第九章 电流的磁场

二、 磁现象的本质
1822年，安培提出分子电流假设:一切磁现象起 源于电流，任何物质的分子中都存在着环形电流，即 分子电流。 物质中大量分子电流的取向通常是无规则排列的， 对外的磁效应相互抵消而不显现出磁性，但在外磁 场作用下，当这些分子电流有规则地排列（等效于 基元磁体的各个分子电流将倾向于沿外磁场方向取 向）时，宏观上就对外呈现磁性。
B 的大小为
B 的方向垂直纸面向里。
§9-4 稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理
一、稳恒磁场的高斯定理
由磁感应线的闭合性可知，对任意闭合曲面， 穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同， 因此，通过任何闭合曲面的磁通量为零。
B dS 0
S
高斯定理的积 分形式
穿过任意闭合曲面S的总磁通必然为零，这就 是稳恒磁场的高斯定理。
B dB
L
磁场的叠 加原理
二、毕奥－萨伐尔（Biot-Savart）定律
载流导线中的电流为 I ， 导线半径比到观察点 P 的距离
小得多，即为线电流。在线
电流上取长为dl的定向线元，
r Idl
规定 的方向与电流的方向 dl
相同， I dl 为电流元。
I
dB
r Id ll Id
地球磁场约 5×10-5T。 超导磁体能激 发高达25T磁 场；原子核附 近可达104T； 脉冲星表面高 达 108T。
大型电磁铁磁 场可大于2T。
§9-3
毕奥－萨伐尔定律
一、磁场的叠加原理
要计算任意形状的载流导线在某点产生的磁感强度 B， 可先把载流导线分割成许多电流元 Id l 求出每个电流元在该点产生的磁感强度dB，然后把该载 流导线的所有电流元在同一点产生的dB迭加，从而得到 载流导线在该点产生的磁感强度B
0
S πR
2
所以
IS B 2 2 32 2 2 32 2π ( R x ) 2( R x )
0 IR
2
0
讨论：
（1）在圆心处
x0
B
0I
2R
（2）在远离线圈处
载流线圈 的磁矩
x R, x r
B
若线圈有N 匝
0 IS
2π x
3

0 IS
2π r 3
引入 m ISen m NISen

L
r
a
P
r dB B d
B
0 I
4πa
sin 2 sin 1
π 1 2 π 2 2
考虑三种情况： (1)导线无限长，即
I
Idl
B
0 I
2a

(2) 导线半无限长，场点与一 端的连线垂直于导线
L
r
2
1
B
0 I
4 πa
a
P
(3)P点位于导线延长线上，B=0
第九章
电流的磁场
§9-1 §9-2 §9-3 §9-4 §9-5 §9-6 §9-7
基本磁现象 磁场 磁感应强度 毕奥-萨伐尔定律 稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理 磁场对载流导线和载流线圈的作用 磁介质对磁场的影响 铁磁质
§9-1
一、 磁现象
基本磁现象
中国在磁学方面的贡献： 最早发现磁现象：磁石吸引铁屑 春秋战国《吕氏春秋》记载：磁石召铁。
0 I B1 sin β2 sin β1 4 R
因为 β1 , β2 0 所以
2 0 I 4 107 20 . 0 5 B1 5 . 00 10 T 2 4 R 4 4 . 00 10
B1 的方向垂直纸面向里。
同理，DE部分在O点产生的 B2 大小与方向均与 B1相同 BCD部分在O点产生的B3要用积分计算 ： B3 dB
r

