高斯消元法(完整)

高斯消元法解线性方程组
在工程技术和工程管理中有许多问题经常可以归结为线性方程组类型的数学模型，这些模型中方程和未知量个数常常有多个，而且方程个数与未知量个数也不一定相同。

那么这样的线性方程组是否有解呢？如果有解，解是否唯一？若解不唯一，解的结构如何呢？这就是下面要讨论的问题。

一、线性方程组
设含有n 个未知量、有m 个方程式组成的方程组
a x a x a x
b a x a x a x b a x a x a x b n n n n m m mn n m
11112211211222221122+++=+++=+++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ （3.1） 其中系数a ij ，常数b j 都是已知数，x i 是未知量（也称为未知数）。

当右端常数项b 1,
b 2, …, b m 不全为0时，
称方程组（3.1）为非齐次线性方程组；当b 1=b 2= … =b m = 0时，即
a x a x a x a x a x a x a x a x a x n n n n m m mn n 111122121122221122000
+++=+++=+++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ （3.2） 称为齐次线性方程组。

由n 个数k 1, k 2, …, k n 组成的一个有序数组（k 1, k 2, …, k n ），如果将它们依次代入方程组（3.1）中的x 1, x 2, …, x n 后，（3.1）中的每个方程都变成恒等式，则称这个有序数组（k 1, k 2, …, k n ）为方程组（3.1）的一个解。

显然由x 1=0, x 2=0, …, x n =0组成的有序数组（0, 0, …, 0）是齐次线性方程组（3.2）的一个解，称之为齐次线性方程组（3.2）的零解，而当齐次线性方程组的未知量取值不全为零时，称之为非零解。

（利用矩阵来讨论线性方程组的解的情况或求线性方程组的解是很方便的。

因此，我们先给出线性方程组的矩阵表示形式。

）
非齐次线性方程组（3.1）的矩阵表示形式为：
AX = B
其中
A = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a 21
2222111211，X = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x 21，B = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n b b b 21 称A 为方程组（3.1）的系数矩阵，X 为未知矩阵，B 为常数矩阵。

将系数矩阵A 和常数矩阵B 放在一起构成的矩阵
][B A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡m mn m m n n b b b a a a a a a a a a 2121
2222111211 称为方程组（3.1）的增广矩阵。

齐次线性方程组（3.2）的矩阵表示形式为：AX = O
二、高斯消元法
（下面介绍利用矩阵求解方程组的方法，那么矩阵初等行变换会不会改变方程组的解呢？我们先看一个定理。

）
定理3.1 若用初等行变换将增广矩阵][B A 化为][D C ，则AX = B 与CX = D 是同解方程组。

证 由定理3.1可知，存在初等矩阵P 1, P 2, …, P k ，使 P k …P 2P 1()A B = ()C D 记P k …P 2P 1 = P ，则P 可逆，即P -1存在。

设X 1为方程组A X = B 的解，即 A X 1 = B 在上式两边左乘P ，得 P A X 1 = PB 即 C X 1= D 说明X 1也是方程组C X = D 的解。

反之，设X 2为方程组C X = D 的解，即 C X 2= D 在上式两边左乘P -1，得 P -1C X 2= P -1D 即 A X 2 = B 说明X 2也是方程组AX = B 的解。

因此，方程组A X = B 与C X = D 的解相同，即它们是同解方程组。

（证毕）
(由定理3.1可知，求方程组（3.1）的解，可以利用初等行变换将其增广矩阵
][B A 化简。

又有第二章定理2.10可知，通过初等行变换可以将][B A 化成阶梯形矩阵。

因此，我们得到了求解线性方程组（3.1）的一般方法：)
用初等行变换将方程组（3.1）的增广矩阵][B A 化成阶梯形矩阵，再写出该阶梯形矩阵所对应的方程组，逐步回代，求出方程组的解。

