最优控制LQ
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y=f(x)的函数极值:
y=f(x1,x2)
df d2 f d2 f 0, 2 0, 2 0 dx dx dx
2 f x1x2 矩阵正定,极小值 2 f 2 x2
2 f f f 2 f x12 0, 0,.... 2 2 x1 x2 x f x x 2 1
6.4 线性二次型最优控制问题
例题 6-20 续
p (t ) q2
( )
q0 / q1 2 ( t t f ) e q0 / q1 q / q 2 ( t t f ) 1 0 1 e q0 / q1
t0
x(t ) f [ x(t ), u (t ), t ]
求泛函的极值问题: 变分法
多元泛函取极值的必要条件是J的一次变分等于零.
J 0
引入哈密顿函数
H J ( f x)
6.3 最优控制求解
H x H x H 0 u
x(t0 ) x0, x(t f ) xtf (t f ) ,..H (t f ) 0, x(t f ) t f
0 x 1 1 x a 2
w( s) C ( sI A) 1 B
1 s2 s a 2 1
281
6.4 线性二次型最优控制问题
6.4 线性二次型最优控制问题
输出调节问题
J
x(t ) A(t ) x(t ) B(t )u (t ) y (t ) C (t ) x(t ), x(t0 ) x0
u* (t ) R 1BT P(t ) x(t ) K (t ) x(t )
应用Matlab 解LQ问题
1 [K,P,L]=lqr(sys,Q,R) 2 [K,P,L]=lqr(A,B,Q,R) K:状态反馈增益阵 P :黎卡提(Riccati)矩阵代数方程的解
L:闭环系统的特征值
Matlab 在最优控制中的应用
状态解
q1 a2 q2
1 x ax p(t ) x, x(0) x0 q2
6.4 线性二次型最优控制问题
276
a 1, q0 0, q1 1, x0 1, t f 1
6.4 线性二次型最优控制问题
q2 P(t)随q2变化 q2 减 小 减 小
u(t)随q2变化
u(t ) R
m
最优控制问题, 就是从可供选择的容许控制集合U中,寻找 一个控制u(t), 使受控系统在[t0,tf]内,从初始状态x(t0), 转移到终端状态x(tf)或目标集时,性能指标J取最小(大)值.
u * (t )
x * (t )
最优控制 最优轨线 最优性能指标
J
*
6.3 最优控制求解
1 Q b
b , R 1 a
a b2 0
黎卡提(Riccati)矩阵代数方程
PA AT P PBR1BT P Q 0
6.4 线性二次型最优控制问题
例题6-22续
p11 p12 1 p22
a 2 b a2
最优控制 闭环系统
y=x1
u* (t ) x1 (t ) a 2x2 (t )
第六章 最优控制
1 最优控制概述
2 最优控制问题
3 最优控制求解
4 LQ问题及求解
6.1 最优控制概念
快速升降问题
有一物体作垂直升降运动。假定在M内装有一 个控制器，它可以产生一个作用力 u(t)，可 控制物体M的上下运动;
u M g
u(t ) u0
x(t0 ) h
x(t0 ) v0
2 有限时间状态调节问题
调节问题和跟踪问题
状态调节和 输出调节
tf
输出跟踪
1 1 T J x(t f ) Q0 x(t f ) [ x T Q1 x u T Q2u ]dt 2 2 t0
任务: P293
x(t ) A(t ) x(t ) B(t )u (t ) y (t ) C (t ) x(t ), x(t0 ) x0
有等式约束条件的极值问题. 拉格朗日乘子法
J ( x, u ),...2 x u 0 H J (2 x u )
6.3 最优控制求解
J (u (t )) [ x (t f ), t f ]
tf
L[ x(t ), u (t ), t ]dt
x(t f ) S
性能指标J 求极值
tf
J L( x, u )dt t f t0 ,..L( x, u ) 1
t0
J min t f t0
6.2 最优控制问题的描述
1) 受控动态系统的数学描述 状态方程:
x(t ) f [ x(t ), u(t ), t ]
2) 动态系统的初始状态和终端状态，也就是状态方程的边界条件：目标集
x(t0 ) 0
x(t f ) S
3)一个衡量“控制作用”效果的性能指标：性能指标, 性能泛函, 价值函 数，目标函数，效益函数。
J (u (t )) [ x (t f ), t f ]
tf
L[ x(t ), u (t ), t ]dt
t0
6.2 最优控制问题的描述：
4) 一个容许的控制集合
正则方程
பைடு நூலகம்
控制方程
边界条件
6.3 最优控制求解 最小值原理及其应用
u k
线性二次型(LQ)最优控制
J (u (t )) [ x (t f ), t f ]
tf
L[ x(t ), u (t ), t ]dt
t0
x(t ) f [ x(t ), u (t ), t ]
6.4 线性二次型最优控制问题
tf
二次型指标最优控制问题
线性系统
二次型性能指标
x Ax Bu y Cx
tf
J
1 T 1 x (t f )Q0 x(t f ) {xT (t )Q1 x(t ) u T (t ) Ru(t )}dt 2 2 t0
有限时间状态调节器 最优控制存在的条件及结论:
Q0 , Q1 , R ?
