四、归纳法与演绎法应用专题

四、归纳法与演绎法应用专题

通过本专题训练，着重掌握分析复杂物理过程的一种重要方法——归纳法和演绎法． 从某些个别物理现象或特殊的物理过程出发，可以推论出具有普遍意义的一般性结论；这种从个别到一般，从特殊到普遍的逻辑推理方式叫归纳法．与归纳法的思维程序相反，从某个具有普遍意义的一般性原理出发，也可以推论出某一个别的物理现象或特殊的物理过程；这种从一般到个别，从普遍到特殊的推理方式叫做演绎法．

演绎依据的一般性原理是由特殊现象中归纳出来的，而归纳又必须以一般性原理为指导，才能找出特殊现象的本质；所以，归纳离不开演绎，演绎也离不开归纳，虽然归纳和演绎是两种不同的思维方法，但是它们之间是相互渗透、相互依赖、相互联系、相互补充的．当我们解决物理问题时，根据物理概念或规律分析题目描述的物理现象，使用的是演绎法；根据题目描述的物理现象推导出某些一般性的结论，使用的是归纳法．归纳法和演绎法的交叉应用，是我们解决问题的常见思维方式．

【例题1】A 、B 两点相距s ，将s 平分为n 等价．今让一物体(可视为质点)从A 点由静止开始向B 运动，物体在每一等分段均做匀加速运动，且第一段加速度为a ，但每过一个等价点加速度都增加a n ，试求该物体到达B 点时速度．

【分析与解析】由于物体在每个等分段上都做匀加速运动，所以每段运动的初、末速度应满足同样的关系：

2210-v v ＝2a ·s n

2221-v v ＝2a (1＋1n )·s n

2232-v v ＝2a (1＋2n

)·s

n ……

22n n 1--v v ＝2a (1＋1-n n

)·s n 将上述各式两端分别相加，即得 2n v ＝2a ·s n [1＋(1＋1

n )＋(1＋2n )＋ (1)

1-n n )] ＝2a ·s n [n ＋(1n ＋2n ＋……＋

1-n n

)]＝(3-1n )as

∴ v n

总结与提高 该题所用关系即为匀变速直线运动的速度、位移关系，每一等分段上的方程都不难给出．但若要按常规的解法，逐一地求出v 1、v 2、v 3……，从中找出v n 的通式，则是较困难的．上述解法恰是利用各方程左侧的特点，相加后将中间诸项相消，而直接求得了最终速度v n ．

【例题2】一弹性小球自4.9m 高处自由落下，当它与水平桌面每碰撞一次后，速度

减小到碰前的7/9，试计算小球从开始下落到停止运动所用的时间．

【分析与解答】每碰撞一次后所做竖直上抛运动，可分为上升和回落两个阶段，不计空气阻力，这两段所用时间和行程相等．

小球原来距桌面高度为4.9m ，用h 0表示，下落至桌面时的速度v 0应为：

v 0＝9.8(m/s)

下落时间为：t 01(s)．

首先用演绎法：

小球第一次和桌面碰撞，那么，第一次碰撞桌面后小球的速率：v 1＝v 0×7/9(m/s)． 第一次碰撞后上升、回落需用时间：2t 1＝2v 1/g ＝(2×v 0/g )×7/9＝2×7/9(s)． 小球第二次和桌面碰撞，那么，第二次碰撞桌面后小球的速率：

v 2＝v 1×7/9＝(v 0×7/9)×7/9＝v 0×(7/9)2(m/s)．

第二次碰撞后上升、回落需用时间：2t 2＝2v 2/g ＝2×(7/9)2．

再用归纳法：

依此类推可得：小球第n 次和桌面碰撞后上升、回落需用时间2t n ＝2×(7/9)n (s)． ∴小球从开始下落到经n 次碰撞后静止所用总时间为：

T ＝t 0＋2t 1＋2t 2＋…＋2t n ＝1＋2×7/9＋2×(7/9)2＋…＋2×(7/9)n ＝1＋2×[7/9＋(7/9)2＋…＋(7/9)n ]

括号内为等比级数求和，首项a 1＝7/9，公比q ＝7/9

∵|q |＜1，

∴无穷递减等比级数的和为：

17/97117/92

==--a q ∴T ＝1＋2×7/2＝8(s)．

总结与提高 此题中小球与桌面碰撞的次数是无数次，试图求出每一次的时间将是无止境的．关键利用演绎法和归纳法找出小球第n 次碰撞后在空中运动的时间t n 的表达式，看看t n 的表达式有何规律(此题中t n 符合等比数列规律)．然后利用有关数学知识求得最后结果．

所以在遇到问题时，要多分析、比较、归纳，解决物理问题的能力即会在潜移默化

中得到提高．

训练题

(1)杂技演员用一只手把四只球依次向上抛出，为了使节目能持续表演下去，该演员必须让回到手中的小球隔一个相等的时间再向上抛出，假如抛出每一个球上升的最大高度都是1.25m，那么球在手中停留的最长时间是：(不考虑空气阻力，g取10m/s2，演员抛球同时即刻接球)

A．1/3s；B．1/4s；

C．1/5s；D．1/6s．

(2)人站在列车的前头，当列车从静止起动时，发现第一节车箱穿过人的时间为5s，列车做匀加速运动，求第十节车箱通过人的时间．

(3)水平导轨AB的两端各有一个竖直的档板A和B，AB长4m，物体自A处开始以4m/s的速度沿导轨向B运动，已知物体在碰到A或B以后，均以与碰前大小相等的速度反弹回来，并且物体在导轨上作匀减速运动的加速度大小相同，为了使物体最终能停在AB的中点，则这个加速度的大小应为多少？

(4)一个人以30m/s的初速度将小球上抛，每隔1s抛出一球．假设空气阻力可以忽略不计，而且升、降的球并不相碰(g取10m/s2)．问：①最多能有几个球在空中？②设在t＝0时将第1个球抛出，在哪些时刻它和以后抛出的小球在空中相遇而过？