数系的扩充和复数的概念人教版高中数学

知识图谱

-复数的代数形式-复数的几何意义复数的概念复数的四则运算复数与复平面复数的模与共轭复数第01讲_数系的扩充和复数的概念

错题回顾

复数的代数形式

知识精讲

一．复数的引入

复数，其中实数分别称为复数的实部和虚部，和分别是实数单位和虚数单位，其中，．当时，是实数；时，是虚数；，且时，是纯虚数．

两个复数，，相等的充要条件是：且．

二．复数的四则运算

若两个复数，，．

1．加法：．

2．减法：．

3．乘法：

．4．除法：

．

三点剖析

1．是引入的虚数单位且有．

2．注意复数必须严格符合的形式时，才分别是实部和虚部．3．复数的四则运算中，加减乘法运算类似于多项式的加减乘法；而除法则类似于实数运算时的分母有理化，通常称为“分母实数化”．

题模精讲

题模一复数的概念

例1.1、

指出下列复数的实部和虚部．

（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．

例1.2、

设i是虚数单位，复数（a∈R）的实部与虚部相等，则a=（）

A、﹣1

B、0

C、1

D、2

例1.3、

指出下列哪些数是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数．

（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；

（8）．

例1.4、

求适合下列方程的，的值：（1）；（2）．题模二复数的四则运算

例2.1、

计算：

（1）；（2）；

（3）；（4）．

例2.2、

计算：

（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．

例2.3、

计算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．

例2.4、

计算：（1）；（2）；（3）．

例2.5、

（1）依次求出，，，，，，的值；（2）求的值．

随堂练习

随练1.1、

符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由．

（1）实部为的虚数；（2）虚部为的实数；（3）虚部为的虚数；（4）虚部为的纯虚数．

随练1.2、

实数取何值时，是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？

随练1.3、

复数是实数的充要条件是（）

A、B、

D、

C、

随练1.4、

计算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．

复数的几何意义

知识精讲

一．复数与复平面

复数和实数对一样，可以和坐标平面上的一点建立一一对应关系，这样与全体复数建立了一一对应关系的坐标平面叫做复数平面，简称复平面．

复平面的横轴上的点对应所有实数，故称实轴，纵轴上的点（原点除外）对应所有的纯虚数，故称虚轴．

在复平面上，复数还与从原点指向点的平面向量一一对应，因此复数也能用向量来表示．向量的长度叫做的模或绝对值，记做．

二．共轭复数与复数的模

1．若复数，则复数为复数的共轭复数，记作．

2．若复数，则复数的模为，记住．

三点剖析

1．与对应的点关于轴对称，并且．

2．四则运算中的除法，相当于分子分母同时乘以分母的共轭复数．

3．若，；；．

题模精讲

题模一复数与复平面

例1.1、

在复平面内，描出表示下列复数的点．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）

已知复数，，，，在复平面内画出这些复数对应的向量．

例1.3、

若是复平面内表示复数，分别指出下列条件下点的位置：（1）；（2），；（3），；（4）．

题模二复数的模与共轭复数

例2.1、

填空：

（1）复数的共轭复数为________，模为________；

（2）复数的共轭复数为_________；（3）_________．

例2.2、

复数满足=1，求的最小值．

例2.3、

已知非零复数，，求证：，并说明等式的几何意义．

例2.4、

填空：

（1）复数的共轭复数为_________；（2）_________．

随练2.1、

当为何实数时，复平面内表示复数的点：（1）位于第四象限？（2）位于第一或第三象限？（3）位于直线上？随练2.2、

在复平面内，是原点，向量对应的复数为．

（1）点关于轴的对称点为，求向量对应的复数；

（2）点关于直线的对称点为点，求向量对应的复数．

随练2.3、

求下列复数的模（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．

随练2.4、

已知，求，及．

随练2.5、

已知复数的虚部为，，求复数_________．

自我总结

课后作业

作业1、

已知，且，则_________，_________．

计算________．

作业3、

已知复数（1）为纯虚数，则_________；（2）为实数，则_________．作业4、

计算：（1）；（2）；（3）；（4）

作业5、

计算：（1）；（2）；（3）；（4）．作业6、

已知复数为纯虚数，则_________．

作业7、

已知是关于的方程的一个根，求，的值．

作业8、

已知复数满足，求的范围．

作业9、

已知复数，，求证：（1）；（2）；