最优控制目标是使性能指标J取得极小值, 其实质是用不 大的控制来保持比较小的误差,从而达到所用能量和误差 综合最优的目的.
6.4 线性二次型最优控制问题
例题6-22
0 x 0
1 0 x 1u, 0
求时J最小的u(t) 解: 能控性
1 2 2 J [ x1 2bx1 x2 ax 2 u 2 ]dt 2 t0
u* (t ) K (t ) x(t ) Q2 1 (t ) BT (t ) P(t ) x(t )
系统的结构图
6.4 线性二次型最优控制问题
P296
6.4 线性二次型最优控制问题
例题 6-20
x ax u, x(0) x0
tf
1 1 2 J q0 x (t f ) [ q1 x 2 q2u 2 ]dt 2 2 t0
假设u不受限制,寻求最优控制,使J取极值.
6.4 线性二次型最优控制问题
根据极小值原理 1 H [ x, u , t ] [ x T Q1 x u T Q2u ] T [ Ax Bu ] 2
最优控制应使H取极值,
H 0 Q2u B T 0 u u* (t ) Q2 1BT
求u*(t) 解:
q1 , q2 0, q0 0
u* (t ) Q2 1 (t ) BT (t ) P(t ) x(t ) q2 1 p(t ) x(t )
P PA AT P PBQ2 1 B T P Q1
P(t f ) Q0
p 2ap p 2q2 1 q1 ,..p(t f ) q0
黎卡提(Riccati)矩阵微分方程
P PA AT P PBQ2 1 BT P Q1
P(t f ) Q0
性能泛函最优值
J min
1 T x (t 0 ) P (t 0 ) x (t 0 ) 2
6.4 线性二次型最优控制问题
得到:
x A(t ) x b(t )u, y C (t ) x,..x(t0 ) x0
tf
1 1 y (t f )T Q0 y (t f ) [ y T Q1 y u T Q2u ]dt 2 2 t0
Q0,Q1半正定,Q2正定, 假设u不受限制,寻求最优控制,使J取极值. 任务: P303
1 1 x(t f )T C T Q0Cx (t f ) [ x T C T Q1Cx u T Q2u ]dt 2 2 t0 能观, J
半正定 半正定 正定
tf
误差大小的代价函数, q1 ij大表示对应误差要求小 对控制的约束或要求. 表示在区间内消耗的能量, q2ij大表示对应付出的能量小. 最优控制目标是使性能指标J取得极小值, 其实质是用不大的控制来 保持比较小的误差,从而达到所用能量和误差综合最优的目的.
6.4 线性二次型最优控制问题
LQR Linear-quadratic regulator design for state space systems. [K,S,E] = LQR(SYS,Q,R,N) calculates the optimal gain matrix K such that: * For a continuous-time state-space model SYS, the state-feedback law u = -Kx minimizes the cost function J = Integral {x'Qx + u'Ru + 2*x'Nu} dt subject to the system dynamics dx/dt = Ax + Bu The matrix N is set to zero when omitted. Also returned are the the solution S of the associated algebraic Riccati equation and the closed-loop eigenvalues E = EIG(A-B*K).
