正弦定理(省参赛获奖课件)
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正弦定理省微课一等奖课件市公开课一等奖课件名师大赛获奖课件
一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一
边的对角.
abc sin A sin B sin C
思考： 正弦定理的基本作用是什么？
思考：
正弦定理的基本作用是什么？ ①已知三角形的任意两角及其一边可 以求其它边，如
a b sin A sin B
思考：
正弦定理的基本作用是什么？ ①已知三角形的任意两角及其一边可 以求其它边，如
a b sin A sin B
这种关系精确地表达出
来？
C
B
讲授新课
思考1：
那么对于任意的三角形，以上关 系式与否仍然成立？
可分为直角三角形，锐角三角 形，钝角三角形三种状况分析.
讲授新课
思考2：
尚有其办法吗？
用向量来研究这问题.
正弦定理：
在一种三角形中，各边和它所对 角的正弦的比相等，即
正弦定理：
在一种三角形中，各边和它所对 角的正弦的比相等，即
1.1.1正弦定理
想一想？
复习ห้องสมุดไป่ตู้入
如图，固定△ABC的边CB及∠B， 使边AC绕着顶点C转动.
A
C
B
复习引入
如图，固定△ABC的边CB及∠B， 使边AC绕着顶点C转动. 思考：
∠C的大小与它的对边AB的长度 之间有如何的数量关系？
A
C
B
复习引入
如图，固定△ABC的边CB及∠B，
使边AC绕着顶点C转动.
解：在OAC中，
B1
C1
∵
sinb60°＝
a sin∠OCA
B2
∴ sin∠OCA＝ 8 s7in60°≈0.9897,
C2
60°
Oa
A
∴ ∠OCA＝81.8°或98.2°,
边的对角.
abc sin A sin B sin C
思考： 正弦定理的基本作用是什么？
思考：
正弦定理的基本作用是什么？ ①已知三角形的任意两角及其一边可 以求其它边，如
a b sin A sin B
思考：
正弦定理的基本作用是什么？ ①已知三角形的任意两角及其一边可 以求其它边，如
a b sin A sin B
这种关系精确地表达出
来？
C
B
讲授新课
思考1：
那么对于任意的三角形，以上关 系式与否仍然成立？
可分为直角三角形，锐角三角 形，钝角三角形三种状况分析.
讲授新课
思考2：
尚有其办法吗？
用向量来研究这问题.
正弦定理：
在一种三角形中，各边和它所对 角的正弦的比相等，即
正弦定理：
在一种三角形中，各边和它所对 角的正弦的比相等，即
1.1.1正弦定理
想一想？
复习ห้องสมุดไป่ตู้入
如图，固定△ABC的边CB及∠B， 使边AC绕着顶点C转动.
A
C
B
复习引入
如图，固定△ABC的边CB及∠B， 使边AC绕着顶点C转动. 思考：
∠C的大小与它的对边AB的长度 之间有如何的数量关系？
A
C
B
复习引入
如图，固定△ABC的边CB及∠B，
使边AC绕着顶点C转动.
解：在OAC中，
B1
C1
∵
sinb60°＝
a sin∠OCA
B2
∴ sin∠OCA＝ 8 s7in60°≈0.9897,
C2
60°
Oa
A
∴ ∠OCA＝81.8°或98.2°,
正弦定理优质课优质课市公开课一等奖省优质课获奖课件
例3. 在△ABC中，已知 c 6, A 45 , a=2, 求b和B,C.
第6页
已知两边和其中一边所正确角， 解三角形讨论
第7页
已知两边A 锐 a=bsinA
角 bsinA<a<b a≥b
直角 a≤b
或 a>b 钝角
解情况 无解 一解 两解 一解 无解 一解
第8页
例4 已知△ABC，BＤ为角B平分线， 求证：AB∶BC＝AＤ∶ＤC
B
A
D
C
第9页
课堂练习
1.△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为
（ ） A.
B.
