 】 （A ）b 2－4c ＋1＝0 （B ）b 2－4c －1＝0 （C ）b 2－4c ＋4＝0（D ）b 2－4c －4＝04. （2003年福建福州4分）反比例函数4y x=-的图象大致是【 】 （A ） （B ） （C ） （D ）【答案】A 。
2024年中考数学真题汇编专题15 二次函数的实际应用+答案详解
2024年中考数学真题汇编专题15 二次函数的实际应用+答案详解（试题部分）一、单选题1．（2024·天津·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）之间的关系式是()230506h t t t =−≤≤．有下列结论：①小球从抛出到落地需要6s ； ②小球运动中的高度可以是30m ；③小球运动2s 时的高度小于运动5s 时的高度． 其中，正确结论的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．32．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在等腰Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，12AB =，动点E ，F 同时从点A 出发，分别沿射线AB 和射线AC 的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E 停止运动时，点F 也随之停止运动，连接EF ，以EF 为边向下做正方形EFGH ，设点E 运动的路程为()012x x <<，正方形EFGH 和等腰Rt ABC △重合部分的面积为下列图像能反映y 与x 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2024·山东烟台·中考真题）如图，水平放置的矩形ABCD 中，6cm AB =，8cm BC =，菱形EFGH 的顶点E ，G 在同一水平线上，点G 与AB 的中点重合，EF =，60E ∠=︒，现将菱形EFGH 以1cm /s的速度沿BC 方向匀速运动，当点E 运动到CD 上时停止，在这个运动过程中，菱形EFGH 与矩形ABCD 重叠部分的面积()2cm S 与运动时间()s t 之间的函数关系图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题4．（2024·广西·中考真题）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P 处）的高度OP 是7m 4，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m ，高度是4m ．若实心球落地点为M ，则OM = m ．5．（2024·甘肃·中考真题）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y （单位：m ）与距离停车棚支柱AO 的水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系20.020.3 1.6y x x =−++的图象，点()62.68B ，在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长4m CD =，高 1.8m DE =的矩形，则可判定货车 完全停到车棚内（填“能”或“不能”）．6．（2024·四川自贡·中考真题）九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙AB CD ⊥于点O （如图），其中AB 上的EO 段围墙空缺．同学们测得 6.6AE =m ， 1.4OE =m ，6OB =m ，5OC =m ，3OD =m ．班长买来可切断的围栏16m ，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是 2cm ．三、解答题7．（2024·陕西·中考真题）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索1L 与缆索2L 均呈抛物线型，桥塔AO 与桥塔BC 均垂直于桥面，如图所示，以O 为原点，以直线FF '为x 轴，以桥塔AO 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知：缆索1L 所在抛物线与缆索2L 所在抛物线关于y 轴对称，桥塔AO 与桥塔BC 之间的距离100m OC =，17m AO BC ==，缆索1L 的最低点P 到FF '的距离2m PD =（桥塔的粗细忽略不计）(1)求缆索1L 所在抛物线的函数表达式；(2)点E 在缆索2L 上，EF FF '⊥，且 2.6m EF =，FO OD <，求FO 的长．8．（2024·湖北·中考真题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m ，篱笆长80m ．设垂直于墙的边AB 长为x 米，平行于墙的边BC 为y 米，围成的矩形面积为2cm S ．(1)求y 与,x s 与x 的关系式．(2)围成的矩形花圃面积能否为2750cm ，若能，求出x 的值．(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x 的值．9．（2024·河南·中考真题）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度()m h 满足关系式205h t v t =−+，其中()s t 是物体运动的时间，()0m /s v 是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．(1)小球被发射后_________s 时离地面的高度最大（用含0v 的式子表示）． (2)若小球离地面的最大高度为20m ，求小球被发射时的速度．(3)按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为3s ．”已知实验楼高15m ，请判断他的说法是否正确，并说明理由．10．（2024·湖北武汉·中考真题）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x 轴，垂直于地面的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线2y ax x =+和直线12y x b =−+．其中，当火箭运行的水平距离为9km 时，自动引发火箭的第二级．(1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6km ． ①直接写出a ，b 的值；②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km ，求这两个位置之间的距离． (2)直接写出a 满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km ．11．（2024·四川内江·中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒． (1)求这两种粽子的进价；(2)设猪肉粽每盒售价x 元()5270x ≤≤，y 表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），求y 关于x 的函数表达式并求出y 的最大值．12．（2024·贵州·中考真题）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值．(1)求y与x的函数表达式；(2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值．13．（2024·广东·中考真题）广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币）14．（2024·四川遂宁·中考真题）某酒店有A B、两种客房、其中A种24间，B种20间．若全部入住，一天、两种客房均有10间入住，一天营业额为3200元．营业额为7200元；若A B(1)求A B、两种客房每间定价分别是多少元？(2)酒店对A种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加10元，就会有一个房间空闲；当A种客房每间定价为多少元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为多少元？15．（2024·四川南充·中考真题）2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A 类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元．(1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？(2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．(3)在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价）16．（2024·江苏盐城·中考真题）请根据以下素材，完成探究任务．17．（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．(1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？18．（2024·江西·中考真题）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数()20y ax bx a =+<刻画，斜坡可以用一次函数14y x =刻画，小球飞行的水平距离x （米）与小球飞行的高度y （米）的变化规律如下表：(1)①m =______，n =______； ②小球的落点是A ，求点A 的坐标．(2)小球飞行高度y （米）与飞行时间t （秒）满足关系25y t vt =−+． ①小球飞行的最大高度为______米； ②求v 的值．19．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，ABC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，()2,0A −，()6,0C ，反比例函数()0,0ky k x x=≠>的图象与AB 交于点(),4D m ，与BC 交于点E ．(1)求m ，k 的值； (2)点P 为反比例函数()0,0ky k x x=≠>图象上一动点（点P 在D ，E 之间运动，不与D ，E 重合），过点P 作PM AB ∥，交y 轴于点M ，过点P 作PN x ∥轴，交BC 于点N ，连接MN ，求PMN 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．20．（2024·青海·中考真题）在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡OA ，从点O 处抛出一个小球，落到点33,2A ⎛⎫⎪⎝⎭处．小球在空中所经过的路线是抛物线2y x bx =−+的一部分．(1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线最高点的坐标；(3)斜坡上点B 处有一棵树，点B 是OA 的三等分点，小球恰好越过树的顶端C ，求这棵树的高度． 21．（2024·天津·中考真题）将一个平行四边形纸片OABC 放置在平面直角坐标系中，点()0,0O ，点()3,0A ，点,B C 在第一象限，且2,60OC AOC ∠==．(1)填空：如图①，点C 的坐标为______，点B 的坐标为______；(2)若P 为x 轴的正半轴上一动点，过点P 作直线l x ⊥轴，沿直线l 折叠该纸片，折叠后点O 的对应点O '落在x 轴的正半轴上，点C 的对应点为C '．