6.4 线性二次型最优控制问题
277
q2
减 小
x(t)随q2变化
6.4 线性二次型最优控制问题
当终端时间不同时的P(t)
q0=1 tt=1,3,5,9 q0=0
6.4 线性二次型最优控制问题
无限时间状态调节问题 能控 Q半正定, R正定 存在唯一最优控制
x Ax Bu, x(0) x0
u(t ) x(t f ) 0, x(t f ) 0
使tf最小.
6.1 最优控制概念
u与x的关系:状态方程
M(t ) u (t ) g , x1 x(t ), x2 (t ) x(t ) x x1 (t ) x2 (t ) x2 (t ) u (t ) g , x1 (0) x10 , x2 (0) x20
J
1 [ xT Qx u T Ru ]dt 2 t 0
u* (t ) R1BPx(t )
黎卡提(Riccati)矩阵代数方程
PA AT P PBR1BT P Q 0
6.4 线性二次型最优控制问题
Q,
半正定
R
正定
误差大小的代价函数, qij大表示对应误差要求小 对控制的约束或要求. 表示在区间内消耗的能 量, rij大表示对应付出的能量小.
正则方程
H Q x AT 1 x x Ax Bu Ax BQ2 1 BT
6.4 线性二次型最优控制问题
(t ) P(t ) x(t )
得到:
u * (t ) Q2 1 (t ) BT (t ) P(t ) x(t ) K (t ) x(t ) K (t ) Q2 1 (t ) BT (t ) P(t )
LQ问题: 线性系统,性能指标为状态和控制量的二次型函数的 最优控制问题.
为什么要讨论LQ? 一般问题是什么?
本课程主要讨论终端时间为无穷时的状态调节问题.
6.4 线性二次型最优控制问题
1 二次型性能泛函
1 1 T J e(t f ) Q0 e(t f ) [eT Q1e u T Q2u ]dt 2 2 t0
y=f(x1,x2)
df d2 f d2 f 0, 2 0, 2 0 dx dx dx
2 f x1x2 矩阵正定,极小值 2 f 2 x2
2 f f f 2 f x12 0, 0,.... 2 2 x1 x2 x f x x 2 1
6.4 线性二次型最优控制问题
例题 6-20 续
p (t ) q2
( )
q0 / q1 2 ( t t f ) e q0 / q1 q / q 2 ( t t f ) 1 0 1 e q0 / q1
t0
x(t ) f [ x(t ), u (t ), t ]
求泛函的极值问题: 变分法
多元泛函取极值的必要条件是J的一次变分等于零.
J 0
引入哈密顿函数
H J ( f x)
6.3 最优控制求解
H x H x H 0 u
x(t0 ) x0, x(t f ) xtf (t f ) ,..H (t f ) 0, x(t f ) t f
0 x 1 1 x a 2
w( s) C ( sI A) 1 B
1 s2 s a 2 1
281
6.4 线性二次型最优控制问题
6.4 线性二次型最优控制问题
输出调节问题
J
x(t ) A(t ) x(t ) B(t )u (t ) y (t ) C (t ) x(t ), x(t0 ) x0
u* (t ) R 1BT P(t ) x(t ) K (t ) x(t )
应用Matlab 解LQ问题
1 [K,P,L]=lqr(sys,Q,R) 2 [K,P,L]=lqr(A,B,Q,R) K:状态反馈增益阵 P :黎卡提(Riccati)矩阵代数方程的解
L:闭环系统的特征值
Matlab 在最优控制中的应用
状态解
q1 a2 q2
1 x ax p(t ) x, x(0) x0 q2
6.4 线性二次型最优控制问题
276
a 1, q0 0, q1 1, x0 1, t f 1
6.4 线性二次型最优控制问题
q2 P(t)随q2变化 q2 减 小 减 小
u(t)随q2变化
u(t ) R
m
最优控制问题, 就是从可供选择的容许控制集合U中,寻找 一个控制u(t), 使受控系统在[t0,tf]内,从初始状态x(t0), 转移到终端状态x(tf)或目标集时,性能指标J取最小(大)值.