因为它们为同解方程组，所以也就得到了原方程组（3.1）的解。

这种方法被称为高斯消元法，
（下面举例说明用消元法求一般线性方程组解的方法和步骤。

）
例1 解线性方程组 x x x x x x x x x x x x x x x x 1234123412341234215320342221
+--=-+--=-++=-++-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ （3.3） 解 先写出增广矩阵][B A ，再用初等行变换将其逐步化成阶梯形矩阵，即
][B A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------11122241130235111211②①③①④①+-+-+−→−−−()()132⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------13340577401114011211 ③②
④②++-−→−−−()1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------22200666001114011211④③+−→−−−()13⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----00000666001114011211
上述四个增广矩阵所表示的四个线性方程组是同解方程组，最后一个增广矩阵表示的线性方程组为
x x x x x x x x x 1234234342141666+--=---=+=⎧⎨⎪⎩
⎪ 将最后一个方程乘16
，再将x 4项移至等号的右端，得 x x 341=-+
将其代入第二个方程，解得
212=x
再将x x 23,代入第一个方程组，解得
2141+-=x x
因此，方程组（3.3）的解为
⎪⎩⎪⎨⎧+-==+-=1212143
241x x x x x （3.4）
其中x 4可以任意取值。

由于未知量x 4的取值是任意实数，故方程组（3.3）的解有无穷多个。

由此可知，表示式（3.4）表示了方程组（3.3）的所有解。

表示式（3.4）中等号右端的未知量x 4称为自由未知量，用自由未知量表示其它未知量的表示式（3.4）称为方程组（3.3）的一般解，当表示式（3.4）中的未知量x 4取定一个值（如x 4=1），得到
方程组（3.3）的一个解（如x 112=-，x 212
=，x 30=，x 41=），称之为方程组（3.3）的特解。

注意，自由未知量的选取不是唯一的，如例1也可以将x 3取作自由未知量。

如果将表示式（3.4）中的自由未知量x 4取一任意常数k ，即令x 4= k ，那么方程组（3.3）的一般解为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-==+-=k
x k x x k x 43
2112121 ，其中k 为任意常数。

用矩阵形式表示为
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣
⎡+-+-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k k k x x x x 121214321=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--0121211101k （3.5） 其中k 为任意常数。

称表示式（3.5）为方程组（3.3）的全部解。

（用消元法解线性方程组的过程中，当增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵后，要写出相应的方程组，然后再用回代的方法求出解。

如果用矩阵将回代的过程表示出来，我们可以发现，这个过程实际上就是对阶梯形矩阵进一步简化，使其最终化成一个特殊的矩阵，从这个特殊矩阵中，就可以直接解出或“读出”方程组的解。

例如，）对例1中的阶梯形矩阵进一步化简，
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----00000666001114011211③①③②③162++−→−−⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00000111002004011011 ②①②141+-−→−−−()⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000011100210010211001 上述矩阵对应的方程组为
⎪⎩⎪⎨⎧=+==+1212143
241x x x x x
将此方程组中含x 4的项移到等号的右端，就得到原方程组（3.3）的一般解，
⎪⎩⎪⎨⎧+-==+-=12
12143
241x x x x x （3.4） 其中x 4可以任意取值。

例2 解线性方程组 x x x x x x x x x x x x 1231231
23123234235743992588
+-=+-=+-=+-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
解 利用初等行变换，将方程组的增广矩阵[]B A 化成阶梯阵，再求解。

即
[]B A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----8852993475324321→⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------0210735011104321 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------1100220011104321→⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---0000110011104321 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000110020107021→⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000110020103001 一般解为
x x x 123
321===⎧⎨⎪⎩⎪
例3 解线性方程组 x x x x x x x x x 1231231231242253++=-+-=+-=⎧⎨⎪⎩
⎪ 解 利用初等行变换，将方程组的增广矩阵[]B A
化成阶梯阵，再求解。

即 []B A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---315224211111→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1330333011
11
→⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--200033301111
阶梯形矩阵的第三行“0, 0, 0, -2”所表示的方程为：0002123x x x ++=-，由该方程可知，无论x 1，x 2，x 3取何值，都不能满足这个方程。

