第八章 刚体的基本运动2

8.3 转
动 刚 体 上 各 点 的 速 度 和 加 速 度
M0
sϕ r
O
ω
ε
M (+) 当刚体绕定轴转动时，距转轴 的任一 当刚体绕定轴转动时，距转轴r的任一 aτ v 是以轴上的O点为圆心 点M是以轴上的 点为圆心，r为半径作圆周 是以轴上的 点为圆心， 为半径作圆周 运动，如图。 运动，如图。 建立如图的自然坐标，则动点M的自然 建立如图的自然坐标，则动点 的自然 坐标形式的运动方程为 s = rϕ ds dϕ 动点速度的大小为 v = dt = r dt = rω 方向如图。 方向如图。 即：转动刚体上任一点速度的大小等于该点到转轴的距离 与刚体角速度的乘积。 与刚体角速度的乘积。 dv dω =r = rε 方向如图。 动点的切向加速度为 aτ = dt dt 即：转动刚体上任一点的切向加速度的大小等于该点到转轴 的距离与刚体角加速度的乘积。 的距离与刚体角加速度的乘积。
r
αω
v
O
zε
R
an
ω ×r
dv d dω dr a= = (ω × r ) = ×r +ω × dt dt dt dt
即 于是
M
aτ = ε × r
a = ε ×r +ω ×v
an = ω × v
aτ r αω v ε ω ×v O ε ×r
如图所示。 如图所示。
ω×r
8.4 速 角 度 速 、 度 加 、 速 角 度 加 的 速 矢 度 量 的 积 矢 表 量 示 表 示
转动特征、 8.2 一、转动特征、转动方程 刚 体 的 定
在刚体运动的过程中， 在刚体运动的过程中，若刚体上或其延伸部分上有 一条直线始终不动， 一条直线始终不动，具有这样一种特征的刚体的运动称为 刚体的定轴转动，简称转动 该固定不动的直线称为转轴 转动。 转轴。 刚体的定轴转动，简称转动。该固定不动的直线称为转轴。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
刚体绕定轴转动的角加速度等于其角速度对时间的一阶导 数，用 ε 表示，即 dω d 2ϕ
ε=
dt ɺ =ω = dt
2
ɺɺ =ϕ
例1 8.2 刚 ϕ 物块以匀速 沿水平直线平动。杆 体 OA可绕O轴转动，杆保持紧靠在物块的 O 的 侧棱上，如图。已知物块的高度为h，试 定 求OA杆的转动方程、角速度和角加速度。
ω k
z
ε
k
z
ω
8.4 速 角 度 速 、 度 加 、 速 角 度 加 的 速 矢 度 量 的 积 矢 表 量 示 表 示
R
M
如图，在轴线上任选一点O为原点 为原点， 如图，在轴线上任选一点 为原点， 表示，则点M的速度可 动点的矢径用 表示，则点 的速度可 r 以用角速度矢与它的矢径的矢量积表示， 以用角速度矢与它的矢径的矢量积表示， 即 v =ω ×r 将上式对时间求一阶导数，有 将上式对时间求一阶导数，
M
aτ
v
an
O
R
A
解：圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度为 dϕ d 2ϕ ω= = −2t + 4 ε = 2 = −2 dt dt ε = −2rad / s 2 ω = 2rad / s 求当t=1s时，则为 因此轮缘上任一点M的速度和加速度为
v = Rω = 0.4m / s
aτ = Rε = −0.4m/ s2
8.3 转
动 刚 体 上 各 点 的 速 度 和 加 速 度 定轴转动刚体的速度和加速度分布图如 下图所示。 下图所示。
O
ω
ω
O
ε
ε
8.3 转
动 刚 体 上 各 点 的 速 度 和 加 速 度
例2
一半径为R=0.2m的圆轮绕定轴O的转动方 程ϕ = −t 2 + 4t ，单位为弧度。求t=1s时，轮缘上 任一点M的速度和加速度（如图）。如在此轮 缘上绕一柔软而不可伸长的绳子并在绳端悬一 物体A，求当t=1s时，物体A的速度和加速度。
zε
综上所述： 综上所述：转动刚体上任一 R 点的速度等于刚体的角速度 a 矢量与该点矢径的矢量积； 矢量与该点矢径的矢量积； M aτ 任一点的切向加速度等于刚 r αω v ε ω ×v 体的角加速度矢量与该点矢 O ε ×r 径的矢量积； 径的矢量积；任一点的法向 ω×r 加速度等于刚体的角速度矢 量与该点速度的矢量积。 量与该点速度的矢量积。
8.3 转
动 刚 体 上 各 点 的 速 度 和 加 速 度
( rω ) 2 = rω 2 动点的法向加速度为 an = = r ρ v2
M0
s ϕ ra
aτ
(+)
O
n
ω
ε
M
v
ω
即：转动刚体上任一点的法向加速度的大小等 于该点到转轴的距离与刚体角速度平方的乘积。 于该点到转轴的距离与刚体角速度平方的乘积。
M ατ
an
a
a
O
R
A
s A = sM
上式两边求一阶及二阶导数，则得
v A = vM
因此
a A = aτ M
a A = −0.4m / s 2
v A = 0. 4 m / s
8.3 转
动 刚 体 上 各 点 的 速 度 和 加 速 度
例3
