减少解析几何运算量的几种策略
减少解析几何题运算量的有效途径——用定义解题
所 以 Ｍ 点 的 － 、 ３） 、 歹 ５
， ，
此 时 ，ＭＦ ｌ ｌ ２ Ｉ ＋ ＭＦ ｌ
．
．
Ｙ＋ 一 ｌ 堑 Ｌ 二
＋ ：２ ２ ） ｖ一１
．
＋２ 一
＋２ ：
—
ｌ１ Ｍ Ｆ
ｌ耋 ＋ 一 易 所 ＝＿ ２ 得 求 －
解题 方法 与技巧 ＩＮＸＥ Ｊ Ｏ Ｕ ＡＫＯ Ｚ０ ＧＵ Ｉ ＸＥ ＣＮ Ａ １ Ａ
减 少 解 析 几 何 题 运 算 量 的 有 途 径 — — 用 定 义 解 题 效
山 东章丘 市第五 中学（ ５ ２ ０ 刘 ２ ００ ）
椭圆 、 曲线 和抛物线是 三种重要 的二次 曲线 ， 双 高 中数学教材中对它们给出了两种定义 ： 第一定 义和统一 定 义 ． 一 定 义展 示 了三类 曲线 各 自独 特 的性 质 及 几 何 第 特征 ； 统一定义（ 又叫第二定义） 则深刻地揭示 了三类 曲 线 的内在联 系， 焦点 、 使 离心 率和准线 等构成一 个和谐 的整 体． 这两种定 义 ， 不仅是 推导它们各 自的方 程和它 们 各 自的 性 质 的 基 础 ， 是 解 题 的重 要 工 具 ． 活 地 运 也 灵 用 这 两 种 定 义 ， 往 能 收 到 化 难 为 易 、 繁 就 简 的解 题 往 避
一
格 ， 以从 中 充分 感 受运 用定 义 解题 的 简 洁 美． 可
’
【 ４ 在 双 曲线 一Ｘ 一 １ 一 支 上 不 同 的 三点 例 １ － 的
过 向 ｚ 引垂线 ｚ： —ｚ一２ ， 求出 关 于 Ｚ 对 称 点 Ｆ 易 得 的 ， 。 的坐 标 为 （ ， ） 如 图 １ ４２ （ 所示） ． Ｆ Ｆ， ：的方 程 为 一 ３ ２ ． ＋ 一Ｏ
减少解析几何运算量的若干途径
＼ 、
— —
５ 依 据 曲 线 特 征 合 理 设 定 方 程
一
卜 一
一Ｑ 一
根据 题 目 中提 供 的 曲线 信 息 特 征 ， 理 设 定 合 曲线 方程 形式 ， 简化求 解 过程 的有 效途 径 之一． 是
ｈ一 一 ．
作 ＭＦ 的角分线 交 Ｙ轴 于 Ｂ 点 ， 结 Ｂ ， Ｏ 连 Ｍ 则 Ｂ 是 抛物线 的切线 ． 结合 图 ３ Ｍ （ ）
，
一
则
一
一
＿
ｌ ｌ
维普资讯
备参禽 课考
解 ： Ｉ） （Ｉ 由（ 得 轨迹 Ｃ的方 程为 ： ４ ． Ｉ） ｙ ＝ ｘ
图 １
图 ２
２ 寻 根 求 源 回 归 定 义
关注 曲线定 义 的形 成过 程 ， 握 定 义 的 内涵 ， 把 是 减少解 析几何 运算量 的重要 途径 ．
星 中． 点
～ Ｉ Ｗ
ｉ 年
期
证明： 如图 ｌ设 Ａ ， Ｃ直线与ｚ轴交点为 Ｎ， 过
依题
一 ～
、 瘴
直线 ｚ 于点Ｍ， 已知宓
ｌ
＝ ＝ ＝
静
， 商
一 百 求 声，
＋ ２的值 ；
护
定理 ３ 已知 抛物线 Ｙ 一 ２ ｘ （ ： ： ｐ ｐ＞ ０ Ｆ为焦 ， 点 ， 点异 于 ０ 点 ， Ｍ 处 的切 线 和 Ｙ轴 交 于 点 Ｍ 点
Ｂ， Ｂ 平分 ＭＦ 则 Ｆ Ｏ． 证 明 ： Ｍ（ 。 Ｙ ）则 点 Ｍ 处的切 线方程 为 ： 设 ｘ ，。 ， Ｙ Ｙ— ｐ ｘ十 ）则 Ｂ（ ， ） 。 （ 。 ， Ｏ ．
浅谈解析几何中减少运算量的几种策略
曰． 在 圆上 ， 求Ｂ 中点Ｍ的轨 迹 方 程． Ｃ 试 Ｃ
合 理 的 解 题 途 径 是 简 化 运 算 、 速 解 题 迅 的关 键 ．下 面介 绍 几 种 解 析 几 何 中减 少 运算量的策略 ． 大家学习 、 考． 供 参
３ ＝ ５， 是 Ｍ 点 的 轨 迹 方 程 ）＋ ２ 于
３一 ＝ ｘ ８ Ｑ
Ｘ＋ ２
定 义 来 解 ：第 ２ 题 是 通 过 椭 圆 的 第 一 小
评注 ： Ｃ 为圆 曰， 都
２ ＿ 的动 点 ， ５１ ＝
定义求解 的． 圆两种定 义在这道题 中 椭
都 得 到 了合 理 地 运 用 ． 问 题 的解 决 得 使
解 析 （ ） 圆 的 离 心 率 为 ｅ ， １椭 ＝
２
８ ０ 斜 率 分 别 为一 和 ．所 以两 条 直 －的 ２
２
平行 、 垂直 、 相交 、 点共线 等 ） 数量 三 和
右 准 线 为 ｆ ＝ ， 过 Ｍ作 ＭＮ上门 则 ： ４ ｘ Ｎ，
线 互 相 垂 直 ．三 角 形 为 直 角 三 角 形． 由
Ｉ Ｆｌ （ Ｍ Ｉ ４椭圆第一定义）Ｉ Ｐ＋ ｆ － ，Ｍ Ｉ ｌ ＿ Ｉ Ｐ ＋ 一 Ｍ Ｉ ４一 ＩＦｌ Ｍ Ｉ． Ｍ Ｉ４ Ｉ ＦＩ ： （Ｍ ， Ｐ ） 一１ 种 Ｐ 当Ｍ在 延长线上时，１ ＦＩＩ ｌ Ｍ Ｉ 取 — 得 最大值 ｌ ＰＩ 、 ，此 时 ＩＦＩ — ／ ＝ Ｍ Ｉ—
因为 为Ｂ 的 中点 ． 以Ｏ ＿Ｂ 。 肘２ Ｃ 所 Ｍ Ｌ Ｃ０ ＋ Ｍ ｏ ＝ 柱 ＡＣ Ａ Ｂ Ｃ Ｂ Ｍ＝ Ｍ＝ Ｍ＝
麓
１
１
破解解析几何问题常见的技巧
4
所以△ F 1 MN 内切圆半径 r 最大，即 △1 最大.
设直线 l 的方程为 x ＝ my ＋ 3 （ m ≠0），
＝＋ 3，
2＋4） y 2＋2 3 my －1＝0，Δ＞0显然
由ቐ 2
得（
m
＋ 2 = 1，
4
−2 3
−1
成立，则 y 1＋ y 2＝ 2 ， y 1 y 2＝ 2 ，
消去
y
，得63
x
2
4
4
2
− =1
9
193＝0，∵Δ＝1262－4×63×（－193）＞0，且 x 1 x 2＜0，∴直线 AB
与双曲线的两支分别相交，∴D满足题意.故选D.
高中总复习·数学
解法分析
解析几何是高中数学中用代数方法研究几何问题的重要分支，解题的
第一步通常是把几何条件转化为代数语言，即转化为方程或函数问
值域容易确定的另一函数，求得其值域，从而求得原函数的值域，形
如 y ＝ ax ＋ b ± ＋ （ a ， b ， c ， d 均为常数，且 ac ≠0）的函数
常用此法求解，但在换元时一定要注意新元的取值范围，以保证等价
转化，这样目标函数的值域才不会发生变化.
高中总复习·数学
技巧5
妙借向量，更换思路
12
12
则 2 ＋ 2 ＝1，
22
22
＋ 2 ＝1，
2
②
①
.
高中总复习·数学
①－②得
（1 ＋2 )(1 −2 ）
1 −2
当
＝－1时
1 −2
2
＋
（1 ＋2 )(1 −2 ）
2
高考数学考点归纳之 解析几何计算处理技巧
高考数学考点归纳之 解析几何计算处理技巧中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程．考点一 回归定义，以逸待劳回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，是一种朴素而又重要的策略和思想方法．圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲线问题的出发点，又是新知识、新思维的生长点．对于相关的圆锥曲线中的数学问题，若能根据已知条件，巧妙灵活应用定义，往往能达到化难为易、化繁为简、事半功倍的效果．[典例] 如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A.2B.3C.32D.62[解题观摩] 由已知，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 设双曲线C 2的实半轴长为a ， 由椭圆及双曲线的定义和已知， 可得⎩⎪⎨⎪⎧|AF 1|＋|AF 2|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|AF 1|2＋|AF 2|2＝12，解得a 2＝2，故a ＝ 2.所以双曲线C 2的离心率e ＝32＝62. [答案] D [关键点拨]本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF 1|，|AF 2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a 的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量．[对点训练]1.如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1 B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1 解析：选A 由题意可得S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝x Bx A＝|BF |－p2|AF |－p 2＝|BF |－1|AF |－1.2．抛物线y 2＝4mx (m ＞0)的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，若点A (－m,0)，则|PF ||P A |的最小值为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，由抛物线的定义，知|PF |＝x P ＋m ，又|P A |2＝(x P ＋m )2＋y 2P ＝(x P ＋m )2＋4mx P，则⎝⎛⎭⎫|PF ||P A |2＝(x P ＋m )2(x P ＋m )2＋4mx P ＝11＋4mx P (x P ＋m )2≥11＋4mx P (2x P ·m )2＝12(当且仅当x P ＝m 时取等号)，所以|PF ||P A |≥22，所以|PF ||P A |的最小值为22.答案：22考点二 设而不求，金蝉脱壳设而不求是解析几何解题的基本手段，是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少，通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，设而不求．[典例] 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的标准方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 [解题观摩] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，①②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝b 2a 2.又k AB ＝0＋13－1＝12，所以b 2a 2＝12.又9＝c 2＝a 2－b 2， 解得b 2＝9，a 2＝18，所以椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.[答案] D [关键点拨](1)本题设出A ，B 两点的坐标，却不求出A ，B 两点的坐标，巧妙地表达出直线AB 的斜率，通过将直线AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．(2)在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；①“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多．[对点训练]1．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ，若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选A 设OE 的中点为G ，由题意设直线l 的方程为y ＝k (x ＋a )， 分别令x ＝－c 与x ＝0得|FM |＝k (a －c )，|OE |＝ka ， 由△OBG ∽△FBM ，得|OG ||FM |＝|OB ||FB |，即12ka k (a －c )＝a a ＋c， 整理得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率e ＝13.2．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.∵y 1－y 2x 1－x 2＝－12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴－b 2a 2＝－12，∴a 2＝2b 2.又∵b 2＝a 2－c 2，∴a 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2，∴c a ＝22.即椭圆C 的离心率e ＝22. 答案：22考点三 巧设参数，变换主元换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍．常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等．在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件．[典例] 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |＞ 3.[解题观摩] 法一：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)． 由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b 2＝1， 消去y 0并整理，得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2.①由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0. 而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k 2，代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k 2⎝⎛⎭⎫a b 2＋4. 又a ＞b ＞0，故(1＋k 2)2＞4k 2＋4， 即k 2＋1＞4，因此k 2＞3，所以|k |＞ 3. 法二：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ， 可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，得x 20a 2＋k 2x 20b2＝1.因为a ＞b ＞0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a 2＜1，即(1＋k 2)x 20＜a 2.②由|AP |＝|OA |及A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a 1＋k 2， 代入②，得(1＋k 2)·4a 2(1＋k 2)2＜a 2，解得k 2＞3，所以|k |＞ 3.法三：设P (a cos θ，b sin θ)(0≤θ＜2π)， 则线段OP 的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2cos θ，b2sin θ. |AP |＝|OA |⇔A Q ⊥OP ⇔k A Q ×k ＝－1. 又A (－a,0)，所以k A Q ＝b sin θ2a ＋a cos θ，即b sin θ－ak A Q cos θ＝2ak A Q . 