设OP t =．①如图②，若直线l 与边CB 相交于点Q ，当折叠后四边形PO C Q ''与OABC 重叠部分为五边形时，O C ''与AB 相交于点E ．试用含有t 的式子表示线段BE 的长，并直接写出t 的取值范围；②设折叠后重叠部分的面积为S ，当21134t ≤≤时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．2024年中考数学真题汇编专题15 二次函数的实际应用+答案详解（答案详解）一、单选题1．（2024·天津·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）之间的关系式是()230506h t t t =−≤≤．有下列结论：①小球从抛出到落地需要6s ； ②小球运动中的高度可以是30m ；③小球运动2s 时的高度小于运动5s 时的高度． 其中，正确结论的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3令0=解方程即可判断【详解】解：令0=，则30，解得：10t =，∴小球从抛出到落地需要6∵()230553t t x =−−−∴最大高度为45m ，∴小球运动中的高度可以是2t =时，302=⨯−时，305=⨯−∴小球运动2s 时的高度大于运动时的高度，故③错误；2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在等腰Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，12AB =，动点E ，F 同时从点A 出发，分别沿射线AB 和射线AC 的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E 停止运动时，点F 也随之停止运动，连接EF ，以EF 为边向下做正方形EFGH ，设点E 运动的路程为()012x x <<，正方形EFGH 和等腰Rt ABC △重合部分的面积为下列图像能反映y 与x 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．∴2EF x =，12BE x =−，∵45AEF B ∠=∠=︒，A ∠∴FAE EOB ∽V V ， ∴AE EO=，3．（2024·山东烟台·中考真题）如图，水平放置的矩形ABCD 中，6cm AB =，8cm BC =，菱形EFGH 的顶点E ，G 在同一水平线上，点G 与AB 的中点重合，EF =，60E ∠=︒，现将菱形EFGH 以1cm /s 的速度沿BC 方向匀速运动，当点E 运动到CD 上时停止，在这个运动过程中，菱形EFGH 与矩形ABCD 重叠部分的面积()2cm S 与运动时间()s t 之间的函数关系图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．∴HFG是等边三角形，EF=23cm∠=30OEF=EG EO2S=时，重合部分为MNG，依题意，MNG为等边三角形，运动时间为t，则NG⨯⨯NG NG6时，如图所示，12EKJ S =EKJ S S S =菱形 (3333t −−二、填空题4．（2024·广西·中考真题）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P 处）的高度OP 是7m 4，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m ，高度是4m ．若实心球落地点为M ，则OM = m ．5．（2024·甘肃·中考真题）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y （单位：m ）与距离停车棚支柱AO 的水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系20.020.3 1.6y x x =−++的图象，点()62.68B ，在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长4m CD =，高 1.8m DE =的矩形，则可判定货车 完全停到车棚内（填“能”或“不能”）．【答案】能【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意求出当2x =时，y 的值，若此时y 的值大于1.8，则货车能完全停到车棚内，反之，不能，据此求解即可．【详解】解：∵4m CD =，()62.68B ，， ∴642−=，在20.020.3 1.6y x x =−++中，当2x =时，20.0220.32 1.6 2.12y =−⨯+⨯+=，∵2.12 1.8>，∴可判定货车能完全停到车棚内，故答案为：能．6．（2024·四川自贡·中考真题）九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙OE=m，6AE=m， 1.4AB CD⊥于点O（如图），其中AB上的EO段围墙空缺．同学们测得 6.6OB=m，OD=m．班长买来可切断的围栏16m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该OC=m，35菜地最大面积是2cm．三、解答题7．（2024·陕西·中考真题）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索1L 与缆索2L 均呈抛物线型，桥塔AO 与桥塔BC 均垂直于桥面，如图所示，以O 为原点，以直线FF '为x 轴，以桥塔AO 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知：缆索1L 所在抛物线与缆索2L 所在抛物线关于y 轴对称，桥塔AO 与桥塔BC 之间的距离100m OC =，17m AO BC ==，缆索1L 的最低点P 到FF '的距离2m PD =（桥塔的粗细忽略不计）(1)求缆索1L 所在抛物线的函数表达式；(2)点E 在缆索2L 上，EF FF '⊥，且 2.6m EF =，FO OD <，求FO 的长．8．（2024·湖北·中考真题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长80m．设垂直于墙的边AB长为x米，平行于墙的边BC为y米，围成的矩形面积为2cmS．(1)求y与,x s与x的关系式．(2)围成的矩形花圃面积能否为2750cm，若能，求出x的值．(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值．∵1940x ≤<，∴25x =；（3）解：()22280220800s x x x =−+=−−+∵20,-<∴s 有最大值，又1940x ≤<，∴当20x =时，s 取得最大值，此时800s =，即当20x =时，s 的最大值为8009．（2024·河南·中考真题）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度()m h 满足关系式205h t v t =−+，其中()s t 是物体运动的时间，()0m /s v 是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．(1)小球被发射后_________s 时离地面的高度最大（用含0v 的式子表示）．(2)若小球离地面的最大高度为20m ，求小球被发射时的速度．(3)按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为3s ．”已知实验楼高15m ，请判断他的说法是否正确，并说明理由．10．（2024·湖北武汉·中考真题）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x 轴，垂直于地面的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线2y ax x =+和直线12y x b =−+．其中，当火箭运行的水平距离为9km 时，自动引发火箭的第二级．(1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6km ．①直接写出a ，b 的值；②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km ，求这两个位置之间的距离．(2)直接写出a 满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km ．11．（2024·四川内江·中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒． (1)求这两种粽子的进价；(2)设猪肉粽每盒售价x 元()5270x ≤≤，y 表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），求y 关于x 的函数表达式并求出y 的最大值．∴当60x =时，y 取得最大值为1000元．12．（2024·贵州·中考真题）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y （盒）与销售单价x （元）是一次函数关系，下表是y 与x 的几组对应值．(1)求y 与x 的函数表达式；(2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m 元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m 的值． 【答案】(1)280y x =−+(2)糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元 (3)2【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）利用待定系数法求解即可；（2）设日销售利润为w 元，根据利润=单件利润×销售量求出w 关于x 的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可；（3）设日销售利润为w 元，根据利润=单件利润×销售量-m ×销售量求出w 关于x 的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解∶设y 与x 的函数表达式为y kx b =+， 把12x =，56y =；20x =，40y =代入，得12562040k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得280k b =−⎧⎨=⎩，∴y 与x 的函数表达式为280y x =−+； （2）解：设日销售利润为w 元， 根据题意，得()10w x y =−⋅()()10280x x =−−+22100800x x =−+−13．（2024·广东·中考真题）广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币）14．（2024·四川遂宁·中考真题）某酒店有A B、两种客房、其中A种24间，B种20间．若全部入住，一天、两种客房均有10间入住，一天营业额为3200元．营业额为7200元；若A B(1)求A B、两种客房每间定价分别是多少元？(2)酒店对A种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加10元，就会有一个房间空闲；当A种客房每间定价为多少元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为多少元？15．（2024·四川南充·中考真题）2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A 类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A 类特产和5件B 类特产需540元．