正弦定理(省参赛获奖课件)

C
a
B
在非直角三角形ABC中有这样的关系吗? C
b
A c
a
B
正弦定理:
在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等.
即
a b c sin A sin B sin C
证法1: (1) 若直角三角形,已证得结论成立.
A c b C
(2)若三角形是锐角三角形, 如图1,
过点A作AD⊥BC于D, 此时有 sin B
a b 解：由正弦定理 sin A sin B b sin A 26 sin 30 13 A 得 sin B a 30 30
C
26
300
30
B
所以Ｂ＝25.70, 或Ｂ＝1800－25.70=154.30
由于154.30 +300>1800 故B只有一解 （如图） C=124.30,
4 12 变：在ABC中，已知cos A , sin B , 求 sin C. 5 13 4 3 解： cos A , A (0, ) sin A 5 5 12 又 sin B , sin A sin B, a b A B 13 5 B可以为锐角也可以为钝角， cos B . 13 5 63 (1) cos B 时， C sin( A B ) . sin 13 65 5 33 ( 2) cos B 时， C sin( A B ) . sin 13 65 63 33 sin C 或 . 65 65
三角形中大边对大角
所以Ｂ＝25.70,
a sin C c 49.57 sin A
已知两边和其中一边的对角,求其他边和角 练习
1.根据下列条件解三角形 (1)b=13，a=26，B=30°.
[B=90°，C=60°，c= 13 3 ]
(2) b=40，c=20，C=45°.
无解 注：三角形中角的正弦值小于１时，角可能有两解
sin A sin B
b sin A 16 3 sin 30 3 得 sin B a 16 2
16 3
300
16
16
所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120° 当 Ｂ＝60°时
C=90°
A
B
B
c 32.
a sin C c 16 . sin A
当Ｂ＝120°时 C=30°
变式: a=30, b=26, A=30°求角B，C和边c
① 已知两边和其中一边的对角，求另一边
的对角，进而可求其他的边和角.
② 已知两角和一边，求其他角和边.
定理的应用
已知两角和任意边， 求其他两边和一角
。 。
例 1 在△ABC 中，已知c = 10,A = 45 , C = 30 求 C a , b (精确到0.01）. 解： a c ∵
sin A
B
a
A a>b
B
一解
正弦定理的综合应用
1.在ABC中，已知a 2 tan B b 2 tan A, 试判断ABC的形状.
' 1.在ABC中，已知b 3, c 3 3, B 30 ,
试判断ABC的形状.
'' 1.已知方程x 2 (b cos A) x a cos B 0的两根
之间,点P是直线AB之外一点，设APC ， sin( ) sin sin BPC ，求证： . PC PB PA
P

A
C
B
3 .ABC中，A
''

3
, BC 3, 则ABC的周长为 B.4 3 sin( B ) 3 6 D.6sin( B ) 3 6
2 2 2 2 2 2
2.在ABC中，求证：
'
a(sin B sin C ) b(sin C sin A) c(sin A sin B) 0.
3.在ABC中，若A 120，AB 5，BC 7, 求ABC的面积S .
' 3.一条直线上有三点A，B，C，点C在A，B
0
A 120 0.
1 2 2 4.已知ABC的面积S (b c )，试确定ABC的形状. 4
1 2 1 2 解：S (b c ) bc sin A 4 2 1 1 2 (b c) bc(1 sin A) 0 4 2 1 1 2 (b c) 0, bc(1 sin A) 0 4 2 b c A 且b c 2 1 sin A 0 ABC为等腰直角三角形.
3 5 2.在ABC中，已知 sin A ， B , cos 5 13 求 sin C.
5 12 解： cos B , B (0, ), sin B . 13 13 3 又 sin A , sin A sin B 5 a b 由正弦定理 可知a b sin A sin B 4 A B, A只能为锐角， cos A . 5 63 sin C sin( A B ) . 65
b
c
sin C
a
B
A c sin A 10 sin 45 10 2 14.14 ∴a = = sin C sin 30
b c ∵ sin B sin C
且 B 180 (A C) 105
c sin B 10 sin 105 5( 6 2 ) ∴ b= = sin C sin 30
解： BC1 D1中, C1 BD1 60 45 15 , 在
由正弦定理可得 : C1 D1 BC1 sin B sin D1
C1 C

D1 D

A1
A
C1 D1 sin D1 12 sin 120 18 2 6 6 BC1 sin B sin 15 2 A1 B BC1 18 6 3 28.4 2 AB A1B AA1 28.4 1.5 29.9(m)
课堂小结
（1）三角形常用公式： B C A