C.等边三角形 D.等腰三角形
2.在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B A.充分无须要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也无须要条件
a
b
c
.
sin A sin B sin C
第4页
正弦定理在解三角形中主要作用
处理两类三角形问题
1. 已知两角和任一边，求其它边和角； 2. 已知两边和其中一边对角，
求另一边对角及其它边和角.
第5页
例1. 在△ABC中，已知c=10，A=45o ，C=30o， 求a,b和B.
例2. 在△ABC中，已知 b 3, B 60 ,c=1 , 求a,A,C.
探索：直角三角形边角关系式对任意三角形是否成立？
第2页
正弦定理推论：
a sin
A
b sin B
c sin C
=2R
(R为△ABC外接圆半径）
证实：如图，圆⊙O为△ABC外接圆，
B
a
C
BD为直径, 则 ∠A=∠D,
第6页
已知两边和其中一边所正确角， 解三角形讨论
第7页
已知两边A 锐 a=bsinA
角 bsinA<a<b a≥b
直角 a≤b
或 a>b 钝角
解情况 无解 一解 两解 一解 无解 一解
第8页
例4 已知△ABC，BＤ为角B平分线， 求证：AB∶BC＝AＤ∶ＤC
B
A
D
C
第9页
课堂练习
1.△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为
（ ） A.
B.
C.等边三角形 D.等腰三角形
2.在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B A.充分无须要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也无须要条件
a
b
c
.
sin A sin B sin C
第4页
正弦定理在解三角形中主要作用
处理两类三角形问题
1. 已知两角和任一边，求其它边和角； 2. 已知两边和其中一边对角，
求另一边对角及其它边和角.
第5页
例1. 在△ABC中，已知c=10，A=45o ，C=30o， 求a,b和B.
例2. 在△ABC中，已知 b 3, B 60 ,c=1 , 求a,A,C.
探索：直角三角形边角关系式对任意三角形是否成立？
第2页
正弦定理推论：
a sin
A
b sin B
c sin C
=2R
(R为△ABC外接圆半径）
证实：如图，圆⊙O为△ABC外接圆，
B
a
C
BD为直径, 则 ∠A=∠D,
正弦定理 省一等奖课件
前
言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
思考：
∠C的大小与它的对边AB的长度 之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB的长度随着其对角 ∠C的大小的增大而增大. A
A C B
C
B
复习引入
如图，固定△ABC的边CB及∠B， 使边AC绕着顶点C转动.
思考：
∠C的大小与它的对边AB的长度 之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB的长度随着其对角 ∠C的大小的增大而增大. A 能否用一个等式把 这种关系精确地表示出 C 来？ B
湖南省长沙市一中卫星远程学校
湖南省长沙市一中卫星远程学校
青 春 风 采
湖南省长沙市一中卫星远程学校
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校： 北京大学光华管理学 院 北京市文科状元 阳光女孩 --何旋 湖南省长沙市一中卫星远程学校
(2) c＝54cm，b＝39cm，C＝115 .