(1)求A 类特产和B 类特产每件的售价各是多少元？(2)A 类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A 类特产降价x 元，每天的销售量为y 件，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．(3)在（2）的条件下，由于B 类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w 元，求w 与x 的函数关系式，并求出每件A 类特产降价多少元时总利润w 最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价）【答案】(1)A 类特产的售价为60元/件，B 类特产的售价为72元/件 (2)1060y x =+（010x ≤≤）(3)A 类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最犬，最大利润为1840元【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、函数关系式和二次函数的性质，()1根据题意设每件A 类特产的售价为x 元，则每件B 类特产的售价为()132x −元，进一步得到关于x 的一元一次方程求解即可；()2根据降价1元，每天可多售出10件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到x得取值范围；()3结合（2）中A 类特产降价x 元与每天的销售量y 件，得到A 类特产的利润，同时求得B 类特产的利润，整理得到关于x 的二次函数，利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：设每件A 类特产的售价为x 元，则每件B 类特产的售价为()132x −元． 根据题意得()35132540x x +−=． 解得60x =．则每件B 类特产的售价1326072−=（元）．答：A 类特产的售价为60元/件，B 类特产的售价为72元/件． （2）由题意得1060y x =+∵A 类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价 ∴010x ≤≤．答：1060y x =+（010x ≤≤）．（3）(6050)(1060)100(7260)w x x =−−++⨯−22=−++=−−+．x x x1040180010(2)1840Q−<100,∴当2x=时，w有最大值1840．答：A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元．16．（2024·江苏盐城·中考真题）请根据以下素材，完成探究任务．17．（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．(1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？18．（2024·江西·中考真题）如图，一小球从斜坡O 点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数()20y ax bx a =+<刻画，斜坡可以用一次函数14y x =刻画，小球飞行的水平距离x （米）与小球飞行的高度y （米）的变化规律如下表：(1)①m =______，n =______； ②小球的落点是A ，求点A 的坐标．(2)小球飞行高度y （米）与飞行时间t （秒）满足关系25y t vt =−+． ①小球飞行的最大高度为______米； ②求v 的值．19．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，ABC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，()2,0A −，()6,0C ，反比例函数()0,0k y k x x=≠>的图象与AB 交于点(),4D m ，与BC 交于点E ．(1)求m ，k 的值；(2)点P 为反比例函数()0,0k y k x x=≠>图象上一动点（点P 在D ，E 之间运动，不与D ，E 重合），过点P 作PM AB ∥，交y 轴于点M ，过点P 作PN x ∥轴，交BC 于点N ，连接MN ，求PMN 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标． PMN S =()2,0A −)6,0，又AC BC =8BC =．ACB ∠=∴点(6,8B 设直线AB 将(2,0A −AC BC=PN x∥轴，BLN∴∠=PM AB∥MPL∴∠=QMP∴∠QM QP∴=设点P的坐标为PMNS=当3t=20．（2024·青海·中考真题）在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡OA，从点O处抛出一个小球，落到点33,2A⎛⎫⎪⎝⎭处．小球在空中所经过的路线是抛物线2y x bx=−+的一部分．(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线最高点的坐标；(3)斜坡上点B处有一棵树，点B是OA的三等分点，小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度．∵BOD AOE ∠=∠，BDO ∠∴OBD OAE ∽△△， ∴OD BD OB OE AE OA==， 又∵点B 是OA 的三等分点，∴1OB =，21．（2024·天津·中考真题）将一个平行四边形纸片OABC 放置在平面直角坐标系中，点()0,0O ，点()3,0A ，点,B C 在第一象限，且2,60OC AOC ∠==．(1)填空：如图①，点C 的坐标为______，点B 的坐标为______；(2)若P 为x 轴的正半轴上一动点，过点P 作直线l x ⊥轴，沿直线l 折叠该纸片，折叠后点O 的对应点O '落在x 轴的正半轴上，点C 的对应点为C '．设OP t =．①如图②，若直线l 与边CB 相交于点Q ，当折叠后四边形PO C Q ''与OABC 重叠部分为五边形时，O C ''与AB 相交于点E ．试用含有t 的式子表示线段BE 的长，并直接写出t 的取值范围；②设折叠后重叠部分的面积为S ，当21134t ≤≤时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．，再证明EO A'是等边三角形，运用线段的和差关系重合时，和当C'与点，再分别以2 3分别作图，运用数形结合思路列式计算，即可作答．60，(A∴EO A'是等边三角形=AE AO'=−BE AB=−BE AB=−+2BE t∵由①得出EO A '是等边三角形，(122AO t ='3EAO '=，32t ⎛⎫− ⎪⎝⎭3124。
一次函数-三年中考数学真题分项汇编(解析版)
一次函数一、单选题1．（2020年浙江舟山）一次函数21y x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】根据一次函数的性质，直接判断即可．【详解】对于一次函数21y x =-，∵20k =>，10b =-<，∵函数的图象经过第一、三、四象限．故选B ．【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质，掌握一次函数的系数和图象所经过的象限之间的关系是解题的关键．2．（2022年浙江绍兴）已知112233()()()x y x y x y ，，，，，为直线23y x =-+上的三个点，且123x x x <<，则以下判断正确的是（ ）．A ．若120x x >，则130y y >B ．若130x x <，则120y y >C ．若230x x >，则130y y >D ．若230x x <，则120y y > 【答案】D【解析】【分析】根据一次函数的性质和各个选项中的条件，可以判断是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：∵直线y=−2x+3∵y随x增大而减小，当y=0时，x=1.5∵(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)为直线y=−2x+3上的三个点，且x1<x2<x3∵若x1x2>0，则x1，x2同号，但不能确定y1y3的正负，故选项A不符合题意；若x1x3<0，则x1，x3异号，但不能确定y1y2的正负，故选项B不符合题意；若x2x3>0，则x2，x3同号，但不能确定y1y3的正负，故选项C不符合题意；若x2x3<0，则x2，x3异号，则x1，x2同时为负，故y1，y2同时为正，故y1y2>0，故选项D符合题意．故选：D．【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．3．（2020年浙江杭州）在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），则该函数的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】求得解析式即可判断．【详解】解：∵函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），∵2＝a+a，解得a＝1，∵y＝x+1，∵直线交y轴的正半轴，且过点（1，2），故选：A．【点睛】此题考查一次函数表达式及图像的相关知识．4．（2022年浙江温州）小聪某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为s米，所经过的时间为t分钟，下列选项中的图像，能近似刻画s与t之间关系的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】分别对每段时间的路程与时间的变化情况进行分析，画出路程与时间图像，再与选项对比判断即可．【详解】解：对各段时间与路程的关系进行分析如下：从家到凉亭，用时10分种，路程600米，s从0增加到600米，t从0到10分，对应图像为在凉亭休息10分钟，t从10分到20分，s保持600米不变，对应图像为从凉亭到公园，用时间10分钟，路程600米，t从20分到30分，s从600米增加到1200米，对应图像为故选：A．【点睛】本题考查了一次折线图像与实际结合的问题，注意正确理解每段时间与路程的变化情况是解题关键．5．（浙江衢州2021年）已知A，B两地相距60km，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，甲骑自行车匀速行驶3h到达，乙骑摩托车．比甲迟1h出发，行至30km处追上甲，停留半小时后继续以原速行驶．他们离开A地的路程y与甲行驶时间x的函数图象如图所示．当乙再次追上甲时距离B地（）A．15km B．16km C．44km D．45km【答案】A【解析】【分析】根据图象信息和已知条件，用待定系数法求出y 20x =甲，6060y x 乙312x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，6090y x 乙（522x ≤≤），再根据追上时路程相等，求出答案．【详解】解：设y kx =甲，将（3,60）代入表达式，得：603k =，解得：20k =，则y 20x =甲,当y =30km 时，求得x =32h ， 设11+y k x b 乙312x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，将（1,0），3302⎛⎫ ⎪⎝⎭，，代入表达式，得： 1111 03302k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：11 60 60b k =-⎧⎨=⎩， ∴6060y x 乙312x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭， ∵60/V km h =乙，1T h =乙，∵乙在途中休息了半小时，到达B 地时用半小时，∵当522x ≤≤时，设22+y k x b 乙，将（2,30），5(,60)2代入表达式，得到： 22222?305602k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：22 90 60b k =-⎧⎨=⎩， ∴6090y x 乙（522x ≤≤）， 则当y y =甲乙时，206090x x =-，解得：94x =， ∵45y y km ==甲乙,∴当乙再次追上甲时距离A 地45km所以乙再次追上甲时距离B 地15.km故选：A ．