因此，原方程组无解。

三、线性方程组的解的判定
前面介绍了用高斯消元法解线性方程组的方法，通过例题可知，线性方程组的解的情况有三种：无穷多解、唯一解和无解。

从求解过程可以看出，方程组（3.1）是否有解，关键在于增广矩阵[A B ]化成阶梯非零行的行数与系数矩阵A 化成阶梯形矩阵后非零行的行数是否相等。

因此，线性方程组是否有解，就可以用其系数矩阵和增广矩阵的秩来描述了。

推论1 线性方程组有唯一解的充分必要条件是r A ()＝r A B ()= n 。

推论2 线性方程组有无穷多解的充分必要条件是r A ()＝r A B ()<n 。

（将上述结论应用到齐次线性方程组（3.2）上，则总有r A ()＝r A B ()。

因此齐次线性方程组一定有解。

并且有）
例4 判别下列方程组是否有解？若有解，是有唯一解还是有无穷多解？
(1) x x x x x x x x x x x x 12312312312323117236324+-=---+=-+=-++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ (2) x x x x x x x x x x x x 123123123123231127236325
+-=---+=-+=-++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ (3) x x x x x x x x x x x x 12312312312323117236325
+-=---+=-+=-++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 解 (1) 用初等行变换将增广矩阵化成阶梯阵，即
[A B ]=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------42136132711111321→ ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------2977028770421011321 →⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------10000700421011321 因为 r A B ()= 4，r A ()=3，两者不等，所以方程组无解。

(2) 用初等行变换将增广矩阵化成阶梯阵，即
[A B ]=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------52136132721111321→ … →⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----00000000411011321 因为 r A B ()=r A ()=2<n （= 3），所以方程组有无穷多解。

(3) 用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即
[A B ]=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------52136132711111321→… →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----00
000700421011321 因为 r A B ()=r A ()= 3 = n ，所以方程组有唯一解。

例5 判别下列齐次方程组是否有非零解？ （机动）
x x x x x x x x x x x x x x x x 123412341234123437802544037230412160
+--=+++=----=+--=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 解 用初等行变换将系数矩阵化成阶梯形矩阵，即
A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------161241327344528731→⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------85102723202018108731 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---1213001313002018108731→⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----10001313002018108731 因为 r A ()= 4 = n ，所以齐次方程组只有零解。

向量组的相关性
在实际问题有许多研究的对象要用n 元有序数组来表示。

如总结某五年计划各年某产品产量的数据资料，某工程一年12个月份的用料情况等，就分别要用到5元和12元有序数组。

一、n 维向量的定义
定义3.2 把有顺序的n 个数n a a a ,,,21 称为一个n 维向量，记作
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n a a a 21α 其中),,2,1(1n i a =称为n 维向量α的第i 个分量。

例如，矩阵 A =⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--735244313121中每一列都可以看作三维向量： ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡211，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡532，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--341，⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡743 称为矩阵A 的列向量。

A 中的每一行都可以看作四维向量： []3121，[]4431-，[]7352-
称为矩阵A 的行向量。

规定：n 维向量相等、相加、数乘与列矩阵对应相等。

二、n 维向量组的线性相关性
如果把方程组
⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=++735244332321
321321x x x x x x x x x （3.6）
用向量相等、向量运算关系来表示：
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2111x +⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡5322x +⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3413x =⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡743 那么方程组求解问题就变成了求一组使上式列向量存在某种的数321,,x x x 了。

下面给出向量之间这种关系的定义。

定义3.3 对于向量α, m ααα,,,21 ，如果有一组数m k k k ,,,21 ，使得
α=m m k k k ααα+++ 2211
则称α是m ααα,,,21 的线性组合，或称α由m ααα,,,21 线性表出，且称这组数m k k k ,,,21 为组合系数。

例1 二维向量组⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=011e ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=102e ，称为二维单位向量组。

任意一个二维向量⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=21a a α都可以由21,e e 线性表出： 2211e a e a +=α。

例2 向量⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-11不是向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-02和⎥⎦⎤⎢⎣⎡01的线性组合，因为对于任意一组数21,k k ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-021k +⎥⎦⎤⎢⎣⎡012k =⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+-0221k k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡≠01
例3 向量组m ααα,,,21 中的任一向量)1(m i i ≤≤α都能由这个向量组线性表出：
i α=m i i i ααααα00100111+++++++-
如果用列向量分别把方程组（3.6）的系数矩阵第j 列和常数列表示为
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2111α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=5322α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=3413α，⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=743β 那么方程组（3.6）可以用向量形式表示为
βααα=++332211x x x
若方程组（3.6）有解)3,2,1(==i k x i i ，则有
βααα=++332211k k k
即向量β可以由向量组321,,ααα线性表出。

反之，若存在数321,,k k k 使得上式成立，则)3,2,1(==i k x i i 就是方程组（3.6）的一组解。

命题1 向量β可以由向量组m ααα,,,21 线性表出的充分必要条件是：以m ααα,,,21 为系数列向量，以β为常数列向量的线性方程组有解，并且此线性方程组的一组解就是线性组合的一组系数。