o
o
思考： 在△ABC中，
a b c k ( k 0 ), sin A sin B sin C
这个k与△ABC有什么关系？
课堂小结
1. 定理的表示形式：
a b c sin A sin B sin C abc k ( k 0) sin A sin B sin C
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
正弦定理(省参赛获奖课件)
三角形的解法
在已知三角形的两边及其夹角的情况下，可以利用正弦定理 求出第三边。
在已知三角形的三边的情况下，可以利用正弦定理求出三角 形的各角。
三角形的面积计算
三角形的面积也可以通过正弦定理来 求解，特别是当已知三角形的两边和 它们之间的夹角时。
具体来说，三角形的面积等于0.5乘以 两边及其夹角的正弦值的乘积。
02
CHAPTER
正弦定理的证明
三角形的边长关系
总结词
正弦定理的边长关系是关键
详细描述
在任意三角形ABC中，边长a、b、c与对应的角A、B、C的正弦值之比都相等， 即$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。这是正弦定理的边长关 系，也是证明正弦定理的重要依据。
正弦定理的局限性
适用范围限制
01
正弦定理仅适用于直角三角形，对于非直角三角形需要其他方
法进行处理。
近似误差
02
对于非特殊三角形，正弦定理可能存在较大的近似误差，影响
结果的精度。
计算复杂度
03
对于大规模数据或复杂问题，正弦定理的计算复杂度较高，需
要优化算法。
正弦定理的未来发展
1 2
算法优化
随着计算机技术的发展，未来可以通过算法优化 来提高正弦定理的计算效率和精度。
应用三
利用正弦定理可以判断三角形ABC 是否为等腰三角形，以及等腰的位 置。
正弦定理在实际问题中的应用
应用一
在航海、航空和地理测量中，可以利用正弦定理 计算两点之间的距离和角度。
应用二
在物理学中，可以利用正弦定理解决与力、速度 和加速度相关的问题。
应用三
正弦定理全国比赛一等奖市公开课一等奖课件名师大赛获奖课件
bb
DC
sin
AC
sin
AC B
a 180o－a
C
D
sin sin(180 ) sin
两式相除得 BD AB DC AC
五、知识小结
一、正弦定理： a
b
c 2R
sin A sin B sin C
其中，R是△ABC的外接圆的半径
补充：三角形面积公式
1
1
1
SABC
bc sin A 2
ac sin B 2
ab
sin A sin B
作BE垂直于AC的延长线于E，则 B
BE c sin A a sin BCE
BCE
C
E C
a
b
cD
A
c sin A a sin( C) a sin C
a
c
a
b
c
sin A sin C
sin A sin B sinC
1、正弦定理：
在一种三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，
即: a
b
c
sin A sin B sinC
C
a
b
c
B
A
?思考:这个比值会是什么呢?
正弦定理证明办法四：
探究四
作外接圆O,
过B作直径BC/,连AC/,
BAC 90 , C C'
sin C sin C' c
c
c 2R 2R
sin C
A
同理 a 2R, b 2R
sin A sin B
a
b
c 2R
sin A sin B sin C
CD a sin B b sin A
高三数学正弦定理2省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
正弦定理旳应用
从理论上,正弦定理可处理两类问题:
• 两角和任意一边,求其他两边和一角
• 两边和其中一边对角,求另一边旳对角,进而 可求其他旳边和角
• 例1:已知在 A中BC, c 10, A 45,C ,30 求 a,和b B
点评:正弦定理能够用于处理已知两角和一边求另两边 和一角旳问题.
直角三角形中: A
b
c
a b c sin A sin B sin C
CaB
斜三角形中这一关系式是否仍成立呢?
(1)锐角三角形 B
j
A
C
(2)钝角三角形 B
j
A
B
A
C
j
C
j
如图:
B a
c
OHale Waihona Puke CbAC1
在一种三角形中,各边和它所对角旳正弦旳比相等, 即
变式:
2sin A : sin B : sin C a : b : c
出来，将年夫人和玉盈丫鬟壹路迎到了福晋旳霞光苑。壹大清早接到吟雪旳 传话，玉盈正由丫环翠珠伺候着梳头呢，乍壹听到这个消息也是始料未及， 居然是由自己来陪娘亲拜访。当初凝儿说那句“古有花木兰，今有年玉盈”旳时 候，她本当是这鬼丫头打趣旳话，没承想，居然就真旳是她。玉盈压根儿就 没想过这件事情。假如是此前，这需要女眷出头露面旳事情当然非她莫属， 但是现在不壹样了，凝儿到了京城。凝儿不但是年家旳正牌丫鬟，而且长得 又跟仙女似旳，这代表年家脸面上旳事情，当然要凝儿出面才够气派。而且 凝儿马上就要参加选秀，这雍亲王府旳四福晋可是皇上和德妃娘娘旳儿媳妇
两解 (3)b=26, c=15, C=30o
(4)a=2,b=6,A=30o
无解
经过本节学习,我们一起研究了正弦定 理旳证明措施,同步了解了向量旳工具性作 用,而且明确了利用正弦定理所能处理旳两 类有关三角形问题:已知两角一边;已知两边 和其中一边旳对角.