【点睛】本题主要考查了利用一次函数图像解决实际问题，关键在于理解题意，明白追击问题中追上就是路程相等，再利用待定系数法求出函数表达式，最后进行求解．6．（浙江嘉兴2021年）已知点(),P a b 在直线34y x =--上，且250a b -≤，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．52a b ≤ B ．52a b ≥ C ．25b a ≥ D ．25b a ≤ 【答案】D【解析】【分析】 根据点(),P a b 在直线34y x =--上，且250a b -≤，先算出a 的范围，再对不等式250a b -≤变形整理时，需要注意不等号方向的变化．【详解】解：点(),P a b 在直线34y x =--上，34b a ∴=--，将上式代入250a b -≤中，得：25(34)0a a -⨯--≤，解得：2017a ≤-， 由250ab -≤，得：25a b ≤， 202,175b a a ≤-∴≤（两边同时乘上一个负数，不等号的方向要发生改变）， 故选：D ．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是：要注意在变形的时候，不等号的方向的变化情况． 7．（2022·浙江金华）如图是城某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是(3,1),(4,2)-，下列各地点中，离原点最近的是（ ）A ．超B ．医院C ．体育场D ．学校【答案】A【解析】【分析】根据学校和体育场的坐标建立直角坐标系，利用勾股定理求出各点到原点的距离，由此得到答案．【详解】解：根据学校和体育场的坐标建立直角坐标系，22215+223110+223110+224225+=故选：A．【点睛】此题考查了根据点坐标确定原点，勾股定理，正确理解点坐标得到原点的位置及正确展望勾股定理的计算是解题的关键．8．（2020年浙江湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2和直线y＝23x+2分别交x轴于点A和点B．则下列直线中，与x轴的交点不在线段AB上的直线是（）A．y＝x+2B．y2x+2C．y＝4x+2D．y23x+2【答案】C【解析】【分析】分别求出点A、B坐标，再根据各选项解析式求出与x轴交点坐标，判断即可．【详解】解：∵直线y＝2x+2和直线y＝23x+2分别交x轴于点A和点B．∵A（﹣1，0），B（﹣3，0）A.y＝x+2与x轴的交点为（﹣2，0）；故直线y＝x+2与x轴的交点在线段AB上；B.y2+2与x20）；故直线y2+2与x轴的交点在线段AB上；C.y＝4x+2与x轴的交点为（﹣12，0）；故直线y＝4x+2与x轴的交点不在线段AB上；D. y 23+2与x 30）；故直线y 23+2与x 轴的交点在线段AB 上； 故选：C【点睛】本题考查了求直线与坐标轴的交点，注意求直线与x 轴交点坐标，即把y =0代入函数解析式．9．（2022年浙江舟山）已知点(,)A a b ，(4,)B c 在直线3y kx =+（k 为常数，0k ≠）上，若ab 的最大值为9，则c 的值为（ ）A ．52B ．2C ．32D ．1【答案】B【解析】【分析】把(,)A a b 代入3y kx =+后表示出ab ，再根据ab 最大值求出k ，最后把(4,)B c 代入3y kx =+即可．【详解】把(,)A a b 代入3y kx =+得：3b ka =+∵2239(3)3()24ab a ka ka a k a k k =+=+=+- ∵ab 的最大值为9∵0k <，且当32a k=-时，ab 有最大值，此时994ab k =-= 解得14k =- ∵直线解析式为134=-+y x 把(4,)B c 代入134=-+y x 得14324c =-⨯+= 故选：B ．【点睛】本题考查一次函数上点的特点、二次函数最值，解题的关键是根据ab 的最大值为9求出k 的值． 10．（2020年浙江台州）如图1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚，在这个过程中，小球的运动速度v （单位：m/s ）与运动时间t （单位：s ）的函数图象如图2，则该小球的运动路程y （单位：m ）与运动时间t （单位：s ）之间的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】由图2知小球速度先是逐渐增大，后来逐渐减小，则随着时间的增加，小球刚开始路程增加较快，后来增加较慢，由此得出正处答案．【详解】由图2知小球速度不断变化，因此判定小球运动速度v 与运动时间t 之间的函数关系是()()11112222000v k t k v k t b k b ⎧=>⎪⎨=+⎪⎩，（1t 为前半程时间，2t 为后半程时间）， ∵前半程路程函数表达式为：2111y k t =，后半程路程为2222222=+=v k t t bt y ，∵2100，><k k ，即前半段图像开口向上，后半段开口向下∵C 项图像满足此关系式，故答案为：C ．【点睛】此题考查根据函数式判断函数图像的大致位置．11．（2022·浙江台州）吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上，家到公园、公园到学校的距离分别为400m ，600m ．他从家出发匀速步行8min 到公园后，停留4min ，然后匀速步行6min 到学校，设吴老师离公园的距离为y （单位：m ），所用时间为x （单位：min ），则下列表示y 与x之间函数关系的图象中，正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】根据吴老师离公园的距离以及所用时间可判断．【详解】解：吴老师家出发匀速步行8min 到公园，表示从(0，400)运动到(8，0)；在公园，停留4min ，然后匀速步行6min 到学校，表示从(12，0)运动到(18，600)；故选：C ．【点睛】本题考查函数的图象，解题的关键是正确理解函数图象表示的意义，明白各个过程对应的函数图象． 12．（2022年浙江杭州）如图，在平面直角坐标系中，已知点P (0，2)，点A (4，2)．以点P 为旋转中心，把点A 按逆时针方向旋转60°，得点B ．在13M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()23,1M -，()31,4M ，4112,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭四个点中，直线PB 经过的点是（ ）A ．1MB ．2MC ．3MD ．4M【答案】B【解析】【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可得B（2，3，利用待定系数法可得直线PB的解析式，依次将M1，M2，M3，M4四个点的一个坐标代入y3+2中可解答．【详解】解：∵点A（4，2），点P（0，2），∵P A∵y轴，P A=4，由旋转得：∵APB=60°，AP=PB=4，如图，过点B作BC∵y轴于C，∵∵BPC=30°，∵BC=2，PC3∵B（2，3，设直线PB的解析式为：y=kx+b，则22232k bb⎧+=+⎪⎨=⎪⎩∵32 kb⎧=⎪⎨=⎪⎩∵直线PB的解析式为：y3+2，当y=03+2=0，x=23，∵点M1（30）不在直线PB上，当x=3y=-3+2=1，∵M2（3-1）在直线PB上，当x=1时，y3，∵M3（1，4）不在直线PB上，当x=2时，y3，∵M4（2，112）不在直线PB上．故选：B．【点睛】本题考查的是图形旋转变换，待定系数法求一次函数的解析式，确定点B的坐标是解本题的关键．二、填空题13．（2020年浙江金华、丽水）点P(m，2)在第二象限内，则m的值可以是(写出一个即可)______．【答案】－1（答案不唯一，负数即可）【解析】【分析】根据第二象限的点符号是“-，+”，m取负数即可．【详解】∵点P(m，2)在第二象限内，∵0m<，m取负数即可，如m=-1，故答案为：－1（答案不唯一，负数即可）．【点睛】本题考查了已知点所在象限求参数，属于基础题，掌握第二象限点坐标的符号是“-，+”是解题的关键．14．（2022年浙江杭州）已知一次函数y=3x-1与y=kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2），则方程组31x ykx y-=⎧⎨-=⎩的解是_________．【答案】12 xy=⎧⎨=⎩【解析】【分析】根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解．【详解】解：∵一次函数y =3x -1与y =kx （k 是常数，k ≠0）的图象的交点坐标是（1，2），∵联立y =3x -1与y =kx 的方程组31y x y kx =-⎧⎨=⎩的解为：12x y =⎧⎨=⎩， 即310x y kx y -=⎧⎨-=⎩的解为：12x y =⎧⎨=⎩， 故答案为：12x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的交点坐标与二元一次方程组的解的关系是解题的关键．15．（2022年浙江丽水）三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B 点的坐标是(3,3)，则A 点的坐标是___________．【答案】3,3A【解析】【分析】 如图，延长正六边形的边BM 与x 轴交于点E ，过A 作AN x ⊥轴于N ，连接AO ，BO ，证明,BOEAON 可得,,A O B 三点共线，可得,A B 关于O 对称，从而可得答案．【详解】解：如图，延长正六边形的边BM 与x 轴交于点E ，过A 作AN x ⊥轴于N ，连接AO ，BO ，∴三个正六边形，O为原点，,120,BM MO OH AH BMO OHA,BMO OHA≌,OB OA11209030,18012030,2MOE BMO MOB60,90,BOE BEO同理：120303060,906030,AON OAN,BOE AON,,A O B∴三点共线，,A B∴关于O对称，3,3.A故答案为：3,3.A【点睛】本题考查的是坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，关于原点成中心对称的两个点的坐标特点，正多边形的性质，熟练的应用正多边形的性质解题是解本题的关键．16．（浙江宁波2021年中考数学试卷）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点(),A x y，我们把点11,Bx y⎛⎫⎪⎝⎭称为点A的“倒数点”．如图，矩形OCDE的顶点C为()3,0，顶点E在y轴上，函数()2=>y xx的图象与DE交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形OCDE的一边上，则OBC的面积为_________．【答案】14或32 【解析】【分析】根据题意，点B 不可能在坐标轴上，可对点B 进行讨论分析：∵当点B 在边DE 上时；∵当点B 在边CD 上时；分别求出点B 的坐标，然后求出OBC 的面积即可．