从而可得|2ak A Q |≤ b 2＋a 2k 2A Q ＜a1＋k 2A Q ，解得|k A Q |＜33，故|k |＝1|k A Q |＞ 3. [关键点拨]求解本题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之间的联系，降低运算量． [对点训练]设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆C ：(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，求r 的取值范围．解：当斜率不存在时，有两条，当斜率存在时，不妨设直线l 的方程为x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线y 2＝4x 并整理得y 2－4ty －4m ＝0， 则有Δ＝16t 2＋16m ＞0，y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m ， 那么x 1＋x 2＝(ty 1＋m )＋(ty 2＋m )＝4t 2＋2m ， 可得线段AB 的中点M (2t 2＋m,2t )， 而由题意可得直线AB 与直线MC 垂直， 即k MC ·k AB ＝－1，可得2t －02t 2＋m －5·1t ＝－1，整理得m ＝3－2t 2(当t ≠0时)，把m ＝3－2t 2代入Δ＝16t 2＋16m ＞0， 可得3－t 2＞0，即0＜t 2＜3， 又由于圆心到直线的距离等于半径， 即d ＝|5－m |1＋t 2＝2＋2t 21＋t 2＝21＋t 2＝r ，而由0＜t 2＜3可得2＜r ＜4. 故r 的取值范围为(2,4)．考点四 数形结合，偷梁换柱著名数学家华罗庚说过：“数与形本是两相倚，焉能分作两边飞．数缺形时少直观，形少数时难入微．”在圆锥曲线的一些问题中，许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数形结合的思想方法，可解决一些相应问题．[典例] 已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．[解题观摩] 设双曲线的左焦点为F 1，根据双曲线的定义可知|PF |＝2a ＋|PF 1|， 则△APF 的周长为|P A |＋|PF |＋|AF |＝|P A |＋2a ＋|PF 1|＋|AF |＝|P A |＋|PF 1|＋|AF |＋2a ， 由于|AF |＋2a 是定值，要使△APF 的周长最小， 则|P A |＋|PF 1|最小，即P ，A ，F 1共线， 由于A (0,66)，F 1(－3,0)，则直线AF 1的方程为x －3＋y 66＝1，即x ＝y26－3，代入双曲线方程整理可得 y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)，所以点P 的纵坐标为26， 所以＝12×6×66－12×6×26＝12 6. [答案] 126 [关键点拨]要求①APF 的周长的最小值，其实就是转化为求解三角形三边长之和，根据已知条件与双曲线定义加以转化为已知边的长度问题与已知量的等价条件来分析，根据直线与双曲线的位置关系，通过数形结合确定点P 的位置，通过求解点P 的坐标进而利用三角形的面积公式来处理．[对点训练]1．椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是( )A.55B.655C.855D.455解析：选C 如图所示，设椭圆的右焦点为F ′，连接MF ′，NF ′.因为|MF |＋|NF |＋|MF ′|＋|NF ′|≥|MF |＋|NF |＋|MN |，所以当直线x ＝m 过椭圆的右焦点时，△FMN 的周长最大．此时|MN |＝2b 2a ＝855，又c ＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以此时△FMN 的面积S ＝12×2×855＝855.故选C.2．设P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M ，N 分别是圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1上的点，设|PM |－|PN |的最大值和最小值分别为m ，n ，则|m －n |＝( )A ．4 B.5 C ．6D ．7解析：选C 由题意得，圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4的圆心为(－4,0)，半径为r 1＝2；圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1的圆心为(4,0)，半径为r 2＝1.设双曲线x 2－y 215＝1的左、右焦点分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)．如图所示，连接PF 1，PF 2，F 1M ，F 2N ，则|PF 1|－|PF 2|＝2.又|PM |max ＝|PF 1|＋r 1，|PN |min ＝|PF 2|－r 2，所以|PM |－|PN |的最大值m ＝|PF 1|－|PF 2|＋r 1＋r 2＝5.又|PM |min ＝|PF 1|－r 1，|PN |max ＝|PF 2|＋r 2，所以|PM |－|PN |的最小值n ＝|PF 1|－|PF 2|－r 1－r 2＝－1，所以|m －n |＝6.故选C.考点五 妙借向量，无中生有平面向量是衔接代数与几何的纽带，沟通“数”与“形”，融数、形于一体，是数形结合的典范，具有几何形式与代数形式的双重身份，是数学知识的一个交汇点和联系多项知识的媒介．妙借向量，可以有效提升圆锥曲线的解题方向与运算效率，达到良好效果．[典例] 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．[解题观摩] 把y ＝b 2代入椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得x ＝±32a ，则B ⎝⎛⎭⎫－32a ，b 2，C ⎝⎛⎭⎫32a ，b 2， 而F (c,0)， 则FB ＝⎝⎛⎭⎫－32a －c ，b 2，FC ＝⎝⎛⎭⎫32a －c ，b 2，又∠BFC ＝90°， 故有FB ·FC ＝⎝⎛⎭⎫－32a －c ，b 2·⎝⎛⎭⎫32a －c ，b 2＝c 2－34a 2＋14b 2＝c 2－34a 2＋14(a 2－c 2)＝34c 2－12a 2＝0，则有3c 2＝2a 2，所以该椭圆的离心率e ＝c a ＝63.[答案]63[关键点拨]本题通过相关向量坐标的确定，结合∠BFC ＝90°，巧妙借助平面向量的坐标运算来转化圆锥曲线中的相关问题，从形入手转化为相应数的形式，简化运算．[对点训练] 设直线l 是圆O ：x 2＋y 2＝2上动点P (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)处的切线，l 与双曲线x 2－y 22＝1交于不同的两点A ，B ，则∠AOB 为( )A ．90° B.60° C ．45°D ．30°解析：选A ∵点P (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)在圆O ：x 2＋y 2＝2上，∴x 20＋y 20＝2，圆在点P (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 22＝1，x 0x ＋y 0y ＝2及x 20＋y 20＝2得(3x 20－4)x 2－4x 0x ＋8－2x 20＝0.∵切线l 与双曲线交于不同的两点A ，B ，且0＜x 20＜2，∴3x 20－4≠0，且Δ＝16x 20－4(3x 20－4)·(8－2x 20)＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4x 03x 20－4，x 1x 2＝8－2x 203x 20－4.∵OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋1y 20(2－x 0x 1)(2－x 0x 2)＝x 1x 2＋12－x 20[4－2x 0(x 1＋x 2)＋x 20x 1x 2]＝8－2x 203x 20－4＋12－x 20⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－8x 203x 20－4＋x 20(8－2x 20)3x 20－4＝0，∴∠AOB ＝90°. 考点六 巧用“根与系数的关系”某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系．后者往往计算量小，解题过程简捷．[典例] 已知椭圆x 24＋y 2＝1的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM ，AN 交椭圆于M ，N 两点．(1)当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标；(2)当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．[解题观摩] (1)直线AM 的斜率为1时，直线AM 的方程为y ＝x ＋2，代入椭圆方程并化简得5x 2＋16x ＋12＝0.解得x 1＝－2，x 2＝－65，所以M ⎝⎛⎭⎫－65，45. (2)设直线AM 的斜率为k ，直线AM 的方程为y ＝k (x ＋2)， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 24＋y 2＝1，化简得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0. 则x A ＋x M ＝－16k 21＋4k 2，x M ＝－x A －16k 21＋4k 2＝2－16k 21＋4k 2＝2－8k 21＋4k 2.同理，可得x N ＝2k 2－8k 2＋4.由(1)知若存在定点，则此点必为P ⎝⎛⎭⎫－65，0. 证明如下：因为k MP ＝y M x M ＋65＝k ⎝⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2＋22－8k 21＋4k 2＋65＝5k4－4k 2， 同理可得k PN ＝5k4－4k 2. 所以直线MN 过x 轴上的一定点P ⎝⎛⎭⎫－65，0. [关键点拨]本例在第(2)问中可应用根与系数的关系求出x M ＝2－8k 21＋4k 2，这体现了整体思想．这是解决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量．[对点训练]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，左、右焦点分别为F 1，F 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的内切圆半径为327，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．解：(1)由c a ＝12，得a ＝2c ，所以a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，将点P ⎝⎛⎭⎫1，32的坐标代入椭圆方程得c 2＝1， 故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)可知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1， 代入椭圆方程，整理得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0， 显然判别式大于0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，△AF 2B 的内切圆半径为r 0， 则有y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t 2，r 0＝327，＝12r 0(|AF 1|＋|BF 1|＋|BF 2|＋|AF 2|) ＝12r 0·4a ＝12×8×327＝1227， 所以12t 2＋14＋3t 2＝1227，解得t 2＝1， 因为所求圆与直线l 相切，所以半径r ＝2t 2＋1＝2， 所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.[课时跟踪检测]1．在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足OC ―→＝54OA ―→＋34OB ―→，则r ＝( )A ．210 B.10 C ．25D.5解析：选B 已知OC ―→＝54OA ―→＋34OB ―→，两边平方化简得OA ―→·OB ―→＝－35r 2，所以cos ∠AOB ＝－35，所以cos ∠AOB 2＝55，又圆心O (0,0)到直线的距离为|2|2＝2， 所以2r ＝55，解得r ＝10. 2．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p ＞0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A.33B.23C.22D ．1解析：选C 如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0＞0)， 则y 20＝2px 0，即x 0＝y 202p.设M (x ′，y ′)，由PM ―→＝2MF ―→，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′－x 0＝2⎝⎛⎭⎫p 2－x ′，y ′－y 0＝2(0－y ′)，化简可得⎩⎨⎧x ′＝p ＋x 03，y ′＝y3.∴直线OM 的斜率k ＝y 03p ＋x 03＝y 0p ＋y 202p ＝2p2p 2y 0＋y 0≤2p 22p 2＝22(当且仅当y 0＝2p 时取等号)．故直线OM 的斜率的最大值为22. 3．(2019·惠州调研)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且直线l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得的弦长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为( )A ．5 B.4 C ．3D ．2解析：选C 由直线与圆相交所得的弦长为2，得圆心到直线的距离d ＝1m 2＋n 2＝3，所以m 2＋n 2＝13≥2|mn |，当且仅当m ＝n 时等号成立．所以|mn |≤16，又A ⎝⎛⎭⎫1m ，0，B ⎝⎛⎭⎫0，1n ，所以△AOB 的面积S ＝12|mn |≥3，故△AOB 面积的最小值为3.4．(2019·兰州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线右支上一点，若|PF 1|2＝8a |PF 2|，则双曲线C 的离心率的取值范围为( )A ．(1,3] B.[3，＋∞) C ．