相似三角形 基本知识点+经典例题(完美打印版)

相似三角形知识点与经典题型

知识点1 有关相似形的概念

(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.

(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多

边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．

知识点2 比例线段的相关概念am（1）如果选用同一单位量得两条线段a,b的长度分

别为m,，那么就说这两条线段的比是=，或写

n bn

成a:b=m:n．注：在求线段比时，线段单位要统一。

（2）在四条线段a,b,c,d中，如果a和b的比等于c和d的比，那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，bd

简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a是b,c,d的第四比例项，那么应得比例式为：=．②

ca

ac在比例式=(a：b=c：d)中，a、d叫比例外项，b、c叫比例内项, a、c叫比例前项，b、d叫比例后

bd2项，d叫第四比例项，如果b=c，即a：b=b：d那么b叫做a、d的比例中项，此时有b=ad。（3）黄金分割：把线段AB分成两条线段AC,BC(AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项，即

5-12

AC=AB⋅BC，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB≈

2

ACBC5-1长短510.618AB．即==简记为：＝＝

ABAC2全长2

0注：黄金三角形：顶角是36的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形

知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）

（1）基本性质：2

①；②a:b=b:c⇔b=a⋅c．

a:b=c:d⇔ad=bc注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如ad=bc，

除

了可化为a:b=c:d，还可化为a:c=b:d，c:d=a:b，b:d=a:c，b:a=d:c，c:a=d:b，d:c=b:a，d:b=c:a．⎧ab=，(交换内项)⎪cd⎪

ac⎪dc（2）更比性质(交换比例的内项或外项)：=⇔=，(交换外项)

⎨bdba⎪

⎪db⎪=．(同时交换内外项)ca⎩acbd（3）反比性质(把比的前项、后项交换)：=⇔=．

bdac

aca±bc±d（4）合、分比性质：=⇔=．

bdbd

注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间

⎧b-ad-c⎪=ac⎪ac

⎨

发生同样和差变化比例仍成立．如：=⇒等等．

bda-bc-d⎪=⎪⎩a+bc+d acema+c+e+ +ma（5）等比性质：如果===．

=(b+d+f+ +n≠0)，那么=bdfnb+d+f+ +nb

注：

①此性质的证明运用了“设k法”（即引入新的参数k）这样可以减少未知数的个数，这种方法是

有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．

③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：acea-2c3ea-2c+3ea==⇒==⇒=；其中b-2d+3f≠0．

bdfb-2d3fb-2d+3fb

知识点4 比例线段的有关定理

1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得

的对应线段成比例. A

ADAEBDECADAE由DE∥BC可得：=或=或=DE

DBECADEAABAC

BC

注：

①重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三

边对应成比．．．．．．．．．．．．例.

②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所

得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.

此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.

③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件

中的两条线段的比及所求的两条线段的比. 2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. AD已知AD∥BE∥CF, BE

ABDEABDEBCEFBCEFABBC F

C

可得=或=或=或=或=等.

BCEFACDFABDEACDFDEEF

注：平行线分线段成比例定理的推论：

平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另

一条上截得的线段也相等。

知识点5 相似三角形的概念

对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似

于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注：

①对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易

找到相似三角形的对应角和对应边．②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．

③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区

别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．知识点6 三角形相似的等

价关系与三角形相似的判定定理的预备定理

(1)相似三角形的等价关系：

①反身性：对于任一∆ABC有∆ABC∽∆ABC．

②对称性：若∆ABC∽∆A'B'C'，则∆A'B'C'∽∆ABC．

③传递性：若∆ABC∽∆A'B'C'，且∆A'B'C'∽∆A''B''C''，则∆ABC∽∆A''B''C''