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1.Ａ为锐角
Ｃ ba
Ｃ ba
Ｃ
b
a
Ａ Ｂ Ａ B2 B1Ａ
Ｂ
a<bsinA 无解
a=bsinA bsinA<a<b
一解
两解
a≥b 一解
2.Ａ为钝角
Ｃ ba
Ａ
Ｂ
Ｃ ba Ａ
a>b 一解
a≤b 无解
Ａ为直角时，与Ａ为钝角相似，
a>b时，一解角
A为钝角或直角
①a=
关系式
bsinA且 a<b
j
a
则j·AB = j·（AC + CB），
所以j·AB = j·AC + j·CB
B
C b A
j AB cos（90°- A）= 0 + j CB cos（90°- C），
所以c·sinA = a·sinC，即 a = c ， sinA sinC
同理，作j⊥ BC，j与AC夹角为锐角.
可得 b = c ，从而 a = b = c .
bsinA<a <b
a<bsinA
a>b
②a≥b
解的个数 一解
两解
无解 一解
a≤b 无解
1.△ABC 中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC 为( A )
A.
B.
C.等边三角形 D.等腰三角形
2.在△ABC中，b= 3 ，B＝60°，c＝1，
则此三角形有（ A ）
A. 一解 B. 两解 C. 无解 D. 不拟定
思考：对于任意的三角形，以上关系式与否仍然成立？
解析：(1)锐角三角形
当ΔABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，
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参考数据
练习1：在 △ABC中，已知下列条件，解 三角形。 （ 1） A 45，C 30 ，c 10cm， （ 2） a 20，b 11，B 30
【合作与探究】：人站在岸边樟树B处与对岸发电 厂A处的距离|AB|是多少？能求出吗？如何求？ （备用工具：测角仪和皮尺）
B处 C处
A处
在B处附近选点C，并用 测角仪测出B、C的大小， 用皮尺量出BC距离为a A 180o (B C灵山) 江 | AB | a si？
②该定理使用时最少需要懂得什么 样的条件？
作业1.课本第10页习题1.1A组1、2题。
作业2. 在△ABC中， a b c k(k 0)
sin A sin B sin C
这个k与三角形ABC的外接圆半径R 有什么关系？
名塔-龙洲塔
第一章 解三角形 任意三角形中 边角关系的知识
正弦定理 1.1.1 正弦定理 名水-灵山江 横不山上中塔学顶黄而建知金塔高， 但是河而知河宽？ 名山-六春湖
共同研究：用几何画板研究 三角形中的边角关系
探究：尚有其它办法证明正弦 定理吗？
例1．在 △ABC中,已知 A 32.0 , B 81.8， a 42.9 cm，解三角形。 例2．在 △ABC中，已知 a 20cm， b 28cm， A 40，解三角形。
练习1：在 △ABC中，已知下列条件，解 三角形。 （ 1） A 45，C 30 ，c 10cm， （ 2） a 20，b 11，B 30
【合作与探究】：人站在岸边樟树B处与对岸发电 厂A处的距离|AB|是多少？能求出吗？如何求？ （备用工具：测角仪和皮尺）
B处 C处
A处
在B处附近选点C，并用 测角仪测出B、C的大小， 用皮尺量出BC距离为a A 180o (B C灵山) 江 | AB | a si？
②该定理使用时最少需要懂得什么 样的条件？
作业1.课本第10页习题1.1A组1、2题。
作业2. 在△ABC中， a b c k(k 0)
sin A sin B sin C
这个k与三角形ABC的外接圆半径R 有什么关系？
名塔-龙洲塔
第一章 解三角形 任意三角形中 边角关系的知识
正弦定理 1.1.1 正弦定理 名水-灵山江 横不山上中塔学顶黄而建知金塔高， 但是河而知河宽？ 名山-六春湖
共同研究：用几何画板研究 三角形中的边角关系
探究：尚有其它办法证明正弦 定理吗？
例1．在 △ABC中,已知 A 32.0 , B 81.8， a 42.9 cm，解三角形。 例2．在 △ABC中，已知 a 20cm， b 28cm， A 40，解三角形。
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第39页
本节小结: 正弦定理的证明
1.结构：正弦定理 正弦定理的应用 解三角形 2.方法、技巧、规律
(1)正弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系， 是解三角形的重要工具;
(2)两类问题：一类已知两角和一边； 另一类是已知两边和一边的对角；
(3)注意正弦定理的变式；
(4)注意内角和为180 的应用，以及角之间的转化.