(0,3)D ．(0,3]解析：选A 根据双曲线的定义及点P 在双曲线的右支上，得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m －n ＝2a ，m 2＝8an ，∴m 2－4mn ＋4n 2＝0，∴m ＝2n ，则n ＝2a ，m ＝4a ，依题得|F 1F 2|≤|PF 1|＋|PF 2|，∴2c ≤4a ＋2a ，∴e ＝ca ≤3，又e ＞1，∴1＜e ≤3，即双曲线C的离心率的取值范围为(1,3]．5．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，斜率为43的直线交抛物线于A ，B 两点，若AF ―→＝λFB ―→(λ＞1)，则λ的值为( )A ．5 B.4 C.43D.52解析：选B 根据题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由AF ―→＝λFB ―→，得⎝⎛⎭⎫p 2－x 1，－y 1＝λ⎝⎛⎭⎫x 2－p 2，y 2， 故－y 1＝λy 2，即λ＝－y 1y 2.设直线AB 的方程为y ＝43⎝⎛⎭⎫x －p 2， 联立直线与抛物线方程，消去x ，得y 2－32py －p 2＝0.故y 1＋y 2＝32p ，y 1y 2＝－p 2，则(y 1＋y 2)2y 1y 2＝y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－94，即－λ－1λ＋2＝－94.又λ＞1，解得λ＝4.6.已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，过椭圆上一点A (0,1)作直线l 交椭圆于另一点B ，P 为线段AB 的中点，若直线AB ，OP 的斜率存在且不为零，则k AB k OP ＝________.解析：法一：(特殊值法)取B ⎝⎛⎭⎫1，32，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2＋34，则k AB ＝3－22，k OP ＝2＋32， 故k AB ·k OP ＝3－22×2＋32＝－14. 法二：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 2＝1，消去y 得，(1＋4k 2)x 2＋8kx ＝0， 得x B ＝－8k 1＋4k 2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 1＋4k 2，1－4k 21＋4k 2.则P ⎝⎛⎭⎪⎫－4k 1＋4k 2，11＋4k 2，∴k AB ＝k ，k OP ＝－14k ，∴k AB ·k OP ＝－14.法三：(点差法)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，P (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 2A4＋y 2A ＝1，x2B4＋y 2B＝1，两式相减得x 2A －x 2B 4＋y 2A －y 2B ＝0， 化简得y A ＋y B x A ＋x B ·y A －y B x A －x B ＝－14，即y A －y B x A －x B ·y 0x 0＝－14，∴k AB ·k OP ＝－14.答案：－147．已知AB 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，点P 为直线x －y ＋2＝0上任意一点，则P A ―→·PB ―→的最小值为________．解析：由题意，设A (cos θ，sin θ)，P (x ，x ＋2)， 则B (－cos θ，－sin θ)，∴P A ―→＝(cos θ－x ，sin θ－x －2)， PB ―→＝(－cos θ－x ，－sin θ－x －2)，∴P A ―→·PB ―→＝(cos θ－x )(－cos θ－x )＋(sin θ－x －2)·(－sin θ－x －2)＝x 2＋(x ＋2)2－cos 2θ－sin 2θ＝2x 2＋4x ＋3＝2(x ＋1)2＋1，当且仅当x ＝－1，即P (－1，1)时，P A ―→·PB ―→取最小值1. 答案：18．(2019·武汉调研)已知A ，B 分别为椭圆x 29＋y 2b 2＝1(0＜b ＜3)的左、右顶点，P ，Q 是椭圆上关于x 轴对称的不同两点，设直线AP ，B Q 的斜率分别为m ，n ，若点A 到直线y ＝1－mn x 的距离为1，则该椭圆的离心率为________．解析：根据椭圆的标准方程x 29＋y 2b2＝1(0＜b ＜3)知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，A (－3,0)，B (3,0)，设P (x 0，y 0)，Q (x 0，－y 0)，则x 209＋y 20b 2＝1，k AP ＝m ＝y 0x 0＋3，k B Q ＝n ＝－y 0x 0－3，∴mn ＝－y 20x 20－9＝b 29，∴1－mn ＝9－b 23，∴直线y ＝1－mn x ＝9－b 23x ，即9－b 2x －3y＝0.又点A 到直线y ＝1－mn x 的距离为1，∴|－39－b 2|9－b 2＋9＝39－b 218－b 2＝1，解得b2＝638，∴c 2＝a 2－b 2＝98，∴e ＝c 2a 2＝18＝24. 答案：249．已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1的右顶点为A ，上顶点为B .设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．解：由题意知，A (2,0)，B (0,1)，设P (x 0，y 0)(x 0＜0，y 0＜0)，则x 20＋4y 20＝4，所以直线P A 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，从而|BM |＝1－y M ＝1＋2y 0x 0－2，直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1，令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而|AN |＝2－x N ＝2＋x 0y 0－1，所以四边形ABNM 的面积S ＝12|AN ||BM |＝12⎝⎛⎭⎫2＋x 0y 0－1⎝⎛⎭⎫1＋2y 0x 0－2 ＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋42(x 0y 0－x 0－2y 0＋2)＝2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2，从而四边形ABNM 的面积为定值．10．已知离心率为63的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点为F ，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ，B 两点，|AB |＝233. (1)求此椭圆的方程；(2)已知直线y ＝kx ＋2与椭圆交于C ，D 两点，若以线段CD 为直径的圆过点E (－1,0)，求k 的值．解：(1)设焦距为2c ，∵e ＝c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，∴b a ＝33.由题意可知b 2a ＝33，∴b ＝1，a ＝3， ∴椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入椭圆方程，得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0， 又直线与椭圆有两个交点，所以Δ＝(12k )2－36(1＋3k 2)＞0，解得k 2＞1. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－12k 1＋3k 2，x 1x 2＝91＋3k 2. 若以CD 为直径的圆过E 点， 则EC ―→·ED ―→＝0，即(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝0，而y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4， 所以(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2 ＝(k 2＋1)x 1x 2＋(2k ＋1)(x 1＋x 2)＋5 ＝9(k 2＋1)1＋3k 2－12k (2k ＋1)1＋3k 2＋5＝0， 解得k ＝76，满足k 2＞1，所以k ＝76.。
减少解析几何计算量的几种方法
分 别 代 换 ＝ ｎ ｚ＋ ｂ中 ｙ和 ｚ。 快 就 能 得 到 直 线 ： 很 的
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三 、 用 圆锥 曲线 的 几何 性 质 ， 少 计 算 量的 线 段 Ａ８的 两 端 点 都 在
方程为 一 ｚ一一 ａ ｙ＋ ｂ即 Ｙ一 ÷ ＋ ÷ ．
椭 圆 上 的 两 点 ， 段 Ａ 的 垂 直 平 分 线 与 轴 交 于 点 线 Ｂ
蛐 明 一 ＜ ＜ ．
４ ） － ，则 １ ＝ ｎ ＝ Ｐ ＝ ＯＢ１ ｛
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了 计算 量 ．
ｚｌ ４ ｌ ２－ －ｙ ｙ２＝ ｏ．
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《 学 教 学 通 讯 ￣０ ２年 １ ＣＦ） 数 ２０ ２ 重 庆 ・６ ７・
四 、 妙构 圆 ， 少 计 算 量 巧 减
证 ＋ ＝ ＋ ． ： 古
二 、 用 平 面 几 何 知 识 ， 少计 算 量 利 减
例 ２ 是 否 存 在 直 线 过 Ｐ（ ， ） 与 椭 圆 Ｃ： ｏ２ 点
＋ ｙ 一 】 于 Ａ、 交 Ｂ两 点 且 以 Ａ 为 直 径 的 圆 过 原 点 ， Ｂ 若
双 线 芳＝（ 。＞）右 上 Ａ中 曲 薯一 １＞， 。 支 ， Ｂ ｎ ６ 的
一
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转 化 问题 ， 少计 算 量 减
￣３ ｚ一 ３ ／１ ｙ＋ ６— ０或 ￣ ３ ＋ ３ 一 ６一 ｏ ／１ ｙ ． 此 题 若 不 利 用 平 面 几 何 性 质 ． 不 由 ＡＢ 为 直 径 的 即 圆过原 点 ， ＯＡ 上 Ｏ ｚｚ Ｂ， ：＋ ｙｙ 。 一 ０来 解 ， 算 量 较 计
２ ￣Ⅱ ／ ＋ ｂ
设 Ａ、 两 点 的 坐 标 分 别 是 Ａ（ 。ｙ ） Ｂ（ Ｙ ） ｚ ， 。、 ｚ ， ，
减少解析几何运算量的常用策略
内在规律 的揭 示 ， 只有 深刻 地理 解概 念 的本质 和定 理所揭示 的内在规 律 ， 才能灵 活 运用 它来 简化解 题
过程 ．
例 １ 一直线被两直线 ｚ：ｘ＋ ， ３＝ 】２ ）＋ ０和 １：ｘ ２２ ￣ ３ ６＝０截得 的线 段 的 中点恰好 是 坐标舶 原点． ｙ一 简析 略解 此 题的一般求解思路是 ： 先求 出 ｚ 分 求这条直线 的方程．
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小值为 ２ ＝ ０ ４ ≥ｄ ≤２与前提 ｄ ２ ） １ — ｄ ｊｄ ， ＞ 矛盾． 综上讨论 ， 的取 值范围为 ： ≤。 ２ 。 一 ≤．
５ 特殊值 法 例 ７ （ ９ ６年 全 国高考 题 ） １９ 已知 ｄ ６ ｃ是 实 、、
Ｉ ＞ ，竹＋ ＜０＜ｉ （ ＥＲ） ｌ ． ２ ｉ ｝ ． ｝ 竹＋ ． ｉ ｝ ．
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要使 ） ０恒成立 ， ＞ 须抛 物线与 轴无交 点 ， 只需
判别式 △＜ 即 ０，
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＝ １—４ ｌ ０ ｏ ０＜０， ｓｎ ｅ ｓ
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数 学 教 学 研＿ 究
摭谈简化解几运算量的常见技巧和方法
摭谈简化解几运算量的常见技巧和方法
李连方
【期刊名称】《数理化解题研究：高中版》
【年(卷),期】2009(000)011
【摘要】在解析几何的求解过程中，学生经常会遇到思路正确，但因运算过程繁杂，导致半途而废的现象．因此，解答解析几何问题时能否尽量减少运算量成为迅速、正确地解题的关键．为此这里提供六种常见解题方法和技巧供参考．
【总页数】2页(P29-30)
【作者】李连方
【作者单位】浙江省湖州中学,313000
【正文语种】中文
【中图分类】G633.65
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高中数学破题致胜微方法(圆锥曲线中减少运算量的策略)：1、圆锥曲线中减少运算量的策略一——回归定义
