西南科大历年数值分析考试复习

1、填空题

（1）严格对角占优阵条件：即对所有的ｉ方阵Ａ满足

（2）设有线性方程组Ａｘ＝ｂ，下例结论成立：

a，若矩阵Ａ为严格对角占优或为不可约弱对角占优，则Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法均收敛。

b，若矩阵Ａ为严格对角占优，

，则松弛法收敛。

c，若矩阵Ａ为对称正定的，

，则松弛法收敛

(3) 二分法优缺点:计算简便，容易估计误差，但它收敛较慢，且只能用于求奇数重实根。

(4) 欧拉法是一阶方法，它的精确度不高。改进欧拉法是二阶方法。RK 常用的是三阶和四阶方法。牛顿法所产生的序列｛xn｝至少二阶收敛于x*

二、选择

(1)Hermite差值余项:

(2)迭代格式： a，雅可比迭代法

b， Gauss-Seidel

c，

（3）离散的导和连续的导

3、计算

（1）

LU分解求解方程组

1）计算U的第一行，L的第一列

2）计算U的第r行，L的第r列（2）拉格朗日构造

设f(x)=x4 试用拉格朗日余项写出以-1，0，1，2为插值节点的三次多项

式

当n=2时,三节点处的函数值，三个插值基函数为

四、牛顿插值

X i Y i=f(x i)一阶差商二阶差商N阶差商

X0 X1 X2 X3 X n Y0

Y1

Y2

Y3

Y n

F[X0,X1]

F[X1,X2]

F[X2,X3]

F[X n-1,X n]

F[X0,X1,X2]

F[X1,X2,X3]

F[X n-2,X n-

1,

X n]

F[X n-2,X n-

1,

X n]

1

X-X0

(X-X0)(X-

X1)

(X-X0)(X-

X1)(X-X2)

N次牛顿差值多项式N（x）为表中对角线上的差商值与右端乘子乘积的和。

5、证明

设x0，x1,x2,...........,xn为n+1个互异节点，lj（x）（j=0，1........,n)为这组

节点上的

n次拉格朗日差值基函数，证明：

（1）证明：

对分区间次数：

（2）用牛顿方法说出根存在的唯一性（两个端点处的函数值异号，函数的导数不等于零。

F(x)=(x2-1)e x-b [m1,m2]

六、（1）复化梯形公式

例：分别用复化梯形公式和复化simpson公式计算下列积分的近似值。

解：

例：试确定求积公式中的待定参数a,b,c，使其代数精确度尽量高，并指出公式有几次代数精确度，它是否是Guass型求积公式。

解：记

（此题具有五次）具有2n-1次代数精确度则称这组节点为Guass型（2）代数精确度一般地，由n次插值多项式导出的求积公式至少有n 代数精确度，对2n阶N-C公式至少具有2n+1次代数精确度。

例：用复化求积公式计算积分的近似值其结果4位有效数字，n应取多大？

解:用复化梯形公式要求其结果4位有效数字,误差不超过

n=41

复化辛普森公式 n=4.

7、构造线性系统

（1）牛顿插值

例如：x=tanx 1,先写f；2，求导；3，说明存在的唯一性（同五（2））（2） 1，三种迭代格式

雅克比迭代

高斯-赛德尔迭代

松弛法

2，是否收敛首先，写出系数矩阵A和对角阵D（a11,a22,a33)；把A拆分成LU。

对J迭代法：迭代矩阵B=I-D-1A;求其特征方程：；若其最大特征值小于一则收敛，否则发散。

对G-S迭代法：求D-L然后求其逆；再求迭代矩阵M=（D-L）-1U；最后求其特征方程，判断收敛性同上。

3，收敛速度：谱半径（特征值的绝对值的最大值）的倒数取对数。八

（1）改进欧拉法

（2） R-K四阶

（3）一次最佳平方逼近

矩阵形式

例：求在[0，1]上的一次最佳平方逼近多项式。

解：

有正则方程组