dl
r d dB B
P
I
电流元在给定点所产生的磁感应强度的大小与 Idl 成正比，与到电流元的距离平方成反比，与电 流 元 和矢径夹角的正弦成正比 于r 。 dB 方 向 垂 直 与 Idl 组成的平面，指向为由 Idl 经 角转向 r 时 右螺旋前进方向。
I d l sin dB k r2
安培的假说还说明了磁体的N、S两种磁极不能单独存在的原 因，因为基元磁体的两个极对应于环形电流所在平面的两个 侧面，显然这两个侧面是不能单独存在的。
§9-2
一、 磁现象
磁场 磁感应强度
电荷(不论静止或运动)在其周围空间激发电场，而 运动电荷在周围空间还要激发磁场；在电磁场中，静止 的电荷只受到电力的作用，而运动电荷除受到电力作用 外，还受到磁力的作用。电流或运动电荷之间相互作用 的磁力是通过磁场而作用的，故磁力也称为磁场力。
(3)地球本身为一个大磁体， 地球磁体N、S极与地理南北极不 是同一点。存在磁偏角。
在历史上很长一段时期里,人 们曾认为磁和电是两类截然不同 的现象。
1819年,奥斯特实验首次发 现了电流与磁铁间有力的作用， 才逐渐揭开了磁现象与电现象的 内在联系。
I
1820年7月21日，奥 斯特以拉丁文报导了60 次实验的结果。
逐对抵消，所以P点 B 的大小为
I dl
IO
R
r
d B

dB
x

P
d B//
I dl B dB// dB sin sin 2 L L 4π L r 0 I sin 0 I sin 2 πR 2 π R d l 2 2 4πr 4πr 0
而
k 4π
故
dB
0 I d l sin
4 πr
2
-7 2 4 π 10 N A 其中 0 ，称为真空中的磁导率。
磁感应强度的矢量式：
0 Idl er dB 2 4π r
Biot-Savart定 律的微分形式
Biot-Savart定 律的积分形式
0 I B2 5 . 00 105T 4 R
其中 dB 为半圆环上任一电流元 Idl 在O点产生的磁感强度，其大小为
μ0 Idlsin θ dB = 4 πR2
，
因为 θ π ，故 dB 0 Idl 2 4 R 2 d B 的方向垂直纸面向里。而且半圆环上各 电流元在O点产生 d B 方向都相同，则得到
0
B
0 I sin
4πr
I dl
2
2πR
IO
因
2 2
R
r
d B


dB
x
P
d B//
r R x ;
2
R R sin 2 2 12 r (R x )
IS 所以 B 2 2 32 2 2 32 2π ( R x ) 2( R x )
0 IR 2
0 I d l er B dB 2 L 4π r L
三、毕奥－萨伐尔定律的应用
先将载流导体分割成许多电流元 Idl
写出电流元 Idl 在所求点处的磁感应强度，然后按
照磁感应强度的叠加原理求出所有电流元在该点磁 感应强度的矢量和。 实际计算时要首先建立合适的坐标系，求各电流元的 分量式。即电流元产生的磁场方向不同时，应先求出 各分量 dBx、dBy 、 dBz ，然后再对各分量积分。
B3 dB
R
0
0 Idl 0 I 4 107 20.0 4 T 1.57 10 4 R2 4R 4 4.00 102
因
B1、B2、B3
的方向都相同，所以O点处总的磁感强度
B B1 B2 B3
5.00 105 5.00 105 1.57 104 2.57 104 T
F q如果电荷是负
即 。
F v
4．作用在运动电荷上的磁力F的方向总是与电荷的运动方 向垂直，即 F ⊥ v
由实验结果可见，磁场中任何一点都存在一个 固有的特定方向和确定的比值 Fm/(qv) ，与试验电荷 的性质无关，反映了磁场在该点的方向和强弱特征， 为此，定义一个矢量函数磁感应强度：
y
B
B x dB x B y dB y B z dB z