例4 设 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2111α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=3212α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=6323α，⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=132β 判断向量β能否由向量组321,,ααα线性表出，若能够，写出它的一种表达式。

解 设βααα=++332211x x x ，由此可得
⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-163233222321
321321x x x x x x x x x
因为
][B A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----1632
3321
2211
→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----521051102211 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-010*********
→⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡010********* 方程组的解为 0,5,7321===x x x 。

所以 321057αααβ++=。

定义3.3 对于向量组m ααα,,,21 ，若存在m 个不全为零的数m k k k ,,,21 ，使得
02211=+++m m k k k ααα （3.7） 则称向量组m ααα,,,21 线性相关；否则称向量组m ααα,,,21 线性无关。

例5 式证单位向量组
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00011e ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00102e ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=01003e ，⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10004e 是线性无关的。

证 设 044332211=+++e k e k e k e k 。

即
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00011k +⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00102k +⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡01003k +⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡10004k =⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000 由上式得唯一解0,0,0,04321====k k k k 。

所以，4321,,,e e e e 线性无关。

可以证明，n 维单位向量组n e e e ,,,21 是线性无关的。

n 维单位向量组 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0011 e ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0102 e ，… ，⎥⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100 n e
如果把定义3.3中的（3.7）式看作以m ααα,,,21 为系数列向量，以m k k k ,,,21 为未知量的齐次线性方程组，那么
定理3.2 对于向量组m ααα,,,21 ，若齐次线性方程组 02211=+++m m e k e k e k （3.8） 有非零解，则向量组m ααα,,,21 线性相关；若齐次线性方程组（3.8）只有零解，
则向量组m ααα,,,21 线性无关。

定理3.3 关于向量组m ααα,,,21 ，设矩阵
[]m A ααα,,,21 =
若m A r =)(，则向量组m ααα,,,21 线性无关；若m A r <)(，则向量组m ααα,,,21 线性相关。

推论 任意n +1个n 维向量一定线性相关。

例6 判断下列向量组的相关性：
(1) []'-=2111α，[]'=1202α，[]'=1113α；
(2) []'-=21011α，[]'---=42112α，[]'-=105323α；
(3) []'=2311α，[]'-=1212α，[]'-=4563α，[]'-=6784α。

解 (1) 因为
A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-112121101→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-110220101→⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-200220101 m A r ==3)(，所以向量组321,,ααα线性无关。

(2) 因为
B = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----1042521310211→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----620310310211→⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--000000310211 m B r <=2)(，所以向量组321,,ααα线性相关。

(3) 由推论知道，四个三维向量一定是线性相关的。

上面介绍了利用定理3.3来判断向量组的相关性，下面再介绍一个揭示同组向量之间具有某种相关性的特点。

定理3.4 向量组m ααα,,,21 ，)2(≥m 线性相关的充分必要条件是：其中至少有一个向量可以由其余向量线性表出。

（证明请参阅教材）
推论 向量组m ααα,,,21 ，)2(≥m 线性无关的充分必要条件是：其中每一个向量都不能由其余向量线性表出。

例7 试证：若向量组的一个部分向量组线性相关，则整个向量组也线性相关。

证 不妨设向量组m ααα,,,21 中的部分向量组s ααα,,,21 )(m s <线性相关，则存在不全为零的数s k k k ,,,21 ，使得
02211=+++s s k k k ααα
从而有
00012211=+++++++m s s s k k k ααααα
其中0,,0,,,,21 s k k k 不全为零，所以向量组m ααα,,,21 线性相关。

可以证明：若一个向量组线性无关，它的任意一个部分向量组也线性无关
例8 设向量组m ααα,,,21 线性无关，而向量组m ααα,,,21 ，β线性相关，证明β一定可以由m ααα,,,21 线性表出。

证 因为向量组m ααα,,,21 ，β线性相关，即存在不全为零的数m k k k ,,,21 和k ，使得
02211=++++βαααk k k k m m
若0=k ，则上式为 02211=+++m m k k k ααα ，且m k k k ,,,21 不全为零，得m ααα,,,21 线性相关，与条件矛盾。