【详解】 解：根据题意，∵点11,B x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭称为点(),A x y 的“倒数点”， ∵0x ≠，0y ≠，∵点B 不可能在坐标轴上； ∵点A 在函数()20=>y x x的图像上， 设点A 为2(,)x x ，则点B 为1(,)2x x ， ∵点C 为()3,0，∵3OC =，∵当点B 在边DE 上时；点A 与点B 都在边DE 上，∵点A 与点B 的纵坐标相同，即22x x =，解得：2x =， 经检验，2x =是原分式方程的解； ∵点B 为1(,1)2， ∵OBC 的面积为：133122S =⨯⨯=； ∵当点B 在边CD 上时；点B与点C的横坐标相同，∵13x=，解得：13x=，经检验，13x=是原分式方程的解；∵点B为1 (3,)6，∵OBC的面积为：1113264S=⨯⨯=；故答案为：14或32．【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，矩形的性质，解分式方程，坐标与图形等知识，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，运用分类讨论的思想进行分析．三、解答题(共0分)17．（浙江嘉兴2021年）根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”，前30米称为“加速期”，30米～80米为“中途期”（m/s）与路程()mx之间的观测数据（1）y是关于x的函数吗？为什么？（2）“加速期”结束时，小斌的速度为多少？（3）根据如图提供的信息，给小斌提一条训练建议．【答案】（1）y是x的函数，理由见解析；（2）“加速期”结束时，小斌的速度为10.4m/s；（3）答案不唯一．例如：根据图象信息，小斌在80米左右时速度下降明显，建议增加耐力训练，提高成绩．【分析】（1）根据函数的概念进行解答；（2）通过识图读取相关信息；（3）根据图像信息进行解答．【详解】解：（1）y 是x 的函数．在这个变化过程中，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应．（2）“加速期”结束时，小斌的速度为10.4m/s ．（3）答案不唯一．例如：根据图象信息，小斌在80米左右时速度下降明显，建议增加耐力训练，提高成绩．【点睛】本题考查通过函数图像读取信息，理解函数的概念，准确识图是解题关键．18．（2022年浙江丽水）因疫情防控需婴，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆轿车从甲地急送防疫专家到乙地．已知甲、乙两地的路程是330km ，货车行驶时的速度是60km/h ．两车离甲地的路程(km)s 与时间(h)t 的函数图象如图．(1)求出a 的值；(2)求轿车离甲地的路程(km)s 与时间(h)t 的函数表达式；(3)问轿车比货车早多少时间到达乙地？【答案】(1)1.5(2)s =100t -150 (3)1.2【解析】（1）根据货车行驶的路程和速度求出a 的值；（2）将（a ，0）和（3，150）代入s =kt +b 中，待定系数法解出k 和b 的值即可；（3）求出汽车和货车到达乙地的时间，作差即可求得答案．(1)由图中可知，货车a 小时走了90km ，∵a =9060 1.5÷=；(2)设轿车离甲地的路程(km)s 与时间(h)t 的函数表达式为s =kt +b ，将（1.5，0）和（3，150）代入得，1.503150k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得，100150k b =⎧⎨=-⎩， ∵轿车离甲地的路程(km)s 与时间(h)t 的函数表达式为s =100t -150；(3)将s =330代入s =100t -150，解得t =4.8，两车相遇后，货车还需继续行驶：()330150603-÷=h ，到达乙地一共：3+3=6h ，6-4.8=1.2h ，∵轿车比货车早1.2h 时间到达乙地．【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用待定系数法求函数解析式，路程、速度、时间三者之间的关系，从图中准确获取信息是解题的关键．19．（浙江丽水2021年）李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地．行驶过程中，货车离目的地的路程s （千米）与行驶时间t （小时）的关系如图所示（中途休息、加油的时间不计．当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒．设货车平均耗油量为0.1升/千米，请根据图象解答下列问题：（1）直接写出工厂离目的地的路程；（2）求s 关于t 的函数表达式；（3）当货车显示加油提醒后，问行驶时间t 在怎样的范围内货车应进站加油？【答案】（1）工厂离目的地的路程为880千米；（2）80880(011)s t t =-+≤≤；（3）251542t <<． 【解析】【分析】（1）根据图象直接得出结论即可；（2）根据图象，利用待定系数法求解函数表达式即可；再求出油量为（3）分别求出余油量为10升和0升时行驶的路程，根据函数表达式求出此时的t 值，即可求得t 的范围．【详解】解：（1）由图象，得0=t 时，880s =，答：工厂离目的地的路程为880千米．（2）设(0)s kt b k =+≠，将0880t s ==，和4,560t s ==分别代入表达式， 得880,5604.b k b =⎧⎨=+⎩，解得80880k b =-⎧⎨=⎩， ∵s 关于t 的函数表达式为80880(011)s t t =-+≤≤．（3）当油箱中剩余油量为10升时，880(6010)0.1380s =--÷=（千米），38080880t ∴=-+，解得254t =（小时）． 当油箱中剩余油量为0升时，880600.1280s =-÷=（千米），28080880t ∴=-+，解得152t =（小时）． 800,k s =-<∴随t 的增大而减小，t ∴的取值范围是251542t <<． 【点睛】 本题考查一次函数的应用，解答的关键是理解题意，能从函数图象上提取有效信息解决问题．20．（2022年浙江湖州）某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动．大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知大巴行驶的速度是40千米/小时，轿车行驶的速度是60千米/小时．(1)求轿车出发后多少小时追上大巴？此时，两车与学校相距多少千米？(2)如图，图中OB ，AB 分别表示大巴、轿车离开学校的路程s （千米）与大巴行驶的时间t （小时）的函数关系的图象．试求点B 的坐标和AB 所在直线的解析式；(3)假设大巴出发a 小时后轿车出发追赶，轿车行驶了1.5小时追上大巴，求a 的值．【答案】(1)轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米(2)点B 的坐标是()3,120，s ＝60t －60(3)34小时 【解析】【分析】(1)设轿车行驶的时间为x 小时，则大巴行驶的时间为()1x +小时，根据路程两车行驶的路程相等得到()60401x x =+即可求解；(2)由(1)中轿车行驶的时间求出点B 的坐标是()3,120，进而求出直线AB 的解析式；(3)根据大巴车行驶路程与小轿车行驶路程相等即可得到()40 1.560 1.5a +=⨯，进而求出a 的值(1)解：设轿车行驶的时间为x 小时，则大巴行驶的时间为()1x +小时．根据题意，得:()60401x x =+, 解得x ＝2．则60602120x =⨯=千米，∵轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米． (2)解：∵轿车追上大巴时，大巴行驶了3小时， ∵点B 的坐标是()3,120． 由题意，得点A 的坐标为()1,0． 设AB 所在直线的解析式为s kt b =+，则：3120,0,k b k b +=⎧⎨+=⎩解得k ＝60，b ＝－60．∵AB 所在直线的解析式为s ＝60t －60． (3)解：由题意，得()40 1.560 1.5a +=⨯， 解得：34a =， 故a 的值为34小时．【点睛】本题考查了一次函数的实际应用、待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是读懂题意，明确图像中横坐标与纵坐标代表的含义．21．（浙江台州2021年）电子体重科读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R 1， R 1与踏板上人的质量m 之间的函数关系式为R 1＝km ＋b （其中k ，b 为常数，0≤m ≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R 0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U 0 ，该读数可以换算为人的质量m ， 温馨提示：∵导体两端的电压U ，导体的电阻R ，通过导体的电流I ，满足关系式I ＝UR；∵串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．（1）求k ，b 的值；（2）求R 1关于U 0的函数解析式； （3）用含U 0的代数式表示m ；（4）若电压表量程为0~6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量．【答案】（1）2402b k =⎧⎨=-⎩；（2）1024030R U =-；I （3）0120135m U =-；（4）该电子体重秤可称的最大质量为115千克． 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法，即可求解；（2）根据“串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压”，列出等式，进而即可求解； （3）由R 1＝12-m ＋240，1024030R U =-，即可得到答案； （4）把06U =时，代入0480540m U =-，进而即可得到答案．【详解】解：（1）把（0，240），（120，0）代入R 1＝km ＋b ，得2400120bk b =⎧⎨=+⎩，解得：2402b k =⎧⎨=-⎩；（2）∵001830U U R -=， ∵1024030R U =-； （3）由（1）可知：2402b k =⎧⎨=-⎩，∵R 1＝2-m ＋240， 又∵1024030R U =-， ∵024030U -=2-m ＋240，即：0120135m U =-； （4）∵电压表量程为0~6伏， ∵当06U =时，1201351156m =-= 答：该电子体重秤可称的最大质量为115千克． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的实际应用，熟练掌握待定系数法，是解题的关键．22．（浙江衢州2020年）2020年5月16日，“钱塘江诗路”航道全线开通，一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图1所示．当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州．已知游轮的速度为20km/h ，游轮行驶的时间记为t （h ），两艘轮船距离杭州的路程s （km ）关于t （h ）的图象如图2所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．(1)写出图2中C 点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长． (2)若货轮比游轮早36分钟到达衢州．问： ∵货轮出发后几小时追上游轮？ ∵游轮与货轮何时相距12km ？【答案】(1)C 点横坐标的实际意义是从杭州出发前往衢州共用了23h ；游轮在“七里扬帆”停靠的时长为2h ； (2)∵货轮出发后8小时追上游轮；∵0.6h 或21.6h 或22.4h 时游轮与货轮何时相距12km 【解析】 【分析】（1）根据图中信息解答即可．