本内容主要研究圆锥曲线中减少运算量的策略一——回归定义.在解决有些解析几何问题时，如果方法选择不当，往往导致计算量过大，就不易得到正确的运算结果.定义是事物本质属性的概括和反映，圆锥曲线许多性质都是由定义派生出来的.对某些圆锥曲线问题，若采用“回归定义”的策略，把定量的计算和定性的分析有机地结合起来，则往往能获得题目所固有的本质属性，达到准确判断、合理运算、灵活解题的目的.因此，定义是解决问题的原生力量，不可忽视定义在解题中的作用.先看例题：例：F 是椭圆2222+1(0)x y a b a b=>>的左焦点，过F 且倾斜角为600的直线交椭圆与A 、B 两点，若AF =2BF ，则椭圆的离心率e =___________.常规思路分析：直接计算，若设出直线AB 方程，代入椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 进行消元，消去x 得到关于y 的一元二次方程.利用韦达定理，将条件AF =2BF 转化为212y y -=，求出有关a 、b 的关系式，从而得出椭圆的离心率e .然而其运算将是一件非常烦琐的事情.优解：作出椭圆的左准线，过A 、B 分别作左准线的垂线，垂足记为M 、N ，根据条件AF =2BF设AF =2k ,BF =k ，则e k e k BN AM ==,2，过B 作BQ ⊥AM 于Q ，则ekAQ =.在⊿ABQ 中，ek AQ =，AB =3k ，∠BAQ =600，因此，32210360cos =⇒==e kek整理：回归定义，要注意定义所体现的几何意义，整理如下：垂直平分线：到线段端点的距离相等 圆：到定点的距离等于定长椭圆：到两定点的距离之和为常数 （大于两定点的距离） 双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数 （小于两定点的距离） 抛物线：到定点与定直线距离相等再看一个例题，加深印象：例：坐标平面上一点P 到点A （12,0）,B (a ,2)及到直线x =12-的距离都相等.如果这样的点P 恰好只有一个，那么实数a 的值是（ ）A.12B.32C.12或32D.12或-12常规思路分析：设出点P 的坐标(x ,y )，根据其到点A （12,0）,B (a ,2)及到直线x =12-的距离都相等列出关系式，然后由“这样的点P 恰好只有一个”逼出实数a 的值.可是要真正实施起来运算量太大了，根本不可行.从抛物线定义出发可得简解.优解：平面上到点A （12,0）及到直线x =12-的距离相等的点的轨迹是抛物线y 2=2x .图1 图2本题实质上就是该抛物线上有且只有一个点到点A （12,0）,B (a,2)的距离相等， 有两种情况：一是线段AB 的垂直平分线与抛物线相切，如图1， 一是线段AB 的垂直平分线与抛物线的对称轴平行，如图2.可得结果实数a 的值为12或-12.正确答案为（D ）.总结：1.在解决有些解析几何问题时，如果方法选择不当，往往导致计算量过大，就不易得到正确的运算结果.2.掌握圆锥曲线中减少运算量的策略一——回归定义.熟悉常用图形的定义，如垂直平分线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等，对某些圆锥曲线问题，若采用“回归定义”的策略，把定量的计算和定性的分析有机地结合起来，则往往能获得题目所固有的本质属性，达到准确判断、合理运算、灵活解题的目的. 练习：1．已知椭圆13422=+y x 内有一点P （1，-1），F 为椭圆的右焦点，M 为椭圆上一点， （1）求|MP |+2|MF |的最小值； （2）求|MP |+|MF |的最小值.2.在面积为1的ΔPMN 中，tg ∠PMN =21,tg ∠2-=MNP ,建立适当的坐标系，求以M 、N 为焦点且过点P 的椭圆方程.3.长度为a 的线段AB 的两端点在抛物线2x =2py (a ≥2p >0)上运动，以AB 的中点C 为圆心作圆和抛物线的准线相切，求圆的最小半径. 答案： 1.优解：（1）椭圆的离心率为21=e ，右准线为L ：x =4，过M 作MN ⊥L 于N ，则|MP |+2|MF |=|MP |+e 1|MF |=|MP |+|MN |（根据椭圆第二定义）， ∴当P 、M 、N 三点共线时，即M （362，-1）时， |MP |+2|MF |的最小值为4-1=3. （2）设椭圆左焦点为F 1，则|MF |+|MF 1|=4（椭圆第一定义）， 所以|MP |+|MF |=|MP |+4 -|MF 1|=4 -（|MF 1|-|MF |），当M 在F 1P 延长线上时|MF 1|-|MF |取最大值|F 1P |=5，此时|MF 1|-|MF |取最小值54-. 小结：椭圆两种定义的合理运用，使问题的解决方法得到了最优化. 2.解：建立如图1所示的坐标系，设所求的椭圆方程为12222=+by ax ，则由椭圆定义有PN PM a +=2，MN c =2，过点P 向x 轴作垂线，垂足为A ， tg ∠2-=MNP ，tg ∴∠2=PNA .由平面几何知识有:⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=⋅==.,121,2,21MN AN AM PA MN ANPA MA PA ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====⇒.33,334,3,332AN AM MN PA ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒.315,3152PN PM 152=+=∴PN PM a ,,215=a 4152=a ，32==MN c ，23=c ， 3222=-=∴c a b .∴所求的椭圆方程为1315422=+y x3.解：如图2，过弦AB 的两端分别作准线的垂线，垂足为G 、H ,又设圆C 与抛物线的准线切于D ,设抛物线的焦点F ,连CD 、AF 、BF .由抛物线的定义，AF AG =，且.BF BH =()BH AG CD +=∴21()BF AF +=21≥AB 2121=a .上式中的等号当且仅当AB 过焦点F 时成立.所以圆C 的最小半径是21a .。
全国文数第42课 解析几何中减少计算量的几种方法
第42课 解析几何中减少计算量的几种方法1．定义为王：巧用圆锥曲线的定义构建数量关系(1)(2015浙江，4分)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (c ，0)关于直线y ＝bc x 的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是________．答案：22解析：(法一)设Q (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0x 0－c ·bc＝－1，y 02＝b c ·x 0＋c 2，解得⎩⎨⎧x 0＝c （c 2－b 2）a 2，y 0＝2bc 2a 2， 代入椭圆方程得⎣⎡⎦⎤c （c 2－b 2）a 22a 2＋⎝⎛⎭⎫2bc 2a 22b 2＝1，即a 4＝c 2（c 2－b 2）2a 2＋4c 4， 整理得(a 2－2c 2)(a 4＋a 2c 2＋2c 4)＝0， ∴a 2＝2c 2，e ＝22. (法二)记左焦点为F ′，∵直线y ＝bc x 垂直平分线段QF ，点O 为FF ′的中点，∴QF ′与直线y ＝b c x 平行，∴∠F ′QF ＝90°.根据tan ∠QF ′F ＝b c，可设|QF |＝bk ，|QF ′|＝ck (k >0)，则2c ＝|F ′F |＝（bk ）2＋（ck ）2＝ak ，2a ＝|QF |＋|QF ′|＝(b ＋c )k ，∴c a ＝a c ＋b ，即a 2＝c 2＋bc ，∴a 2－c 2＝bc ，b 2＝bc ，∴b ＝c ，∴e ＝22.(2)(经典题，5分)从双曲线4x 2－y 2＝4的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝1的切线l ，切点为T ，且l 交双曲线的右支于点P ，M 是线段FP 的中点，O 为坐标原点，则||OM －||TM ＝________．答案：1解析：双曲线方程即x 2－y 24＝1，所以a ＝1，b ＝2.设F ′为右焦点，连接PF ′，OT ，OM ， 则OM ∥PF ′，|OM |＝12|PF ′|，OT ⊥PF .因为|OF |2＝c 2＝a 2＋b 2＝5，所以|TF |＝|OF |2－|OT |2＝5－12＝2.又因为点P 在双曲线右支上，所以|PF |－|PF ′|＝2a ＝2，所以|OM |－|TM |＝12|PF ′|－⎝⎛⎭⎫12|PF |－|TF |＝|TF |＋|PF ′|－|PF |2＝2－1＝1.2．联立有法：巧用“1”的代换实现齐次化联立，直接构造关于斜率的方程(3)(经典题，5分)已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，且OA ⊥OB (O 为坐标原点)，若椭圆的离心率e ∈⎣⎡⎦⎤12，22，则a 的最大值为________．答案：62解析：因为OA ⊥OB ，a >b >0，所以点A ，B 的横坐标均不为0，且b ≠1.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，x ＋y ＝1，得x 2a 2＋y 2b2＝(x ＋y )2，整理得⎝⎛⎭⎫1b 2－1⎝⎛⎭⎫y x 2－2⎝⎛⎭⎫y x ＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1＝0， 由题知Δ＝4－4⎝⎛⎭⎫1b 2－1⎝⎛⎭⎫1a 2－1>0， 化简得a 2＋b 2>1，所以2a 2>1.① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为OA ⊥OB ，所以k OA k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝1a 2－11b 2－1＝－1，即b 2＋a 2＝2a 2b 2，即b 2＝a 22a 2－1.又因为e ∈⎣⎡⎦⎤12，22，所以14≤c 2a 2≤12，即14≤1－b 2a 2≤12，所以12≤b 2a 2≤34，所以12≤12a 2－1≤34，解得76≤a 2≤32，即426≤a ≤62，满足①式，所以a的最大值为62.(4)(2017全国Ⅰ，12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，P 3⎝⎛⎭⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上． (Ⅰ)求C 的方程；答案：x 24＋y 2＝1解：由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过P 3，P 4两点，所以C 不经过P 1，所以点P 2在C 上，因此⎩⎨⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，故C 的方程为x 24＋y 2＝1.(5分)(Ⅱ)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．答案：见证明过程证明：若直线l ⊥x 轴，依题设方程为x ＝t (0＜|t |＜2)，可得A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，(t ，－4－t 22)，所以2AP k ＋2BP k ＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－2t ＝－1，解得t ＝2，不符合题设．(7分)因此直线l 斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋m ，(m ≠1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题知P 2A 与P 2B 的斜率均存在，则x 1≠0，x 2≠0，m ≠－1.(8分)依题意得y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝－1，令y ′＝y －1，则有y ′1x 1＋y ′2x 2＝－1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋（y ′＋1）2＝1，y ′＋1＝kx ＋m ，即⎩⎨⎧x 24＋y ′2＋2y ′·1＝0，y ′－kxm －1＝1，所以x 24＋y ′2＋2y ′·y ′－kx m －1＝0，整理得m ＋1m －1⎝⎛⎭⎫y ′x 2－2k m －1⎝⎛⎭⎫y ′x ＋14＝0，(10分)根据根与系数的关系，得y ′1x 1＋y ′2x 2＝2km ＋1＝－1，(11分)，所以m ＝－2k －1，所以直线AB 的方程为y ＝k (x －2)－1，过定点(2，－1)，故原命题得证．(12分)3．化二为一：解决一条直线与两条已知直线相交的问题，可以考虑将两条直线的方程整合成二次方程的形式(5)(经典题，5分)如图42－2，F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ，交PQ 于N ，若|MF 2|＝|F 1F 2|，则C 的离心率为________．图42－2答案：62解析：由F 1(－c ，0)，B (0，b )得直线PQ 的方程为y ＝b c (x ＋c )，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线分别为bx －ay ＝0，bx ＋ay ＝0，两式相乘得b 2x 2－a 2y 2＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b c （x ＋c ），b 2x 2－a 2y 2＝0，得b 2x 2－2a 2cx －a 2c 2＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由题知x 1，x 2为该方程的两个根，Δ>0，所以点N 的横坐标为x N ＝x 1＋x 22＝a 2c b 2，代入直线PQ 的方程得其坐标为N (a 2c b 2，c 2b)．又由|MF 2|＝|F 1F 2|得M (3c ，0)，在直角△F 1NM 中，由射影定理，得⎝⎛⎭⎫c 2b 2＝⎝⎛⎭⎫a 2c b 2＋c ⎝⎛⎭⎫3c －a 2c b 2，所以a 2＝2b 2，即a 2＝2(c 2－a 2)，即3a 2＝2c 2，故e ＝62.4．公式择优而取：根据条件灵活选择面积和弦长的计算公式 a ．面积公式的选取(6)(2019改编，5分)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△ABO 的面积取得最大值时，直线l 的倾斜角为________．答案：150°解析：易知曲线y ＝1－x 2是一个半圆，其半径为1.如图所示，由直线l 与半圆有两个交点，易知l 的倾斜角范围为(135°，180°)．△ABO 的面积S ＝12OA ·OB sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ≤12，当且仅当∠AOB ＝90°时，S 取得最大值，此时△ABO 是等腰直角三角形，斜边上的高为OH ＝22，在直角三角形OPH 中，sin ∠OPH ＝222＝12，所以∠OPH ＝30°，所以直线l 的倾斜角为150°.(7)(2019改编，5分)已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是________．答案：3解析：由题意可知F ⎝⎛⎭⎫14，0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝y 21y 22＋y 1y 2＝2，所以(y 1y 2＋2)(y 1y 2－1)＝0.又因为点A ，B 位于x 轴的两侧，所以y 1y 2＜0，所以y 1y 2＝－2 .如图所示，分别过点A ，B 作y 轴的垂线，垂足为M ，N ，则S △AOB ＝S梯形ABNM－S △AOM －S △BON ＝12(x 1＋x 2)(|y 1|＋|y 2|)－12x 1|y 1|－12x 2|y 2|＝12(x 1|y 2|＋x 2|y 1|)，因为点A ，B 位于x 轴两侧，所以S △AOB ＝12|x 1y 2－x 2y 1|，所以△ABO 与△AFO 面积之和为S＝12|x 1y 2－x 2y 1|＋12·14|y 1|＝12|y 1y 2(y 1－y 2)|＋18|y 1|＝⎪⎪⎪⎪2y 1＋y 1 ＋18|y 1|＝2|y 1|＋98|y 1|≥22|y 1|·98|y 1|＝3，当且仅当2|y 1|＝98|y 1|，即|y 1|＝43时取等号，故所求最小值为3.b ．过圆锥曲线焦点的弦的弦长公式(8)(2019改编，5分)已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1，过点F (1，0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点， 若||AF ＝2||BF ，则弦长||AB ＝________．答案：928解析：不妨设点A 在x 轴上方，点B 在x 轴下方． 