因此0≠k ，且
m m k
k k k k k αααβ----
= 2211 即β可以由m ααα,,,21 线性表出。

三、向量组的秩
（下面简单地介绍向量组的秩的概念及计算方法，首先向量组的极大无关组的定义）
定义3.4 若向量组S 中的部分向量组0S 满足：
(1) 0S 线性无关；
(2) S 中的每一个向量都是0S 中向量的线性组合，则称部分向量组0S 为向量组S 的极大无关组。

可以证明：对于一个向量组，其所有极大无关组所含向量个数都相同。

因此向量组的秩定义如下：
定义3.5 对于向量组S ，其极大无关组所含向量个数称为向量组S 的秩。

利用定义求向量组的秩是比较困难的。

但是，我们可以利用矩阵与列向量组之间的关系，把求向量组的秩的问题转化为求矩阵的秩序。

这是因为
定理3.7 矩阵A 的秩=矩阵A 列向量组的秩=矩阵A 行向量组的秩。

例9 设向量组
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=00211α，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=11112α，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=11103α，⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=12414α 求向量组的秩及其一个极大无关组。

解 作矩阵A =[]4321αααα，用初等行变换求A 的秩，即
A = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----1110211041121011⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→3000211021101011⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→00
00300021101011 所以),,(4,321ααααr =3，且421,,ααα为其中的一个 极大无关组。

线性方程组解的结构
前两讲介绍了方程组的有关概念，方程组的解的几种情况及判定，向量组的相关性。

这一讲主要介绍方程组解的结构。

一、齐次线性方程组解的结构 齐次线性方程组的矩阵形式为：AX = O
a x a x a x a x a x a x a x a x a x n n n n m m mn n 111122121122221122000
+++=+++=+++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ （3.2） 解的情况可以归纳为：
1．齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是r A ()= n 。

2．齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是r A ()<n 。

注意：当A 为n 阶方阵时也可利用矩阵行列式A 判断。

3．当r A ()= r <n 时，方程组AX = O 有n -r 个自由未知量。

齐次线性方程组AX = O 解的性质：
性质1 若1X 和2X 为齐次线性方程组AX = O 的解，则1X +2X 亦为AX = O 的解。

证 因为1X 和2X 为方程组AX = O 的两个解，故有
A 1X = O ， A 2X = O
A （1X +2X ）= A 1X + A 2X = O
所以，1X +2X 亦为AX = O 的解。

性质2 若1X 为齐次线性方程组AX = O 的解，则k 1X 亦为AX = O 的解，其中k 为任意常数。

证 因为1X 为方程组AX = O 的解，故有
A （k 1X ）= k （A 1X ）= O
所以，k 1X 亦为AX = O 的解。

由性质1，2可知，若1X ，2X ，…，s X 为方程组AX = O 的解，则11X k +22X k +…+s s X k 亦为AX = O 的解，其中s k k k ,,,21 为任意常数。

若1X ，2X ，…，s X 线性无关，且方程组AX = O 的任何一个解X 都可以被1X ，2X ，…，s X 线性表出，则AX = O 的全部解就是
11X k +22X k +…+s s X k
其中s k k k ,,,21 为任意常数。

定义3.6 齐次线性方程组AX = O 满足下列两个条件的一组解向量，称为AX = O 的基础解系。

(1) 线性无关；
(2) 方程组AX = O 的任何一个解都可以用它们线性表出。

（由定义3.6可知）方程组AX = O 的基础解系就是其全部解向量的一个极大无关组。

当r A ()= n 时，方程组AX = O 只有零解，故不存在基础解系；而当r A ()= r (<n )时，方程组AX = O 有非零解，故存在基础解系，且基础解系中所含解向量的个数是n -r 。

由此可得如下结论：
4．当r A ()= r <n 时，方程组AX = O 一定有基础解系，且每个基础解系中含有n -r 个解向量。

若1X ，2X ，…，r n X -为基础解系，则AX = O 的全部解为
11X k +22X k +…+r n r n X k -- （3.9）
其中s k k k ,,,21 为任意常数。

（3.9）式称为AX = O 的通解。

如何求方程组AX = O 的基础解系呢？
(1) 把齐次线性方程组的系数写成矩阵A ；
(2) 用初等行变换把A 化为阶梯阵；
(3) 把阶梯阵中非主元列所对应的变量作为自由未知量
(4) 分别令自由未知量中一个为1其余全部为0的办法，求出n -r 个解向量，这n -r 个解向量构成了基础解系。