u * (t )
x * (t )
最优控制 最优轨线 最优性能指标
J
*
6.3 最优控制求解
1 Q b
b , R 1 a
a b2 0
黎卡提(Riccati)矩阵代数方程
PA AT P PBR1BT P Q 0
6.4 线性二次型最优控制问题
例题6-22续
p11 p12 1 p22
a 2 b a2
最优控制 闭环系统
y=x1
u* (t ) x1 (t ) a 2x2 (t )
第六章 最优控制
1 最优控制概述
2 最优控制问题
3 最优控制求解
4 LQ问题及求解
6.1 最优控制概念
快速升降问题
有一物体作垂直升降运动。假定在M内装有一 个控制器，它可以产生一个作用力 u(t)，可 控制物体M的上下运动;
u M g
u(t ) u0
x(t0 ) h
x(t0 ) v0
2 有限时间状态调节问题
调节问题和跟踪问题
状态调节和 输出调节
tf
输出跟踪
1 1 T J x(t f ) Q0 x(t f ) [ x T Q1 x u T Q2u ]dt 2 2 t0
任务: P293
x(t ) A(t ) x(t ) B(t )u (t ) y (t ) C (t ) x(t ), x(t0 ) x0
有等式约束条件的极值问题. 拉格朗日乘子法
J ( x, u ),...2 x u 0 H J (2 x u )
6.3 最优控制求解
J (u (t )) [ x (t f ), t f ]
tf
L[ x(t ), u (t ), t ]dt
x(t f ) S
性能指标J 求极值
tf
J L( x, u )dt t f t0 ,..L( x, u ) 1
t0
J min t f t0
6.2 最优控制问题的描述
1) 受控动态系统的数学描述 状态方程:
x(t ) f [ x(t ), u(t ), t ]
2) 动态系统的初始状态和终端状态，也就是状态方程的边界条件：目标集
x(t0 ) 0
x(t f ) S
3)一个衡量“控制作用”效果的性能指标：性能指标, 性能泛函, 价值函 数，目标函数，效益函数。
J (u (t )) [ x (t f ), t f ]
tf
L[ x(t ), u (t ), t ]dt
t0
6.2 最优控制问题的描述：
4) 一个容许的控制集合
正则方程
பைடு நூலகம்
控制方程
边界条件
6.3 最优控制求解 最小值原理及其应用
u k
线性二次型(LQ)最优控制
J (u (t )) [ x (t f ), t f ]
tf
L[ x(t ), u (t ), t ]dt
t0
x(t ) f [ x(t ), u (t ), t ]
6.4 线性二次型最优控制问题
tf
二次型指标最优控制问题
线性系统
二次型性能指标
x Ax Bu y Cx
tf
J
1 T 1 x (t f )Q0 x(t f ) {xT (t )Q1 x(t ) u T (t ) Ru(t )}dt 2 2 t0
有限时间状态调节器 最优控制存在的条件及结论:
Q0 , Q1 , R ?
最优控制目标是使性能指标J取得极小值, 其实质是用不 大的控制来保持比较小的误差,从而达到所用能量和误差 综合最优的目的.
6.4 线性二次型最优控制问题
例题6-22
0 x 0
1 0 x 1u, 0
求时J最小的u(t) 解: 能控性
1 2 2 J [ x1 2bx1 x2 ax 2 u 2 ]dt 2 t0
u* (t ) K (t ) x(t ) Q2 1 (t ) BT (t ) P(t ) x(t )
系统的结构图
6.4 线性二次型最优控制问题
P296
6.4 线性二次型最优控制问题
例题 6-20
x ax u, x(0) x0
tf
1 1 2 J q0 x (t f ) [ q1 x 2 q2u 2 ]dt 2 2 t0
假设u不受限制,寻求最优控制,使J取极值.