设∠AFx ＝θ，则|AF |，|BF |依题意得|AF ||BF |＝＝2，解得cos θ＝－23，所以弦长|AB |＝|AF |＋|BF |＝928.5．巧设点参：用点的坐标有时更容易表示题中条件和问题，此时以点的坐标作为变量比设直线方程更佳(9)(经典题，5分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与直线y ＝kx (k >0)相交于A ，B 两点(从左至右)．过点B 作x 轴的垂线，垂足为C ，直线AC 交椭圆于另一点D ，若以AD 为直径的圆恰好经过点B ，则椭圆的离心率为________．答案：22解析：依题可设A (－x 0，－y 0)，B (x 0，y 0)，C (x 0，0)，所以k AB ＝y 0－（－y 0）x 0－（－x 0）＝y 0x 0＝k ，k BD ＝－1k ，k AC ＝0－（－y 0）x 0－（－x 0）＝k 2(k >0)．设点D 的坐标为D (x 1，y 1)，由⎩⎨⎧x 20a 2＋y 20b 2＝1，x 21a 2＋y 21b 2＝1两式相减，得y 1－y 0x 1－x 0·y 1－（－y 0）x 1－（－x 0）＝－b 2a 2，即k DB ·k DA ＝－b 2a 2，其中k DA ＝k CA ＝k 2，k DB ＝－1k，所以－b 2a 2＝k 2·⎝⎛⎭⎫－1k ＝－12，所以b 2a 2＝12. 所以离心率e ＝ca＝1－b 2a 2＝22.6．巧设线参：根据已知条件灵活选用直线方程的表示形式(10)(经典题，15分)如图42－5所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(2，22)，A ，B 分别为椭圆C 的右、下顶点，且OA ＝2OB .图42－5(Ⅰ)求椭圆C 的方程； 答案：x 236＋y 29＝1解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，4a 2＋8b 2＝1，解得a 2＝36，b 2＝9，所以椭圆C 的方程为x 236＋y 29＝1.(3分)(Ⅱ)设点P 在椭圆C 内，满足直线P A ，PB 的斜率乘积为－14，且直线P A ，PB 分别交椭圆于M ，N .(ⅰ) 若M ，N 关于y 轴对称，求直线P A 的斜率；答案：1－22解：(法一)因为直线P A ，PB 的斜率乘积为－14，所以直线P A ，PB 的斜率均存在且不为0且符号相反.设直线P A 的方程为x ＝my ＋6，则直线PB 的方程为y ＝－14mx －3，结合点P在椭圆内得k PB ＜－12或k PB >12，所以－14m <－12或－14m >12，解得m >2或m <－2.(4分)联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋6，x 236＋y 29＝1，得(m 2＋4)y 2＋12my ＝0，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6（m 2－4）m 2＋4，－12m m 2＋4.(5分) 联立⎩⎨⎧y ＝－14mx －3，x 236＋y29＝1，得(m 2＋4)x 2＋24mx ＝0，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－24m m 2＋4，3（m 2－4）m 2＋4.(6分) 依题意得3(m 2－4)＝－12m ，解得m ＝－2±2 2.因为m >2或m <－2，所以m ＝－2－22，直线P A 的斜率为k P A ＝1m ＝1－22.(8分)(法二)(ⅰ)依题意可设M (x 0，y 0)，N (－x 0，y 0)．由题意得⎩⎨⎧x 2036＋y 209＝1，y 0x 0－6·y 0－（－3）－x 0＝－14，即⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋4y 20＝36，（2y 0＋x 0）（2y 0－x 0＋6）＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋4y 20＝36，2y 0－x 0＋6＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋4y 20＝36，2y 0＝－x 0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋4y 20＝36，2y 0－x 0＋6＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝6，y 0＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－3， 此时M ，N 在椭圆顶点上，不符合题意；(5分)由⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋4y 20＝36，2y 0＝－x 0，解得⎩⎨⎧x 0＝－62，y 0＝32或⎩⎨⎧x 0＝62，y 0＝－32，当⎩⎨⎧x 0＝62，y 0＝－32时，点P 在椭圆外，不符合题意，所以⎩⎨⎧x 0＝－62，y 0＝32，此时kP A ＝32－62－6＝1－22.(8分)(ⅱ)求证：△PMN 和△P AB 的面积相等．答案：见证明过程证明：(法一)结合(ⅰ)中所得，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋6，y ＝－14mx －3， 得P (－12（m －2）m 2＋4，－6（m ＋2）m 2＋4)，(9分)所以AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m （m ＋2）m 2＋4，－6（m ＋2）m 2＋4， BP →＝(－12（m －2）m 2＋4，3m （m －2）m 2＋4)，(11分)PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m （m －2）m 2＋4，－6（m －2）m 2＋4， PN →＝(－12（m ＋2）m 2＋4，3m （m ＋2）m 2＋4)，(13分)显然有PM →＝m －2m ＋2 AP →，PN →＝m ＋2m －2 BP →，所以|PM ||AP |＝|BP ||PN |，即|PM |·|PN |＝|AP |·|BP |，又因为∠MPN ＝∠APB ，所以12|PM |·|PN |sin ∠MPN ＝12|AP |·|BP |·sin ∠APB ，即△PMN 和△P AB 的面积相等．(15分)(法二)因为直线P A ，PB 的斜率乘积为－14，所以直线P A ，PB 的斜率均存在且不为0且符号相反．设直线P A 的方程为x ＝my ＋6，则直线PB 的方程为y ＝－14mx －3，结合点P在椭圆内得k PB ＜－12或k PB >12，所以－14m <－12或－14m >12，解得m >2或m <－2.(9分)联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋6，x 236＋y 29＝1，得(m 2＋4)y 2＋12my ＝0，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6（m 2－4）m 2＋4，－12m m 2＋4.(10分)联立⎩⎨⎧y ＝－14mx －3，x 236＋y29＝1，得(m 2＋4)x 2＋24mx ＝0， 所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－24m m 2＋4，3（m 2－4）m 2＋4.(11分)所以直线NA 的斜率k NA ＝3（m 2－4）m 2＋4－24m m 2＋4－6＝m 2－4－8m －2（m 2＋4）＝m －2－2（m ＋2），(12分) 直线MB 的斜率k MB ＝－12mm 2＋4＋3－6（m 2－4）m 2＋4＝－4m ＋（m 2＋4）－2（m 2－4）＝m －2－2（m ＋2），(13分) 所以NA ∥MB ，所以S △AMB ＝S △NMB ，S △AMB －S △PMB ＝S △NMB －S △PMB ，即△PMN 和△P AB 的面积相等．(15分)7．横岭侧峰：以最合适的角度去审视已知条件和待求目标，避免简单直译，有时会有奇效(11)(经典题，5分)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1()a >0，b >0的右焦点为F ，直线y ＝43x 与双曲线相交于A ，B 两点，若AF ⊥BF ，则双曲线C 的渐近线方程为________．答案：y ＝±2x解：(法一)(直译)由已知得b a >43.联立⎩⎨⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，y ＝43x ，设A 位于y 轴右侧，则B 位于y 轴左侧，则A (3ab 9b 2－16a 2，4ab9b 2－16a 2)，B (－3ab 9b 2－16a 2，－4ab9b 2－16a 2)． 根据AF ⊥BF 得AF →·BF →＝⎝⎛⎭⎪⎫c －3ab 9b 2－16a 2，－4ab 9b 2－16a 2· (c ＋3ab 9b 2－16a 2，4ab 9b 2－16a 2)＝c 2－25a 2b 29b 2－16a 2＝0，即(a 2＋b 2)(9b 2－16a 2)－25a 2b 2＝0，整理得(b 2－4a 2)·(9b 2＋4a 2)＝0，所以b 2＝4a 2，渐近线方程为y ＝±2x .(法二)(由直角联想到圆)由AF ⊥BF 知OA ＝OB ＝OF ＝c ，所以A ，B 在圆x 2＋y 2＝c 2上．依题意不妨设A (3t ，4t )(t ＞0)，解得t ＝c5，将A ⎝⎛⎭⎫3c 5，4c 5代入双曲线方程得9c 225a 2－16c225b2＝1， 代入c 2＝a 2＋b 2并整理得(b 2－4a 2)(9b 2＋4a 2)＝0，所以b 2＝4a 2，故渐近线方程为y ＝±2x .(法三)(几何思考之解三角形)取该双曲线的左焦点F ′，不妨取在第一象限的交点为A ，连接AF ′，BF ′，如图所示，易知四边形AFBF ′是矩形．设∠AF ′O ＝θ，则∠AOF ＝2θ，则tan2θ＝22tan 1tan θ-＝43， 解得tan θ＝12(其中tan θ＝－2不符合题意，舍去)，所以tan θ＝|AF ||AF ′|＝12.设|AF |＝m (m >0)，则|AF ′|＝2m ，所以2a ＝|AF ′|－|AF |＝m ，2c ＝|FF ′|＝5m ，b 2＝c 2－a 2＝m 2，b ＝m ，所以渐近线方程为y ＝±bax ＝±2x .8．以动制静：有些与对称中心、中点、角度相关的问题，可以利用图形的旋转快速找到突破口，实现一招毙敌(12)(经典题，5分)过椭圆x 216＋y 24＝1内一点M (1，1)引一条弦AB ，使得M 恰为AB 的中点，则直线AB 的方程为________．答案：x ＋4y －5＝0解析：如图所示，将椭圆C ：x 216＋y 24＝1绕点M (1，1)旋转180°，得到椭圆C ′：（2－x ）216＋（2－y ）24＝1，则弦AB 是这两个椭圆的公共弦，两个椭圆方程相减得x ＋4y －5＝0，此即直线AB 的方程．(13)(经典题，5分)已知圆O ：x 2＋y 2＝4和点A (1，0)，在圆O 上存在点P ，直线l ：x ＋y ＋a ＝0上存在点Q ，使得P A ⊥AQ ，且P A ＝AQ ，则实数a 的取值范围是________． 答案：[－22－2，22]解析：(法一)点Q 可看作是圆上的点P 绕点A (1，0)旋转90°得到的，所以只需将圆O 绕点A 旋转90°之后与直线l 有公共点即可．圆心O 绕点A 顺时针和逆时针旋转90°分别得到点O ′(1，1)和O ″(1，－1)，半径不变，所以|2＋a |2≤2或|a |2≤2，结果取并集，得－22－2≤a ≤22，故实数a 的取值范围是[－22－2，22]．(法二)如下图所示，根据圆的参数方程，可设点P (2cos θ，2sin θ)，θ∈[0，2π]．根据△P AM ≌△AQN 得Q (1＋2sin θ，1－2cos θ)，作点Q 关于A 对称的点Q ′(1－2sin θ，2cos θ－1)，则依题意得直线l 经过点Q 或点Q ′，所以1＋2sin θ＋1－2cos θ＋a ＝0或1－2sin θ＋2cos θ－1＋a ＝0，即a ＝－22sin(θ－π4)－2或a ＝22sin(θ－π4)，所以－22－2≤a ≤22－2或－22≤a ≤22，故实数a 的取值范围是[－22－2，22]．9．命题转化：巧妙转化命题，将陌生问题熟悉化(14)(经典题，10分)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，过A ，B 两点作抛物线C 的切线，记这两条切线的交点为点P ，证明：点P 在定直线上．答案：见证明过程证明：为了便于用导数求切线，不妨将题图中所有元素沿着直线y ＝x 翻折，即先考虑下述问题：已知抛物线x 2＝4y ，过其焦点的直线y ＝kx ＋1与该抛物线交于E ，D 两点，过E ，D 两点作抛物线x 2＝4y 的切线，记这两条切线的交点为点Q ，证明：点Q 在定直线上．设切点坐标分别为E (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，对y ＝x 24求导得y ′＝x 2，所以抛物线x 2＝4y 在点E 处的切线方程为y ＝x 12(x －x 1)＋y 1，即y ＝x 12x －y 1. (5分)同理，抛物线x 2＝4y 在点D 处的切线方程为y ＝x 22x －y 2，(7分)联立⎩⎨⎧y ＝x 12x －y 1，y ＝x 22x －y 2，得x ＝y 1－y 212（x 1－x 2）＝2k ，y ＝x 12·2k －y 1＝kx 1－y 1＝－1.所以点Q 的坐标为(2k ，－1)，它在定直线y ＝－1上．(9分) 所以点P 在定直线x ＝－1上．(10分)变式思考：如果把“过焦点F 的直线”改为“过定点(2，0)的直线”，其他条件不变，结果如何？变式思考：答案：点P 在直线x ＝－2上． 解：略(解析过程参见例题)．10．极限思考：突破题目所给条件，考虑更极端的情形，有时能直接得到答案(15)(经典题，5分)设直线y ＝x ＋m (m >0)与y 轴交于点A ，与双曲线x 2－y 24＝1相交于B ，C 两点，且||AB <||AC ，则||AC ||AB 的取值范围是________． 答案：(1，3)解析：(法一)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2－y 24＝1，得3x 2－2mx －(m 2＋4)＝0，Δ>0，由根与系数的关系得⎩⎨⎧x B ＋x C ＝2m3，x B x C＝－m 2＋43.因为A ，B ，C 三点共线，所以|AC ||AB |＝|x C －x A ||x A －x B |＝－x Cx B.不妨设x C＝tx B(t <0)，则有⎩⎨⎧（1＋t ）x B ＝2m 3，tx 2B＝－m 2＋43，消去x B ，整理得到（1＋t ）2t ＝t ＋1t＋2＝4m 29－m 2＋43＝－4m 23（m 2＋4）＝－43＋163（m 2＋4）∈⎝⎛⎭⎫－43，0，解得－3＜t ＜－1或－1＜t ＜－13. 