例1 设齐次线性方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++0
33450623032305432154325432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 求其基础解系和通解。

解 先写出系数矩阵A ，再用初等行变换将其逐步化成阶梯形矩阵，即
A =⎥⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--13345623103112311111−−−→−-+-+)5()3(①④①②⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------622
10623106221011111 −−−→−-++)1(②④②
③⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----0000
0001006221011111 再进一步化简，得
−−−→−+-+2)1(③②③①⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---00000001006201011011−−→−-+)1(②②①⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--0000
0001006201051001 由此可知54,x x 为自由未知量。

令14=x ，05=x ，得解向量⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=010211X ； 令04=x ，15=x ，得解向量⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=100652X ； 于是{1X ，2X }为方程组的基础解系。

通解为
11X k +22X k
其中21,k k 为任意常数。

二、非齐次线性方程组解的结构
非齐次线性方程组的矩阵表示形式为：AX = B
a x a x a x
b a x a x a x b a x a x a x b n n n n m m mn n m
11112211211222221122+++=+++=+++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
非齐次线性方程组AX = B 的解的情况可以归纳为：
1．方程组AX = B 有解的充分必要条件是][B A r =r A ()。

2．若][B A r =r A ()= n 时，方程组AX = B 有唯一解。

3．若][B A r =r A ()= r <n 时，方程组AX = B 有无穷多解，且有n -r 个自由
未知量。

在非齐次线性方程组AX = B 中，令B = O ，得到相应的齐次方程组AX = O 。

方程组AX = B 与相应的AX = O 之间有密切的关系，满足如下性质： 性质3 若1X 和2X 为非齐次线性方程组AX = B 的解，则1X -2X 必为AX = O 的解。

证 因为1X 和2X 为方程组AX = B 的两个解，故有
A 1X =
B ， A 2X = B
A （1X -2X ）= A 1X - A 2X =
B -B = O
所以，1X -2X 为AX = O 的解。

性质4 若0X 为非齐次线性方程组AX = B 的解，X ~为相应的方程组AX = O
的解，则0X +X ~必为AX = B 的解。

证 因为0X 为方程组AX = B 的解，X ~为方程组AX = O 的解，故有
A 0X =
B ， A X ~= O A （0X +X ~）= A 0X +A X ~=B+ O= B 所以，0X +X ~为AX = B 的解。

例1 解线性方程组 x x x x x x x x x x x x x x x x 1234123412341234215320342221
+--=-+--=-++=-++-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ （3.3） 解 先写出增广矩阵][B A ，再用初等行变换将其逐步化成阶梯形矩阵，即
][B A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------11122241130235111211②①③①④①+-+-+−→−−−()()132⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------13340577401114011211 ③②
④②++-−→−−−()1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------22200666001114011211④③+−→−−−()13⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----00000666001114011211
上述四个增广矩阵所表示的四个线性方程组是同解方程组，最后一个增广矩阵表示的线性方程组为
x x x x x x x x x 1234234342141666+--=---=+=⎧⎨⎪⎩
⎪ 将最后一个方程乘16
，再将x 4项移至等号的右端，得
x x 341=-+
将其代入第二个方程，解得
212=x
再将x x 23,代入第一个方程组，解得
2141+-=x x
因此，方程组（3.3）的解为
⎪⎩⎪⎨⎧+-==+-=1212143
241x x x x x （3.4）
其中x 4可以任意取值。

由于未知量x 4的取值是任意实数，故方程组（3.3）的解有无穷多个。

由此可知，表示式（3.4）表示了方程组（3.3）的所有解。

表示式（3.4）中等号右端的未知量x 4称为自由未知量，用自由未知量表示其它未知量的表示式（3.4）称为方程组（3.3）的一般解，当表示式（3.4）中的未知量x 4取定一个值（如x 4=1），得到
方程组（3.3）的一个解（如x 112=-，x 212
=，x 30=，x 41=），称之为方程组（3.3）的特解。

注意，自由未知量的选取不是唯一的，如例1也可以将x 3取作自由未知量。

如果将表示式（3.4）中的自由未知量x 4取一任意常数k ，即令x 4= k ，那么方程组（3.3）的一般解为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-==+-=k
x k x x k x 43211
2121 ，其中k 为任意常数。