（2）∵求出B ，C ，D ，E的坐标，利用待定系数法求解即可；∵分相遇前与相遇后两种情形分别构建方程求解即可．(1)解：由题意知，C 点横坐标的实际意义是游轮从杭州出发前往衢州共用了23h ； ∵游轮在“七里扬帆”停靠的时长23(42020)2=-÷=（h ）． (2)解：∵∵2802014÷=h ， ∵A （14，280），B （16，280）， ∵36600.6÷=（h ）， ∵230.622.4-=， ∵E （22.4，420），设BC 的解析式为20s t b =+，把B （16，280）代入20s t b =+，解得40b =-， ∵()20401623s t t =-≤≤，同理，由D （14，0），E （22，4，420）可得DE 的解析式为()507001422.4s t t =-≤≤， 由题意可得：204050700t t -=-， 解得22t =， ∵22148-=（h ），∵货轮出发后8小时追上游轮． ∵分相遇前与相遇后两种情况求解：相遇之前相距12km 时，则2045070012t t ---=（），解得21.6t =； 相遇之后相距12km 时，则50700204012t ---=（），解得22.4t =；当游轮在刚离开杭州12km 时,此时根据图象可知货轮就在杭州，游轮距离杭州12km ， 所以此时两船应该也是相距12km ，即在0.6h 的时候，两船也相距12km. ∵当t 为0.6h 或21.6h 或22.4h 时，游轮与货轮何时相距12km ． 【点睛】本题考查一次函数的应用．解题的关键在于从图象中获取正确的信息．23．（浙江绍兴2021年）I 号无人机从海拔10m 处出发，以10m/min 的速度匀速上升，II 号无人机从海拔30m 处同时出发，以a （m/min ）的速度匀速上升，经过5min 两架无人机位于同一海拔高度b （m ）．无人机海拔高度y （m ）与时间x （min ）的关系如图．两架无人机都上升了15min ．（1）求b 的值及II 号无人机海拔高度y （m ）与时间x （min ）的关系式． （2）问无人机上升了多少时间，I 号无人机比II 号无人机高28米．【答案】（1）630(015)y x x =+；（2）无人机上升12min ，I 号无人机比II 号无人机高28米 【解析】 【分析】（1）直接利用I 号无人机从海拔10m 处出发，以10m /min 的速度匀速上升，求出其5分钟后的高度即可； （2）将I 号无人机的高度表达式减去II 号无人机高度表达式，令其值为28，求解即可． 【详解】解：（1）1010560b =+⨯=． 设y kx b =+，将(0,30)，(5,60)代入得：630(015)y x x =+，∵60b =；()630015y x x =+．（2）令(1010)(630)28x x +-+=， 解得1215x =<，满足题意；∴无人机上升12min ，I 号无人机比II 号无人机高28米．【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，涉及到了求一次函数的表达式，两个一次函数值之间的比较等内容，解决本题的关键是读懂题意，与图形建立关联，能建立高度的表达式等，本题着重于对函数概念的理解与应用，考查了学生的基本功．24．（2022年浙江绍兴）一个深为6米的水池积存着少量水，现在打开水阀进水，下表记录了2小时内5个时刻的水位高度，其中x 表示进水用时（单位：小时），y 表示水位高度（单位：米）．x 0 0.5 1 1.5 2 y 11.522.53为了描述水池水位高度与进水用时的关系，现有以下三种函数模型供选择：y kx b =+（0k ≠），y =ax 2+bx +c （0a ≠），ky x=（0k ≠）． (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式，并画出这个函数的图象．(2)当水位高度达到5米时，求进水用时x ． 【答案】(1)y ＝x ＋1（0≤x ≤5），图见解析 (2)4小时 【解析】 【分析】（1）观察表格数据，y 的增长量是固定的，故符合一次函数模型，建立模型待定系数法求解析式，画出函数图象即可求解；（2）根据5y =，代入解析式求得x 的值即可求解．(1)（1）选择y ＝kx ＋b ，将（0，1），（1，2）代入，得12b k b =⎧⎨+=⎩，，解得11.k b =⎧⎨=⎩， ∵y ＝x ＋1（0≤x ≤5）．(2)当y ＝5时，x ＋1＝5， ∵x ＝4．答：当水位高度达到5米时，进水用时x 为4小时． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，画一次函数图象，求一次函数的解析式，根据题意建立模型是解题的关键． 25．（浙江杭州2021年）在直角坐标系中，设函数11k y x=（1k 是常数，10k >，0x >）与函数22y k x =（2k 是常数，20k ≠）的图象交于点A ，点A 关于y 轴的对称点为点B ．（1）若点B 的坐标为()1,2-， ∵求1k ，2k 的值．∵当12y y <时，直接写出x 的取值范围． （2）若点B 在函数33k y x=（3k 是常数，30k ≠）的图象上，求13k k +的值． 【答案】（1）∵12k =，22k =；∵1x >；（2）0 【解析】 【分析】（1）∵根据点A 关于y 轴的对称点为点B ，可求得点A 的坐标是()1,2，再将点A 的坐标分别代入反比例函数、正比例函数的解析式中，即可求得12k =，22k =；∵观察图象可解题； （2）将点B 代入33k y x=，解得3k 的值即可解题． 【详解】解（1）∵由题意得，点A 的坐标是()1,2， 因为函数11k y x=的图象过点A ， 所以12k =， 同理22k =．∵由图象可知，当12y y <时，反比例函数的图象位于正比例函数图象的下方， 即当12y y <时，1x >．（2）设点A 的坐标是()00,x y ，则点B 的坐标是()00,x y -， 所以100k x y =，300k x y =-，所以310k k +=． 【点睛】本题考查关于y 轴对称的点的特征、待定系数法求反比例函数、正比例函数的解析式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．26．（浙江宁波2021年）某通讯公司就手机流量套餐推出三种方案，如下表：A 方案B 方案C 方案 每月基本费用（元）2056 266 每月免费使用流量（兆） 1024 m 无限 超出后每兆收费（元） nnA ，B ，C 三种方案每月所需的费用y （元）与每月使用的流量x （兆）之间的函数关系如图所示． （1）请直接写出m ，n 的值．（2）在A 方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，求每月所需的费用y （元）与每月使用的流量x （兆）之间的函数关系式．（3）在这三种方案中，当每月使用的流量超过多少兆时，选择C 方案最划算？【答案】（1）3072,0.3m n ==；（2）()0.3287.21024y x x =-≥；（3）当每月使用的流量超过3772兆时，选择C 方案最划算 【解析】 【分析】（1）m 的值可以从图象上直接读取，n 的值可以根据方案A 和方案B 的费用差和流量差相除求得； （2）直接运用待定系数法求解即可；（3）计算出方案C 的图象与方案B 的图象的交点表示的数值即可求解． 【详解】解：（1）3072,m = 56200.311441024n -==-．（2）设函数表达式为(0)y kx b k =+≠， 把()1024,20，()1144,56代入y kx b =+，得201024561144k bk b=+⎧⎨=+⎩， 解得0.3287.2k b =⎧⎨=-⎩，∵y 关于x 的函数表达式()0.3287.21024y x x =-≥． （注：x 的取值范围对考生不作要求） （3）307226656)0.37(372+-÷=（兆）．由图象得，当每月使用的流量超过3772兆时，选择C 方案最划算． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．27．（浙江温州2021年）某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克．营养品信息表营养成分每千克含铁42毫克配料表原料每千克含铁 甲食材 50毫克 乙食材10毫克 规格 每包食材含量每包单价 A 包装1千克45元。
辽宁省各市中考数学分类解析 专题6：函数的图像与性质
辽宁各市中考数学试题分类解析汇编专题6：函数的图像与性质 锦元数学工作室 编辑一、选择题1. （辽宁鞍山3分）如图，点A 在反比例函数()3y=x 0x>的图象上，点B 在反比例函数()ky=x 0x>的图象上，AB⊥x 轴于点M ，且AM ：MB=1：2，则k 的值为【 】A ． 3B ．－6C ．2D ．6 【答案】B 。
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征。
【分析】如图，连接OA 、OB ．∵点A 在反比例函数()3y=x 0x>的图象上，点B 在反比例函数()ky=x 0x>的图象上，AB⊥x 轴于点M ， ∴S △AOM =32，S △BOM =k 2。
∴S △AOM ：S △BOM =32：k 2=3：|k|。
∵S △AOM ：S △BOM =AM ：MB=1：2，∴3：|k|=1：2。
∴|k|=6。
∵反比例函数()ky=x 0x>的图象在第四象限，∴k＜0。
∴k=－6。
故选B 。
2. （辽宁鞍山3分）如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点B 坐标（﹣1，0），下面的四个结论：①OA=3；②a+b+c＜0；③ac＞0；④b 2﹣4ac ＞0．其中正确的结论是【 】A．①④ B．①③ C．②④ D．①②【答案】A。
【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，一元二次方程根的判别式。
【分析】∵由图象知，点B坐标（﹣1，0），对称轴是直线x=1，∴A的坐标是（3，0）。
∴OA=3。
∴结论①正确。
∵由图象知：当x=1时，y＞0，∴把x=1代入二次函数的解析式得：y=a+b+c＞0。
∴结论②错误。
∵抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴a＜0，c＞0。
∴ac＜0。
∴结论③错误。
∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0。
∴结论④正确。
综上所述，结论①④正确。
故选A。
3. （辽宁本溪3分）如图，已知点A在反比例函数4y=x图象上，点B在反比例函数ky=x(k≠0)的图象上，AB∥x轴，分别过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为C、D，若OC=13OD，则k的值为【】A、10B、12C、14D、16 【答案】B。
数学中考试题分类汇编(二次函数)6选4填11解