又因为|AB |＜|AC |，所以|AC ||AB |＝|t |＞1，所以|AC ||AB |的取值范围是(1，3)．(法二)(仅用于小题)：当m →0时，|AC ||AB |→1；当m 充分大(趋于正无穷大)时，B ，C 可近似地视为直线y ＝x ＋m 与渐近线y ＝－2x ，y ＝2x 的交点，易得横坐标分别为－m3和m ，此时|AC ||AB |→3，此过程单调连续变化，故|AC ||AB |的取值范围是(1，3)．(16)(经典题，5分)已知P ，Q 是直线x ＝2与抛物线y 2＝2x 的两个交点(点P 在点Q 的上方)，两条经过点P 且关于直线PQ 对称的直线l 1，l 2与抛物线的另一交点为M ，N ，则直线MN 的斜率为________．答案：－12解析：(法一)依题意得P (2，2)，l 1，l 2经过点P ，斜率互为相反数且均不为0，所以设l 1：x ＝m (y －2)＋2，l 2：x ＝－m (y －2)＋2.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x ＝m （y －2）＋2，得y 2－2my ＋4m －4＝0，则y 1＋2＝2m ，所以y 1＝2m －2，同理可得y 2＝－2m －2，所以y 1＋y 2＝－4， 所以直线MN 的斜率为k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 2－y 112（y 22－y 21）＝2y 1＋y2＝－12.(法二)(仅用于小题)考虑极限情况，当l 1，l 2无限靠近直线x ＝2时，点M ，N 向点Q 无限靠近，当它们重合时，直线MN 就是抛物线在点Q (2，－2)处的切线．设斜率为k (k ≠0)，则切线方程为y ＝k (x －2)－2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝k （x －2）－2，即⎩⎪⎨⎪⎧ky 2＝2kx ，y ＋2k ＋2＝kx ，得ky 2－2y －4(k ＋1)＝0，令Δ＝4＋16k (k ＋1)＝0，解得k ＝－12，因此直线MN 的斜率为－12.随堂普查练421．(经典题，5分)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P ，若||PF 1＝3||PF 2，则双曲线的离心率为________．答案： 3解析：由已知条件及双曲线的定义得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝3|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a . 因为PF 2与渐近线平行，由对称关系，不妨设该渐近线为y ＝b a x ，所以tan ∠F 1F 2P ＝b a ，所以cos ∠F 1F 2P ＝ac.在△PF 1F 2中，由余弦定理得|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－2|PF 2||F 1F 2|cos ∠F 1F 2P ， 即(3a )2＝a 2＋(2c )2－2a ·2c ⎝⎛⎭⎫a c ，整理得3a 2＝c 2，所以离心率e ＝c a ＝ 3.2．(经典题，5分)长为2的线段AB 的两个端点在抛物线y 2＝x 上滑动，则线段AB 的中点M 到y 轴距离的最小值为________．答案：34解析：(法一)依题意不妨设A (s 2，s )，B (t 2，t )(s ≥t )，则|AB |＝（s 2－t 2）2＋（s －t ）2＝2，即(s 2＋t 2)2＋(s 2＋t 2)＝4＋2st (1＋2st )＝4＋4⎝⎛⎭⎫st ＋142－14≥154，解得s 2＋t 2≥32，所以线段AB 的中点M 到y 轴距离x M＝s 2＋t 22≥34，当且仅当⎩⎨⎧st ＝－14，s 2＋t 2＝32，即⎩⎪⎨⎪⎧s ＝1＋22，t ＝1－22时取得等号，故所求最小值为34.(法二)如图所示，分别过A ，M ，B 向准线x ＝－14引垂线，垂足分别为A ′，M ′，B ′.由中位线定理得|MM ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)＝12(|AF |＋|BF |)≥12|AB |＝1，所以AB 中点M 到y 轴距离为x M＝|MM ′|－p 2≥1－14＝34，当且仅当线段AB 经过点F 时取得等号．过焦点F 且垂直于x 轴的弦CD 的长为2p ＝1，|AB |＝2＞|CD |，所以AB 可以经过点F ，故34即为所求最小值．3．(2019改编，5分)过点P (4，0)引直线l 与曲线y ＝12－3x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 面积的最大值为________．答案：2 3解析：(法一)设直线l 的方程为x ＝my ＋4(m ＜0)，联立⎩⎨⎧y ＝12－3x 2，x ＝my ＋4，得(3m 2＋1)y 2＋24my ＋36＝0，Δ＝144(m 2－1)＞0， 所以m <－1.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，y 1>y 2，则由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－24m3m 2＋1，y 1y 2＝363m 2＋1，所以△OAB 的面积S ＝S △AOP －S △BOP ＝12|OP |(y 1－y 2)＝2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－24m 3m 2＋12－4×363m 2＋1 ＝24m 2－1（3m 2＋1）2＝2419（m 2－1）＋16m 2－1＋24≤24129（m 2－1）·16m 2－1＋24＝23，当且仅当9(m 2－1)＝16m 2－1，即m ＝－213时取得等号，符合①式，所以△OAB 面积的最大值为2 3.(法二)将曲线方程y ＝12－3x 2整理为x 24＋y 212＝1(y ≥0)．设A (2cos α，23sin α)，B (2cos β，23sin β)，其中0≤α＜β≤π，则△OAB 的面积S ＝12|2cos α·23sin β－2cos β·23sin α|＝23|sin(β－α)|≤23，当且仅当β－α＝π2时取得等号．在直线l 绕P (4，0)旋转的过程中，当直线l 恰与曲线y＝12－3x 2相切时，β－α＝0；当直线l 旋转到与x 轴重合时，β－α＝π，而这个变化是连续的，所以存在某个中间时刻，使得β－α＝π2.故△OAB 面积的最大值为2 3.(法二了解，不需掌握)4．(经典题，5分)已知椭圆C ：x 225＋y 216＝1，直线l 过点P (1，2)且交椭圆C 于A ，B 两点，则线段AB 中点M 的轨迹方程为________．答案：16x (x －1)＋25y (y －2)＝0解析：设M (x 0，y 0)，将椭圆C ：x 225＋y 216＝1绕点M (x 0，y 0)旋转180°，得到椭圆C ′：（2x 0－x ）225＋（2y 0－y ）216＝1，则弦AB 是这两个椭圆的公共弦．两个椭圆方程相减得4x 0（x －x 0）25＋y 0（y －y 0）4＝0，此即直线AB 的方程．因为点P (1，2)在直线AB 上，所以4x 0（1－x 0）25＋y 0（2－y 0）4＝0，所以M (x 0，y 0)的轨迹方程为4x （1－x ）25＋y （2－y ）4＝0，即16x (x －1)＋25y (y －2)＝0.5．(2019改编，5分)已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的左、右焦点，P ，Q 是椭圆上两点，线段PQ 经过点F 1，且PQ ⊥PF 2，当||PQ ||PF 2∈⎝⎛⎭⎫34，43时，a 的取值范围是________． 答案：⎝⎛⎭⎫2，32 解析：(极限思考，仅适用于小题)当|PQ ||PF 2|＝43时，如下图所示，不妨设|PF 2|＝3k (k >0)，则|PQ |＝4k ，|QF 2|＝5k .根据|PF 1|＋|PF 2|＝|QF 1|＋|QF 2|＝2a ＝12(3k ＋4k ＋5k )＝6k 得|QF 1|＝k ，|PF 1|＝3k ，所以ca ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝32k 3k ＋3k ＝22.根据a 2－b 2＝c 2得a ＝ 2. 当|PQ ||PF 2|＝34时，如下图所示，不妨设|PF 2|＝4k (k >0)，则|PQ |＝3k ，|QF 2|＝5k .根据|PF 1|＋|PF 2|＝|QF 1|＋|QF 2|＝2a ＝12(3k ＋4k ＋5k )＝6k 得|QF 1|＝k ，|PF 1|＝2k ，所以ca ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝25k 2k ＋4k ＝53.根据a 2－b 2＝c 2得a ＝32.在|PQ ||PF 2|从大变小的过程中，Rt △PF 1F 2的直角边之比|PF 1||PF 2|逐渐减小，则Rt △PF 1F 2的内角∠PF 1F 2逐渐增大，离心率的变化是单调的，所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫2，32.6．(2015陕西，12分)如图42－10所示，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点A (0，－1)，且离心率为22. 图42－10(Ⅰ)求椭圆E 的方程； 答案：x 22＋y 2＝1解：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1，c ＝1，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(3分)(Ⅱ)经过点(1，1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.答案：见证明过程证明：如图所示，将原坐标系向下平移一个单位，即以点A 为坐标原点，重新建立直角坐标系，此时椭圆的方程为x 22＋(y －1)2＝1，原来的点(1，1)变成了(1，2)，所以直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋2，(5分)因为直线与椭圆交于两点P ，Q ，且P 与Q 都不与A 重合，所以k ≠2，k ≠0. 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋（y －1）2＝1，y ＝k （x －1）＋2，即⎩⎨⎧x 22＋y 2－2y ·1＝0，kx －y k －2＝1，得x 22＋y 2－2y ·kx －y k －2＝0，(7分) 整理可得k k －2⎝⎛⎭⎫y x 2－2k k －2⎝⎛⎭⎫y x ＋12＝0.(9分)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由根与系数的关系得直线AP 与AQ 的斜率之和为k AP ＋k AQ ＝y 1x 1＋y 2x 2＝2k k －2kk －2＝2为定值，而平移坐标系不改变直线的斜率，故原命题得证．(12分)7．(经典题，15分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴长是短轴长的2倍，且过点⎝⎛⎭⎫3，12.(Ⅰ)求椭圆C 的方程； 答案：x 24＋y 2＝1解：由题可知a ＝2b ，则椭圆方程为x 24b 2＋y 2b 2＝1，又因为椭圆过点⎝⎛⎭⎫3，12，所以34b 2＋14b 2＝1，解得a ＝2，b ＝1，所以椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(5分)(Ⅱ)若在椭圆上有相异的两点A ，B (A ，O ，B 三点不共线)，O 为坐标原点，且直线AB ，OA ，OB 的斜率满足k 2AB ＝k OA ·k OB (k AB >0)． (ⅰ)求证：||OA 2＋||OB 2为定值；答案：见证明过程证明：(法一)设直线AB 方程为y ＝kx ＋m (k ＞0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵k 2AB ＝k OA ·k OB (k AB ＞0)， ∴k 2＝y 1x 1·y 2x 2＝（kx 1＋m ）（kx 2＋m ）x 1x 2，化简得km (x 1＋x 2)＋m 2＝0.∵A ，O ，B 三点不共线，∴m ≠0，则k (x 1＋x 2)＋m ＝0.①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0， 由根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，②x 1x 2＝4（m 2－1）1＋4k 2，且Δ＝16(1＋4k 2－m 2)＞0.③将②代入①式得k ⎝⎛⎭⎫－8km1＋4k 2＋m ＝0(k ＞0)，解得k ＝12，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2（m 2－1）.④(9分) |OA |2＋|OB |2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝34x 21＋34x 22＋2＝34[(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]＋2， 将④代入得|OA |2＋|OB |2＝34×[4m 2－2×2(m 2－1)]＋2＝5.∴|OA |2＋|OB |2为定值5.(12分)（法二）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 214＋y 21＝1，x 224＋y 22＝1，两式相减得y 2－y 1x 2－x 1·y 2＋y 1x 2＋x 1＝－14.(*)(6分)由k 2AB ＝k OA k OB 得y 1y 2x 1x 2＝22121y y x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭, 由比例的性质可知222122121122121221211221()4()4y y y y y y y y y y x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--++=== ⎪ ⎪--++⎝⎭⎝⎭,(7分) 所以2221212121y y y y x x x x ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭结合(*)及k AB ＞0，得y 2－y 1x 2－x 1＝12，y 2＋y 1x 2＋x 1＝－12.所以y 1y 2x 1x 2＝14，即x 1x 2＝4y 1y 2.(8分)再由y 2－y 1x 2－x 1＝12两边都平方得4(y 21＋y 22)＝x 21＋x 22.