用矩阵形式表示为
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣
⎡+-+-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k k k x x x x 121214321=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--0121211101k （3.5） 其中k 为任意常数。

称表示式（3.5）为方程组（3.3）的全部解。

（用消元法解线性方程组的过程中，当增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵后，要写出相应的方程组，然后再用回代的方法求出解。

如果用矩阵将回代的过程表示出来，我们可以发现，这个过程实际上就是对阶梯形矩阵进一步简化，使其最终化成一个特殊的矩阵，从这个特殊矩阵中，就可以直接解出或“读出”方程组的解。

例如，）对例1中的阶梯形矩阵进一步化简，
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----00000666001114011211③①③②③162++−→−−⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00000111002004011011
②①②141+-−→−−−()⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00000
11100210010211001 上述矩阵对应的方程组为 ⎪⎩⎪⎨⎧=+==+1212143
241x x x x x
将此方程组中含x 4的项移到等号的右端，就得到原方程组（3.3）的一般解，
⎪⎩⎪⎨⎧+-==+-=12
12143
241x x x x x （3.4） 其中x 4可以任意取值。

例2 解线性方程组 x x x x x x x x x x x x 1231231
23123234235743992588
+-=+-=+-=+-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 解 利用初等行变换，将方程组的增广矩阵[]B A 化成阶梯阵，再求解。

即
[]B A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----8852993475324321→⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------0210735011104321 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------1100220011104321→⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---0000110011104321 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000110020107021→⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000110020103001 一般解为
x x x 123
321===⎧⎨⎪⎩⎪
例3 解线性方程组 x x x x x x x x x 1231231231242253++=-+-=+-=⎧⎨⎪⎩
⎪ 解 利用初等行变换，将方程组的增广矩阵[]B A 化成阶梯阵，再求解。

即
[]B A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---315224211111→⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--133033301111 →⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--200033301111
阶梯形矩阵的第三行“0, 0, 0, -2”所表示的方程为：0002123x x x ++=-，由该方程可知，无论x 1，x 2，x 3取何值，都不能满足这个方程。

因此，原方程组无解。

二、线性方程组的解的判定
前面介绍了用高斯消元法解线性方程组的方法，通过例题可知，线性方程组的解的情况有三种：无穷多解、唯一解和无解。

从求解过程可以看出，方程组（3.1）是否有解，关键在于增广矩阵[A B ]化成阶梯非零行的行数与系数矩阵A 化成阶梯形矩阵后非零行的行数是否相等。

因此，线性方程组是否有解，就可以用其系数矩阵和增广矩阵的秩来描述了。

定理3.9 线性方程组（3.1）有解的充分必要是 r A ()=][B A r 。

将上述结论应用到齐次线性方程组（3.2）上，则总有r A ()＝r A B ()。

因此齐次线性方程组一定有解。

例4 判别下列方程组是否有解？若有解，是有唯一解还是有无穷多解？
(1) x x x x x x x x x x x x 12312312312323117236324+-=---+=-+=-++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ (2) x x x x x x x x x x x x 123123123123231127236325
+-=---+=-+=-++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ (3) x x x x x x x x x x x x 12312312312323117236325
+-=---+=-+=-++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 解 (1) 用初等行变换将增广矩阵化成阶梯阵，即
[A B ]=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------42136132711111321→ ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------29770287704210113
21
→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------10
000700421011321 因为 r A B ()= 4，r A ()=3，两者不等，所以方程组无解。

(2) 用初等行变换将增广矩阵化成阶梯阵，即
[A B ]=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------52136132721111321→ … →⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----00000000411011321 因为 r A B ()=r A ()=2<n （= 3），所以方程组有无穷多解。

(3) 用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即
[A B ]=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------52136132711111321→… →⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----00000700421011321 因为 r A B ()=r A ()= 3 = n ，所以方程组有唯一解。

例5 判别下列齐次方程组是否有非零解？
x x x x x x x x x x x x x x x x 123412341234123437802544037230412160
+--=+++=----=+--=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 解 用初等行变换将系数矩阵化成阶梯形矩阵，即
A =137825443723141216--------⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪→13780118200223270158-------⎛⎝ ⎫⎭
⎪⎪⎪⎪ →1378011820001313001312---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪→13780118200013130001----⎛⎝ ⎫⎭
⎪⎪⎪⎪ 因为 r A ()= 4 = n ，所以齐次方程组只有零解。