高考数学专题复习系列 数列导学案

数列

1、

理解数列的概念，了解数列通项公式的意义．了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．

2、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和的公式，并能解决简单的实际问题．

3、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实纵观近几年高考试题，对数列的考查已从最低谷走出，估计以后几年对数列的考查的比

重仍不会减小，等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n 项和公式的应用是必考内容，数列与函数、三角、解析几何、组合数的综合应用问题是命题热点．

从解题思想方法的规律着眼，主要有：① 方程思想的应用，利用公式列方程(组)，例如等差、等比数列中的“知三求二”问题；② 函数思想方法的应用、图像、单调性、最值等问题；③ 待定系数法、分类讨论等方法的应用．

第1课时 数列的概念

1．数列的概念：数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为正整数N *

或其子集{1，2，3，……n}的函数f(n)．数列的一般形式为a 1，a 2，…，a n …，简记为{a n }，其中a n 是数列{a n }的第 项．

2．数列的通项公式

一个数列{a n }的 与 之间的函数关系，如果可用一个公式a n ＝f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式．

3．在数列{a n }中，前n 项和S n 与通项a n 的关系为：

=n a ⎪⎩

⎪⎨⎧≥==

2

1n n a n

4．求数列的通项公式的其它方法

⑴ 公式法：等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法．

⑵ 观察归纳法：先观察哪些因素随项数n 的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n 的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明．

⑶ 递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式.

例1. 根据下面各数列的前n 项的值，写出数列的一个通项公式． ⑴ －

312⨯，534⨯，－758⨯，9

716

⨯…； ⑵ 1，2，6，13，23，36，…； ⑶ 1，1，2，2，3，3， 解： ⑴ a n ＝(－1)

n

)

12)(12(1

2+--n n n

⑵ a n ＝)673(2

12+-n n

（提示：a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝4，a 4－a 3＝7，a 5－a 4＝10，…，a n －a n －1＝1＋3(n －2)=3n －5．各式相加得

)673(2

1

)43)(1(2

1

1)]53(10741[12+-=

--+=-++++++=n n n n n a n

⑶ 将1，1，2，2，3，3，…变形为

,2

1

3,202,211+++ ,,2

6,215,204 +++ 典型

∴4

)1(122

2)1(11

1

++-++=

-++

=

n n n n n a 变式训练1.某数列{a n }的前四项为0，2，0，2，则以下各式： ① a n ＝

2

2[1＋(－1)n

] ② a n ＝n )(11-+ ③ a n ＝ ⎩⎨

⎧)

(0

)

(2为奇数为偶数n n 其中可作为{a n }的通项公式的是 （ ）

A ．①

B ．①②

C ．②③

D ．①②③

解：D

例2. 已知数列{a n }的前n 项和S n ，求通项． ⑴ S n ＝3n

－2 ⑵ S n ＝n 2＋3n ＋1

解 ⑴ a n ＝S n －S n －1 (n≥2) a 1＝S 1 解得：a n ＝⎩⎨⎧

=≥⋅-)

1(1)2(3

21

n n n

⑵ a n ＝⎩⎨

⎧≥+=)

2(22)1(5

n n n

变式训练2：已知数列{a n }的前n 项的和S n 满足关系式lg(S n －1)＝n ，(n ∈N *

)，则数列{a n }的通项公式为 ．

解：,110101)1lg(+=⇒=-⇒=-n n n n n S S n S 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11；当n≥2时，a n ＝S n －S n －1

＝10n

－10

n －1

＝9·10

n －1

．故a n ＝⎪⎩⎪⎨

⎧≥⋅=-)2(10

9)

1(111

n n n

例3. 根据下面数列{a n }的首项和递推关系，探求其通项公式． ⑴ a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1 (n≥2) ⑵ a 1＝1，a n ＝113--+n n a (n≥2) ⑶ a 1＝1，a n ＝

11

--n a n

n (n≥2) 解：⑴ a n ＝2a n －1＋1⇒(a n ＋1)＝2(a n －1＋1)(n≥2)，a 1＋1＝2．故：a 1＋1＝2n

，∴a n ＝2n

－1．

⑵a n ＝（a n －a n －1）＋（a n －1－a n －2）＋…＋（a 3－a 2）＋（a 2－a 1）＋a 1＝3n －1

＋3

n －2

＋…＋3

3

＋3＋1＝)13(2

1-n ．

(3)∵n

n a a n n 1

1-=- ∴a n ＝

⋅--⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅-----12

111232211n n n n a a a a a a a a a n n n n n n