齿轮传动是工程上常见的一 种传动方式，可用来改变转速和 转向。如图，已知 r1 、 r2 、ω1 、 ε1 ，求 ω 2、ε 2 。 解：因啮合点无相对滑动，所以
n
结
束
O 动点的全加速度的大小及其与半径的偏角为 M 0 ϕ a ε n ε aτ α a 2 2 2 4 α = arctg = arctg 2 M a = aτ + an = r ε + ω ω an aτ 由以上可知： 由以上可知：转动刚体内任一点的速度和加速度都与 该点到转轴的距离成正比， 该点到转轴的距离成正比，但全加速度与半径所成的偏角 与转动半径无关， 在同一瞬时， 与转动半径无关，即：在同一瞬时，刚体内所有各点的加 速度与半径都有相同的偏角。 速度与半径都有相同的偏角。
解：建立如图的直角坐标。则 故OA杆的转动方程为
y
A
v0
h
x
x
dϕ hv0 角速度: ω = = 2 2 2 dt h + v0 t
x v0t tgϕ = = h h v0t ϕ = arctg ( ) h 3 dω − 2hv0 t = 2 32 2 角加速度: ε = dt (h + v0 t )
8.3 转
动 刚 体 上 各 点 的 速 度 和 加 速 度
通常称主动轮与从动轮角速度或角加速度之比为传 动比， i12 动比，记为 ，由上例可知
ω1 ε1 r2 i12 = = = ω 2 ε 2 r1
即：相互啮合的两齿轮的角速度之比及角加速度之比与它 们节圆半径成反比。 们节圆半径成反比。 由于齿轮齿数与其节圆半径成正比， 由于齿轮齿数与其节圆半径成正比，故
第八章 刚体的简单运动
刚体的平动 刚体的定轴转动 转动刚体上各点的速度和加速度 角速度、角加速度的矢量表示； 角速度、角加速度的矢量表示； 速度、 速度、加速度的矢量积表示
8.1
刚 体 的
在刚体运动的过程中， 在刚体运动的过程中，刚体内任一直线的方向始终 不变，即其方向始终与原来的方向平行。 不变，即其方向始终与原来的方向平行。具有这样一种特 征的刚体的运动称为刚体的平行移动 简称平动 刚体的平行移动， 平动。 征的刚体的运动称为刚体的平行移动，简称平动。 定理：当刚体平动时，刚体内各点的轨迹形状都相同， 定理：当刚体平动时，刚体内各点的轨迹形状都相同， 且在同一瞬时各点都具有相同的速度和加速度。 且在同一瞬时各点都具有相同的速度和加速度。 因此，研究刚体的平动，可以归结为研究刚体内任 因此，研究刚体的平动， 一点的运动。 一点的运动。
O1
ω1
v1 v2
τ a1τ a2
ε1
ω2 ε 2
O2 r2
r1
v1 = v2
由于
v1 = r1ω1
于是可得 即
r1 ω 2 = ω1 r2
τ τ a1 = a2 v2 = r2ω 2 a1τ = r1ε1
τ a2 = r2ε 2
ω1 ε1 r2 = = ω 2 ε 2 r1
r1 ε 2 = ε1 r2
z
如图， 称为位置角 位置角。 如图，角 ϕ 称为位置角。 当刚体转动时， 是时间t的单值 当刚体转动时，角ϕ 是时间 的单值 连续函数， 连续函数，即
静 平 面 动
ϕ
ϕ = ϕ (t )
这就是刚体的转动方程。 这就是刚体的转动方程。 转动方程
平 面
O
二、角速度 角加速度 8.2
刚 体 的 定 轴 转 动
ω1 ε 1 z 2 i12 = = = ω 2 ε 2 z1
即：相互啮合的两齿轮的角速度之比及角加速度之比与它 们的齿数成反比。 们的齿数成反比。
z
8.4 速 角 度 速 、 度 加 、 速 角 度 加 的 速 矢 度 量 的 积 矢 表 量 示 表 示
角速度的矢量表示：如图。 角速度的矢量表示：如图。 从转轴上任一点画出， 角速度矢量ω 从转轴上任一点画出，其长度按 ɺ 比例尺由 ω = ω = ϕ 决定，指向由右手法则 决定， 确定。 确定。 表示Z轴的单位矢量 如图， 轴的单位矢量， 以 k 表示 轴的单位矢量，如图，则 ɺ ω = ωk = ϕ k 对上式求导， 对上式求导，则的角加速度矢量 dω d ω ε= = k = εk 如图。 如图。 dt dt 角速度矢量和角加速度矢量均为滑动 矢量。当二者方向相同时，刚体越转越快； 矢量。当二者方向相同时，刚体越转越快； 当二者方向相反时，刚体越转越慢。 当二者方向相反时，刚体越转越慢。
an = Rω2 = 0.8m/ s2
8.3 转
动 刚 体 上 各 点 的 速 度 和 加 速 度
例2
M点的全加速度及其偏角为
2 a = aτ2 + an = (−0.4) 2 + (0.8) 2 = 0.894m / s 2 ε α = arctg 2 = arctg 0.5 = 26 34′ 如图。 ω 现在求物体A的速度和加速度。因为
刚体绕定轴转动的角速度等于其位置角对时间的一阶导数， 刚体绕定轴转动的角速度等于其位置角对时间的一阶导数， dϕ ω 表示， 用 表示，即 ɺ ω= =ϕ dt 角速度的单位为弧度/秒（ rad s ） 用转速n 表示刚体转动的 n的单位 转/ / （ r min ），ω n转 为
ω=
2π π n= n 60 30