1 1 1 SABC ab sin C bc sin A ac sin B 2 2 2 a b c ＝ 2R 正弦定理： sin A sin B sin C
（2）正弦定理应用范围：
①
已知两角和任意边，求其他两边和一角
②
已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角。(注意解的情况)
实际问题
例1、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在
同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是 45和
，CD间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。 60 想一想
图中给出了怎样的一个 几何图形？已知什么， 求什么？
实例讲解 分析：如图，因为AB=AA1+A1B，又 已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。 B
a sin C c 49.57 sin A
变式: a=30, b=26, A=30°求角B，C和边c
a b 解：由正弦定理 sin A sin B b sin A 26 sin 30 13 A 得 sin B a 30 30
C
26
300
30
B
∵a > b
∴A>B, C=124.30,
利用向量的数量积，产生边的长 与内角的三角函数的关系来证明.
A
c
B
b C
a
D
证法3:
A
S ABC
1 1 1 ab sin C bc sin A ac sin B 2 2 2
证明： S ABC ∵
c
B
b
ha
1 aha 2
Da
C ∴
而 h AD c sin B b sin C a
正弦定理
BC的长度与角A的 大小有关吗? 三角形中角A与它的对 边BC的长度是否存在 定量关系?
C3
C2 C1
C
A
B
在Rt△ABC中,各角与其对边的关系:
b a sin B sin A c c c sin C 1
c
不难得到:
b
A
c
a b c sin A sin B sin C
同理
∴ S ABC
S ABC
1 ab sin C bc sin A ac sin B 2 2 2
1 1 S ABC ac sin B ab sin C 2 2 1 bc sin A 2 1 1
剖析定理、加深理解
正弦定理可以解决三角形中哪类问题：
a b c sin A sin B sin C
AD , sin C c
B

AD b
图1
D
所以AD=csinB=bsinC, 即
b c , sin B sin C
a c 同理可得 , sin A sin C
a b c 即： sin A sin B sin C
(3) 若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2,
过点A作AD⊥BC， 交BC延长线于D, 此时也有 sin B
b
AD c
且 sin C） AD sin C （
a b c 仿(2)可得 sin A sin B sin C
A c b
B
由(1)(2)(3)知，结论成立．
图2 C
D
思考
a b c 求证: ＝ ＝ sin A sin B sin C
＝
2R
（2R为△ABC外接圆直径）
证明：作外接圆O, 过B作直径BC/,连AC/,
课后思考
已知两边和其中一边的对角,求其 他边和角时,三角形什么情况下有 一解,二解,无解?
a
b
C a b A a<bsinA 无解
C a
A
a=bsinA
B
一解
C
a
C b a B 一解
b
B2 B1 bsinA< a < b 两解
A
A
ab
C b
a
C b
a
A a<b 无解 C b
B
A a=b 无解
3.在ABC中，设A, B, C所对的边分别为 a, b, c，若b c 2a cos(60o C )，求A.
略解：由正弦定理得 sin B sin C 2 sin A(cos 60 0 cos C sin 60 0 sin C ) sin B sin( A C ) sin A cos C cos A sin C sin C sin A cos C 3 sin A cos C ( 3 sin A cos A) sin C sin C 1 sin C 0 3 sin A cos A 1即 sin(A 30 ) . 2 又 30 0 A 30 0 210 0 A 30 0 150 0
之积等于两根之和，且a, b为ABC的边， A，B为a, b的对角， 试判断ABC的形状.
1 .在ABC中，a, b, c为边长，A，B，C为a,
'''
a b c b, c所对的角，若 , sin B sin C sin A 试判断ABC的形状.
2.在ABC中， a b b c c a 求证： 0. cos A cos B cos B cos C cos C cos A
B
90, C C ' BA C c sin C sin C 2R A c 2R sin C a b 同理 2 R, 2R sin A sin B a b c 2R sin A sin B sin C
'
c O b
a C
C/
证法2:
向量法

19.32
练习
在△ABC中，已知 A=75°，B= 45°，c= 3 2 求a ， b.
[ a 3
3 b2 3
]
在△ABC中，已知 A=30°，B=120°，b=12 求a ， c.
[a= 4 3 ,c= 4 3 ]
例 2 已知a=16， b= 16 3， A=30° . 已知两边和其中一边 求角B，C和边c 的对角,求其他边和角 a b 解：由正弦定理 C
A.4 3 sin( B ) 3 3 C.6sin( B ) 3 3




4.在ABC中，AD是BAC的平分线， AB BD 用正弦定理证明： . AC DC
A


பைடு நூலகம்
B
D
C
1.判断正误： (1)若 ，则 sin sin ；反之也成立. (2)在ABC中，若A B，则 sin A sin B； 反之也成立.