B Bx i By j Bz k
例题9-1 载流长直导线的磁场 设有长为L的载流 直导线，其中电流为I。计算距离直导线为a处的P点 的磁感应强度。 I 解：任取电流元 Idl 据毕奥-萨伐尔定律，此电 I d l 流元在P点磁感应强度dB 为 L
N
S
磁现象和电现象之间有着密切的联系 1. 通过电流的导线(也叫载流导线)附近的 磁针，会受到力的作用而偏转 2. 放在蹄形磁铁两极间的载流导线，也会受力而运动 3. 载流导线之间也有相互作用力。当两平行载流直导 线的电流方向相同时，它们相互吸引；电流方向相反 时，则相互排斥 4. 通过磁极间的运动电荷也受到力的作用。
司南勺
东汉王充《论衡》描述：司南勺——最早的指 南器具。 北宋时期已经利用磁针制造指南针并应用于航海 公元1600年，英国人吉尔伯特（M.Gilbert） 发表《论磁体》一书 。
。
早期的磁现象包括:
(1)天然磁铁吸引பைடு நூலகம்、钴、镍等物质。
(2) 条形磁铁两端磁性最强，称为磁极。任一磁 铁总是两极同时存在，在自然界不存在独立的N极、 S极。同性磁极相互排斥，异性磁极相互吸引。 磁单极子虽理论预言存在，至今尚未观察到。
dB
0 I d l r
r
3
dB方向根据右手螺旋定则 确定。 由于直导线上所有电流元 在该点 dB方向相同
4π
r
a
P
r dB d
B d B 矢量积分可变为标量积分
I d l sin B d B L 4π L r2
由几何关系有：
L
0
I
Idl
sin cos r a sec l a tan d l a sec 2 d 0 I d l sin B 2 L 4π r 0 2 I cos d 4π 1 a 0 I sin 2 sin 1 4πa
静电荷 运动电荷
电场 磁场
静电荷 运动电荷
注意:这里所说的运动和静止都是相对观察者说的， 同一客观存在的场，它在某一参考系表现为磁场，而 在另一参考系中却可能表现为电场。
二、 磁感应强度
设带电量为 q ，速度为 v 的运动试探电荷处于 磁场中，实验发现：
1.运动电荷在磁场中所受的磁力随电荷的运动方向与磁场 方向之间的夹角的改变而变化。当电荷运动方向与磁场方向 一致时，它不受磁力作用；而当电荷运动方向与磁场方向垂 直时，它所受磁力最大，用 Fmax 表示 2.磁力的大小正比于运动电荷的电量，即 的，它所受力的方向与正电荷相反。 3.磁力的大小正比于运动电荷的速率，
r dB B d
例题9-2 载流圆线圈轴线上的磁场 设有圆形线圈L， 半径为R，通以电流I。求轴线上一点磁感应强度。
I dl
IO
R
r
dB

x
P
解： 在场点P的磁感强度大小为
0 I d l r dB 4π r3
各电流元的磁场方向不相同，可分解为 d B 和 dB// ，由于圆电流具有对称性，其电流元的 d B
0 m B 2π r 3
例题9-3 真空中，一无限长载流导线，AB、DE部 分平直，中间弯曲部分为半径R＝4.00cm的半圆环 ，各部分均在同一平面内，如图所示。若通以电流I ＝20.0A，求半圆环的圆心O处的磁感应强度。 。 解 由磁场迭加原理，O点处的磁感 强度 B 是由AB、BCD和DE三部分 电流产生的磁感强度的叠加。 AB部分为“半无限长”直线电 流，在O点产生的B1大小为
q
v
Fm
x
z
大小：
Fm B qv
方向：可按右手螺旋法则确定 4 1 T 10 Gs 单位：T（特斯拉）, Gs（高斯）
由正电荷所受 力的方向出发，按 右手螺旋法则，沿 小于π的角度转向 正电荷运动速度v 的方向，这时螺旋 前进的方向便是该 点B的方向。
一些磁场的大小：
人体磁场极弱， 如心电激发磁场 约3×10-10T。测 人体内磁场分布 可诊断疾病，图 示磁共振图像。
激发静电场的场源（电荷）是电场线的源头或 尾闾，所以静电场是属于发散式的场，可称作有源 场；而磁场的磁感线无头无尾，恒是闭合的，所以 磁场可称作无源场。 在静电场中，由于自然界有单独存在的正、负 电荷，因此通过一闭合曲面的电通量可以不为零， 这反映了静电场是有源场。而在磁场中，磁力线的 连续性表明，像正、负电荷那样的磁单极是不存在 的，磁场是无源场。 1913年英国物理学家狄拉克曾从理论上预言磁 单极子的存在，但至今未被观察到。