中考试题分类汇编（二次函数）含答案一、选择题1、（天津市）已知二次函数)0(2≠++=a c bx axy 的图象如图所示，有下列5个结论：① 0>abc ；② c a b +<；③ 024>++c b a ；④ b c 32<；⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）其中正确的结论有（ ）BA. 2个B. 3个C. 4个D. 5个2、（南充）如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为x ＝－1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b =0；③a －b ＋c =0；④5a ＜b ．其中正确结论是（ ）．B （A ）②④ （B ）①④ （C ）②③ （D ）①③3、（广州市）二次函数221y x x =-+与x 轴的交点个数是（ ）B A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4、（云南双柏县）在同一坐标系中一次函数ya x b=+和二次函数2y a xb x=+的图象可能为（ ）A5、（四川资阳）已知二次函数2y a x b x c=++(a ≠0)的图象开口向上，并经过点(-1，2)，(1，0) . 下列结论正确的是( )DA. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而增大B. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而减小C. 存在一个负数x 0，使得当x <x 0时，函数值y 随x 的增大而减小；当x > x 0时，函数值y 随x 的增大而增大D. 存在一个正数x 0，使得当x <x 0时，函数值y 随x 的增大而减小；当x >x 0时，函数值y 随x 的增大而增大6、（山东日照）已知二次函数y =x 2-x+a (a ＞0)，当自变量x 取m 时，其相应的函数值小于0，那么下列结论中正确的是（ ）B(A) m -1的函数值小于0 (B) m -1的函数值大于0(C) m -1的函数值等于0 (D) m -1的函数值与0的大小关系不确定 二、填空题1、（湖北孝感）二次函数y =ax 2＋bx ＋c 的图象如图8所示，且P =| a －b ＋c |＋| 2a ＋b |，Q =| a ＋b ＋c |＋| 2a －b |， 则P 、Q 的大小关系为 . P<QA2、（四川成都）如图92231y a x x a =-+-的图象，那么3、（江西省）已知二次函数y =-部分图象如图所示，则关于x 220x x m -++=的解为 ．11x =-，23x =；4、（广西南宁）已知二次函数y =图象如图所示，则点()P a b c ，三、解答题1、（天津市）知一抛物线与x 轴的交点是)0,2(-A 、B （1，0），且经过点C （2，8）。
人教全国中考数学二次函数的综合中考真题汇总含答案解析
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣43与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=32． （1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ；（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）． 【解析】 【分析】（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=32列出关于a 、c 的方程组求解即可；（2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可；（3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到22x x x x Q P F E ++=，22y y y yQ P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可． 【详解】（1）当y=0时，140 33x-=，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=32，得161203322a ca-+=⎧⎪-⎨-=⎪⎩，解得14ac=⎧⎨=-⎩，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，∴直线m的解析式为y=13x．∵点P是直线1上任意一点，∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a．又∵PE=3PF，∴PC PBPF PE=．∴∠FPC=∠EPB．∵∠CPE+∠EPB=90°，∴∠FPC+∠CPE=90°，∴FP⊥PE．（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．∵CF=3BE=18﹣3a，∴OF=20﹣3a．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴22x x x xQ P F E++=，22y y y yQ P F E++=，∴Q x+6=0+a，Q y+2=20﹣3a+0，∴Q x=a﹣6，Q y=18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．∴Q（﹣2，6）．如下图所示：当点E 在点B 的右侧时，设E （a ，0），则BE=a ﹣6．∵CF=3BE=3a ﹣18， ∴OF=3a ﹣20． ∴F （0，20﹣3a ）． ∵PEQF 为矩形，∴22x x x x Q P F E ++=，22y y y yQ P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0， ∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ．将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）． ∴Q （2，﹣6）．综上所述，点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a 的式子表示点Q 的坐标是解题的关键．2．（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线2239y ax ax a =--与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中C （0，3），∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D ，交BC 于点E ，过点D 的直线l 与射线AC ，AB 分别交于点M ，N ．（1）直接写出a 的值、点A 的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P 为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD 为等腰三角形，求出点P 的坐标； （3）证明：当直线l 绕点D 旋转时，11AM AN+均为定值，并求出该定值．【答案】（1）a =13-，A 0），抛物线的对称轴为x 2）点P 的坐标为04）；（3）2． 【解析】试题分析：（1）由点C 的坐标为（0，3），可知﹣9a =3，故此可求得a 的值，然后令y =0得到关于x 的方程，解关于x 的方程可得到点A 和点B 的坐标，最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴；（2）利用特殊锐角三角函数值可求得∠CAO =60°，依据AE 为∠BAC 的角平分线可求得∠DAO =30°，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD =1，则可得到点D 的坐标．设点P 的，a ）．依据两点的距离公式可求得AD 、AP 、DP 的长，然后分为AD =PA 、AD =DP 、AP =DP 三种情况列方程求解即可；（3）设直线MN 的解析式为y =kx +1，接下来求得点M 和点N 的横坐标，于是可得到AN 的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM 的长，最后将AM 和AN 的长代入化简即可．试题解析：（1）∵C （0，3），∴﹣9a =3，解得：a =13-．令y =0得：290ax a --=，∵a ≠0，∴290x --=，解得：x =x =∴点A 0），B （0），∴抛物线的对称轴为x（2）∵OA OC =3，∴tan ∠CAO ∴∠CAO =60°．∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠DAO =30°，∴DO =1，∴点D 的坐标为（0，1）．设点P a ）．依据两点间的距离公式可知：AD 2=4，AP 2=12+a 2，DP 2=3+（a ﹣1）2． 当AD =PA 时，4=12+a 2，方程无解．当AD =DP 时，4=3+（a ﹣1）2，解得a =0或a =2（舍去），∴点P 0）．当AP =DP 时，12+a 2=3+（a ﹣1）2，解得a =﹣4，∴点P ，﹣4）．综上所述，点P 04）．（3）设直线AC 的解析式为y =mx +3，将点A 的坐标代入得：30+=，解得：m ∴直线AC 的解析式为3y =+． 设直线MN 的解析式为y =kx +1．把y =0代入y =kx +1得：kx +1=0，解得：x =1k -，∴点N 的坐标为（1k-，0），∴AN =1k-．将3y =+与y =kx +1联立解得：x，∴点M ．过点M 作MG ⊥x 轴，垂足为G ．则AG =33k +-．∵∠MAG =60°，∠AGM =90°，∴AM =2AG 33k +-2323k k --，∴11AM AN +323231k k --3232k -3(32(31)k k - =32． 点睛：本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，分类讨论是解答问题（2）的关键，求得点M 的坐标和点N 的坐标是解答问题（3）的关键．3．抛物线2y x bx c =-++（b ，c 为常数）与x 轴交于点()1,0x 和()2,0x ，与y 轴交于点A ，点E 为抛物线顶点。
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（2）在山坡线 AB 上， x 2 8 y ， A(0, 8)
①令 y0 8 ，得 x 0 0 ；令 y1 8 0.002 7.998 ，得 x1 2 0.002 0.08944 ∴第一级台阶的长度为 x1 x0 0.08944 （百米） 894（厘米） 同理，令 y 2 8 2 0.002 、 y 3 8 3 0.002 ，可得 x2 0.12649 、 x3 0.15492 ∴第二级台阶的长度为 x2 x1 0.03705 （百米） 371（厘米） 第三级台阶的长度为 x3 x 2 0.02843 （百米） 284（厘米）
4
B
上山方向
O
4
C
Ex
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D(2,7) 、 E(16, 0) 、 B( 4, 4) 、 C (8, 0)
由图可知，只有当索道在 BC 上方时，索道的悬空．．高度才有可能取最大值
索道在 BC 上方时，悬．空．高度 y
1 (x
16) 2
28
1 (x
8) 2
4
1 ( 3x 2 40x 96) 14
观察图象， y1与 y2 除交点（ 1， -2）外，还有两个交点大致为
1， 2 和 2， 1
把 x 1，y2 2 和 x 2，y2
1分别代入 y1 x 2 2 x 1 和 y2
2 可知， x
1， 2 和 2， 1 是 y1 与 y2 的两个交点
根据图象可知：当 x 1 或 0 x 1或 x 2 时， y1 y2
图1
图2
（1）求 c 的取值范围；
（2）若抛物线经过点（ 0， -1），试确定抛物线 y1 x 2 2 x c 的解析式；
（3）若反比例函数 y2
k
的图象经过（ 2）中抛物线上点（ 1， a），试在图 2 所示直角坐
x
标系中，画出该反比例函数及（ 2）中抛物线的图象，并利用图象比较 y1 与 y 2 的大小。
由题意，得① EH
3 EP ，即 ( a2
4a
5) ( a
5)
3 (a
5)
2
2
解这个方程，得 a
3或 a 2
5 （舍去）
② EH
2 EP ，即 (
a2
4a 5)
(a
5)
2 (a 5)
3
3
解这个方程，得 a
2 或a
3
5 （舍去）
3
2
P 点的坐标为 ( ,0) 或 ( ,0) .