⎩⎨⎧x 214＋y 21＝1，x 224＋y 22＝1两式相加得14(x 21＋x 22)＋(y 21＋y 22)＝2，所以x 21＋x 22＝4，y 21＋y 22＝1，(10分) 故|OA |2＋|OB |2＝x 21＋x 22＋y 21＋y 22＝5为定值．(11分)(ⅱ)设△AOB 的面积为S ，当S 取得最大值时，求直线AB 的方程． 答案：y ＝12x ±1解：（法一）设O 到直线AB 的距离为d . S ＝12|AB |·d ＝121＋k 2|x 1－x 2|·|m |1＋k 2＝12（x 1＋x 2）2－4x 1x 2|m |＝2－m 2|m |. 由③可得m ∈(－2，0)∪(0，2)，⑤则S ＝2－m 2|m |＝（2－m 2）m 2≤（2－m 2）＋m 22＝1，当且仅当m ＝±1时取等号，符合⑤式，此时S 取得最大值，直线方程为y ＝12x ±1.(15分)(法二) 设y ＝12x ＋m (m ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，x 2＋4y 2＝4，可得x 2＋2mx ＋2(m 2－1)＝0，由根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2（m 2－1），且Δ＝4(2－m 2)＞0，所以m ∈(－2，0)∪(0，2)．①(13分)设O 到直线AB 的距离为d .S ＝12|AB |·d ＝121＋14|x 1－x 2|·|m |1＋14＝12（x 1＋x 2）2－4x 1x 2|m |＝（2－m 2）m 2 ≤（2－m 2）＋m 22＝1，当且仅当m ＝±1时取等号，符合①式，所以当S 取得最大值时，直线方程为y ＝12x ±1.(15分)课后提分练42 解析几何中减少计算量的几种方法A 组(巩固提升)1．(2017全国Ⅰ，5分)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10答案：A解析：设AB 倾斜角为θ，由已知条件及抛物线的对称性，设0<θ<π2，则|AB |＝22sin p θ，又DE 与AB 垂直，即DE 的倾斜角为θ＋π2，∴|DE |＝2222πcos sin ()2p pθθ=+，而抛物线方程为y 2＝4x ，即p ＝2，∴|AB |＋|DE |＝22224sin cos p p θθ+=⋅22222sin cos 16sin cos sin 2θθθθθ+=≥16，当且仅当θ＝π4时取等号，即|AB |＋|DE |的最小值为16，故选A.2．(2019改编，5分)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，抛物线C 的外部有一定点 M (1，3)，动点P 在抛物线C 上，则||PF －||PM 的取值范围是________．答案：[－10，3]解析：由题知F (2，0)，由|MF |＋|FP |≥|MP |得|FP |－|PM |≥－|MF |＝－（2－1）2＋（0－3）2＝－10，当且仅当点P 在线段MF 的延长线上时取得等号，所以|PF |－|PM |的最小值是－10.如图所示，过点P 向准线x ＝－2作垂线，垂足为点H ，点M 在PH 上的投影为点N ，则|FP |－|PM |＝|PH |－|PM |≤|PH |－|PN |＝|NH |＝1－(－2)＝3，当且仅当直线PM 与准线垂直时取得等号．综上，|PF |－|PM |的取值范围是[－10，3]．3．(经典题，10分)已知抛物线C ：y 2＝4x 和直线l ：x ＝－1，过直线l 上任一点P 作抛物线的两条切线，切点记为A ，B ，求证：直线AB 过定点．答案：见证明过程证明：为了便于用导数求切线斜率，不妨将题中所有元素沿着直线y ＝x 翻折，即先考虑下述问题：已知抛物线x 2＝4y 和直线y ＝－1，过直线y ＝－1上任一点Q 作抛物线的两条切线，切点记为E ，D ，求证：直线ED 过定点．设切点分别为E (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，点Q 的坐标为(m ，－1)，对y ＝x 24求导得y ′＝x2，(2分)所以抛物线x 2＝4y 在点E 处的切线方程为y ＝x 12(x －x 1)＋y 1，即y ＝x 12x －y 1，(4分)因为该切线过点Q (m ，－1)，所以x 12m －y 1＝－1，即mx 1－2y 1＋2＝0.(6分)同理，mx 2－2y 2＋2＝0，(7分)所以直线ED 的方程为mx －2y ＋2＝0，即mx －2(y －1)＝0，直线过定点(0，1)．(8分) 故原命题也得证，直线AB 过(0，1)关于直线y ＝x 的对称点(1，0)．(10分)4．(2018北京东城模拟，13分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且过点A (2，0)．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；答案：x 24＋y 2＝1解析：由题意得⎩⎨⎧4a 2＝1，c a ＝32，a 2－b 2＝c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(4分)(Ⅱ)设M ，N 是椭圆C 上不同于点A 的两点，且直线AM ，AN 的斜率之积等于－14.试问直线MN 是否过定点？若是，求出该点的坐标；若不是，请说明理由．答案：过定点(0，0)解：(法一)当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ，M (x 1，y 1)， N (x 2，y 2)(x 1，x 2≠2)，由题意得k AM ·k AN ＝y 1x 1－2·y 2x 2－2＝－14，2k ＋m ≠0.令x ′＝x －2，所以y 1x 1′·y 2x 2′＝－14.(6分)联立椭圆C 和直线MN 的方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，即⎩⎪⎨⎪⎧（x ′＋2）24＋y 2＝1，y ＝k （x ′＋2）＋m ，变形为⎩⎨⎧x ′24＋y 2＋x ′·1＝0，y －kx ′2k ＋m＝1，所以x ′24＋y 2＋x ′·y －kx ′2k ＋m＝0，(9分)整理得⎝⎛⎭⎫y x ′2＋12k ＋m ⎝⎛⎭⎫y x ′＋14－k2k ＋m ＝0，由根与系数的关系，得y 1x ′1·y 2x ′2＝14－k 2k ＋m ＝－14，解得m ＝0.(11分)所以直线MN 的方程为y ＝kx ，过定点(0，0)．若直线MN 的斜率不存在，则直线AM ，AN 的斜率互为相反数，即k AM ·k AN ＝k AM ·(－k AM )＝－14.不妨取k AM ＝－12，k AN ＝12.易知直线AM ：y ＝－12(x －2)与椭圆交于点M (0，1)．由对称性可知N (0，－1)，所以直线MN 也过点(0，0)． 综上，直线MN 过定点(0，0)．(13分)(法二)当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋n . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋n ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8knx ＋4n 2－4＝0. 由Δ>0，得4k 2－n 2＋1>0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)(x 1，x 2≠2)， 则x 1＋x 2＝－8kn1＋4k 2①，x 1x 2＝4n 2－41＋4k 2②.(7分)由k AM ·k AN ＝y 1x 1－2·y 2x 2－2＝－14以及y 1＝kx 1＋n ，y 2＝kx 2＋n ，得(1＋4k 2)x 1x 2＋(4nk －2)(x 1＋x 2)＋(4＋4n 2)＝0.将①②代入上式，整理得n 2＋2kn ＝0，解得n ＝0或n ＝－2k . 当n ＝0时，直线y ＝kx 过定点(0，0)；当n ＝－2k 时，直线y ＝k (x －2)过定点(2，0)，舍去．(10分) 当直线MN 的斜率不存在时，直线AM ，AN 的斜率互为相反数， 即k AM ·k AN ＝k AM ·(－k AM )＝－14，不妨取k AM ＝－12，k AN ＝12，易知直线AM ：y ＝－12(x －2)与椭圆交于点M (0，1)．由对称性可知N (0，－1)，所以直线MN 也过点(0，0)． 综上，直线MN 过定点(0，0)．(13分)5．(2018河南模拟，5分)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，坐标原点为O ，若存在直线l 过点F 且交双曲线C 的右支于A ，B 两点，使OA →·OB →＝0，则双曲线离心率的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫5＋12，3解析：(极限思考)设F (c ，0)．①当直线l 与x 轴垂直时，由对称性可知，此时△AOB 为等腰直角三角形，易得A ⎝⎛⎭⎫c ，b2a ，则有b 2a ＝c ，所以b 2＝ac ＝c 2－a 2，即e ＝e 2－1，解得e ＝1＋52(负值舍去)．②当直线l 与渐近线平行时，根据对称性，不妨设直线l 的方程为y ＝ba (x －c )．取l 与双曲线右支交点为A ，此时可近似视为OA ⊥l .联立⎩⎨⎧y ＝ba（x －c ），x 2a 2－y2b 2＝1（a >b >0），可得A ⎝⎛⎭⎫a 2＋c 22c ，－b 32ac ， 所以k OA ＝－b 32ac ÷a 2＋c 22c ＝－b 3a （a 2＋c 2）＝－ab ， 整理得c 2＝3a 2，所以e ＝ 3.此时直线l 与双曲线仅有一个交点． 由于直线l 的斜率在,b a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭逐渐增大的过程中都有满足题意的情况存在，且该过程单调连续变化，从而可知双曲线离心率的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫5＋12，3 .6．(经典题，14分)如图45－1所示，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为A (－2，0)，离心率为12，过点A 的直线l 与椭圆E 交于另一点B ，点C 为y 轴上的一点．图42－1(Ⅰ)求椭圆E 的标准方程； 答案：x 24＋y 23＝1解：依题意得a ＝2，c a ＝12，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3，故椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(3分)(Ⅱ)若△ABC 是以点C 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l 的方程．答案：3x －4y ＋6＝0，y ＝0或3x ＋4y ＋6＝0解：显然点C 不在坐标原点．如图1所示，假设点C 在y 轴负半轴，过点B 作BM ⊥y 轴于点M ，设C (0，－t )，t ＞0.易证Rt △AOC ≌Rt △CMB ，所以|OM |＝|CM |－|OC |＝|AO |－|OC |＝2－t ，|BM |＝|OC |＝t ，所以点B 的坐标为(t ，2－t )，代入椭圆方程得t 24＋（2－t ）23＝1，解得t ＝27或t ＝2，对应点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫27，127或(2，0)，对应直线l 的方程分别为3x －4y ＋6＝0和y ＝0.(8分)假设点C 在y 轴正半轴，如图2所示．根据对称性，此时的直线l 与上一种情况的直线l 关于x 轴对称，故此时直线l 的方程分别为3x ＋4y ＋6＝0或y ＝0.(13分)综上所述，符合题意的直线l 有三条，其方程分别为3x －4y ＋6＝0，y ＝0，3x ＋4y ＋6＝0.(14分)B 组(冲刺满分)7.(经典题，13分)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点F (c ，0)到渐近线的距离为12c ，过点F 的动直线l 与双曲线交于A ，B 两点，与C 的渐近线交于P ，Q 两点．(Ⅰ)求双曲线的离心率；答案：233解：(Ⅰ)该双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0，依题意得bc b 2＋a2＝12c ，即b ＝12c , 即c 2－a 2＝14c 2，所以a 2＝34c 2，a ＝32c ，所以离心率e ＝c a ＝233.(5分)(Ⅱ)证明：在直线l 旋转的过程中，||AP ＝||BQ 始终成立． 答案：见证明过程证明：由(Ⅰ)得a 2＝3b 2，所以双曲线方程可写作x 2－3y 2＝3b 2，其渐近线方程可写作x 2－3y 2＝0.(6分)设l 的方程为x ＝my ＋2b ，m ≠±3，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3y 2＝3b 2，x ＝my ＋2b ，得(m 2－3)y 2＋4mby ＋b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则线段AB 的中点M 的纵坐标为y M ＝y 1＋y 22＝－2mbm 2－3.(9分)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3y 2＝0，x ＝my ＋2b ，得(m 2－3)y 2＋4mby ＋4b 2＝0，设P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，则线段PQ 的中点N 的纵坐标为y N ＝y 3＋y 42＝－2mb m 2－3.(12分)所以y M ＝y N ，而M ，N 都在直线l 上，所以M ，N 重合，所以|AP |＝|BQ |.(13分)。
解析几何运算中的若干减负途径.
解析几何运算中的若干减“负”途径北京宏志中学 王芝平（此文发表于《中学数学》2006年第4期）解析几何是在坐标系的基础上，用代数方法研究几何图形性质的一门数学学科。
因此，代数运算就不可避免地出现在解析几何问题中，在解决某些解析几何问题时，如果方法选择不当，往往会导致计算量烦琐，不仅不易得到正确的结果，而且还会浪费宝贵的时间。
那么如何正确地选择方法，减少运算量呢，下面介绍几种常用的减“负”途径，供同学们参考。
1． 恰当建系 合理定位曲线的方程依赖于坐标系而存在，坐标系选择适当，则能启迪思路、化繁为简、事半功倍。
一般来说要选与已知条件有关的定点，如对称中心、线段中点、曲线顶点为坐标原点，定直线、曲线的对称轴为坐标轴。
例1：已知半径为R 的定圆F 1，及其内部距离F 1为2c 的定点F 2，求过F 2且与⊙F 1相切的动圆圆心轨迹方程。
解：如图1，以F 1F 2所在的直线为x 轴，线段F 1F 2的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系。
设动圆圆心为P(x ，y ),两圆切点为T ，则： F 1（-c ,0），F 2(c ，0)，且|PF 1|+|PF 2由椭圆第一定义知，点P F 2(c,0)为焦点，长轴长为2a 等于4422222c R c a b -=-=为：144422222=-+c R y R x 。