第36页
例2.某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为 35 ，沿倾斜角为20 的斜坡前进1000米 后到达D处，又测得D处的仰角为65 , 求山的高度BC(精确到1m).
B
B
35 20
A
D 65 E C
35 20
A
65 E D
C
第37页
某地出土一块玉佩（如图），其中一角破损， 现测得如下数据；BC 2.57cm,CD 1.89cm, BE 2.01cm, B 45 ,C 120 ,为了复原， 计算原另两边的长.
sin Acos C 3 sin Acos C
( 3 sin A cos A) sin C sin C
sin C 0 3 sin A cos A 1即sin( A 300 ) 1 . 2
又300 A 300 2100 A 300 1500
A 1200.
第33页
4.已知ABC的面积S 1 (b2 c2 )，试确定ABC的形状.
b c, sin B sin C
c
b
图1 D
C
同理可得 a c ,
sin A sin C
即： a b c sin A sin B sin C
第6页
(3) 若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2, 过点A作AD⊥BC，交BC延长线于D,
本节小结: 正弦定理的证明
1.结构：正弦定理 正弦定理的应用 解三角形 2.方法、技巧、规律
(1)正弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系， 是解三角形的重要工具;
(2)两类问题：一类已知两角和一边； 另一类是已知两边和一边的对角；
(3)注意正弦定理的变式；
(4)注意内角和为180 的应用，以及角之间的转化.
第36页
例2.某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为 35 ，沿倾斜角为20 的斜坡前进1000米 后到达D处，又测得D处的仰角为65 , 求山的高度BC(精确到1m).
B
B
35 20
A
D 65 E C
35 20
A
65 E D
C
第37页
某地出土一块玉佩（如图），其中一角破损， 现测得如下数据；BC 2.57cm,CD 1.89cm, BE 2.01cm, B 45 ,C 120 ,为了复原， 计算原另两边的长.
sin Acos C 3 sin Acos C
( 3 sin A cos A) sin C sin C
sin C 0 3 sin A cos A 1即sin( A 300 ) 1 . 2
又300 A 300 2100 A 300 1500
A 1200.
第33页
4.已知ABC的面积S 1 (b2 c2 )，试确定ABC的形状.
b c, sin B sin C
c
b
图1 D
C
同理可得 a c ,
sin A sin C
即： a b c sin A sin B sin C
第6页
(3) 若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2, 过点A作AD⊥BC，交BC延长线于D,
正弦定理赛课获奖课件市公开课一等奖课件名师大赛获奖课件
a=42.9cm，解三角形.