6.4 线性二次型最优控制问题
根据极小值原理 1 H [ x, u , t ] [ x T Q1 x u T Q2u ] T [ Ax Bu ] 2
最优控制应使H取极值,
H 0 Q2u B T 0 u u* (t ) Q2 1BT
求u*(t) 解:
q1 , q2 0, q0 0
u* (t ) Q2 1 (t ) BT (t ) P(t ) x(t ) q2 1 p(t ) x(t )
P PA AT P PBQ2 1 B T P Q1
P(t f ) Q0
p 2ap p 2q2 1 q1 ,..p(t f ) q0
黎卡提(Riccati)矩阵微分方程
P PA AT P PBQ2 1 BT P Q1
P(t f ) Q0
性能泛函最优值
J min
1 T x (t 0 ) P (t 0 ) x (t 0 ) 2
6.4 线性二次型最优控制问题
得到:
x A(t ) x b(t )u, y C (t ) x,..x(t0 ) x0
tf
1 1 y (t f )T Q0 y (t f ) [ y T Q1 y u T Q2u ]dt 2 2 t0
Q0,Q1半正定,Q2正定, 假设u不受限制,寻求最优控制,使J取极值. 任务: P303
1 1 x(t f )T C T Q0Cx (t f ) [ x T C T Q1Cx u T Q2u ]dt 2 2 t0 能观, J
半正定 半正定 正定
tf
误差大小的代价函数, q1 ij大表示对应误差要求小 对控制的约束或要求. 表示在区间内消耗的能量, q2ij大表示对应付出的能量小. 最优控制目标是使性能指标J取得极小值, 其实质是用不大的控制来 保持比较小的误差,从而达到所用能量和误差综合最优的目的.
6.4 线性二次型最优控制问题
LQR Linear-quadratic regulator design for state space systems. [K,S,E] = LQR(SYS,Q,R,N) calculates the optimal gain matrix K such that: * For a continuous-time state-space model SYS, the state-feedback law u = -Kx minimizes the cost function J = Integral {x'Qx + u'Ru + 2*x'Nu} dt subject to the system dynamics dx/dt = Ax + Bu The matrix N is set to zero when omitted. Also returned are the the solution S of the associated algebraic Riccati equation and the closed-loop eigenvalues E = EIG(A-B*K).
6.4 线性二次型最优控制问题
277
q2
减 小
x(t)随q2变化
6.4 线性二次型最优控制问题
当终端时间不同时的P(t)
q0=1 tt=1,3,5,9 q0=0
6.4 线性二次型最优控制问题
无限时间状态调节问题 能控 Q半正定, R正定 存在唯一最优控制
x Ax Bu, x(0) x0
u(t ) x(t f ) 0, x(t f ) 0
使tf最小.
6.1 最优控制概念
u与x的关系:状态方程
M(t ) u (t ) g , x1 x(t ), x2 (t ) x(t ) x x1 (t ) x2 (t ) x2 (t ) u (t ) g , x1 (0) x10 , x2 (0) x20
J
1 [ xT Qx u T Ru ]dt 2 t 0
u* (t ) R1BPx(t )
黎卡提(Riccati)矩阵代数方程
PA AT P PBR1BT P Q 0
6.4 线性二次型最优控制问题
Q,
半正定
R
正定
误差大小的代价函数, qij大表示对应误差要求小 对控制的约束或要求. 表示在区间内消耗的能 量, rij大表示对应付出的能量小.
正则方程
H Q x AT 1 x x Ax Bu Ax BQ2 1 BT
6.4 线性二次型最优控制问题
(t ) P(t ) x(t )
得到:
u * (t ) Q2 1 (t ) BT (t ) P(t ) x(t ) K (t ) x(t ) K (t ) Q2 1 (t ) BT (t ) P(t )
LQ问题: 线性系统,性能指标为状态和控制量的二次型函数的 最优控制问题.
为什么要讨论LQ? 一般问题是什么?
本课程主要讨论终端时间为无穷时的状态调节问题.
6.4 线性二次型最优控制问题
1 二次型性能泛函
1 1 T J e(t f ) Q0 e(t f ) [eT Q1e u T Q2u ]dt 2 2 t0