2
3
2、（ 2006 黑龙江鸡西） 某工厂用一种自动控制加工机制作一批工件，该机器运行过
②取点 B(4,4) ，又取 y 4 0.002 ，则 x 2 3.998 3.99900
∵ 4 3.99900 0.001 0.002
∴这种台阶不能从山顶一直铺到点 B，从而就不能一直铺到山脚
（注：事实上这种台阶从山顶开始最多只能铺到
700 米高度，共 500 级．从 100 米高度到
700 米高度都不能铺设这种台阶．解题时取点具有开放性）
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2006 年中考数学试题分类汇编及解析 ----- 函数
1、（ 2006 重庆） 已知： m、 n是方程 x2 6x 5 0 的两个实数根，且 m n ，抛物
线 y x2 bx c 的图像经过点 A( m,0 )、B( 0，n ).
(1) 求这个抛物线的解析式；
(2) 设（ 1）中抛物线与 x 轴的另一交点为 C,抛物线的顶点为 D ，试求出点 C、 D 的坐标和 △BCD的面积；（注：抛物线 y ax2 bx c (a 0) 的顶点坐
2a
a
在抛物线 E 上，当 y=c 时， c ax 2 bx c ，x1=0， x2= b a
b
∴ N 点坐标为 ( ， 0)
a
bb
NM =0 －( )= ，∴ NM =AC，∴四边形 ACMN 为平行四边形。
aa
b
b
根据抛物线 F 和 E 关于 y 轴对称，故 N 点坐标为 ( ， c)或 ( ， c)。
当 x 1或 x 1或 x 2 时， y1 y2
当 1 x 0或 1 x 2 时， y2 y1
4、（ 2006 浙江嘉兴） 某旅游胜地欲开发一座景观山．从山的侧面进行堪测，迎面山
坡线 ABC 由同一平面内的两段抛物线组成，其中 AB 所在的抛物线以 A 为顶点、开口向下，
BC 所在的抛物线以 C 为顶点、开口向上．以过山脚（点 C）的水平线为 x 轴、过山顶（点 A）的铅垂线为 y 轴建立平面直角坐标系如图（单位：百米） ．已知 AB 所在抛物线的解析式
b 110
∴ y=-x+llO (2) 当 y=10 时， -x+110=10 ， x=100
机器运行 100 分钟时，第一个加工过程停止 (3) 第一个加工过程停止后再加满油只需
加工完这批工件，机器耗油 166 升
9 分钟
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3、（ 2006 北京海淀） 已知抛物线 y1 x 2 2x c 的部分图象如图 1 所示。
所以点 A 、 B 的坐标分别为 A （ 1， 0）,B （0， 5） .
将 A （ 1， 0） ,B（ 0，5）的坐标分别代入 y x2 bx c .
1b c 0
得
解这个方程组，得
c5
b4 c5
所以，抛物线的解析式为 y x2 4 x 5
（2）由 y x2 4x 5 ，令 y 0，得 x2 4x 5 0
为y
1 x 2 8 ， BC 所在抛物线的解析式为 4
（1）设 P( x, y) 是山坡线 AB 上任意一点，用
y
1 (x
8) 2 ，且已知 B( m, 4) ．
4
y 表示 x，并求点 B 的坐标；
（2）从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶．这种台阶每级的高度为
20 厘米，长度
因坡度的大小而定，但不得小于 20 厘米，每级台阶的两端点在坡面上（见图） ．
S梯形 MDBO
S DMC
S BOC
14 27 25 15. 22
（3）设 P 点的坐标为（ a, 0 ）
因为线段 BC 过 B 、C 两点，所以 BC 所在的值线方程为 y x 5 .
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那么， PH 与直线 BC 的交点坐标为 E (a, a 5) ，
PH 与抛物线 y x2 4x 5 的交点坐标为 H (a, a2 4a 5) .
( 不必写出自变量 x 的取值范围 ) ；
(2) 机器运行多少分钟时，第一个加工过程停止 ?
(3) 加工完这批工件，机器耗油多少升 ?
[ 解析 ] (1) 设所求函数关系式为 y=kx+b ．
由图象可知过 (10 ， 100) ， (30 ， 80) 两点，
10k b 100
得
30k b 80
k1
解得
y
1 (x
28
16) 2 ．试求索道的最大悬空．．
高度．
长度
高度
y A
7
D
4
B
O
m
C
上山方向 Ex
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[ 解析 ] （1）∵ P(x, y) 是山坡线 AB 上任意一点，
∴ y 1 x2 8 ， x 0 ， 4
∴ x 2 4(8 y) ， x 2 8 y
∵ B(m, 4) ，∴ m 2 8 4 ＝ 4，∴ B(4, 4)
①分别求出前三级台阶的长度（精确到厘米） ；
②这种台阶不能一直铺到山脚，为什么？
（3）在山坡上的 700 米高度（点 D ）处恰好有一小块平地，可以用来建造索道站．索道的
起点选择在山脚水平线上的点 E 处， OE 1600 （米）．假设索道 DE 可近似地看成一
段以 E 为顶点、开口向上的抛物线，解析式为
（3）探索：当点 B 分别位于 l 1 在 x 轴上、下两部分的图像上时，平行四边形 ABCD的面
积是否存在最大值和最小值？若存在， 判断它是何种特殊平行四边形， 并求出它的面积；
若不存在，请说明理由。 [ 解析 ] （1）设 l 2 的解析式为 y=a(x-h) 2+k
∵l 2 与 x 轴的交点 A(-2,0),C(2,0), 顶点坐标是 (0 ， -4),l 1与 l 2 关
标为 (
b 4ac b2
,
)）
2a 4a
(3) P 是线段 OC上的一点，过点 P 作 PH⊥ x 轴，与抛物线交于 H
点，若直线 BC把△ PCH分成面积之比为 2：3 的两部分，请求 出 P 点的坐标 .
[ 解析 ] （1）解方程 x2 6 x 5 0, 得 x1 5, x2 1
由 m n ，有 m 1,n 5
程分为加油过程和加工过程：加工过程中，当油箱中油量为
10 升时，机器自动停止加工进
入加油过程， 将油箱加满后继续加工， 如此往复． 已知机器需运行 185 分钟才能将这批工件
加工完．下图是油箱中油量 y( 升 ) 与机器运行时间 x( 分 ) 之间的函数图象．根据图象回答下
列问题：
(1) 求在第一个加工过程中， 油箱中油量 y( 升 ) 与机器运行时间 x( 分 ) 之间的函数关系式
F 或 E 上是否存在一点
N，使以 A 、C
N、M 为顶点的四边形是平行四边形。若存在，求点 若不存在，请说明理由；
N 坐标；
⑶若将抛物线 E 的解析式改为 y ax 2 bx c ，试探索问题
⑵。
[ 解析
]当
y=0
时，
2
x
4x
3
0 ，解得 x1=－ 3， x2=－ 1，
∴ A、 B 点坐标分别为（－ 3， 0）、（－ 1，0） 当 x＝ 0 时， y＝ 3，∴ M 点坐标为（ 0， 3）， A、 B、 M 三点关于 y 轴得对称点分别是 D、 C、 M ，∴ D 、 C 坐标为（ 3， 0）、（ 1， 0）