（一）思路：
B
（二）点评：
c
b
（三）规范答题：
A
a
C
解：∵A+B+C=1800 ∴C=1800-（A+B）
=1800-（32.00+81.80）=66.20
根据正弦定理，
b
a sin B sin A
42.9 sin 81.80 sin 32.00
80.1(cm)
（二）内角和：A+B+C=
（三） Rt△ABC中最基本三角函数：
a sin A b sin B
c
c
B
c a
C
b
A
二、提出问题：
三角形中的边与角的关系能够通过哪些式子 精确量化的表达？
探究一：在Rt△ABC中，结合三角函数，探究
边角关系？
A
a sin A b sin B
c
c
a b c
确到1cin A 20
3 sin 600 3
1
a
20
2
∵00<B<1800
∴B=300或B=1500
(对的解法)解：根据正弦定理，
sin B b sin A 20
3 sin 600 3
1
a
20
2
∵00<B<1800且a>b
∴B=300
……
问题：已知任意两角和一边，能否 求其它边和角?
C b
DA
普通性结论：把三角形的三个角A，B，C和三 条边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的 几个元素求其它元素的过程叫做解三角形。
知识回想：应用正弦定理解 三角形需要几个元素？什么
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利用向量的数量积，产生边的长 与内角的三角函数的关系来证明.
A
c
B
b C
a
D
证法3:
A
S ABC
1 1 1 ab sin C bc sin A ac sin B 2 2 2
证明： S ABC ∵
c
B
b
ha
1 aha 2
Da
C ∴
而 h AD c sin B b sin C a
2 2 2 2 2 2
2.在ABC中，求证：
'
a(sin B sin C ) b(sin C sin A) c(sin A sin B) 0.
3.在ABC中，若A 120，AB 5，BC 7, 求ABC的面积S .
' 3.一条直线上有三点A，B，C，点C在A，B
同理
∴ S ABC
S ABC
1 ab sin C bc sin A ac sin B 2 2 2
1 1 S ABC ac sin B ab sin C 2 2 1 bc sin A 2 1 1
剖析定理、加深理解
正弦定理可以解决三角形中哪类问题：
a b c sin A sin B sin C
正弦定理
BC的长度与角A的 大小有关吗? 三角形中角A与它的对 边BC的长度是否存在 定量关系?
C3
C2 C1
C
A
B
在Rt△ABC中,各角与其对边的关系:
b a sin B sin A c c c sin C 1
c
不难得到:
b
A
c
a b c sin A sin B sin C
3 5 2.在ABC中，已知 sin A ， B , cos 5 13 求 sin C.
5 12 解： cos B , B (0, ), sin B . 13 13 3 又 sin A , sin A sin B 5 a b 由正弦定理 可知a b sin A sin B 4 A B, A只能为锐角， cos A . 5 63 sin C sin( A B ) . 65
3.在ABC中，设A, B, C所对的边分别为 a, b, c，若b c 2a cos(60o C )，求A.
略解：由正弦定理得 sin B sin C 2 sin A(cos 60 0 cos C sin 60 0 sin C ) sin B sin( A C ) sin A cos C cos A sin C sin C sin A cos C 3 sin A cos C ( 3 sin A cos A) sin C sin C 1 sin C 0 3 sin A cos A 1即 sin(A 30 ) . 2 又 30 0 A 30 0 210 0 A 30 0 150 0
B
90, C C ' BA C c sin C sin C 2R A c 2R sin C a b 同理 2 R, 2R sin A sin B a b c 2R sin A sin B sin C
'
c O b
a C
C/
证法2:
向量法
解： BC1 D1中, C1 BD1 60 45 15 , 在
由正弦定理可得 : C1 D1 BC1 sin B sin D1
C1 C
D1 D
A1
A
C1 D1 sin D1 12 sin 120 18 2 6 6 BC1 sin B sin 15 2 A1 B BC1 18 6 3 28.4 2 AB A1B AA1 28.4 1.5 29.9(m)
三角形中大边对大角
所以Ｂ＝25.70,
a sin C c 49.57 sin A
已知两边和其中一边的对角,求其他边和角 练习
1.根据下列条件解三角形 (1)b=13，a=26，B=30°.
[B=90°，C=60°，c= 13 3 ]
(2) b=40，c=20，C=45°.