【小结】 结果简洁明了。
2． 追根溯源 回归定义定义是事物本质属性的概括与反映．圆锥曲线定义不仅是推导圆锥曲线方程的依据，也是常用的解题方法，事实上，圆锥曲线许多性质都是由定义派生出来的．对某些圆锥曲线问题、甚至一些从表面上看并不是圆锥曲线问题的问题，若采取“回归定义”的策略，把定量的计算和定性的分析有机地结合起来，则往往能获得题目所固有的本质属性，达到准确判断、合理运算、灵活解题的目的，这样可以大大地减少计算量。
例2：如图2，A 、B 是两个定点，且AB =2 ，动点M 到A 的距离是4，线段MB 的垂直平分线L 交MA 于点P ，直线k 垂直于直线AB ，且B 点到直线k 的距离为3.求动点P 的轨迹方程．【分析】根据求证的结论,可知点P 的轨迹应是圆锥曲线.由垂直平分线的性质,PM ＝PB ,而MA =4,即PA +PB ＝由椭圆的第一定义,得点P 的轨迹是以A 、B 为焦点、长半轴 图2 =a 2和半焦距=c 1的椭圆.以线段A B 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，则动点P 的轨迹方程是22431y x +=.【小结】应用定义求动点轨迹或其方程，其优势在于避免列式、化简等烦琐的代数处理过程，给人以简捷、明快之感．定义法是解析几何中最朴素、最基本的数学思想方法，可以说这是求动点轨迹及其方程的重要方法之一．例（2005年，辽宁21）．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足1.0||,022≠=⋅TF TF（Ⅰ）略；（Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）略。
解析几何中减少运算量的常用方法
定义是事物本质属性的概括与反映’ 圆 锥曲 线 许 多 性 质 都 是 由 定 义 派 生 出 来 的 & 对 某些 圆 锥 曲 线问 题 & 若 采 取? 回 归 定义 @ 的策 略& 把定量的计算和定性的分析有机地结合 达到 准确 判断 * 合理 运算 * 灵活 解题 的目 的 ’ 例 > 3 年全 国卷 B& 已 知双 曲线 $ $ A C 4
-
R
巧用对称
以美启真
对称既是数学美的主要表现形式& 又是 一种 重 要 的 数 学 思 想 方 法 ’ 解析几何中具有 对称 美 的 内 容 可 谓 比 比 皆 是 & 灵活恰当的应 用对 称 思想 能 起到 优 化解 题 思路 和 简 化 解题 过程 的 功 效 ’ 特别是普遍化的逻辑意义上的 地位 对等 & 更 能 简化 一 些复 杂 的 解 题过 程 & 其 表现 形式 如 ? 同 理可 得 @ 不妨 设 @ 等’ * ? 例 R 如 图 &在 的 三 个 顶 点 ST U V T * U * V处分别有动 点 W * X * , & 并且 它们 分别 沿 射线 T U * 向 做 匀 速 直 线 U V * V T 运 动’ 已 知它 们 同时 出 发 & 并同 时 分 别 到 达 U * V * T 图 -
年第 % 期 $ $ Y " == = == = " = 方法 技巧 = = = 与 维 = " =思 == =" =
中学数学
# A
解 析 几 何 中 减少 运 算 量 的 常 用 方 法
# $ $ $ # % 北 京宏 志中 学 王芝 平 张超月
解析 几 何 是在 坐 标 系的 基 础 上 & 用代数 方法 研 究 几 何 图 形 性 质 的 一 门 数 学 学 科 ’ 因 此& 代数运算就不可避免地出现在解析几何 问题 中 ’ 在解 决 某些 解 析几 何 问 题时 & 如果 方 法选 择不 当 & 往 往会 导 致计 算 繁 琐 & 不 仅会 浪 费宝 贵的 时 间 & 而 且还 不 易得 到 正 确的 结 果 ’ 那么 如何 恰 当地 选 择方 法 & 减 少 运算 量 呢 ( 下 面介 绍几 种常用 的方 法 & 供同 学们 参考 ’
减少解析几何运算量的策略
两 相 得 二丝 ． 式 减 毕
ｚ １一 ｚ７
Ｉ 、下
ｚ ，
一 ， 一１即
３
㈩
。 一
户一
．
％ 势 ，
． 结合
。
由 ￣ Ｐ（ －
解 析 几 何 以数 量 关 系 研 究 几 何 形 状 ， 开 具 离 体 图形 解 题 无 疑 是 纸 上 谈 兵． 形 结 合 是 解 析 几 数
的方 程 ， 看 能 否 利 用 圆 周 角 、 心 距 的 性 质 转 化 看 弦
成 两 弦 垂 直 或相 等 的 问题 ， 降低 解 题 难 度 ． 以 六 、 入参 数 引 适 当 引 入 参 数 ， 于 深 入 研 究 直 线 与 圆 锥 曲 对
度 ， 反 面 人 手 达 到 因 繁 就 简 的效 果 ． 从 【 ４ 两 个 不 同 的 点 Ｐ、 在 曲 线 Ｙ— ｚ 例 】 Ｑ
【 析 】 设 Ｐ为 ＭＮ 中点 ， Ｉ Ｍ — Ｉ 解 由 Ａ ＡＮ１ ．
１
为 ｎ ６ｆ离心率为 Ｐ则 口 ，—４Ｐ 、 、， ， 一５ ６ ，一÷ ．
过 点 Ｂ作 左 准线 ３一＿ 的垂 线 ， 足 为 Ｎ ； ７ 垂 过 点 Ａ 作 此 准 线 的垂 线 ， 足 为 Ｍ ． 垂
又 ‘ （， １ ． １ — 一 １’ ． ０ ‘ Ａ ５ ｋ 解得 一＝
。
１。。ｅ 。。Ｙ— 。。。２ 。。 。。 —
【 回顾 】 遇 到 “ ＡＢ 为 直 径 的 圆 经 过 某 以
点 ” “ Ｄ 同在 某 圆上 ” 问 题 时 ， 要 急 于 求 圆 、Ｃ、 等 不
２
【 ２ 设 椭 圆 ｃ 例 】 ：
减少解析几何计算量 提高解题速度
月
一 １（ ， ｚ Ｙ≠ ｏ ．由点 Ｐ到 ｚ轴 、 ） Ｙ
轴距离 之比为 ２得 ，
可得 一
一 ２ ｙ ４ 。代入双 曲线方程 ． Ｚ一 ｚ ，
＞ ｏ 因 为 ｏ １ ＜ １所 以 １ ． ＜ Ｉ ｍ ， —
了 钏 ．
０
５ ｚ＞ ｏ 所 以 ｍ ∈ （ ｍ ． 一 ．）Ｕ （ ． ） ｏ ｏ ．
．－
平 于 轴 离 率 ＝２ 椭 系ｚ ） ｛ 行 且 心 Ｐ 的 圆 （ ２ ＋ （ Ｖ ０ ＋ ｚ 一
÷）＝ｋ当 一０ 。 ， 令ｋ 时的极限 情况（ “ 点椭圆”， ）则与直线
ｌ２ 一 ＋ ３ ０相 于该 点 的椭 圆 系 ， ：ｚ ＝ 即为 过 直 线 ｌ “ 与 点
求 圆 Ｍ 的方程．
方 法 与技 巧 ．
＋ 一ｙ ｏ （・） （・） 一 ，Ｄ ｚ ６ — ，ｘ 、 ｚＹ ・ ＋ Ｐ １ Ｑ ２ｚ则 尝 Ｃ
—
Ｙｔ
＿
，
ｚ：
由 Ｐ＿ ・ 尝一 １ ０ｊ 得 （ 一・
①
即 而ｚ ＋ｙｙ ２ １ ２— ０
由 ｘ ２ ＋ ｙ
由Ｉ ＋ 一 。 消 得 ＋ ： ｚ ６ 一 ｏ ＇ 去 川＋ —
＋ —０ 切于 一÷． ， ３ 相 点（ ÷） 长轴平行于Ｙ 椭圆 轴的 方程 ．
解 析 ： 般解 法 是 设 椭 圆 中 心 为 （ 。Ｙ ）可 得 椭 圆 方 一 ．。
程， 并列出过 已知点 Ｐ的切线方程 ． 立消参可求得方程 ． 联
二、 设而 不求 ， 整体 代换
解 决 问题 虽 然 要 设 出 某 些 量 。 不 必 一 一 求 出． 意 但 注 其 整 体 结 构 特 点 ， 法将 问题 整 体 变 形 转 化 ， 避 免 一 些 设 以
减少运算量的途径
嗓由 （x-2）2+y2=3， y=-x，
扇设
x= 设
设 设 设
2-
姨 2
2
，
扇设
x= 设
设 设 设
2+
姨 2
2
，
解得 设 缮 设
或设 缮 设
设
y= 设
设 设 墒设
姨2 2
-2
，
设
设设设y=-
墒设
2+
姨 2
2
。
不妨设
C（
2+
姨 2
2
，姨
2 2
-2
），D（
2+
姨 2
2
，
-
2+
姨 2
2
），则 NC 2=2- 姨 2
这样一来，就显得格外复杂。因此，不能这样蛮干，
必须另想办法。
观察原不等式，有 a＜|a|，说明 a＜0。这就是 隐含条件。利用这一点，可将原不等式转化为 a＜ 9a3-11a＜-a。
由于 a＜0，则有 -1＜9a2-11＜1，即
嗓 9a2-11＞-1，
9a2-11＜1。
解得
a∈（-
2
姨 2
3
，-
姨10 3
P
的坐标是（ t+22
，t-22
）。
NP 是直角三角形△CDN 斜边 CD 的中线，则
NP=
1 2
CD=PD。连接 DE，则 NP2=DP2=3-EP2，即
（
t+2 2
-1）2+（
t-2 2
）
解得 t=0 或 t=3。因为 C，D 两点均在 x 轴下
方，故取 t=0，CD 的方程是：y=-x。
浅谈减少解析几何中运算量的几种方法
由椭 圆 的定义 知 ，点 Ｐ的轨迹 是 以 Ｆ（ｃ ０ ， Ｆ（，） 焦 点 ， ， － ，） ２ｃ ０ 为 长 轴长为 ２ （ ａ 等于 尺）的椭 圆 ． ｂ ＝口 一 ．椭 圆方程 为 ： ｃ， ・ ．
口一
＼
—
ＦＯ ｌ
—
一
大 ．基于这样的分析 ，笔者认为，在 高三复 习中有 必要 引导学 生探求优化解题过程 ，降低计算量的方 法与技巧 ．这对培养学生的思维品质 ，提高数学解 题 能 力 很 有好 处 ．那 么 如何 正 确地 选择 方法 ，减 少 解析几何题 的计算量呢？ 下面介绍几种减少计算量的 常 用方法 ． １ 巧建坐标系 曲线 的方程 依 赖于 坐 标 系 而存 在 ，坐 标 系选 择
ｌ 值）． Ｉｌ ＝ Ｐ ＝Ｒ （ ＴＩ 定
较低 ．究其原 因，一是解析几何部分考题 的题序通
常 比较靠后 ，题 目本身难且计算量大 ，大多数学生 平时害怕， 不愿做 ， 故练得少 ， 考试得分 自 然低 ． 二 是没有掌握一定 的计算方法 ．在解决有些解析几何
问 题 时 ，如 果 方 法 选 择 不 当 ，往 往 导 致 计 算 量 过
－・ Ｉ
） ：则 ｛ ｌ ， ， ， ， 由ｙ＋ （ ） 【 一 １
—
分析 利用 曲线定义 结合 平面几何容易找到动
点 Ｑ要满 足 的条 件 ，避免 通过 解 析 法 ，减 少繁杂 的 计算 ． 解 设 Ｑｘ， ） （ Ｙ ，延 长 Ｑ和直 线 Ｍ 相 交于 Ｐ，
（） 当 ≠ ，且 Ｙ ≠Ｙ 时 ，不 妨设 Ｘ＜Ｘ ， ３ ２ Ｊ ２ Ｊ ２
（ｉ 若 ＞ ２ 类似于 由条件①可得 ｉ） Ｙ，
二
Ｘ ２ Ｘ
（ ）若 ＜ ｉ Ｙ ，则 由 （ ）中的证明知，要使 １
减少解析几何题运算量的六种策略
减少解析几何题运算量的六种策略
<u>减少解析几何题运算量的六种策略</u>
针对解析几何中的运算量多的局面，渊博的学习者应该掌握几项策略，以降低复杂性，减少运算量。
下面主要介绍六种经济有效的策略。
第一种策略是使用对对称的简化技巧。
它试图结合反射、旋转和翻转等操作，以更有效地简化问题。
例如，若我们遇到三角形ABC，以点D在BC边上，要求
绘制M型图形，则可以使用这一技术，翻转ABC经由D为锚点，将ABC沿CD
轴翻转，从未的形象中出发，再绘制类似的ADC。
第二种策略是寻找必要性条件，以加快抓取重要信息的进程。
学习者需要学习推理技巧，弄清问题的本质，确定最关键的信息；另外，还需要利用图形法，快速构建更清晰的问题模型，以节省大量时间。
第三种策略是采用火柴人，也就是说以火柴拼接出图形，预测可能性和排除常见错误，从而练习绘制、计算解答的技能，这样可以使学习者拥有强大的几何思维。
第四种策略是运用共线判定。
这是一种快速而有效的几何判断技术，能够使学习者不断判断直线、圆弧等运算，从而缩减大量运算步骤。
第五种策略是使用数学的方法，主要是依靠高等代数，试图从运算量上求得优化解。
最后，使用几何软件也是得特别提及的一种策略。
这些软件大多具有精确、提示，能够快速有效地完成复杂的几何计算，从而使学习者有更多的精力在其他方面做更多的功课。
以上就是减少解析几何题运算量的六种策略。
它们均可以给学习者以有益的支撑，以降低复杂性，减少运算量。
只有掌握这些策略，才能更好地应对挑战，取得更加满意的成绩。
降低解析几何运算量“四化”
+
y2 b2
=
1(a
>
b
> 0) 改写为 b2x2 + a2y2
=
a2b2
的形式;
√
√ 第三 k2 + 1
a2k2 + b2
步: 计 √
· ∆,
算 其
弦 中
长. |AB| a2k2 + b2
= k2 + 1|x1 − x2| = 是第二步所得的一元二
次方程二次项的系数, k 是直线 y = kx + m 中 x 的系数.
(t2
+ 4)y2
√ + 2 3ty
−1
=
0,
y1
+ y2
=
√ 2 3t − t2 + 4 ,
y1y2
=
1
−√t2 + 4 t2 + 1 t2 + 4
,∆= √
·4 t2
16(t2 + +1=4
1), (
1
所以 − t2
√ |AB| = t2 + 1|y1 − y2| =
) 3 , 此函数关于 t2 单调递 +4
第 二 步: 联 立 方 程 组, 计 算 判 别 式 ∆. 由
y = kx + m, b2x2 + a2y2 = a2b2,
得 (a2k2 + b2)x2 + 2kma2x +
a2(m2 − b2) = 0, ∆ = 4a2b2(a2k2 + b2 − m2). 此 时 需
先将
x2 a2
2 3t
1
还 需 要 把 y1 + y2 =
2013高考数学 解题方法攻略 简化解几运算 理
减少解析几何运算量的若干方法在解决有些解析几何问题时，如果方法选择不当，往往导致计算量过大，如果不具备较高的解几运算能力，就不易得到正确的运算结果。
那么如何正确地选择方法，减少解析几何题的计算量呢？下面介绍几种减少计算量的常用方法。
一、 回归定义，以简驭繁圆锥曲线的许多性质是由定义派生出来的。
解题时，应善于运用圆锥曲线的定义，以数形结合的思想为指导，把定量的分析有机结合起来，则可使解题计算量大为简化，使解题构筑在较高的水平上。
例1、在面积为1的ΔPMN 中，tg ∠PMN =21,tg ∠2-=MNP ,建立适当的坐标系，求以M 、N 为焦点且过点P 的椭圆方程(93年高考题)分析：在该题的题设条件中，其实是给出了ΔPMN 的两内角的大小及它的面积。
因此我们应考虑如何应用平几知识和椭圆定义将问题解决。
解：建立如图1所示的坐标系，设所求的椭圆方程为12222=+b y a x ，则由椭圆定义有PN PM a +=2，MN c =2，过点P 向x 轴作垂线，垂足为A ，tg ∠2-=MNP ，tg ∴∠2=PNA 。
由平面几何知识有: ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=⋅==.,121,2,21MN AN AM PA MN AN PA MA PA⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====⇒.33,334,3,332AN AM MN PA ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒.315,3152PN PM 152=+=∴PN PM a ,,215=a 4152=a ，32==MN c ，23=c ， 3222=-=∴c a b 。
∴所求的椭圆方程为1315422=+y x 说明：在上述解题过程中，PM PN +是所求椭圆的长轴长，它是减轻本题运算量的关键。
例2、长度为a 的线段AB 的两端点在抛物线2x =2py(a ≥2p>0)上运动，以AB 的中点C 为圆心作圆和抛物线的准线相切，求圆的最小半径（85年湖北省六市高考预选题）。
分析:这里其实就是要求定长弦AB 的中点C 到准线的最小距离。