实函与泛函与其它学科的联系

实函与泛函与其它学科的联系

摘要本文主要讨论了在泛函分析课程教学中如何有机地将学习内容与数学分析、高等代数、实变函数等知识结合起来，培养学生的抽象思维能力与逻辑思维能力。

泛函分析是应上世纪量子力学等学科的需要发展起来的一门学科，迄今已经建立了较为完善的理论体系，可以说泛函分析既集了经典分析的大成，又架起了通往现代数学的桥梁，成为解决方程、控制论等其他数学问题的有力工具。泛函分析作为大学本科的一门课程，向数学专业的学生初步展示了数学既抽象又和谐的美。

泛函分析所讲的泛函二字从字面意思来解释就是更为广泛的一类函数。它不再是我们在数学分析或复分析中所讲的从实数到实数、复数到复数的函数，而是可以将任何集合中的点“变成”实数或复数的映射。这样的集合可以由函数构成（例如连续函数空间、平方可积函数空间），也可以由序列构成（例如有界数列、收敛数列等），因此有人说，泛函分析可以看成是函数空间上的函数论。这门课程是大学本科数学专业叔叔所要学习的最为抽象的课程，不仅大量涉及到了数学分析、实变函数、复变函数、拓扑学的知识，也与高等代数等课程的知识有联系，并且在一定程度上反映了空间的几何性质。那么如何在教学中将同学们所学的知识有机地结合起来应用到泛函分析的学习中来？如何由浅入深、由

易到难地进行讲解，培养学生的抽象逻辑思维能力、分析解决问题的能力？如何在教学中向学生展现数学抽象、和谐的美，使其对数学的认识理解提升到一个新的高度呢？这些都是我们在教学中应该意识到并加以解决的问题。

泛函分析这门课程主要讨论了hilbert空间与banach

空间上算子与泛函的各种性质。我们首先要在一般的集合上建立起各种各样的结构，例如拓扑结构、线性结构，其中使用了大量公理化方法，将我们再现实生活（一、二、三维空间）中两点距离的性质抽象出来定义到一般集合上形成度量空间。然后就象在数学分析中所做的一样，在这样的空间上利用“距离”定义空间中点的邻域，点列的收敛、空间上的连续映射（即算子）等，从而研究空间的分析性质，例如空间是否完备化，如果不完备，如何利用类似实数完备化的方法将其完备化。同理我们可以在空间上附加线性结构成为线性空间。接着将距离这一概念抽象成范数，得到泛函分析中讨论最多的赋范线性空间。因此在教学中应适当地将数学分析关于距离、数列的收敛、函数的连续性等知识进行复习巩固，并与泛函分析中的定义作相应的比较，一次向学生展示泛函分析所研究空间的广泛性。

hilbert空间的性质及其上算子、泛函的讨论是泛函分析研究的主要内容之一。首先我们以学生熟悉的欧氏空间威力讨论其具有的性质，例如欧式空间上的内积，标准正交基，

其上的变换与矩阵成一一对应关系等。由此如果将内积的性质公理化，以此定义出一般的内积空间；将欧氏空间中的标准正交基进行合理推广，得到一般内积空间上的规范正交系。这样我们就得到hilbert空间的规范正交系，其作用类似于欧氏空间的标准正交基。因此可以看出，hilbert空间是有限维欧氏空间最自然的一种推广。hilbert空间的几何性质是教学中一个非常有趣的内容。我们知道点到线段或直线的距离是点到线的垂线段的长度，那么如何将这个几何性质反映到hilbert空间上，并用抽象的数学语言表述出来呢？这就是极小化向量定理及其一系列推论，其中hilbert 空间的正交分解尤为重要。hilbert空间上的算、泛函的性质有时怎样的呢？我们可以利用欧氏空间上的矩阵与之类比。

banach空间是将hilbert空间中对内积的要求去掉，剩下范数以后得到的完备赋范空间，这是更大更抽象的一类空间。banach空间仍具有线性结构和拓扑结构，那么其上的算子、泛函的性质是怎样的呢？banach空间上有三个重要定理回答了一个问题。这三个定理是：hahn-banach延拓定理、共鸣定理和闭图像定理。首先hahn-banach延拓定理处理的是线性空间上的泛函问题，它要说明的是如果空间上的泛函足够多，就可以用泛函来区别空间中任意不同的两点，更进一步，得到分离性定理。其次共鸣定理或一致有界定理的本

质是由算子列的逐点有界性得到一致有界性。这与数学（下转第71页）（上接第60页）分析中函数列的逐点有界但未必一致有界是相悖的，因此在教学中要进行适当的对比。

在泛函分析的教学过程中，对定理证明的分析尤为重要。如何将定理的条件与结论有机地结合起来，找到联系两者的纽带，然后找到证明的入口。对例题的讲解也应注意同样的问题，教材中的举例往往都是非常经典的问题，例如如何证明一个赋范线性空间的完备性，虽然具有一定技巧，但是其方法都是学生在数学分析、实变函数中使用过的一些方法，因此要让学生作适当练习，理解掌握这些基本方法。对学生思维能力的培养贯穿于整个教学过程中，因此应从多方面出发，难易结合，抽象与直观联系，不仅促进学生抽象思维能力的发展，而且也能使其感受到数学的严谨的美。