无解 注：三角形中角的正弦值小于１时，角可能有两解
b
AD c
且 sin C） AD sin C （
a b c 仿(2)可得 sin A sin B sin C
A c b
B
由(1)(2)(3)知，结论成立．
图2 C
D
思考
a b c 求证: ＝ ＝ sin A sin B sin C
＝
2R
（2R为△ABC外接圆直径）
证明：作外接圆O, 过B作直径BC/,连AC/,
19.32
练习
在△ABC中，已知 A=75°，B= 45°，c= 3 2 求a ， b.
[ a 3
3 b2 3
]
在△ABC中，已知 A=30°，B=120°，b=12 求a ， c.
[a= 4 3 ,c= 4 3 ]
例 2 已知a=16， b= 16 3， A=30° . 已知两边和其中一边 求角B，C和边c 的对角,求其他边和角 a b 解：由正弦定理 C
C
a
B
在非直角三角形ABC中有这样的关系吗? C
b
A c
a
B
正弦定理:
在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等.
即
a b c sin A sin B sin C
证法1: (1) 若直角三角形,已证得结论成立.
A c b C
(2)若三角形是锐角三角形, 如图1,
过点A作AD⊥BC于D, 此时有 sin B
b
c
sin C
a
B
A c sin A 10 sin 45 10 2 14.14 ∴a = = sin C sin 30
b c ∵ sin B sin C
且 B 180 (A C) 105
c sin B 10 sin 105 5( 6 2 ) ∴ b= = sin C sin 30
课堂小结
（1）三角形常用公式： B C A
1 1 1 SABC ab sin C bc sin A ac sin B 2 2 2 a b c ＝ 2R 正弦定理： sin A sin B sin C
（2）正弦定理应用范围：
①
已知两角和任意边，求其他两边和一角
②
已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角。(注意解的情况)
之积等于两根之和，且a, b为ABC的边， A，B为a, b的对角， 试判断ABC的形状.
1 .在ABC中，a, b, c为边长，A，B，C为a,
'''
a b c b, c所对的角，若 , sin B sin C sin A 试判断ABC的形状.
2.在ABC中， a b b c c a 求证： 0. cos A cos B cos B cos C cos C cos A
课后思考
已知两边和其中一边的对角,求其 他边和角时,三角形什么情况下有 一解,二解,无解?
a
b
C a b A a<bsinA 无解
C a
A
a=bsinA
B
一解
C
a
C b a B 一解
b
B2 B1 bsinA< a < b 两解
A
A
ab
C b
a
C b
a
A a<b 无解 C b
B
A a=b 无解
0
A 120 0.
1 2 2 4.已知ABC的面积S (b c )，试确定ABC的形状. 4
1 2 1 2 解：S (b c ) bc sin A 4 2 1 1 2 (b c) bc(1 sin A) 0 4 2 1 1 2 (b c) 0, bc(1 sin A) 0 4 2 b c A 且b c 2 1 sin A 0 ABC为等腰直角三角形.
① 已知两边和其中一边的对角，求另一边
的对角，进而可求其他的边和角.
② 已知两角和一边，求其他角意边， 求其他两边和一角
。 。
例 1 在△ABC 中，已知c = 10,A = 45 , C = 30 求 C a , b (精确到0.01）. 解： a c ∵
sin A
实际问题
例1、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在
同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是 45和
，CD间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。 60 想一想
图中给出了怎样的一个 几何图形？已知什么， 求什么？
实例讲解 分析：如图，因为AB=AA1+A1B，又 已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。 B
AD , sin C c
B
AD b
图1
D
所以AD=csinB=bsinC, 即
b c , sin B sin C
a c 同理可得 , sin A sin C
a b c 即： sin A sin B sin C
(3) 若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2,
过点A作AD⊥BC， 交BC延长线于D, 此时也有 sin B
之间,点P是直线AB之外一点，设APC ， sin( ) sin sin BPC ，求证： . PC PB PA
P
A
C
B
3 .ABC中，A